1.5　時間序列主要模型介紹

1.5.1　ARMA模型

ARMA模型的全稱是自回歸移動平均（Auto Regression Moving Average）模型，它是目前最常用的來擬合平穩時間序列的模型。ARMA模型又可細分為AR模型、MA模型和ARMA模型三大類。

1.AR（p）（p 階自回歸模型）

其中，ut是白噪聲序列；δ是常數（表示序列數據沒有0均值化）。

2.MA（q）（q階移動平均模型）

其中{ut}是白噪聲過程；MA（q）是由ut本身和q 個ut的滯后項加權平均構造出來的，因此它是平穩的。

3.ARMA（p,q）（自回歸移動平均過程）

其中的參數含義同AR、MA模型，ARMA模型相當于AR模型和MA模型的疊加。

1.5.2　ARIMA模型

ARIMA模型全稱為差分自回歸移動平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model），是由博克思（Box）和詹金斯（Jenkins）于20世紀70年代初提出的著名時間序列預測方法，所以又稱為Box-Jenkins模型、博克思—詹金斯法。ARIMA模型是ARMA模型的拓展，可以表示為ARIMA（p，d，q），其中AR是自回歸，p為自回歸項； MA為移動平均，q為移動平均項數；d為時間序列成為平穩序列時所做的差分次數。所謂ARIMA模型，是指將非平穩時間序列轉化為平穩時間序列，然后將因變量僅對它的滯后值以及隨機誤差項的現值和滯后值進行回歸，所建立的模型。ARIMA模型根據原序列是否平穩，以及回歸中所含部分的不同，包括移動平均過程（MA）、自回歸過程（AR）、自回歸移動平均過程（ARMA），以及ARIMA過程。

ARIMA模型的基本思想是：將預測對象隨時間推移而形成的數據序列視為一個隨機序列，用一定的數學模型來大概描述這個序列。這個模型一旦被識別后就可以利用時間序列的過去值及現在值來預測未來值。

由于ARIMA模型是ARMA模型的拓展，ARIMA包含ARMA模型的三種形式，即AR、MA、ARMA模型，另外它還有一種經差分的ARMA模型形式，即：

對于d階單整序列I(d)，令：

則wt是平穩序列。于是可對wt建立ARMA（p，q）模型，所得到的模型稱為Xt～ARIMA（p，d，q）模型，故ARIMA（p，d，q）模型可以表示為：

1.5.3　ARCH模型

ARCH模型（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model）全稱為“自回歸條件異方差模型”，由羅伯特·恩格爾在1982年發表在《計量經濟學》雜志（Econometrica）的一篇論文中首次提出。ARCH模型解決了時間序列的波動性（Volatility）問題，這個模型是獲得2003年諾貝爾經濟學獎的計量經濟學成果之一。目前該模型已被認為集中地反映了方差的變化特點，從而廣泛地被應用于經濟領域的時間序列分析。

ARCH模型的定義：若一個平穩隨機變量Xt可以表示為AR（p）形式，其隨機誤差項的方差可用誤差項平方的q階分布滯后模型描述，即

則稱ut服從q階的ARCH過程，記作ut~ARCH（q）。其中（a）式稱作均值方程，（b）式稱作ARCH方程。

ARCH模型經常以回歸的方式來描述，這也是常見的ARCH模型的另一種描述方式：

其中vt服從獨立同分布；式（c）和上面第一種描述是等價的，但（c）式的操作性更強。

1.5.4　GARCH模型

GARCH模型稱為廣義ARCH模型，是ARCH模型的拓展，由Bollerslev（1986）提出。

GARCH（p，q）的模型可表示為：

GARCH模型實際上就是在ARCH模型的基礎上，考慮了異方差函數的p階自相關性而形成的，它可以有效擬合具有長期記憶的異方差函數。顯然ARCH模型是GARCH模型的一個特例，ARCH（q）模型實際上就是p=0時的GARCH（p，q）模型。