第一章 大數(shù)字

1．你最大能數(shù)到多少？

有這樣一則故事，兩個(gè)匈牙利貴族決定玩一個(gè)游戲，每人各說(shuō)一個(gè)數(shù)字，說(shuō)出最大數(shù)字者贏。

“來(lái)吧，”其中一個(gè)人說(shuō)，“你先說(shuō)你的數(shù)字。”

經(jīng)過(guò)好一番的冥思苦想，另一個(gè)人終于說(shuō)出了他所能想到的最大的數(shù)字。

“3。”他說(shuō)。

現(xiàn)在輪到第一個(gè)人絞盡腦汁了，但是，他最終還是認(rèn)輸了。

“你贏了。”他承認(rèn)道。

這兩個(gè)匈牙利人的知識(shí)水平確實(shí)不高，并且這個(gè)故事也可能只是一種惡意詆毀，并不可信，但是如果將故事的主人公換成兩個(gè)霍屯督人（Hottentots，非洲部落），那么以上的對(duì)話(huà)就完全會(huì)真實(shí)發(fā)生。據(jù)很多非洲探險(xiǎn)家所說(shuō)，在很多霍屯督部落中，并沒(méi)有用來(lái)表示比3大的數(shù)字的詞匯。若去問(wèn)一個(gè)土著他有多少個(gè)兒子或曾手刃過(guò)多少敵人，如果該數(shù)字大于3，那么他就會(huì)回答“很多”。因此，在數(shù)數(shù)方面，再兇猛的霍屯督戰(zhàn)士也會(huì)被已經(jīng)能夠數(shù)到10的美國(guó)幼稚園兒童打敗。

現(xiàn)在，大家已經(jīng)習(xí)慣性地認(rèn)為，我們想寫(xiě)多大的數(shù)字就能寫(xiě)多大——無(wú)論是以美分來(lái)計(jì)算軍費(fèi)，還是以英寸丈量星球間的距離——只要在某個(gè)數(shù)字右邊加上足夠多的0就可以了。你可以不斷地加0，直到手都酸了，這樣不知不覺(jué)中就可以寫(xiě)出一個(gè)比宇宙中所有原子數(shù)量還大的數(shù)字，順便一提，該數(shù)量是：

300000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000

或者你也可以寫(xiě)成這種簡(jiǎn)略形式：3×1074。

其中，位于10右上角的74表示數(shù)字3后面有74個(gè)0，換句話(huà)說(shuō)，這個(gè)數(shù)字是用3乘上74次10。

但是，古人們并不知道這種“簡(jiǎn)明算術(shù)”系統(tǒng)。實(shí)際上，這種由某不具名的印度數(shù)學(xué)家發(fā)明的表示方法存在了還不到兩千年。在他的偉大發(fā)明之前——雖然通常我們并沒(méi)有意識(shí)到這一點(diǎn)，但這的確是一項(xiàng)偉大的發(fā)明——人們用十進(jìn)制來(lái)計(jì)數(shù)，每位數(shù)都用一個(gè)特殊符號(hào)來(lái)表示，該位數(shù)上是幾，就將其代表符號(hào)重復(fù)幾遍。例如，古代埃及人是這樣記錄8732的：

而愷撒政府里的書(shū)記官則會(huì)以這種形式來(lái)表示：

MMMMMMMMDCXXXII

后面的記號(hào)對(duì)大家來(lái)說(shuō)應(yīng)該很熟悉，因?yàn)榱_馬數(shù)字至今還不時(shí)地能派上用場(chǎng)——或者用于表示書(shū)籍的冊(cè)數(shù)或章節(jié)數(shù)，或者用在宏偉的紀(jì)念碑上以表示某一歷史事件的日期。然而，由于古人對(duì)于計(jì)數(shù)的需求不會(huì)超過(guò)幾千，因此也沒(méi)有用來(lái)表示更高位數(shù)的符號(hào)，所以，如果一個(gè)古羅馬人被要求寫(xiě)出“一百萬(wàn)”，哪怕受到過(guò)最好的算術(shù)訓(xùn)練，他也會(huì)感到十分為難。為了達(dá)到這個(gè)要求，他所能想到的最好方法就是一連寫(xiě)上1000個(gè)M，這可夠他忙碌幾個(gè)小時(shí)的了。

對(duì)于古人來(lái)說(shuō)，天上有多少星星、海里有多少條游魚(yú)和沙灘上有多少顆沙粒這樣巨大的數(shù)字都是“不可計(jì)算的”，就像對(duì)霍屯督人來(lái)說(shuō)5也是“不可計(jì)算的”，因而只能用“很多”來(lái)表示一樣。

公元前3世紀(jì)，著名的科學(xué)家阿基米德曾開(kāi)動(dòng)腦筋，想出了記錄非常大的數(shù)字的辦法，他在專(zhuān)著《數(shù)沙者》（The Psammites，或叫Sand Reckoner）中這樣寫(xiě)道：

“有人認(rèn)為沙粒的數(shù)量是無(wú)限的。我這里所說(shuō)的沙粒可不單單指敘拉古或者西西里島（Sicily）的其他地方，而是指地球上所有的沙粒，無(wú)論是人類(lèi)居住區(qū)還是無(wú)人區(qū)。也有一些人相信沙粒的數(shù)量并不是無(wú)窮的，但是他們也認(rèn)為我們無(wú)法說(shuō)出一個(gè)比所有的沙粒的數(shù)量還大的數(shù)字。如果讓持有此觀點(diǎn)的人想象有一個(gè)大如地球的沙堆，其中的山谷和海洋都被沙子填滿(mǎn)，直到如最高的山峰一樣高，他們就會(huì)更加確定，比以上提到的所有沙粒的數(shù)量還大的數(shù)字是不可能被表達(dá)出來(lái)的。但是我現(xiàn)在不僅可以說(shuō)出比用上述方法在地球上所堆積出來(lái)的沙粒的數(shù)量還大的數(shù)字，還可以說(shuō)出比以同樣的方法將堆滿(mǎn)整個(gè)宇宙的沙粒的數(shù)量也大的數(shù)字。”

阿基米德在這一著作中所提出來(lái)的記錄大數(shù)的方法頗類(lèi)似于現(xiàn)代科學(xué)計(jì)數(shù)方法。他從古希臘算術(shù)中最大的數(shù)字單位萬(wàn)（myriad）開(kāi)始，引進(jìn)了一個(gè)新的數(shù)字“萬(wàn)萬(wàn)”（octade），也就是“億”作為第二級(jí)單位，然后是“億億”（octade octade）作為第三級(jí)單位，“億億億”（octade octade octade）作為第四級(jí)單位，以此類(lèi)推。

專(zhuān)門(mén)用幾頁(yè)的篇幅來(lái)介紹大數(shù)字的書(shū)寫(xiě)方法看起來(lái)似乎有些小題大做，但在阿基米德時(shí)代，找到書(shū)寫(xiě)大數(shù)字的方法不僅是一項(xiàng)偉大的發(fā)現(xiàn)，還促使數(shù)學(xué)向前邁出了重要的一步。

為了計(jì)算填滿(mǎn)整個(gè)宇宙所需要的沙粒數(shù)量，阿基米德首先要知道宇宙的大小。在當(dāng)時(shí)，人們認(rèn)為宇宙封閉在一個(gè)鑲嵌著群星的水晶球里，與他同時(shí)代的著名天文學(xué)家薩摩斯的阿里斯塔克斯估測(cè)，從地面到水晶球邊緣的距離約為10000000000希臘里（Stadia），相當(dāng)于1000000000英里。

阿基米德將水晶球與沙粒的大小進(jìn)行對(duì)比，完成了一系列能將高中生嚇到做噩夢(mèng)的計(jì)算，最終得到了以下結(jié)論：

“毫無(wú)疑問(wèn)，阿里斯塔克斯所預(yù)測(cè)的水晶球大小的空間里所能容納的沙粒的數(shù)量不會(huì)超過(guò)一千萬(wàn)個(gè)第八級(jí)單位。”注1

注1

或者簡(jiǎn)單地記為1063（1后面有63個(gè)0）。

這里大家可能注意到，阿基米德所預(yù)測(cè)的宇宙半徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于現(xiàn)代科學(xué)家的預(yù)測(cè)。10億英里的距離剛剛超過(guò)土星到太陽(yáng)的距離。要知道，望遠(yuǎn)鏡所能探測(cè)到的宇宙距離現(xiàn)在已達(dá)到5000000000000000000000英里，所以要填滿(mǎn)目前可見(jiàn)的宇宙，所需要的沙粒數(shù)量應(yīng)當(dāng)超過(guò)10100（1后面跟100個(gè)0）。

這個(gè)數(shù)字當(dāng)然比前面提到的宇宙中所有原子的數(shù)目3×1074大得多，但是別忘了，我們的宇宙并不是裝滿(mǎn)了原子的，實(shí)際上，宇宙中每立方米的空間里平均只有一個(gè)原子。

但是為了得到大數(shù)字而大動(dòng)干戈，將整個(gè)宇宙填滿(mǎn)沙子是完全沒(méi)有必要的。事實(shí)上，在一些乍一看非常簡(jiǎn)單，那些你可能本來(lái)以為不會(huì)遇到超過(guò)幾千的數(shù)字的問(wèn)題上，卻常常會(huì)遇到意想不到的大數(shù)字。

印度舍罕王（King Shirham of India）就曾吃過(guò)大數(shù)字的虧。傳說(shuō)，大宰相西薩·本·達(dá)依爾（Sissa Ben Dahir）發(fā)明了象棋并將其呈送給國(guó)王，因此舍罕王想要獎(jiǎng)賞他。這位聰明的宰相的要求似乎并不過(guò)分，“陛下，”他跪拜在國(guó)王面前說(shuō)，“請(qǐng)將一個(gè)麥粒放在棋盤(pán)的第一格，將兩個(gè)麥粒放在棋盤(pán)的第二格，將四個(gè)麥粒放在第三格，八個(gè)麥粒放在第四格……按照這個(gè)方法，使得每一格的麥粒的數(shù)量都是前一格的兩倍。陛下，請(qǐng)賞賜我能填滿(mǎn)整個(gè)棋盤(pán)上64格的所有麥粒吧。”

“噢，我忠實(shí)的仆人，你的要求倒是不高，”國(guó)王感嘆道，心里竊喜他給這項(xiàng)神奇的游戲的發(fā)明者的慷慨許諾不會(huì)耗費(fèi)他多少財(cái)寶，“你必將如愿以?xún)敗！比缓笏税嵋淮溩拥酵踝啊?/p>

當(dāng)計(jì)數(shù)開(kāi)始，一粒麥子被放到第一格，兩粒被放到第二格，四粒被放到第三格，一直這樣往下放，但是還沒(méi)等放到第二十格，一袋麥子已經(jīng)用完了。更多的麥子被送到國(guó)王面前，但是每往下數(shù)一格，所需要的麥粒數(shù)量迅速增長(zhǎng)，以至于大家很快就明白，哪怕傾盡印度所有的麥子，國(guó)王也無(wú)法實(shí)現(xiàn)他對(duì)宰相的承諾，因?yàn)槟强墒?8446744073709551615粒麥子！注2

注2這位聰明的宰相所要求的麥粒的數(shù)量可以用以下式子表達(dá)：

1+2+22+23+24+…+262+263

在算術(shù)中，一個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都等于前一項(xiàng)乘上一個(gè)常數(shù)（在這個(gè)例子中是2倍），那這就是一個(gè)等比數(shù)列。在等比數(shù)列中，所有項(xiàng)之和可以用該常數(shù)（本例為2）的項(xiàng)數(shù)（本例為64）次冪減去第一項(xiàng)（本例為1）然后除以上述常數(shù)與1的差，在本例中可以這樣表示：

直接寫(xiě)出來(lái)就是18446744073709551615。

這個(gè)數(shù)字并不像宇宙中所有原子的數(shù)量那樣大，但也是一個(gè)相當(dāng)大的數(shù)字了。假設(shè)1蒲式耳小麥大概有5000000粒，那么要滿(mǎn)足西薩的要求就需要約40000億蒲式耳小麥。全球小麥年均產(chǎn)量大約為2000000000蒲式耳，而大宰相要求的數(shù)量相當(dāng)于全球2000年小麥的產(chǎn)量。

于是，國(guó)王發(fā)現(xiàn)自己已債臺(tái)高筑，他要么以后不斷地還債，實(shí)現(xiàn)對(duì)宰相的承諾；要么干脆砍了宰相的頭。我們猜他應(yīng)該是選擇了后者。

另一個(gè)以大數(shù)字為主角的故事也發(fā)生在印度，討論的是關(guān)于“世界末日”的問(wèn)題。數(shù)學(xué)猜想歷史學(xué)家鮑爾講述了這樣一個(gè)故事：

在世界的中心貝拉那斯宏偉的神殿中，安放著一塊銅板，銅板上有三根金剛石針，每根有1肘尺長(zhǎng)（1肘尺約為20英寸），如蜂針一樣細(xì)。在創(chuàng)世之時(shí)，主神梵天將64個(gè)純金圓片放在了其中一根針上，最大的金片放在最下面緊貼著銅板，越往上金片越小。這就是婆羅門(mén)之塔。夜以繼日，當(dāng)班的僧侶必須將這些金片從一根針上移到另一根針上，根據(jù)梵天給出的固定法則，僧侶每次只能移動(dòng)一個(gè)金片，并且金片必須被放在某個(gè)針上，以確保大的金片不會(huì)被放在小金片的上面。當(dāng)64個(gè)金片都被從天神已穿好的針上移動(dòng)到另一根上時(shí)，梵塔、寺廟及眾生都將化為灰塵，伴隨著一聲霹靂，整個(gè)世界都會(huì)消失。

你可以自己動(dòng)手做一個(gè)這樣的解謎玩具，用硬紙板代替金片，用長(zhǎng)鐵釘代替印度神話(huà)中的金剛石針。要發(fā)現(xiàn)移動(dòng)金片的總體規(guī)律并不難，你很快就可以看出，每成功轉(zhuǎn)移一個(gè)金片所需要的移動(dòng)步數(shù)都是前一個(gè)的兩倍。第一個(gè)金片只需移動(dòng)一下，但隨后移動(dòng)的金片所需的步數(shù)呈幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)，所以到第64個(gè)金片時(shí)，總共所需要的移動(dòng)步數(shù)與西薩要求的麥粒的數(shù)量一樣多。注3

注3如果我們只有7個(gè)圓盤(pán)，則需要的步數(shù)是：

1+21+22+23+…，或者27-1=2×2×2×2×2×2×2-1=127

如果你非常迅速且無(wú)誤地移動(dòng)圓盤(pán)，大概需要一個(gè)小時(shí)才能完成這項(xiàng)任務(wù)。如果有64個(gè)圓盤(pán)，那么需要移動(dòng)的總步數(shù)就是：

264-1=18446744073709551615

這正好是西薩所要求的麥粒的數(shù)目。

將婆羅門(mén)之塔上的64個(gè)金片從一根針上全部轉(zhuǎn)移到另一根上面需要花費(fèi)多長(zhǎng)時(shí)間呢？假設(shè)僧侶們?nèi)隉o(wú)休，夜以繼日地工作，每秒可以移動(dòng)一步，而一年大約有31558000秒，因此大約需要超過(guò)5800億年的時(shí)間才能完成這項(xiàng)工作。

將這個(gè)純粹傳說(shuō)中的宇宙周期的預(yù)言與現(xiàn)代科學(xué)的預(yù)測(cè)略做對(duì)比倒是挺有趣的。根據(jù)現(xiàn)代宇宙進(jìn)化理論，恒星、太陽(yáng)和行星，也包括我們的地球，都是由一些無(wú)定形的物質(zhì)于大約30億年前形成的。我們也知道，給恒星，尤其是太陽(yáng)提供能量的“核燃料”還能再維持100億到150億年。因此，我們的宇宙的總壽命絕對(duì)不會(huì)超過(guò)200億年，更不要提印度神話(huà)中預(yù)測(cè)的5800億年了。不過(guò)，傳說(shuō)畢竟只是傳說(shuō)！

文字記載中所提及的最大的數(shù)字可能就是來(lái)自著名的“印刷行問(wèn)題”了。假設(shè)我們制造出一臺(tái)打印機(jī)，這臺(tái)機(jī)器可以打印出一行又一行的文字，并且打印每一行時(shí)都會(huì)自動(dòng)選擇一種不同的字母與印刷符號(hào)組合，該機(jī)器由很多單個(gè)的邊緣刻有字母和數(shù)字的圓盤(pán)組合在一起，圓盤(pán)之間像汽車(chē)的里程表那樣連接，這樣每當(dāng)一個(gè)圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)完一周，就會(huì)帶動(dòng)下一個(gè)圓盤(pán)向前轉(zhuǎn)一個(gè)符號(hào)，每轉(zhuǎn)動(dòng)一下，隨著滾筒轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)紙張前移，一行文字就被打印上去了。要做這樣一臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)并不難。

現(xiàn)在我們讓這臺(tái)機(jī)器運(yùn)行，并看一看它打印出來(lái)的不計(jì)其數(shù)又各不相同的字符行，其中大部分都沒(méi)有什么意義，它們看起來(lái)是這樣的：

“aaaaaaaaaaa...”

或者是：

“boobooboobooboo...”

又或者是：

“zawkporpkossscilm...”

但是既然這臺(tái)機(jī)器打印出了所有的字母與符號(hào)組合，所以在這堆毫無(wú)意義的垃圾中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一些有意義的句子，當(dāng)然其中有很多都是胡言亂語(yǔ)。

例如：

“horse has six legs and...”（馬有六條腿和……）

或者是：

“I like apples cooked in terpentin...”（我喜歡松節(jié)油做的蘋(píng)果……）

但是仔細(xì)找找，其中一定也包括了莎士比亞所寫(xiě)的每一行文字，甚至包括那些被他扔進(jìn)廢紙簍里的草稿紙上的句子。

事實(shí)上，這臺(tái)打印機(jī)可以打印出人類(lèi)自學(xué)會(huì)書(shū)寫(xiě)以來(lái)所寫(xiě)出的所有語(yǔ)句：每一行散文，每一句詩(shī)，報(bào)紙上的每一篇社論和每一則廣告，每一篇冗長(zhǎng)的科學(xué)論文，每一封情書(shū)，每一份給送奶工的留言……

不僅如此，這臺(tái)機(jī)器還能打印出未來(lái)將要被印出的文字。我們?cè)谀菑垵L筒下的紙上可以找到30世紀(jì)的詩(shī)歌、未來(lái)的科學(xué)發(fā)現(xiàn)、將會(huì)在第500屆美國(guó)國(guó)會(huì)上發(fā)表的演講，以及2344年星際交通意外的統(tǒng)計(jì)數(shù)量。還會(huì)有一篇又一篇尚未被創(chuàng)作出來(lái)的短篇故事和長(zhǎng)篇小說(shuō)。如果出版商們的地下室里有這樣一臺(tái)機(jī)器，他們要做的只是從垃圾堆中挑選出好的片段加以編輯就好了——反正他們現(xiàn)在差不多也在做這樣的事情！

為什么不能這么做呢？

讓我們統(tǒng)計(jì)一下要將所有的字母與印刷符號(hào)的組合全部寫(xiě)下來(lái)需要多少行。

英語(yǔ)中有26個(gè)字母、10個(gè)數(shù)字（0,1,2,3,4,5,6,7,8,9）和14個(gè)常用符號(hào)（空格、句號(hào)、逗號(hào)、冒號(hào)、分號(hào)、問(wèn)號(hào)、感嘆號(hào)、破折號(hào)、連字符、引號(hào)、省略號(hào)、方括號(hào)、圓括號(hào)、大括號(hào)），一共50個(gè)符號(hào)。讓我們假設(shè)這臺(tái)機(jī)器上有65個(gè)輪盤(pán)，與每一行平均有65個(gè)位置一一對(duì)應(yīng)。一行中的第一個(gè)字符可能是以上50個(gè)字符中的任意一個(gè)，也就是有50種可能性，每一種可能性中跟著的第二個(gè)字符也可能是以上50個(gè)字符中的任意一個(gè)，這又是50種可能性，到此，總共有50×50=2500種可能性。而對(duì)于這前兩個(gè)字符的每一種可能性，第三個(gè)字符也仍有50種可能性，以此類(lèi)推。所有可能的組合的行數(shù)可以用以下算式表達(dá)：

50乘上65次

50×50×50×…×50

或者是：

5065

也等于：10110

為了更直觀感受一下這個(gè)數(shù)字的浩大，我們可以假設(shè)宇宙中的每一個(gè)原子都是一臺(tái)打印機(jī)，這樣我們就有3×1074臺(tái)打印機(jī)同時(shí)工作。進(jìn)一步假設(shè)所有這些打印機(jī)自宇宙形成以來(lái)就一直在不間斷地工作，到現(xiàn)在已有30億年，也就是1017秒，其打印效率相當(dāng)于原子的振動(dòng)頻率，相當(dāng)于每秒打印1015行。到現(xiàn)在應(yīng)該已經(jīng)打印出3×1074×1017×1015=3×10106行字——而這些也僅僅是總數(shù)的三千分之一。

看來(lái)，要從這些自動(dòng)打印出的材料中選出點(diǎn)什么確實(shí)要花相當(dāng)長(zhǎng)一段時(shí)間了。

2．如何計(jì)算無(wú)窮數(shù)

在上一部分我們討論了數(shù)字，其中很多是相當(dāng)大的數(shù)字。如西薩所要求的麥粒的數(shù)目，這些數(shù)字巨人雖然都大得不可思議，但它們都是有限度的，只要時(shí)間充分，我們就可以將其精確地記錄到最后一位小數(shù)。

但是有一些數(shù)字是無(wú)窮大的，比無(wú)論我們花費(fèi)多長(zhǎng)時(shí)間所寫(xiě)下來(lái)的數(shù)字都大。“所有數(shù)字的數(shù)量”顯然是無(wú)窮的，“一條線(xiàn)上幾何點(diǎn)的數(shù)量”也是無(wú)窮的，除了它們都是無(wú)窮的，還有別的方法可以描述這些數(shù)字嗎？例如，可以比較兩個(gè)無(wú)窮數(shù)哪一個(gè)更大嗎？

“所有數(shù)字的數(shù)量更大還是一條線(xiàn)上點(diǎn)的數(shù)量更大？”這樣的問(wèn)話(huà)有意義嗎？這些乍一看很有趣的問(wèn)題是由著名數(shù)學(xué)家格奧爾格·康托爾首次提出來(lái)的，他也是名副其實(shí)的“無(wú)窮數(shù)算術(shù)”之父。

要討論無(wú)窮數(shù)的大小，我們首先要面臨一個(gè)問(wèn)題，即對(duì)我們所說(shuō)出的或?qū)懴碌膬蓚€(gè)數(shù)進(jìn)行比較，某種程度上類(lèi)似于霍屯督人查看寶箱，想要知道自己擁有多少玻璃珠或銅幣。但是，你應(yīng)該還記得，霍屯督人最多只能數(shù)到3。那么既然他不會(huì)數(shù)到更多，他應(yīng)該放棄比較玻璃珠的數(shù)量和銅幣數(shù)量嗎？當(dāng)然不是，如果他足夠機(jī)智，他完全可以將珠子與銅幣一個(gè)一個(gè)地比較后得出答案。他將一個(gè)珠子與一枚硬幣放在一起，第二個(gè)珠子與第二枚硬幣放在一起，以此類(lèi)推，如果最后珠子用完了而硬幣還有剩余，那么他就可知自己擁有的銅幣的數(shù)量多于玻璃珠；反之，則他擁有的玻璃珠數(shù)量更多；如果兩者同時(shí)用完，那么他所擁有的兩種東西數(shù)量就一樣多。

康托爾提出來(lái)的比較兩個(gè)無(wú)窮數(shù)的大小的方法與此一模一樣：如果我們將兩個(gè)無(wú)窮數(shù)所代表的對(duì)象集合進(jìn)行配對(duì)，這樣一個(gè)無(wú)限集合中的每一個(gè)對(duì)象都與另一個(gè)無(wú)限集合中的一個(gè)對(duì)象配成一對(duì)，到最后兩個(gè)集合中都沒(méi)有多余的對(duì)象，那么代表這兩個(gè)集合的無(wú)窮數(shù)就是相等的。但是，如果其中一個(gè)集合有剩余，那么我們就可以說(shuō)代表這個(gè)集合的無(wú)窮數(shù)比代表另一個(gè)集合的無(wú)窮數(shù)更大，或者說(shuō)更強(qiáng)。

這明顯是最合理的，也是唯一實(shí)際可行的用來(lái)比較無(wú)窮數(shù)量的辦法，但是當(dāng)我們真正運(yùn)用這個(gè)方法時(shí)，可能會(huì)產(chǎn)生意想不到的結(jié)果。以所有的奇數(shù)和所有的偶數(shù)兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列為例，你肯定會(huì)直覺(jué)地認(rèn)為奇數(shù)的數(shù)量和偶數(shù)的數(shù)量是一樣的，運(yùn)用上述的方法也是完全合理的，因?yàn)樗鼈冎苯涌梢越⒁灰粚?duì)應(yīng)的關(guān)系：

在這個(gè)表上，每一個(gè)奇數(shù)都有一個(gè)偶數(shù)與之對(duì)應(yīng)，反之亦然。因此，奇數(shù)的數(shù)量與偶數(shù)的數(shù)量是相等的，看起來(lái)相當(dāng)簡(jiǎn)單！

但是，且等一下，所有數(shù)字，包括奇數(shù)和偶數(shù)的數(shù)量和僅僅所有偶數(shù)的數(shù)量相比，你認(rèn)為哪一個(gè)更大呢？你當(dāng)然會(huì)認(rèn)為所有數(shù)字的數(shù)量更大，因?yàn)樗粌H僅包含了所有偶數(shù)的數(shù)量，還包含了所有奇數(shù)的數(shù)量。但這只是你個(gè)人的判斷，為了得到確切的答案，你必須用上述方法將兩個(gè)無(wú)窮數(shù)進(jìn)行比較。而如果你用了該法則，你會(huì)驚訝地發(fā)現(xiàn)你的判斷是錯(cuò)誤的。實(shí)際上，所有的數(shù)字與所有的偶數(shù)也可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，正如下表所示：

根據(jù)我們的無(wú)窮數(shù)比較法則，我們必須承認(rèn)所有偶數(shù)的數(shù)量與所有數(shù)字的數(shù)量是相等的。當(dāng)然，這聽(tīng)起來(lái)有些荒謬，因?yàn)榕紨?shù)只是所有數(shù)字的一部分，但是，別忘了我們這里所處理的是無(wú)窮數(shù)，所以必須對(duì)遇到的不同的特性有所準(zhǔn)備。

實(shí)際上，在無(wú)窮數(shù)的世界里，“部分可能等于整體”！關(guān)于著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特的一個(gè)故事可以很好地闡釋這一點(diǎn)。據(jù)說(shuō)他曾在關(guān)于無(wú)窮數(shù)的講座中用下面的話(huà)來(lái)說(shuō)明無(wú)窮數(shù)自相矛盾的特性：

“讓我們想象有一家旅舍，里面房間數(shù)是有限的，并假設(shè)所有房間都已客滿(mǎn)。這時(shí)來(lái)了一個(gè)新客人想要訂一間房，‘很抱歉，’老板會(huì)說(shuō)，‘但是已經(jīng)客滿(mǎn)了。’現(xiàn)在讓我們想象一個(gè)有無(wú)數(shù)房間的旅舍，并且所有的房間也已客滿(mǎn)，而這時(shí)也來(lái)了一個(gè)新客人想要訂一間房。

“‘當(dāng)然可以！’老板喊道，然后他將占據(jù)了1號(hào)房間的人移到2號(hào)房間，將2號(hào)房間的人移到3號(hào)房間，將3號(hào)房間的人移到4號(hào)房間，以此類(lèi)推。然后，經(jīng)過(guò)這一番轉(zhuǎn)移，1號(hào)房間空了出來(lái)，新房客就住到了里面。

“讓我們想象一個(gè)有無(wú)數(shù)房間的旅舍，所有房間已客滿(mǎn)。這時(shí)來(lái)了無(wú)限數(shù)目的新客人想訂房。

“‘好的，先生們，’老板說(shuō)，‘少安毋躁。’

“他將1號(hào)房間的客人移到2號(hào)房間，將2號(hào)房間的客人移到4號(hào)房間，將3號(hào)房間的客人移到6號(hào)房間，如此等等。

“現(xiàn)在所有編號(hào)為奇數(shù)的房間都空了出來(lái)，可以輕松地將無(wú)限多的新客人安置其中。”

因?yàn)楫?dāng)時(shí)正處于戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期，即使在華盛頓，希爾伯特所描述的狀況也很難被人理解，但是這個(gè)例子生動(dòng)形象地描述出無(wú)窮數(shù)的特性與我們平時(shí)算術(shù)中所遇到的狀況截然不同。

按照康托爾比較兩個(gè)無(wú)窮數(shù)的法則，我們現(xiàn)在可以證實(shí)，所有的如或這樣的分?jǐn)?shù)的數(shù)量與所有的整數(shù)的數(shù)量是相等的。事實(shí)上，我們可以將所有的普通分?jǐn)?shù)按照以下規(guī)則排成一列：先寫(xiě)下所有分子與分母之和為2的分?jǐn)?shù)，這樣的分?jǐn)?shù)只有一個(gè)，即；然后寫(xiě)下所有分子與分母之和為3的分?jǐn)?shù)：和；接著是分子與分母之和為4的分?jǐn)?shù)：,,。以此類(lèi)推。在這個(gè)過(guò)程中我們應(yīng)該會(huì)得到一個(gè)無(wú)窮的分?jǐn)?shù)序列，其中包含了所有的分?jǐn)?shù)。現(xiàn)在，在這個(gè)分?jǐn)?shù)序列上面寫(xiě)下整數(shù)序列，這樣你就可以得到分?jǐn)?shù)序列與整數(shù)序列之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此它們的數(shù)量是相等的！

“好吧，這些都很有意思，”你可能會(huì)說(shuō)，“但是這是不是意味著所有的無(wú)窮數(shù)都是相等的呢？如果是的話(huà)，它們之間還有什么好比較的呢？”

不，并不是這樣的。我們可以輕松找出一個(gè)比所有的整數(shù)的數(shù)量和所有的分?jǐn)?shù)的數(shù)量都大的無(wú)窮數(shù)。

實(shí)際上，如果我們將本章前面所提到的一條線(xiàn)上所有點(diǎn)的數(shù)量問(wèn)題與所有整數(shù)的數(shù)量進(jìn)行對(duì)比并加以研究，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)無(wú)窮數(shù)是不相等的，一條線(xiàn)上點(diǎn)的數(shù)量要多于所有整數(shù)的數(shù)量或分?jǐn)?shù)的數(shù)量。為了證實(shí)這一結(jié)論，讓我們?cè)囍鴮⒁粭l長(zhǎng)度為1英寸的線(xiàn)段上的所有的點(diǎn)與整數(shù)序列建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，每一個(gè)點(diǎn)都可以用它到線(xiàn)段的一個(gè)端點(diǎn)之間的距離來(lái)表示，而這個(gè)距離可以被寫(xiě)成無(wú)窮小數(shù)的形式，例如，0.7350624780056…或者是0.38250375632…因此我們要比較的就是所有整數(shù)的數(shù)量與所有無(wú)窮小數(shù)的數(shù)量。那么以上給出的無(wú)窮小數(shù)與和這樣的普通分?jǐn)?shù)有什么區(qū)別呢？

你一定還記得算術(shù)課上學(xué)的所有的普通分?jǐn)?shù)都可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)，如,。我們已經(jīng)證實(shí)所有的普通分?jǐn)?shù)的數(shù)量與所有的整數(shù)的數(shù)量是相等的，所以，所有循環(huán)小數(shù)的數(shù)量與所有整數(shù)的數(shù)量也是相等的。但是一條線(xiàn)上的點(diǎn)并不一定由一個(gè)循環(huán)小數(shù)來(lái)表示，其中大部分反而是由非循環(huán)無(wú)限小數(shù)來(lái)表示的。由此可見(jiàn)，在上述情況下，我們是無(wú)法建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的。

假設(shè)有人聲稱(chēng)他已經(jīng)建立好這樣的關(guān)系，如下表所示：

當(dāng)然，要將所有的整數(shù)和所有的小數(shù)挨個(gè)寫(xiě)下來(lái)是不可能的，所以能做出上述聲明意味著作者要遵循某種規(guī)律（類(lèi)似于我們寫(xiě)出所有普通分?jǐn)?shù)的規(guī)律）來(lái)構(gòu)建上述表格，并且這個(gè)規(guī)律必須保證所有的小數(shù)早晚都會(huì)出現(xiàn)在這張表格上。

但是，我們總是可以寫(xiě)出一個(gè)不在上述表格中的無(wú)窮小數(shù)，所以可以輕而易舉地證明任何一個(gè)這樣的聲明都是站不住腳的。那么要怎么寫(xiě)呢？噢，很簡(jiǎn)單！只要在第一個(gè)小數(shù)位寫(xiě)上與表中1號(hào)小數(shù)的第一位數(shù)不同的數(shù)，第二小數(shù)位上寫(xiě)上與2號(hào)小數(shù)的第二位數(shù)字不同的數(shù)，并以此類(lèi)推。你寫(xiě)下來(lái)的數(shù)字可能是這樣的：

并且無(wú)論你怎么找，這個(gè)數(shù)字都不在上面的表格里。如果表的作者告訴你，你寫(xiě)的這個(gè)數(shù)字在他的表格中位列137號(hào)（或任何其他號(hào)），你可以立刻回答：“不是的，你表格中的137號(hào)小數(shù)的第一百三十七位數(shù)與我的小數(shù)的第一百三十七位數(shù)不一樣。”

因此，線(xiàn)段上的點(diǎn)與所有的整數(shù)之間是無(wú)法建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的，這也表明“代表一條線(xiàn)上所有的點(diǎn)的無(wú)窮數(shù)要大于，或者說(shuō)強(qiáng)于代表所有整數(shù)或分?jǐn)?shù)數(shù)量的無(wú)窮數(shù)”。

一直以來(lái)，我們討論的都是長(zhǎng)度為1英寸的線(xiàn)段上的點(diǎn)數(shù)，但是，根據(jù)我們的“無(wú)窮數(shù)算術(shù)”法則，我們很容易證明任何長(zhǎng)度的線(xiàn)都是一樣的。事實(shí)上，“無(wú)論一條線(xiàn)長(zhǎng)1英寸、1英尺還是1英里，上面的點(diǎn)的數(shù)量都是一樣的”。圖1可以證明這一點(diǎn)，圖中將兩條不同長(zhǎng)度的線(xiàn)段AB和AC上的點(diǎn)的數(shù)量進(jìn)行比較。為了建立兩條線(xiàn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們過(guò)AB上的每一個(gè)點(diǎn)作BC的平行線(xiàn)，將平行線(xiàn)與AB和AC的交點(diǎn)進(jìn)行兩兩配對(duì)，例如，點(diǎn)D和D′，點(diǎn)E和E′，點(diǎn)F和F′，等等。AB上的每一個(gè)點(diǎn)，在AC上都有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，反之亦然。這樣根據(jù)我們的法則，代表這兩條線(xiàn)段上的點(diǎn)的無(wú)窮數(shù)是相等的。

通過(guò)對(duì)無(wú)窮數(shù)的分析，還可以得到一個(gè)更難以置信的結(jié)論：“一個(gè)平面上所有的點(diǎn)的數(shù)量與一條線(xiàn)上所有的點(diǎn)的數(shù)量是相等的。”為了證明這個(gè)結(jié)論，讓我們來(lái)看一下一條長(zhǎng)度為1英寸的線(xiàn)段AB上的點(diǎn)和邊長(zhǎng)為1英寸的正方形CDEF上的點(diǎn)（圖2）。

假設(shè)用一個(gè)數(shù)字，如0.75120386…來(lái)表示線(xiàn)段AB上某個(gè)點(diǎn)的位置，我們可以將這個(gè)小數(shù)上的奇分位和偶分位上的數(shù)字分別選出來(lái)組成兩個(gè)新的小數(shù)，得到了0.7108…和0.5236…。

在正方形CDEF中測(cè)量出這兩個(gè)數(shù)字所代表的水平距離和垂直距離，從而得到一個(gè)點(diǎn)，我們稱(chēng)之為原來(lái)線(xiàn)段上的點(diǎn)的“對(duì)偶點(diǎn)”；反過(guò)來(lái)，我們?nèi)≌叫蝺?nèi)一點(diǎn)，假設(shè)其以0.4835…和0.9907…表示，如果我們將這兩個(gè)數(shù)字合并，就可以得到該點(diǎn)在線(xiàn)段上相應(yīng)的“對(duì)偶點(diǎn)”0.49893057…。

顯然，兩組點(diǎn)在這一過(guò)程中建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。線(xiàn)段上的每一個(gè)點(diǎn)都在平面上有一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平面上的每一個(gè)點(diǎn)也都在線(xiàn)段上有一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，一個(gè)多余的點(diǎn)也沒(méi)有。根據(jù)康托爾準(zhǔn)則，代表一個(gè)平面上所有點(diǎn)數(shù)的無(wú)窮數(shù)與代表一條線(xiàn)上所有點(diǎn)數(shù)的無(wú)窮數(shù)是相等的。

用類(lèi)似的方法就不難證明代表一個(gè)立方體里所有點(diǎn)的數(shù)量的無(wú)窮數(shù)與代表一個(gè)平面或一條線(xiàn)段上的所有點(diǎn)的數(shù)量的無(wú)窮數(shù)也是相等的。要做到這一點(diǎn)，我們只需要將最開(kāi)始的小數(shù)分成三個(gè)部分，然后用這樣得到的三個(gè)小數(shù)來(lái)定位立方體內(nèi)的“對(duì)偶點(diǎn)”。并且，正如兩條不同長(zhǎng)度的線(xiàn)段擁有同樣數(shù)量的點(diǎn)一樣，無(wú)論多大尺寸，正方形或者立方體中的點(diǎn)數(shù)也都是一樣的。

雖然幾何點(diǎn)的數(shù)量比所有整數(shù)或分?jǐn)?shù)的數(shù)量大，但它還不是數(shù)學(xué)家們所了解的最大數(shù)字。事實(shí)上，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，所有的曲線(xiàn)的樣式總數(shù)比所有幾何點(diǎn)的數(shù)量還要多，因此被描述為第三級(jí)無(wú)窮序列。

作為“無(wú)窮數(shù)算術(shù)”的創(chuàng)造者，康托爾認(rèn)為可以希伯來(lái)字母?（aleph，讀作阿列夫）來(lái)表示無(wú)窮數(shù)，?右下角的數(shù)字則用來(lái)表示這個(gè)無(wú)窮數(shù)的等級(jí)。這樣，所有的數(shù)（包括無(wú)窮數(shù)）就排列為：

1,2,3,4,5, … , ?1, ?2, ?3, …

而且我們就可以像說(shuō)“世界上有七大洲”或“一副撲克牌有54張”一樣來(lái)陳述“一條線(xiàn)上有?1個(gè)點(diǎn)”或者“曲線(xiàn)的樣式有?2種”了。

總結(jié)一下我們關(guān)于無(wú)窮數(shù)的討論，我們指出只需幾個(gè)等級(jí)就可以容納我們所能想到的所有無(wú)窮數(shù)。我們認(rèn)為?0代表所有整數(shù)和分?jǐn)?shù)的數(shù)量，?1代表所有幾何點(diǎn)的數(shù)量，?2代表所有曲線(xiàn)樣式的數(shù)量，但迄今為止，還沒(méi)人能說(shuō)出需要用到?3的無(wú)窮數(shù)（圖3）。

似乎這三個(gè)無(wú)窮數(shù)已足以數(shù)完所有我們能想到的數(shù)，這正好與我們的老朋友——有很多數(shù)要數(shù)卻只能數(shù)到3的霍屯督人的情況完全相反。