2.8 灰度直方圖

直方圖是進行數據統計的一個簡單、高效和常用的工具，灰度直方圖也是數字圖像處理中一個方便、有效的常用工具?；叶戎狈綀D是基于圖像灰度值和像素統計分布的形象表示，它概括地表示了一幅圖像的灰度級信息。任何一幅圖像的直方圖都包括了該圖像的許多特征信息，某些特定類型的圖像甚至可由直方圖來完全描述。

2.8.1 直方圖的定義與性質

1. 直方圖的定義

直方圖是統計學中的常用工具之一，在數字圖像處理中灰度直方圖是灰度級的函數，它描述了圖像中具有該灰度級的像素的個數，其橫坐標是灰度級，縱坐標是該灰度出現的頻率（像素的個數）。

對于連續函數表示的圖像，其灰度直方圖也有另一種定義方式。在圖2-16所示的圖像中，有一條灰度級為D1的輪廓線，在更高的灰度級D2處有第二條輪廓線。A1表示第一條輪廓線所包圍區域的面積，同樣，以A2表示第二條輪廓線所包圍的區域的面積。

在一幅連續圖像中，將灰度級為D的輪廓線所包圍的面積稱為灰度級D的閾值面積函數，用A（D）表示，則直方圖可定義為

因此，一幅連續圖像的直方圖是其面積函數的導數的負值。負號的產生是因為隨著D的增加面積函數A（D）的值在減少。若將圖像看成是一個二維的隨機變量，則面積函數相當于其累積分布函數，而灰度直方圖則相當于其概率密度函數。

對于離散函數，固定ΔD為1，則上述定義為

對于數字圖像，任一灰度級D的面積函數就是大于或等于該灰度值的像素個數。

2. 直方圖的性質

直方圖具有以下性質：

（1）直方圖是一幅圖像中各像素灰度值出現次數或頻數的統計結果，它只反映該圖像中不同灰度值出現的頻率，而不能反映某一灰度值像素所在的位置信息。即直方圖僅包含了該圖像中某一灰度值的像素出現的概率，而丟失了其所在位置的信息。

（2）任一幅圖像，都能唯一地確定一個與之對應的直方圖。但不同的圖像，可能有相同的直方圖。也就是說，圖像與直方圖之間是一種多對一的映射關系。

（3）由于直方圖是對具有相同灰度值的像素統計計數得到的，若某一幅圖像由若干子圖像區域構成，那么各子區域直方圖之和就等于原圖像的直方圖。

2.8.2 直方圖的作用

1. 數字化參數

直方圖給出了一個簡單、直觀的可視化指標，可用于判斷一幅圖像是否合理地利用了全部被允許的灰度級范圍。若圖像亮度具有超出數字化器所能量化的范圍，則這些灰度級將被簡單地置為0或255，這時，根據直方圖的定義和意義，在其一端或兩端將產生尖峰。對直方圖的快速檢查可以使數字化中產生的問題及早暴露出來，以便及時糾正。

2. 選擇邊界閾值

假定一幅圖像背景是淺色的，其中有一個深色的物體，圖2-17所示為這類圖像的直方圖。物體中的深色像素產生了直方圖上的左峰，而背景中大量的灰度級產生了直方圖上的右峰。物體邊界處處于兩個峰值之間灰度級的像素數目相對較少，從而產生了兩峰之間的谷。選擇谷作為灰度閾值將得到合理的物體的邊界。

在某種意義上來說，選擇對應于兩峰之間的最低點的灰度值作為閾值來確定邊界是較合適的。由式（2-13）可知，直方圖是面積函數導數的負值。在谷底的附近，直方圖的值相對較小，意味著面積函數隨閾值灰度級的變化很緩慢。如果選擇谷底處的灰度作為閾值，將可以使其對圖像內物體的邊界的影響達到最小。如果欲測量原圖像的面積，選擇谷底處作為閾值可使測量對于閾值灰度變化的敏感度降至最小。

3. 計算綜合光密度

某些情況下，綜合光密度是圖像質量一個很有用的度量，利用直方圖可直接計算出綜合光密度值。綜合光密度用IOD來表示，以二維圖像為例，設D（x，y）表示二維圖像的灰度分布，則綜合光密度為

其中，a和b是圖像區域的邊界。對于數字圖像，則有

其中，D（i，j）是像素點（i，j）處的灰度值。NL和Ns分別是圖像行和列的數目。令Nk代表灰度級為k時所對應的像素的個數，則式（2-16）可以化為

由于Nk=H（k），因此有

即綜合光密度是用灰度級加權的直方圖之和。

令式（2-16）等于式（2-17），同時使灰度級的增量趨于0，則可以得到適用于連續圖像的綜合光密度公式為

以及

若圖像中的物體被閾值灰度級為T的邊界描繪出來，則物體邊界內的IOD值可以采用如下公式計算，即

內部灰度級的平均值MGL等于IOD與面積之比值，即

2.8.3 直方圖與圖像的關系

對于任一幅圖像，直方圖是唯一的，若已知一幅圖像的函數形式，則可計算其直方圖。由于直方圖是面積函數關于灰度級的導數的負值。因此，如果能從圖像本身的表達式得出面積函數，則有可能獲得直方圖。如圖2-18所示，設圖像是中心在原點的圓對稱高斯脈沖，則圖像函數的極坐標表示為

由于灰度級為常數P的輪廓線是半徑為r（P）的圓，根據式（2-22）可得

因此可得

該輪廓線所包圍的面積為

A（P）=π［r（P）］2=—πln（P）

對面積函數進行微分，可得到直方圖函數，即

曲線如圖2-19所示。