2.2 對當關系邏輯的理論緣起

巴西邏輯學家科斯塔建立了一系列弗協調邏輯系統Cn（1≤n≤ω）。下面我們以這一系列系統的技術處理為依據來剖析其思想背景，以期正確認識他解決不協調理論推理問題的基本策略。

經典邏輯的否定“～”在語形上遵守反證律（～A→B）→（（～A→～B）→A），因此在正命題邏輯系統的基礎上可以證明，命題A與其經典否定～A之間有如下關系：

[1]├A→～（～A）

[2]├（～A）→～A

[3]├～A→（～A）

[4]├～（～A）→A

經典邏輯的否定“～”在語義上遵循如下語義規則：

對于任一語義賦值v,v（～A）=1當且僅當v（A）=0。

具體地說，命題A與其經典否定～A之間有如下關系：

[1]若A真，則～A假；

[2]若～A真，則A假；

[3]若A假，則～A真；

[4]若～A假，則A真。

所以，無論是語形還是語義，命題A與其經典否定～A之間都存在通常所說的矛盾（既不能同真，也不能同假）關系。

在弗協調邏輯系統Cn（1≤n＜ω）中，弗協調否定“﹁”在語形上遵守下列規則：

[1]A∨﹁A

[2]﹁﹁A→A

[3]B（n）→（（A→B）→（（A→﹁B）→﹁A））

[4]A（n）∧B（n）→（A∧B）（n）∧（A∨B）（n）∧（A→B）（n）

（其中A0=def﹁（A∧﹁A）; Ak=defA00…0，這里一共有k個0,k為正整數；A（n）=def（…（（A1∧A2）∧A3）…∧An）。）

根據定義：～A=def（﹁A∧A（n）），在弗協調邏輯系統中可以證明：

（～A→B）→（（～A→～B）→A）

對于任一語義賦值v,v（～A）=1當且僅當v（A）=0。

這樣，在正命題邏輯系統之上，弗協調邏輯系統Cn（1≤n＜ω）中的符號“～”就獲得了經典否定“～”的所有規定。因此，弗協調邏輯系統Cn（1≤n＜ω）中的符號“～”實際可以視為經典否定“～”。根據定義～A=def（﹁A∧A（n））可知，經典否定“～”是弗協調否定“﹁A”的加強，而弗協調否定“﹁A”是經典否定“～”的弱化。

在正命題邏輯系統的基礎上可以證明，命題A與其弗協調否定﹁A之間語形上有如下關系：

[1]├～A→﹁A

[2]├～﹁A→A

弗協調邏輯Cn（1≤n＜ω）中的否定“﹁”在語義上遵循如下語義規則：

對于任一語義賦值v，

[1]如果v（A）=0，則v（﹁A）=1；

[2]如果v（﹁﹁A）=1，則v（A）=1，

[3]如果v（B（n））=v（A→B）=v（A→﹁B）=1，則v（A）=0，

[4]如果v（A（n））=v（B（n））=1，則

v（（A∧B）（n））=v（（A∨B）（n））=v（（A→B）（n））=1。

根據這一語義規則，在一賦值v下，當v（A）=1時，對于弗協調否定公式﹁A的值有如下判定程序：

[1]如果A為否定式﹁B。那么當B與﹁B的值不同時，﹁A的值為0；當B與﹁B的值相同時，那么﹁A的值可以為0，也可以為1。

[2]如果A為B∧C、B∨C或B→C。那么：

（1）當A形如或時，﹁A的值為0；

（2）當A不形如或時，那么：當B和﹁B的值不同并且C和﹁C的值也不同時，﹁A的值為0；否則，﹁A的值可以為0，也可以為1。[3]

由此可見，命題A與其弗協調否定﹁A之間有如下關系：

[1]若A假，則﹁A真；

[2]若﹁A假，則A真；

[3]若A真，則﹁A可以為真，也可以為假；

[4]若﹁A真，則A可以為真，也可以為假。

根據弗協調邏輯系統Cn（1≤n＜ω）相對于上述語義的可靠性定理，可以證明下述語形定理在弗協調邏輯系統Cn（1≤n＜ω）中不成立：

[1]├A→～﹁A

[2]├﹁A→～A

所以，無論是語形還是語義，在Cn（1≤n＜ω）中，命題A與其弗協調否定﹁A之間都存在通常所說的下反對（可以同真，但不能同假）關系。

經典否定“～”是一個一元真值函數。邏輯上講，二值一元真值函數可能有如下四種，分別用f1、f2、f3和f4表示之。它們的真值表是：

實際上f1和f4是一元常函數，f2是一元恒等函數，而f3就是經典否定“～”。因此，弗協調否定“﹁”根本就不是二值一元真值函數。

科斯塔在上述弗協調語義之外還提出了弗協調邏輯Cn（1≤n＜ω）的一個三值邏輯語義[4]：

其中，1和2是特征值。不難看出，在此語義下，弗協調否定“﹁”是一個三值一元真值函數。但是，如果我們將特征值類比為二值的“真”的話，在Cn（1≤n＜ω）中命題A與其弗協調否定﹁A之間存在著的仍然是通常所說的下反對關系。

不矛盾律說的是一對互相否定的命題不能都是真的。由于經典否定和弗協調否定的不同，因此它們在經典邏輯和弗協調邏輯Cn（1≤n＜ω）中的形式是不同的。在經典邏輯中，不矛盾律的形式是：～（A∧～A）；在弗協調邏輯Cn（1≤n＜ω）中，不矛盾律的形式是：﹁（A∧﹁A）。由于在經典邏輯中，命題A與其否定～A之間是矛盾關系，因此不矛盾律～（A∧～A）不可能不普遍有效；由于在弗協調邏輯Cn（1≤n＜ω）中，命題A與其否定﹁A之間是下反對關系，A和﹁A可以同真，因此A∧﹁A可以真，在此情況下作為A∧﹁A的下反對關系不矛盾律﹁（A∧﹁A）當然可以是真的，也可以是假的。所以在弗協調邏輯Cn（1≤n＜ω）中不矛盾律﹁（A∧﹁A）就不是普遍有效的。

但是，在弗協調邏輯Cn（1≤n＜ω）中不矛盾律﹁（A∧﹁A）不是普遍有效的決不意味著經典邏輯中不矛盾律～（A∧～A）是無效的。實際上，從上述分析可以看出，站在經典邏輯的立場，弗協調邏輯Cn（1≤n＜ω）中不矛盾律﹁（A∧﹁A）不是普遍有效的，在經典邏輯中也是可以合理解釋的。因為在經典邏輯中，﹁（A∧﹁A）表示的也僅僅是一對下反對關系命題合取之下的反對關系命題，這當然不是普遍有效的。例如，在經典命題邏輯中，p∨q和～p∨～q就是一對下反對關系的命題，作為它們的合取（p∨q）∧（～p∨～q）之下反對關系命題p→q或～p→～q都不是普遍有效的。

與不矛盾律相關的是在弗協調邏輯Cn（1≤n＜ω）中，A∧﹁A可以是真的。這就是弗協調邏輯學者所說的在弗協調邏輯Cn（1≤n＜ω）中“容忍矛盾”。其實，站在經典邏輯的立場看，A∧﹁A表示的也僅僅是一對下反對關系的命題之合取可以是真的，這在經典邏輯中也顯然如此。

弗協調邏輯的基本出發點之一是限制矛盾的作用范圍，使它不危害整個理論（這里的矛盾一般應理解為經典邏輯的矛盾，否則的話，如果把矛盾理解為A∧*A，其中*A是A的否定，但不是經典的否定，那么，只要*A和A可以同真，則A∧*A→B在經典邏輯中就已經不是有效式了。那么經典邏輯就已經可以達到將“矛盾”A∧*A圈起來的效果，而無須新創一套別的邏輯系統）。那么弗協調邏輯系統Cn（1≤n＜ω）實現了這一目標了嗎？

在弗協調邏輯系統Cn（1≤n＜ω）中，A∧﹁A→B不是定理，但是如上所述，在語義上這僅僅表示的是由下反對關系命題的合取不能推出所有命題。在弗協調邏輯Cn（1≤n＜ω）中，真正需要圈起來的矛盾是A∧～A。需要取消其有效性，避免矛盾帶來爆炸性結果的是定理：├A∧～A→B。但這一定理在弗協調邏輯系統Cn（1≤n＜ω）中恰恰是成立的。

因此，弗協調邏輯系統Cn（1≤n＜ω）并不能稱為真正意義上的弗協調邏輯。在防止矛盾帶來爆炸性結果方面，其實亞里士多德的三段論系統就是一個典范。因為在亞里士多德的三段論系統中，要求有且只有三個詞項，而結論中的兩個詞項必定在前提中出現過，因此不論前提是什么樣的兩個前提，結論都不會是任意的，所以A∧～A→B在亞里士多德三段論系統中不可能是一個有效式，當然爆炸性結果就不會出現。

盡管弗協調邏輯系統Cn（1≤n＜ω）不是真正意義上的弗協調邏輯，但是它作為一個非經典邏輯系統，其理論意義是非常巨大的。

為了闡明這一點，我們有必要簡單地考察一下直覺主義邏輯的否定。

在直覺主義邏輯系統中，直覺主義否定“﹁”在語義上遵循如下語義規則：

直覺主義模型M是一個三元組＜W,≤,σ＞，其中：

[1]W≠?；

[2]≤是W上的自返且傳遞關系；

[3]對于任一命題變元p，任意的w1、w2∈W，如果w1≤w2且σ（p,w1）=1，則σ（p,w2）=1 ；

[4]σ（﹁A,w1）=1 當且僅當任給w2∈W，如果 w1≤w2，則σ（A,w2）=0。

根據這一語義規則不難看出命題A與其直覺主義否定﹁A之間基本上有如下關系：

[1]若σ（A,w）=1，則σ（﹁A,w）=0 ；

[2]若σ（﹁A,w）=1，則σ（A,w）=0 ；

[3]若σ（A,w）=0，則σ（﹁A,w）可以為1，也可以為0；

[4]若σ（﹁A,w）=0，則σ（A,w）可以為1，也可以為0。

所以，命題A與其直覺主義否定﹁A之間存在著通常所說的上反對（可以同假，但不能同真）關系。

比較一下經典邏輯、直覺主義邏輯和弗協調邏輯Cn（1≤n＜ω）可以發現，它們在正命題邏輯系統方面基本上沒有區別。主要的區別是對于否定的規定不同：經典邏輯中命題A與其否定～A是矛盾關系，直覺主義邏輯中命題A與其否定﹁A是上反對關系，弗協調邏輯Cn（1≤n＜ω）中命題A與其否定﹁A是下反對關系。因此，在此意義上，我們可以稱經典邏輯為矛盾關系邏輯，直覺主義邏輯為上反對關系邏輯，弗協調邏輯Cn（1≤n＜ω）為下反對關系邏輯[119]。

直覺主義邏輯和弗協調邏輯Cn（1≤n＜ω）之與經典邏輯的意義正如非歐幾何與歐氏幾何的意義一樣重大。

由于弗協調邏輯Cn（1≤n＜ω）在初始概念“否定﹁”上就與人們通常（經典邏輯意義）理解的不一樣，因此弗協調邏輯Cn（1≤n＜ω）中的“矛盾”、“不矛盾律”等都不是人們通常理解的意義。既然人們一般把否定理解為矛盾關系，弗協調邏輯Cn（1≤n＜ω）在用詞上確實存在一種誤導的隱患。

因此，出于“正名”的需要，建議在科斯塔弗協調邏輯中：

[1]A的否定命題﹁A改稱為：A的下反對關系命題﹁A;[5]

[2]矛盾A∧﹁A改稱為：一對下反對關系命題的合取；

[3]不矛盾律﹁（A∧﹁A）改稱為：下反對關系命題的合取命題之下反對關系命題；

[4]強調A∧﹁A→B不普遍有效僅僅意味著：下反對關系命題的合取不能推出所有命題；

[5]如果把經典邏輯稱為矛盾關系邏輯，則弗協調邏輯系統Cn（1≤n＜ω）可稱為下反對關系邏輯。

順便建議在直覺主義邏輯中：

[1]A的否定命題﹁A改稱為：A的上反對關系命題﹁A；

[2]排中律A∨﹁A改稱為：上反對關系命題的析取命題；

[3]強調B→A∨﹁A不普遍有效僅僅意味著：上反對關系命題的析取不能由任一命題推出；

[4]如果把經典邏輯稱為矛盾關系邏輯，則直覺主義邏輯可稱為上反對關系邏輯。