二、論功守恒定理的歷史

在近代科學中，給予能量守恒定律的地位是如此顯著，以致我將嘗試回答的關于它的正確性的問題仿佛自行突出它自己。我容許我本人在大字標題中把該定律稱為功守恒定律，因為它在我看來好像是所有人都理解的、防止錯誤觀念的名稱。讓我們回想偉大的法拉第（Faraday）關于“力守恒定律”的充滿誤解的考慮，以及眾所周知的相當晦澀難懂的爭論。人們之所以竟然說“力守恒定律”，只是因為當時人們與邁爾（J. R. Mayer）一起把歐拉（Euler）所謂 “effort”（辛勤努力）和彭賽列（Poncelet）所謂“travail”（艱苦勞動）的東西稱為“力”（force）。當然，人們無法發現邁爾身上的過失，他沒有從學術界獲得他的概念，由于他使用他自己的特殊名稱。

通常，功守恒定理以兩種形式表達：

或者

2．不可能從無創造功，或不可能建造永動機。

通常把這個定理視為力學世界觀之花，是自然科學的最高級的、最普遍的定理，許多世紀的思想都通向它。

現在，我將嘗試表明：

第一，這個定理在第二種形式中決不像人們傾向于相信的那樣新穎；實際上，幾乎所有著名的研究者都或多或少地混淆了它的觀念；自斯蒂文（Stevinus）和伽利略（Galileo）時代以來，它將作為物理科學最重要的擴展的基礎。

第二，這個定理決不與力學世界觀一致或屬于力學世界觀，但是它的邏輯根源比力學世界觀還要無比深邃地扎根于我們的思想。

首先，就我的主張的第一部分而論，必須從最初的源泉引出證據。現在，雖然拉格朗日（Lagrange）在他的《分析力學》^注56各節馳名的歷史導論中反復提到我們的定理的發展，但是人們立刻發現，如果人們不厭其煩地查閱原文本身，那么這個定理在它的闡述中并沒有起它事實上所起的作用。

現在，除了定律之外，盡管下述事實與拉格朗日提到的事實相符，但是我們從全文給出的重要段落得到與在拉格朗日的著作中發現的觀點不同的觀點。

讓我僅僅強調一些要點：

西蒙·斯蒂文在他1605年的名著《數學札記》（Hypomnemata mathematica）第四卷《論靜力學》（De statica）^注57中，處理了物體在斜面上的平衡。

圖1

在一邊AC是水平的三棱柱ABC上，懸掛著環形的繩或鏈，把相同重量的14個球以相等的距離連接到繩或鏈上，如圖1中的截面圖所示。既然我們能夠設想把繩ABC下面對稱的部分去除，斯蒂文得出結論，在AB上的4個球與BC上的2個球保持平衡。如果平衡被擾亂片刻，那么它將永不存在；繩將按同一方向永遠保持環形運動——我們就會擁有永恒運動。他說：

但是，如果發生這種情況，那么我們的球排或球環就會再次進入它們的原初位置；并且出于相同原因，左邊的8個球再次重于右邊的6個球，因此那8個球會第二次下沉，這6個球會第二次上升，于是所有的球能夠自動地保持持續的和無休止的運動，但這是虛假的。^注58

現在，斯蒂文很容易從這個原理得出斜面上的平衡定律和許多其他富有成效的結論。

在同一本著作第114頁的“流體靜力學”一章中，斯蒂文提出了以下原理：“Aquam datam, datum sibi intra aquam locum servare”——水的特定質量在水里保持它的特定位置。這個原理是如下論證的（參見圖2）：

圖2

由于用自然手段呈現它是可能的，讓我們假定A沒有保持在指定給它的位置，而是向下沉到D。這樣安放時，出于同樣的原因，接續A的水也將向下流向D；A將被迫離開它在D的位置；于是，這個水體由于它里面的狀況處處相同，將引起荒謬的永恒運動。^注59

所有流體靜力學原理都可以由此推導出來。在這個場合，斯蒂文也是首次詳盡闡述對于近代分析力學而言如此富有成效的思想，即添加剛性的關聯未破壞一個系統的平衡。正如我們所知，引力中心守恒原理現在有時借助那個評論從達朗伯原理推導。今天，如果我們重演斯蒂文的論證，我們應該將它稍做一點改變。我們發現，可以毫無困難地設想，假如以為去掉所有障礙，棱柱上的繩子保持不斷的勻速運動；但是，如果消除了阻力，我們就應當反對加速運動，甚至勻速運動的假定。而且，為了獲得更精確的證據，球的細繩應該換成具有無限柔韌性的、沉重的、均勻的繩子。但是，所有這一切絲毫不影響斯蒂文思想的歷史價值。事實是，斯蒂文從永恒運動不可能原理清楚地推論出更加簡明的真理。

16世紀末，在把伽利略引向他的發現的思想進程中，下述原理發揮了重要作用，即物體借助它在下落時獲得的速度，能夠上升到與它下落正好一樣的高度。這個原理簡直就是排斥永恒運動原理的另一種形式，它反復而且異常清晰地出現在伽利略思想中，正如我們將要看到的，它也在惠更斯（Huygens）的思想中。

正如我們所知，伽利略在首先假定他不得不否決的不同定律之后，通過先驗考慮得出勻加速運動定律，正如那個是“最簡單的和最自然的”定律一樣。為了證實他的定律，伽利略用斜面上下降的物體做實驗，通過從大容器的小孔流出的水的質量測量下降的時間。在這個實驗中，作為一個基本原理，他假定，在沿斜面下降中獲得的速度總是與下降通過的垂直高度相稱；在他看來，這個結論是下述事實的直接結果：沿斜面下降的物體，只能以它獲得的速度、在任何斜度的另一平面上上升到相同的垂直高度。情況似乎是，這個上升高度原理也導致他達到慣性定律。讓我們聽聽在“第三天對話”（Opere, Padova,1744,Tom.Ⅲ）中他自己的巧言妙語。在第96頁我們讀到：

如果不同斜度的平面的高度相等，我認為理所當然的是，沿著這些斜面下降的物體獲得的速度是相同的。^注60

然后，他讓薩爾維阿蒂在對話中說：^注61

你們所說的似乎是非常可能的，但是我希望進一步通過實驗增大它的可能性，使它幾乎相當于絕對的證明。假定這張紙是一堵垂直的墻，在釘進墻的釘子上用一根長四五英尺的非常細的線AB懸掛一個重兩三盎司的鉛球（圖3）。在墻上畫垂直于垂線AB的水平線DC，垂線AB應當掛在距墻約兩英寸的地方。現在，如果拴著球的線AB占用AC的位置，然后松開球，你們將看到球首先向下通過弧CB，然后越過B點，通過弧BD幾乎上升到線CD的水平，空氣和線的阻力妨礙它精確達到該水平。由此我們可以確實地斷定，它下降劃過弧CB獲得的、在B點的沖力，足以推它通過類同的弧BD而到達相同的高度。做這個實驗并且重復幾次之后，讓我們在墻上朝垂線AB的射影，比方說在E或F，釘一個五六英寸長的釘子，于是線AC像以前一樣帶著球劃過弧CB，在它到位置AB時將碰到釘子E，球將因此被迫沿著以E為中心劃出的弧BG向上運動。接著，我們會看到，此刻與之前在同一點B獲得的相同的沖力在這里做什么事情，它接著驅動同一運動物體通過弧BD到達水平線CD的高度。這樣一來，先生們，你們會高興地看到，球在點G上升到水平線；而且，如果把釘子釘得較低一些，比如在F，也會發生相同的事情：在這種情況下，球會劃出弧BJ，總是將它的上升精確地終止在線CD。如果把釘子釘得低到它下面線的長度夠不到CD的高度（要是F更靠近B點而不是AB與水平線CD的交點，將會發生這種情況），那么線會圍著釘子自我卷繞。對于該假定的真理性，這個實驗沒有留下懷疑的余地。由于兩個弧CB、DB相等并且處境相似，在弧CB下降中獲得的動量與在弧DB下降中獲得的動量相同；但是，通過弧CB下落、在B點上所獲得的動量，可以驅使相同的運動物體向上通過弧BD；因此，在下降DB中獲得的動量也等于驅動相同的運動物體通過從B到D同一弧的動量，以至于一般說來，在弧下降中所獲得的每個動量，等于促使相同運動的物體通過相同的弧上升獲得的動量；但是，促使所有弧BD、BG、BJ上升的全部動量都是相等的，因為它們都是在下降CB獲取的同一個動量造成的，正如實驗顯示的那樣：因此在弧DB、GB、JB下降中獲得的全部動量都是相等的。

圖3

可以把這段與鐘擺相關的議論應用到斜面中，并導致慣性定律。我們在第124頁^注62讀到：

現在很明白，在A從靜止開始并沿斜面AB下降的可運動的物體，獲取的速度與它的時間的增量成比例：在B擁有的速度是所獲取的速度中最大的；而且，倘若消除新的加速或減速——我說加速是考慮它沿著延伸的平面進一步行進的可能，減速是考慮使它倒退并爬升平面BC的可能性——的所有原因，它將按其本性被永遠不變地傳送。但是，在水平面GH上，它的平穩運動按照它從A下降到B獲得的速度，將會無限地持續下去。（圖4）

圖4

繼承了伽利略衣缽^注63的惠更斯，形成更加鮮明的慣性定律的概念，并推廣在伽利略手中富有成效的關于上升高度的原理。他在解決振蕩中心問題時運用伽利略的原理，而且極其清楚地陳述道，關于上升高度的原理與排斥永恒運動原理是等價的。

接著，出現以下重要的段落（Hugenii, Horologium oscillatorium, pars secunda）（惠更斯，《時鐘振蕩》第二部分）。假設：

假如不存在引力，大氣也不阻礙物體運動，那么物體將以平穩的速度在直線上永遠保持曾經施加給它的運動。^注64[參見注釋1]

在《時鐘振蕩中心》（Horologium de centro oscillationis）的第四部分，我們讀到：

如果任何數目的重物由于引力開始運動，重物共同的引力中心總體上不可能上升得比它開始運動時占據的位置更高。

鑒于我們的這個假設不可能引起顧慮，我們將申明，它僅僅意味著，從來也沒人否定重物不向上運動。確實，如果做這樣的無謂嘗試以建造永恒運動的新機器的設計者熟悉這個原理，那么他們能夠很容易讓自己發現錯誤，并理解這種事情用力學手段是絕對不可能完成的。^注65

這里可能有耶穌會的心理存留，它們包含在“力學手段”這個詞語中。由該詞語可能導致人們相信，惠更斯認為非力學的永恒運動是可能的。

在同一章的命題Ⅳ中，甚至更加清晰地提出了對伽利略原理的概括：

如果由幾個重物組成的擺從靜止開始運動，完成它的完全振蕩的任何一部分，并且從那一點向前，單個重物隨著它們共同關聯被解除而改變它們獲得的向上速度，盡其所能升高，那么所有重物共同的引力中心將被運送的高度與它在振蕩開始前占據的高度相同。^注66

最后的這個原理是把伽利略關于單個質量的觀念應用到質量系統（參見注釋2）的概括，我們從惠更斯的說明辨認出它排斥永恒運動原理；惠更斯此時正是基于它建立他的振蕩中心理論的。拉格朗日表示，這個原理的特征是根據不足；而讓他感到欣喜的是，詹姆斯·伯努利（James Bernoulli）在1681年成功地嘗試把振蕩中心理論還原為在他看來更清楚的杠桿定律。17世紀和18世紀的所有偉大的探究者就這個問題展開交鋒，它最終與虛速度原理共同導致達朗伯1743年在他的《動力學論文》中闡明的原理，盡管以前歐拉和赫爾曼以略微不同的形式使用過這一原理。

進而，關于上升高度的惠更斯原理成為“活力守恒定律”的基礎，這個定律由約翰·伯努利和達尼埃爾·伯努利（Daniel Bernoulli）闡明，并且被后者那樣非凡地運用在他的《流體動力學》中。伯努利定理和拉格朗日在《分析力學》中的表達只是在形式上不同。

托里拆利（Torricelli）取得他的著名的液體射流定律的方式，再次得出我們的原理。托里拆利設想，從容器底部孔口流出的液體，不會由于它的射流的速度而上升到比它在容器里的水平更高的高度。

接下來，讓我們考慮屬于純粹力學的一個要點，即虛運動或虛速度原理的歷史。像通常所述的那樣，并且拉格朗日也如此斷言，這個原理并不是由伽利略首次闡述，而是更早一些由斯蒂文闡明的。在上面引用的他的著作《絞盤靜力學》第72頁，他說：

觀察到這個靜力學公理在此處有效：

由于作用物體的空間等同于被作用物體的空間，因此被作用物體的動力等同于作用物體的動力。^注67

我們知道，伽利略在對簡單機械的思考中認識到這個原理的真理，也從它推導出液體平衡定律。

托里拆利使該原理返回到引力中心的性質。在動力和負載由重物表示的簡單機械中，控制平衡的條件就是重物共同的引力中心不降低。反過來，如果引力中心不能降低，即可得到平衡，因為沉重的物體不會自動向上運動。在這種形式下，虛速度原理等價于惠更斯的永恒運動不可能性原理。

1717年，約翰·伯努利（John Bernoulli）首次察覺虛位移原理對所有系統的普遍含義，他在給瓦里尼翁（Varignon）的信中陳述了這一發現。最后，拉格朗日對這個原理給出一般的證明，并把他的整個《分析力學》奠基于其上。不過，這個一般證明畢竟是以惠更斯和托里拆利的評論為基礎的。如同我們了解的那樣，拉格朗日設想在整個系統的力的方向安置簡單的滑輪，讓繩子穿過這些滑輪，并且在它松開的末端懸掛一個重物，這個重物是該系統的所有力的共同量度。現在，可以毫無困難地選擇每個滑輪組件的數目，以便將用它們代替所述的力。于是很清楚，如果末端的重物不能下沉，就可維持平衡，因為重物不會自動地向上運動。如果我們沒有走得那么遠，而是希望信守托里拆利的觀念，我們也許會設想，一個特殊重物代替該系統的每一個單個力，這個重物在力的方向懸掛在穿過滑輪的繩子上，并且連接在它的實施之處。于是，當所有重物共同引力中心不能一起下降時，即可維持平衡。顯然，這個論證的基本假定是永恒運動的不可能性。

拉格朗日千方百計地提供沒有非相關要素的和充分滿意的證明，可是沒有完全成功。他的后繼者并非更加幸運。

就這樣，整個力學建立在一種觀念的基礎上，該觀念雖然不含糊，但卻是非慣常的，而且與其他力學原理和公理不對等。每位力學學生在他進展的某一階段，都對這種事態感到不自在；每一個人都希望消除它；可是，卻難得用語言陳述這個困難。因此，當熱情的科學學生在像普安索（Poinsot）這樣的大師的著作（《系統平衡和位移的一般理論》）中讀到下述段落時，他極其歡欣鼓舞；這位作者在其中正在提出他對《分析力學》的看法：

其間，考慮到那部著作對力學的漂亮的展開，即力學似乎從單個公式完美地涌現，我們的注意力首次被完全吸引住了，為此我們自然相信，科學被完成了，或者它僅僅留下尋求虛速度原理的證明。然而，這一探索又使我們借助原理本身克服的困難卷土重來。經過審查，那個如此普遍的定律反而變得晦澀費解，由于其中混合了模糊而陌生的無限小位移和平衡微擾觀念；而且，鑒于拉格朗日的工作也沒有提供比分析進展更清晰的東西，我們清楚地看到，陰云好像只是從力學的進程中升起，因為可以這么說，陰云恰恰聚集在那門科學的源頭。

本質上，虛速度原理的一般證明等價于把整個力學建立在不同的基礎上：因為對包括整個科學的定律的證明與把那門科學還原為另一個定律毫無二致；但是，該定律與第一個定律相比，恰好一樣普遍，但卻清楚明白，或者至少比較簡單，從而它使第一個定律變得毫無用處。^注68

因此，按照普安索的觀點，虛位移原理的證明相當于力學的全部更新。

對于數學家而言，另一個令人不安的情況是，在力學目前以其存在的歷史形式中，把動力學建立在靜力學的基礎上，而值得向往的是，在自稱演繹完備的科學中，比較特殊的靜力學定理能夠從更普遍的動力學原理中演繹出來。

事實上，偉大的大師高斯（Gauss）在他對最小約束原理的描述（Crelle’s Journal für reine und angewandte Mathematik（《純粹數學和應用數學雜志》），Vol IV, p. 233.）中，用下述話語表達了這個愿望：“按照實際情況來說，恰當的做法是，在科學的逐漸發展中，在對個人的教育中，容易的應該位于困難的之前，簡單的應該位于復雜的之前，特殊的應該位于普遍的之前；可是，當心智一旦得出更高級的觀點時，它就需要相反的過程，在這個過程中全部靜力學看起來僅僅是力學的一個特例。”現在，高斯自己的原理擁有普遍性的一切必要條件，但是它的困難在于，它不是直接可理解的，而且高斯是借助達朗伯的原理推導它的，這是一個把問題留在它們以前所在之處的步驟。

那么，虛運動原理在力學中發揮的奇異作用源自何處呢？目前，我只能做出這樣的回答。當我首次作為學生接受它時，當我做過歷史研究后繼續采納它時，在我看來很難講述，拉格朗日關于該原理的證明對我造成的印象有何差異。依我之見，它首先顯得枯燥乏味，主要是由于不適合數學觀點的滑輪和繩子；而且，我更愿意從該原理本身發現它的作用，而不是把它看做理所當然的。剛才，我研究了科學史，我無法想象一種更加出色的證明。

事實上，正是這同一個排斥永恒運動原理遍及整個力學，幾乎完成一切，這令拉格朗日不悅，然而他仍然不得不使用它，至少心照不宣地在他自己的證明中使用它。如果我們給出這個原理適當的地位和背景，那么悖論很容易解釋。

讓我們考慮物理學的另一個部門即熱學理論。

S.卡諾（S. Carnot）在他的《關于火機車動力的思考》（Réflexxions sur la puissance motrice du feu）^注69建立了下述定理：無論何時借助熱做功，熱的某一量從較熱的物體轉移到較冷的物體（假定在作用物體的狀態中的永久改變不發生）。熱的傳遞對應于功的完成。反過來，利用所得到的相同量的功，人們能夠再次使熱從較冷的物體傳遞到較熱的物體。現在，卡諾發現，就做一定的功而言，從溫度t流到溫度t₁的熱量不能夠取決于上述物體的化學性質，而僅僅依賴于這些溫度。要不是這樣的話，便能夠想象不斷地從無產生功的物體的組合。于是，在這里，重要的發現建立在排斥永恒運動的原理之上。毫無疑問，這是該定理的第一個超力學的應用。

卡諾認為，熱量是不變的。現在，克勞修斯（Clausius）發現，伴隨功的完成，熱不僅僅從t流到t₁，它的一部分失去了，這部分總是與所做的功成比例。通過繼續應用排斥永恒運動原理，他找到

把特殊的權重放在熱隨做功而消失和熱隨機械功消耗而形成上——這個過程通過J. R.邁爾、亥姆霍茲（Helmholtz）和W.湯姆孫（W.Thomson）的考慮以及拉姆福德（Rumford）、焦耳（Joule）、法夫爾（Favre）、希爾伯曼（Silbermann）和許多其他人的實驗得以確認。由此得出結論，如果熱能夠轉變為機械功，那么熱就在于機械過程——在于運動。作為一個結果，這個像野火一樣傳播到整個有教養的世界的結論具有大批關于這個課題的文獻，現在人們處處熱切地專注于借助運動說明熱；他們確定分子的速度、平均距離和路程，人們說，幾乎不存在一個不能借助足夠冗長的計算和不同的假設用這一方式完備解決的問題。無須驚奇，在這一切喧嚷聲中，一種最顯著的聲音，即熱的力學理論的偉大奠基者J. R.邁爾的聲音卻未被聽到：

正如我們從下落的趨勢和運動的關聯中不能得出這種趨勢的本質是運動一樣，我們也不能如此得出這個結論對于熱也成立。寧可說，我們可以得出相反的結論：為了變成熱，運動——不管是像光或輻射熱那樣的簡單運動還是振動——必須不再是運動。^注70

我們以后將看到，熱隨著做功消失的原因是什么。

排斥永恒運動定理的第二個超力學的應用，是諾伊曼（Neumann）針對電感應定律的分析基礎完成的。這也許是這種類型的最有才能的工作。

最后，亥姆霍茲^注71嘗試把功守恒定律貫徹到整個物理學，并從這個出發點向前，這個定律對于科學范圍的應用不可勝數。

亥姆霍茲以兩種方式貫徹該原理。他說過，我們能夠從這個基本定理提出功不能從無創生，從而能夠把物理現象關聯起來；或者，我們能夠認為物理過程是僅僅由中心力，從而由具有勢的力產生的分子過程。關于后一過程，力學的功守恒定律在拉格朗日的形式中當然有效。

至于第一個思想，我們必須認為，它作為卡諾、邁爾和諾伊曼在力學之外應用該原理的嘗試的概括，是一個重要的思想。只是我們必須同亥姆霍茲贊同的觀點作斗爭，即該原理起初是通過力學的發展而逐漸被接受的。事實上，它比整個力學還要古老。

現在，這種觀點似乎是引起第二種處理方式的主導動機，正像我希望表明的，許多人能夠被驅策反對它。

無論如何，情況可能是，物理現象能夠還原為分子的運動和平衡過程的觀點如此普遍地傳播開來，以至于現在本人只能聽任人們體驗，本人正在小心謹慎地、冒著激起下述看法的風險反對它：這種看法不是最新的，沒有把握現代文化的趨勢。

為了說明這一點，我將引用馮特（Wundt）^注721866年關于物理公理的小冊子中的一段，因為馮特是現代自然科學趨勢的代表，他的思維方式恐怕是大多數自然科學研究者的思維方式。馮特提出下述公理：

1．自然界中的所有原因都是運動的原因。

2．每一個運動的原因處于運動物體的外部。

3．所有運動的原因在聯結的直線方向起作用，等等。

4．每一個原因的結果持續下去。

5．相等的反結果對應于每一個結果。

6．每一個結果等價于它的原因。

于是，毫無疑問，在這里把所有現象都看做是力學事件之和。而且，就我所知，沒有引起對馮特觀點的反對。現在，就馮特的工作與力學有關而言，尤其是就什么涉及公理的推論而言，不管它可能多么有價值，不管它在前者中與我多年持有的思想多么一致，我只能認為他的定理是力學的定理，而不是物理學的定理。我以后將返回這個問題。

這樣一來，我們在這個諸多世紀的歷史概述中看到，我們的功守恒原理作為研究工具起了巨大的作用。第二個排斥永恒運動定理總是導致力學真理的發現，后來總是導致其他物理學真理的發現，也能夠認為它是第一個定理的歷史基礎。另一方面，把整個物理學視為力學、使第一個定理成為第二個定理的基礎或把第一個定理延伸到第二個定理的嘗試，不容許被誤解。現在，這個循環是要不得的，并激起人們的猜疑。它急迫地要求研究。

首先，很清楚，排斥永恒運動原理不能建立在力學的基礎上，由于在力學大廈矗立之前好久就感覺到它的正確性。該原理必定具有另外的基礎。在比較仔細地考慮物理學的力學概念（mechanical conception of physics）時，如果我們發現，后者遭受懷疑的預期和片面性的話，而兩種指責中的無論哪一個都不能提出反對我們的原理，那么這個觀點現在便受到支持。于是，我們首先將審查力學自然觀（the mechanical view of nature），以便證明所說的原理是獨立于它的。