1.3 點、直線、平面的投影

1.3.1 點的投影

1．點的投影規(guī)律

1）投影的形成

如圖1.54（a）所示，在三面投影體系中，有一個空間點A，由A分別向3個投影面V、H和W作射線（垂線），交得的3個垂足a′、a、a″即空間點A點的三面投影?？臻g點用大寫字母表示，如A、B、C…H面投影用相應的小寫字母表示，如a、b、c…, V面投影用相應的小寫字母加一撇表示，如a′、b′、c′…, W面投影用相應的小寫字母加兩撇表示，如a″、b″、c″…

如圖1.54（b）、（c）所示，按投影體系的展開方法，將3個投影面展平在一個平面上并去掉邊框線后，即得到點的三面投影圖。在投影圖中，點用小圓圈表示。

2）投影規(guī)律

（1）垂直規(guī)律。點在相應兩投影面上的投影之連線垂直于相應的投影軸。即點的V面投影和H面投影的連線垂直于OX軸（a′a⊥OX）；點的V面投影和W面投影的連線垂直于OZ軸（a′a″⊥OZ）。其證明如下。

如圖1.54（a）所示，由投射線Aa′、Aa所構(gòu)成的投射平面P（Aa′axa）與OX軸相交于ax點，因P⊥V、P⊥H，即P、V、H 3面互相垂直，由立體幾何可知，此3平面的交線必互相垂直，即a′ax⊥OX, axa⊥OX, a′ax⊥axa，故P面為矩形。

當H面旋轉(zhuǎn)至與V面重合時，ax不動，且axa⊥OX的關(guān)系不變，所以a′、ax、a 3點共線，即a′a⊥OX軸。同理亦可證得a′a″⊥OZ軸。

（2）等距規(guī)律。空間點的投影到相應的投影軸的距離反映該點到相應的投影面的距離。如圖1.54（a）所示，即

Aa=a′ax=a″ay，反映A點至H面的距離。

Aa′=aax=a″az，反映A點至V面的距離。

Aa″=a′az=aay，反映A點至W面的距離。

特別提示

點的三面投影的實質(zhì)仍然是：長對正，寬相等，高平齊。

根據(jù)上述投影規(guī)律，只要已知點的任意兩面投影，即可求其第三面投影。為了能更直接地看到a和a″之間的關(guān)系，經(jīng)常用以O為圓心的圓弧將aYH和aYW聯(lián)系起來，如圖1.54（b）所示，也可以自O點作45°的輔助線來實現(xiàn)a和a″的聯(lián)系。

【例1-1】 已知一點A的V、W面投影a′、a″，求a，如圖1.55所示。

解題步驟如下。

（1）按第一條規(guī)律，過a′作垂線并與OX軸交于ax點。

（2）按第二條規(guī)律在所作垂線上量取aax=a″az得a點，即為所求。作圖時，也可以借助于過O點作45°斜線OaO，因為OaYHaOaYW是正方形，所以OAYH=OaYW。

3）各種位置點的投影

點的位置有在空間、在投影面上、在投影軸上及在原點上4種情況，各種情況有不同的投影特征。

在空間的點，點的3個投影都在相應的投影面上，不可能在軸及原點上，如圖1.54所示。

在投影面上的點，一個投影與空間點重合，另兩個投影在相應的投影軸上。它們的投影仍完全符合上述兩條基本投影規(guī)律。如圖1.56所示，A點在V面上，B在H面上，C點在W面上。

在投影軸上的點，兩個投影與空間點重合，另一個投影在原點上。如圖1.57所示，A點在OX軸上，B點在OZ軸上，C點在OY軸上。

在原點上的點，點的3個投影與空間點都重合在原點上。

2．點的坐標

如果將三投影面體系當作直角坐標系，則各投影面就是坐標面，各投影軸就是坐標軸，點到3個投影面的距離就是相應的坐標數(shù)值，如圖1.54（a）所示。

A點到W面的距離為其X坐標，即Aa″=aaY=a′aZ=X。

A點到V面的距離為其Y坐標，即Aa′=aaX=a″aZ=Y。

A點到H面的距離為其Z坐標，即Aa=a′aX=a″aY=Z。

則點在空間的位置可用坐標確定，如空間A點的坐標可表示為：A（X, Y, Z）；而點的每個投影只反映兩個坐標，其投影與坐標的關(guān)系如下。

（1）A點的H面投影a可反映該點的x和y坐標。

（2）A點的V面投影a′可反映該點的x和z坐標。

（3）A點的W面投影a″可反映該點的y和z坐標。

因此如果已知一點A的三投影a、a′和a″，就可從圖中量出該點的3個坐標；反之，如果已知A點的3個坐標，就能作出該點的三面投影?？臻g點的任意兩個投影都具備了3個坐標，所以給出一個點的兩面投影即可求得第三面投影。

【例1-2】 已知A（4, 6, 5），求作A點的三面投影，如圖1.58所示。

解題步驟如下。

（1）作出3個投影軸及原點O，在OX軸上自O點向左量取4個單位，得到ax點如圖1.58（a）所示。

（2）過ax點作OX軸的垂線，由ax向上量取Z=5個單位，得v面投影a′，再向下量取y=6個單位，得H面投影a如圖1.58（b）所示。

（3）過a′作線平行于OX軸并與OZ軸相交于az，量取aza″=y=axa，得W面投影a″, a、a′、a″即如圖1.58（c）所示。

3．點的相對位置

1）兩點的相對位置

空間每個點具有前、后、左、右、上、下6個方位?？臻g兩點的相對位置是以其中某一點為基準來判斷另一點在該點的前、后、左、右、上、下的位置，這可用點的坐標值的大小或兩點的坐標差來判定。具體地說就是：x坐標大者在左邊，x坐標小者在右邊；y坐標大者在前邊，y坐標小者在后邊；z坐標大者在上邊，z坐標小者在下邊。

如圖1.59所示，如以A點為基準，由于xB＞xA, yB＞yA, zB＜zA，所以B點在A點的左、前、下方。

特別提示

雖然在三投影面展開的過程中，Y軸被一分為二：一次是隨H面旋轉(zhuǎn)至Z軸下方（標以YH）；另一次隨W面轉(zhuǎn)至X軸右方（標以YW），但不論是YH還是YW都始終指向前方。

2）重影點及投影的可見性

當空間兩點位于某一投影面的同一投射線上時，此兩點在該投影面上的投影重合，此兩點稱為對該投影面的重影點。

如圖1.60（a）所示，A、B兩點位于垂直H面的同一投射線上，A點在B點的正上方，B點在A點的正下方，a、b兩投影重合，為對H面的重影點，但其他兩同面投影不重合。至于a、b兩點的可見性，可從V面投影（或W面投影）進行判斷；因為a′高于b′（或a″高于b″），所以a為可見，b為不可見。此外，判別重影點的可見性時，也可以比較兩點的不重影的同面投影的坐標值，坐標值大的點可見，坐標值小的點的投影被遮擋而不可見。為區(qū)別起見，凡不可見的投影其字母寫在后面，并加括號表示。

同理如圖1.60（b）所示，C點在D點的正前方，位于V面的同一投射線上，c′、d′兩投影重合，為對V面的重影點，c′可見，d′不可見。

如圖1.60（c）所示，E點在F點的正左方，位于W面的同一投射線上，e″、f″兩投影重合，為對W面的重影點，e″可見，f″不可見。

1.3.2 直線的投影

1．直線的投影規(guī)律

1）直線投影的形成

兩點確定一條直線，因此要作直線的投影，只需畫出直線上任意兩點的投影，連接其同面投影即為直線的投影。對直線段而言，一般用線段的兩個端點的投影來確定直線的投影。如圖1.61所示直線段AB的三面投影。

2）直線的投影規(guī)律

一般情況下，直線的投影仍為直線；但當直線垂直于投影面時，其投影積聚為一個點。

3）直線對投影面的傾角

直線與投影面的夾角（即直線和它在某一投影面上的投影間的夾角）稱為直線對該投影面的傾角。

直線對H面的傾角為α角，α角的大小等于AB與ab的夾角；直線對V面的傾角為β角，β角的大小等于AB與a′b′的夾角；直線對W面的傾角為γ角，γ角的大小等于AB與a″b″的夾角，如圖1.62所示。

2．各種位置直線的投影

在三投影面體系中，根據(jù)直線對投影面的相對位置不同，直線可分為：一般位置直線和特殊位置直線；特殊位置直線有兩種，即投影面的平行線和投影面的垂直線。

1）一般位置直線

對3個投影面都傾斜（不平行也不垂直）的直線稱為一般位置直線，簡稱一般線，如圖1.61（a）所示。

一般位置直線的投影有如下特征。

（1）由圖1.62可知：ab=ABcosα, a′b′=ABcosβ, a″b″=ABcosγ，而對于一般位置直線而言，α、β、γ均不為零，即cosα、cosβ、cosγ均小于1，所以圖1.62一般位置直線的3個投影都小于實長。

（2）一般位置直線的三面投影都傾斜于各投影軸，且各投影與相應的投影軸所成夾角都不反映直線對各投影面的真實傾角，如圖1.61（b）所示。

2）投影面平行線

只平行于某一投影面而傾斜于另外兩個投影面的直線稱為投影面平行線。投影面平行線有以下3種情況。

（1）與V面平行，傾斜于H、W面的直線稱為正面平行線，簡稱正平線。

（2）與H面平行，傾斜于V、W面的直線稱為水平面平行線，簡稱水平線。

（3）與W面平行，傾斜于H、V面的直線稱為側(cè)面平行線，簡稱側(cè)平線。

如圖1.63（a）所示，現(xiàn)以正平線AB為例，討論其投影特征。

（1）因為AB∥V面，所以其V面投影反映實長，即a′b′=AB；且a′b′與OX軸的夾角反映直線對H面的真實傾角α; a′b′與OZ軸的夾角反映直線對W面的真實傾角γ。

（2）因為AB上各點到V面的距離都相等，所以ab∥OX軸；同理a″b″∥OZ軸。

如圖1.63所示，可歸納出投影面平行線的投影特征如下。

（1）直線在所平行的投影面上的投影反映實長，且該投影與相應投影軸所成夾角，反映直線對其他兩投影面的傾角。

（2）直線其他兩投影均小于實長，且平行于相應的投影軸。

【例1-3】 已知水平線AB的長度為15mm, β=30°, A的兩面投影為a、a′，試求AB的三面投影，如圖1.64所示。

解題步驟如下。

（1）過a作直線ab=15mm，并與OX軸成30°角。

（2）過a′作直線平行OX軸，與過b作的OX軸的垂線相交于b′。

（3）根據(jù)ab和a′b′作出a″b″。

（4）根據(jù)已知條件，B點可以在A點的前、后、左、右4種位置，本題有4種答案。

3）投影面垂直線

垂直于一個投影面的直線稱為投影面垂直線；垂直于一個投影面必平行于另兩個投影面，所以投影面垂直線有以下3種情況。

（1）垂直于H面的投影面垂直線稱為水平面垂直線，簡稱鉛垂線。

（2）垂直于V面的投影面垂直線稱為正面垂直線，簡稱正垂線。

（3）垂直于W面的投影面垂直線稱為側(cè)面垂直線，簡稱側(cè)垂線。

如圖1.65（a）所示，現(xiàn)以鉛垂線AB為例，討論其投影特征。

（1）AB⊥H面，所以其H面投影ab積聚為一點。

（2）AB∥V、W面，其V、W面投影反映實長，即a′b′=a″b″=AB。

（3）a′b′⊥OX軸，a″b″⊥OYW軸。

如圖1.65所示，可歸納出投影面垂直線的投影特征如下。

（1）投影面垂直線在所垂直的投影面上的投影積聚成一點。

（2）投影面垂直線其他兩投影與相應的投影軸垂直，并都反映實長。

【例1-4】 已知鉛垂線AB的長度為15mm, A的兩面投影為a、a′，并知B點在A點的正上方，試求AB的三面投影，如圖1.66所示。

解題步驟如下：

（1）過a′往正上方作直線并量取a′b′=15mm定出b′，并用粗實線連接a′、b′。

（2）根據(jù)ab和a′b′作出a″b″。

4）一般位置直線的實長和傾角

特殊位置直線（如投影面的垂直線和投影面的平行線）可由投影圖直接定出直線段的實長和對投影面的傾角。對于一般位置直線而言，其投影圖既不反映實長，也不反映傾角，要想求得一般位置線的實長和傾角，可以采用直角三角形法。

如圖1.67所示，在ABba所構(gòu)成的投射平面內(nèi)，延長BA和ba交于點C，則∠BCb就是AB直線對H面的傾角α。過B點作BA1∥ab，則∠ABA1=α且BA1=ab。所以只要在投影圖上作出直角三角形ABA1的實形，即可求出AB直線的實長和傾角α。

其中直角邊BA1=ab，即BA1為已知的H面投影；另一直角邊AA1是直線兩端點的z坐標差，即AA1=zA-zB，可從V面投影圖中量得，也是已知的，其斜邊BA即為實長。

其作圖步驟為：①過H面投影ab的任一端點a作直線垂直于ab; ②在所作垂線上截取aA0=zA-zB，得A0點；③連接直角三角形的斜邊bA0，即為所求的實長，∠abA0即為傾角α。

如圖1.68所示求作AB直線對V面的傾角β，即以直線的V面投影a′b′為一條直角邊，直線上兩端點的y坐標差為另一條直角邊，組成一個直角三角形，求出直線的實長和直線對V面的傾角β。同理，如圖1.69所示，如果求作AB直線對W面的傾角γ，即以直線的W面投影a″b″為一條直角邊，直線上兩端點的x坐標差為另一條直角邊，組成一個直角三角形，求出直線的實長和直線對W面的傾角γ。

綜上所述，這種利用直角三角形求一般位置直線的實長及傾角的方法稱為直角三角形法，其作圖步驟為：①以直線段的一個投影為一直角邊；②以直線段兩端點相對于該投影面的坐標差為另一直角邊的長度；③所構(gòu)成的直角三角形的斜邊即為直線段的空間實長；④斜邊與直線段該投影之間的夾角即為直線對該投影面的傾角。

特別提示

在直角三角形法中，涉及直線的實長、直線的一個投影、直線與該投影所在投影面的傾角及直線段、兩端點相對于該投影面的坐標差，另一投影兩端點的坐標差4個參數(shù)，只要已知其中的兩個，就可作出一個直角三角形，從而求得其余參數(shù)。

【例1-5】 已知直線AB的部分投影a′b′、a及AB的實長為20mm，求b，如圖1.70所示。

解題步驟如下。

（1）過a′b′的任一端點a′作a′b′的垂線，以b′為圓心，半徑R=20mm畫圓弧，與垂線相交于A0點，得直角三角形A0a′b′。

（2）過b′作OX軸的垂線，再過a作OX軸的平行線，兩直線相交于b0，在b′b0線上截取y坐標b0b1=a′A0，得b1點，邊ab1即為所求。

（3）如果截取b0b2=a′A0，連ab2也為所求，所以本題有兩種解。

【例1-6】 已知直線AB的部分投影ab、a′及α=30°, B點高于A點。求AB的實長及b′，如圖1.71所示。

解題步驟如下。

（1）過ab的任一端點a作ab的垂線，再過b引斜線bA0與ba成30°夾角，兩線相交于A0點，得一直角三角形，其中bA0之長即為AB的實長，aA0之長為A、B兩點的z坐標之差。

（2）過a′作OX軸的平行線，同時過b作OX軸的垂線，兩直線相交于B0。

（3）延長b′B0并在其上截取B0b′=aA0，得b′點，連接a′、b′即為所求。

3．直線上點的投影規(guī)律

如圖1.72所示，C點在直線AB上，則其投影c、c′、c″必在AB的相應投影ab、a′b′、a″b″上；且AC:CB=ac:cb=a′c′:c′b′=a″c″:c″b″。

由此可知，直線上的點除符合點的三面投影規(guī)律（垂直規(guī)律和等距規(guī)律）外，還具有如下的投影特征。

（1）從屬性。點在直線上，則點的各個投影必在直線的同面投影上。

（2）定比性。點分割直線段成定比，其投影也分割線段的投影成相同的比例。

【例1-7】 已知側(cè)平線AB的兩投影ab和a′b′，并知AB線上一點K的V面投影k′，求k，如圖1.73所示。

解題步驟如下。

作法一：用從屬性求作如圖1.73（b）所示。由ab和a′b′求作出a″b″，再求k″，即可作出k。

作法二：用定比性求作如圖1.73（c）所示。因為AK:KB=a′k′:k′b′=ak:kb，所以可在H面投影中過a點作任一輔助線aB0，并使它等于a′b′，再取aK0=a′k′。連接B0、b，過K0作K0k∥B0b交ab于k，即為所求。

【例1-8】 已知側(cè)平線CD及點M的V、H面投影，試判定M點是否在側(cè)平線CD上如圖1.74所示。

分析判斷點是否在直線上，一般只要觀察兩面投影即可，但對于特殊位置直線，如本題中的側(cè)平線CD，只考慮V、H兩面投影還不行，可作出W面投影來判定，或用定比性來判定。

解題步驟如下。

作法一：用從屬性來判定（如圖1.74（b）所示）。作出CD和M的W面投影，由作圖結(jié)果可知：m″在c″d″外面，因此M點不在直線CD上。

作法二：用定比性來判定（如圖1.74（c）所示）。在任一投影中，過c點任作一輔助線cD0，并在其上取cD0=c′d′, cM0=c′m′，連接d、D0和m、M0。因mM0不平行于dD0，說明M點不在直線CD上。

4．兩直線的相對位置

空間兩直線的相對位置分為3種情況：平行、相交和交叉。其中平行兩直線和相交兩直線稱為共面直線，交叉兩直線稱為異面直線如圖1.75所示。

1）兩直線平行

（1）投影特征。兩直線在空間互相平行，則其各同面投影互相平行且比值相等。

如圖1.76所示，如果AB∥CD，則ab∥cd, a′b′∥c′d′, a″b″∥c″d″且AB:CD=ab:cd=a′b′:c′d′=a″b″:c″d″。

（2）兩直線平行的判定。①若兩直線的各同面投影都互相平行且比值相等，則此兩直線在空間一定互相平行；②若兩直線為一般位置直線，則只要有兩組同面投影互相平行，即可判定兩直線在空間平行；③若兩直線為某一投影面的平行線，則要用兩直線在該投影面上的投影來判定其是否在空間平行。

如圖1.77（a）所示給出了兩條側(cè)面平行線CD和EF，它們的V、H面投影平行，但是還不能確定它們是否平行，必須求出它們的側(cè)面投影或通過判斷比值是否相等才能最后確定。如圖1.77（b）所示，作出的其側(cè)面投影c″d″和e″f″不平行，則CD和EF兩直線在空間不平行。

2）兩直線相交

（1）投影特征。相交兩直線，其各同面投影必相交，且交點符合點的投影規(guī)律，即各投影交點的連線必垂直于相應的投影軸。

如圖1.78所示，AB和CD為相交兩直線，其交點K為兩直線的共有點，它既是AB上的一點，又是CD上的一點。由于線上的一點的投影必在該直線的同面投影上，因此K點的H面投影k既在ab上，又應在cd上。這樣k必然是ab和cd的交點；k′必然是a′b′和c′d′的交點；k″必然是a″b″和c″d″有交點。

（2）兩直線相交的判定。①若兩直線的各同面投影都相交且交點符合點的投影規(guī)律，則此兩直線為相交直線；②對兩一般位置直線而言，只要根據(jù)任意兩組同面投影即可判斷兩直線在空間是否相交；③當兩直線之一與投影面平行線時，則要看該直線在所平行的那個投影面上的投影是否滿足相交的條件；也可以通過用定比性判斷交點是否符合點的投影規(guī)律來驗證兩直線是否相交。

如圖1.79所示，兩直線AB和CD的投影a″b″和c″d″的交點與a′b′和c′d′的交點不符合點的投影規(guī)律，所以可以判定AB和CD不相交。

3）兩直線交叉

（1）投影特征。兩直線在空間既不平行也不相交兩直線稱為交叉。其投影特征是，各面投影既不符合平行兩直線的投影特征，也不符合相交直線的投影特征。

（2）兩直線交叉的判定。若兩直線的同面投影不同時平行，或同面投影雖相交但交點連線不垂直于投影軸，則該兩直線必交叉。它們的投影可能有1對或2對同面投影互相平行，但絕不可能3對同面投影都互相平行。交叉兩直線也可表現(xiàn)為1對、2對或3對同面投影相交，但其交點的連線不可能符合點的投影規(guī)律。

（3）交叉直線重影點可見性的判別。兩直線交叉，其同面投影的交點為該投影面重影點的投影，可根據(jù)其他投影判別其可見性。

如圖1.80所示，AB和CD是兩交叉直線，其三面投影都相交，但其交點不符合點的投影規(guī)律，即ab和cd的交點不是一個點的投影，而是AB上的M點和CD上的N點在H面上的重影點，M點在上，m可見，N點在下，n為不可見。同樣，對于a′b′和c′d′的交點，CD的上E點和AB上的F點在V面上的重影點，E點在前，e′為可見，F點在后，f′為不可見。W面投影a′b′和c′d′的交點也是重影點。

4）直角投影

若兩直線相交（或交叉）成直角，且其中有一條直線與某一投影面平行，則此直角僅在該投影面上的投影仍反映為直角，這一性質(zhì)稱為直角定理。反之，若相交或交叉兩直線的某一同面投影成直角，且有一條直線是該投影面的平行線，則此兩直線在空間的交角必是直角。

（1）相交垂直。已知如圖1.81所示，∠ABC=90°, BC∥H面，求證∠abc=90°。

證明：∵BC⊥AB, BC⊥Bb; BC⊥平面AabB；又bc∥BC

∴bc⊥平面AabB

因此，bc垂直平面AabB上的一切直線，即bc⊥ab, ∠abc=90°。

（2）交叉直線。已知如圖1.82所示，MN與BC交叉成直角，BC∥H面，求證mn⊥bc。

證明：過BC上任一點B作BA∥MN，則AB⊥BC。根據(jù)上述證明已知bc⊥ab，現(xiàn)AB∥MN，故ab∥mn。

∴bc⊥mn。

【例1-9】 求點A到正平線BC的距離如圖1.83所示。

分析：求點到直線的距離，應過該點向該直線引垂線，然后求出點到垂足的距離。

解題步驟如下。

根據(jù)直角投影定理，其作圖步驟如下。

（1）由a′向b′c′作垂線，得垂足k′。

（2）過k′向下引投影連細線，在bc上得k。

（3）連接ak即為所求垂線的H面投影。

（4）因AK是一般位置直線，故要用直角三角形法求其實長；AK時長即為點A到BC的距離。

【例1-10】 已知菱形ABCD的對角線BD的兩面投影和另一對角線AC的一個端點A的水平投影a，求作該菱形的兩面投影，如圖1.84所示。

分析：根據(jù)菱形的對角線互相垂直且平分，兩組對邊分別互相平行的幾何性質(zhì)；利用直角投影原理，平行兩直線的投影特征，即可作出其投影圖。

解題步驟如下。

（1）過a和bd的中點m作對角線AC的水平投影ac，并使am=mc。

（2）由m可得m′，再過m′作b′d′的垂直平分線，由a得出a′，由c得出c′，則a′m′=m′c′即為對角線AC的正面投影。

（3）連接各頂點的同面投影，即為菱形的投影圖。

1.3.3 平面的投影

1．平面的表示法

平面的表示方法有兩種：一種是用幾何元素表示平面；另一種是用跡線表示平面。

1）幾何元素表示法

由幾何學知識可知，以下任一組幾何元素都可以確定一個平面，如圖1.85所示。

（1）不在同一直線上的3點，如圖1.85（a）所示。

（2）一直線和直線外一點，如圖1.85（b）所示。

（3）相交兩直線，如圖1.85（c）所示。

（4）平行兩直線，如圖1.85（d）所示。

（5）任意平面圖形，即平面的有限部分，如三角形、圓形和其他封閉平面圖形，如圖1.85（e）所示。

2）跡線表示法

平面除上述5組表示法外，還可以用跡線表示。跡線就是平面與投影面的交線。如圖1.86所示空間平面Q與H、V、W 3個投影面相交，交線分別為QH（水平跡線）、QV（正面跡線）、QW（側(cè)面跡線）。跡線與投影軸的交點稱集合點，分另以QX、QY和QZ表示。

2．各種位置平面的投影

在三投影面體系中，根據(jù)平面對投影面的相對位置，平面可分為：一般位置平面和特殊位置平面；特殊位置平面有兩種，即投影面平行面和投影面垂直面。

1）投影面平行面的投影

平行于某一投影面，與另兩個投影面都垂直的平面稱為投影面平行面，簡稱平行面。如圖1.87所示，投影面平行面有3種情況。

（1）平行于H面的稱為水平面平行面，簡稱水平面。

（2）平行于V面的稱為正面平行面，簡稱正平面。

（3）平行于W面的稱為側(cè)面平行面，簡稱側(cè)平面。

投影面平行面的投影特征為：平面在所平行的投影面上的投影反映實形，其他兩個投影都積聚成與相應投影軸平行的直線。

2）投影面垂直面的投影

垂直于一個投影面，與另兩個投影面都傾斜的平面稱為投影面垂直面，簡稱垂直面。如圖1.88所示，投影面垂直面有3種情況。

（1）垂直于H面的稱為水平面垂直面，簡稱鉛垂面。

（2）垂直于V面的稱為正面垂直面，簡稱正垂面。

（3）垂直于W面的稱為側(cè)面垂直面，簡稱側(cè)垂面。

投影面垂直面的投影特征為：平面在所垂直的投影面上的投影積聚成一直線，且它與相應投影軸所成的夾角即為該平面對其他兩個投影面的傾角；另外兩個投影為平面的類似圖形且小于平面實形。

【例1-11】 過已知點K的兩面投影k′、k，作一鉛垂面，使它與V面的傾角β=30°，如圖1.89所示。

解題步驟如下。

（1）過k點作一條與OX軸成30°的直線，這條直線就是所作鉛垂面的H面投影。

（2）作平面的V面投影時可以用任意平面圖形表示，例如△a′b′c′。

（3）過k可以作兩個方向與OX軸成30°角的直線，所以本題有兩解。

3）一般位置平面的投影

與3個投影面都傾斜（既不平行也不垂直）的平面稱為一般位置平面，簡稱一般面。如圖1.90所示平面ABC即為一個一般位置平面。

一般位置平面的投影特征：3個投影都沒有積聚性，均為小于實形的類似形。

平面與投影面的夾角，稱為平面的傾角；平面對投影面H、V和W面的傾角仍分別用α、β、γ表示。一般位置平面的傾角也不能由平面的投影直接反映出來。

3．平面內(nèi)的點和直線

1）點屬于平面的幾何條件

若一點位于平面內(nèi)的任一直線上，則該點位于平面上。換言之，若點的投影屬于平面內(nèi)某一直線的各同面投影，且符合點的投影規(guī)律，則點屬于平面。如圖1.91所示，點K位于平面△ABC內(nèi)的直線BD上，故K點位于△ABC上。

2）直線屬于平面的幾何條件

（1）若一條直線上有兩點位于一平面上，則該直線位于平面上。

如圖1.92所示，在平面H上的兩條直線AB和BC上各取一點D和E，則過該兩點的直線DE必在H面上。

（2）若一直線有一點位于平面上，且平行于該平面上的任一直線，則該直線位于平面上。

如圖1.92所示，過H面上的C點，作CF∥AB, AB是平面H內(nèi)的一條直線，則直線CF必在H面上。

3）平面上作點的方法

由點屬于平面的幾何條件可知，如果點在平面內(nèi)的任一直線上，則此點一定在該平面上。因此在平面上取點的方法是：先在平面上取一輔助線，然后再在輔助線上取點，這樣就能保證點屬于平面。在平面上可作出無數(shù)條線，一般選取作圖方便的輔助線為宜，如圖1.93所示。

【例1-12】 已知△ABC的兩面投影，及其上一點K的V面投影k′，求K點的H面投影k如圖1.93所示。

解題步驟如下：

（1）過k′在平面上作輔助線BE的V面投影b′e′，據(jù)此再作出be。

（2）因K點在BE上，k必在be上，從而求得k。

【例1-13】 已知△ABC和M點的V、H面投影，判別M點是否在平面上，如圖1.94所示。

分析：如果能在△ABC上作出一條通過M點的直線，則M點在該平面上，否則不在該平面上。

解題步驟如下。

（1）連接a′m′，交b′c′于d′點，求出d。

（2）因為m在ad上，則M點是在該平面上的點。

【例1-14】 已知四邊形ABCD的H面投影和其中兩邊的V面投影，完成四邊形的V面投影，如圖1.95所示。

分析：已知A、B、C3點決定一平面，而D點是該平面上的一點，已知D點的H面投影d，求其V面投影，也就是在平面上取點。

解題步驟如下。

（1）連接b、d和a、c交于點m。

（2）再連接a′、c′，根據(jù)m可在a′c′上作出m′。

（3）連接b′、m′，過d向OX軸作垂線，與b′m′的延長線相交于點d′。

（4）連接a′、d′和d′、c′，則a′b′c′d′即為四邊形的V面投影。

4）平面上的投影面平行線和最大坡度線

（1）平面上作直線的方法。由直線屬于平面的幾何條件可知，在平面上作直線的方法是：在平面內(nèi)取直線應先在平面內(nèi)取點，并保證直線通過平面上的兩個點，或過平面上的一個點且與另一條平面內(nèi)的直線平行。

如圖1.96所示，要在△ABC上任作一條直線MN，則可在此平面上的兩條直線AB和CB上各取點M（m, m′, m″）和（n, n′, n″），連接M和N的同面投影，則直線MN就是△ABC上的一條直線。

（2）平面上的投影面平行線。既在平面上，同時又平行于某一投影面的直線稱為平面上的投影面平行線。平面上的投影面平行線有3種：①平面上平行于H面的直線稱為平面上的水平線；②平面上平行于V面的直線稱為平面上的正平線；③平面上平行于W面的直線稱為平面上的側(cè)平線。

平面上的投影面平行線既在平面上，又具有投影面平行線的一切投影特征，并且在平面上可作出無數(shù)條水平線、正平線和側(cè)平線。

【例1-15】 求作平面△ABC上的水平線和正平線如圖1.97所示。

解題步驟如下。

（1）過a′作a′m′∥OX，交b′c′于m′，求出m。連接a、m，則AM（am, a′m′）即為平面上的水平線。

（2）過c作cn∥OX，交ab于n，求出n′。連接c′、n′，則CN（cn, c′n′）即為平面上的正平線。

（3）平面上的最大坡度線。

平面上對投影面傾角為最大的直線稱為平面上對投影面的最大坡度線，它必垂直于平面內(nèi)的該投影面的平行線。最大坡度線有3種：垂直于水平線的稱為對H面的最大坡度線；垂直于正平線的稱為對V面的最大坡度線；垂直于側(cè)平線的稱為對W面的最大坡度線。

如圖1.98所示，L是平面P內(nèi)的水平線，AB屬于P, AB⊥L（或AB⊥PH），則AB即是平面P內(nèi)對H面的最大坡度線，證明如下。

（1）過A點任作一直線AC，它對H面的傾角為α1。

（2）在直角△ABa中，sinα=Aa/AB；在直角△ACa中，sinα1=Aa/AC。又因為△ABC為直角三角形，AB＜AC，所以α＞α1。

（3）所以垂直于L的直線AB對H面的傾角為最

大，因此稱其為“最大坡度線”。

同理，平面上對V、W面的最大坡度線也分別垂直于平面上的正平線和側(cè)平線。由于AB⊥PH, aB⊥PH，則∠ABa =α，它是P、H面所成的二面角的平面角，所以平面P對H面的傾角就是最大坡度線AB對H面的傾角。

綜上所述，最大坡度線的投影特征是：平面內(nèi)對H面的最大坡度線的水平投影垂直于面內(nèi)水平線的水平投影，其傾角α代表了平面對H面的傾角；平面內(nèi)對V面的最大坡度線的正面投影垂直于面內(nèi)正平線的正面投影，其傾角β代表了平面對V面的傾角；平面內(nèi)對W面的最大坡度線的側(cè)面投影垂直于面內(nèi)側(cè)平線的側(cè)面投影，其傾角γ代表了平面對W面的傾角。

由此可知，求一個平面對某一投影面的傾角，可按以下3個步驟進行。

（1）先在平面上任作一條該投影面的平行線。

（2）利用直角定理，在該面上任作一條最大坡度線，垂直于所作的投影面平行線。

（3）利用直角三角形法，求出此最大坡度線對該投影面的傾角，即為平面的傾角。

【例1-16】 求△ABC對H面的傾角α，如圖1.99所示。

分析：要求△ABC對H面的傾角α，必須首先作出對H面的最大坡度線，再用直角三角形法求出最大坡度線對該投影面的傾角即可。

解題步驟如下。

（1）在△ABC上任作一水平線BG及其兩面投影b′g′、bg。

（2）根據(jù)直角投影規(guī)律，過a作bg的垂線ad，即為所求最大坡度線的H面投影，并求出其V面投影a′d′。

（3）用直角三角形法求AD對H面的傾角α，即為所求△ABC對H面的傾角α。