1.2 投影的基本知識

在繪制建筑工程結構物時，必須能夠完整而準確地畫出能表示工程結構物的形狀和大小的圖樣。繪制這種圖樣通常采用投影的原理和方法。本節著重介紹正投影法的基本原理和三面投影圖的形成及其基本規律。

1.2.1 投影的形成與分類

1．投影的概念

日常生活中，物體在光線（燈光和陽光）的照射下就會在地面或墻面上產生影子，這是常見的自然現象。當光線照射的角度或距離改變時，影子的位置、大小及形狀也隨之改變，由此看來，光線、物體和影子三者之間存在著一定的聯系。

如圖1.37（a）所示，橋臺模型在正上方的燈光照射下產生了影子，隨著光源、物體和投影面之間距離的變化，影子會發生相應的變化，這是光線從一點射出的情形。如果假想地將光源移到無窮遠處，即假設光線變為互相平行并垂直于地面，影子的大小就和基礎底板一樣大，如圖1.37（b）所示。

人們通過對這種現象進行科學的抽象，按照投影的方法，將形體的所有內外輪廓和內外表面交線全部表示出來，且依投影方向凡可見的輪廓線畫實線，不可見的輪廓線畫虛線。這樣，形體的影子就發展成為能滿足生產需要的投影圖，簡稱投影，如圖1.37（c）所示。這種投影的方法滿足用二維平面表示三維形體的要求，稱為投影法；我們將光線稱為投射線，將承受投影的平面稱為投影面。

2．投影的分類

按投射線的不同情況，投影可分為中心投影和平行投影兩大類。

1）中心投影

所有投射線都從一點（投影中心）引出的投影，稱為中心投影。如圖1.38所示，若投影中心為S，將投射線與投影面H的各交點相連，即得三角板的中心投影。

2）平行投影

所有投射線互相平行的投影則稱為平行投影。若投射線與投影面斜交，稱為斜角投影或斜投影，如圖1.39（a）所示；若投射線與投影面垂直，則稱為直角投影或正投影，如圖1.39（b）所示。

大多數的工程圖都是采用正投影法來繪制的。正投影法是本課程研究的主要內容，本書中凡未作特別說明的，都屬正投影。

3．工程上常用的投影圖

圖示工程結構物時，根據被表達對象的不同特征和實際需要，可采用不同的圖示方法。常用的圖示方法有正投影法、軸測投影法、透視投影法和標高投影法。

1）正投影法

正投影法是一種多面投影法，即將空間幾何體在兩個或兩個以上互相垂直的投影面上進行正投影，然后將這些帶有幾何體投影圖的投影面展開在一個平面上，從而得到幾何體的多面正投影圖，由這些投影便能完全確定該幾何體的空間位置和形狀。如圖1.40所示為臺階的三面正投影圖。

正投影圖的優點是作圖較簡便，而且采用正投影法時，常將幾何體的主要平面放置成與相應的投影面相互平行的位置，這樣畫出的投影圖能反映出這些平面的實形，因此，從圖上可以直接量得空間幾何體的較多尺寸，即正投影圖有良好的度量性，所以在工程上應用最廣，其缺點是無立體感，直觀性較差。

2）軸測投影

軸測投影采用單面投影圖方法，是平行投影之一，它是將物體按平行投影法投射至單一投影面上所得到的投影圖。如圖1.41所示臺階的正等測軸測圖。軸測投影的特點是在投影圖上可以同時反映出長、寬、高3個方向上的形狀，所以富有立體感，直觀性較好，但不能完整地表達物體的形狀，而且作圖復雜、度量性差，一般只作為工程上的輔助圖樣。

3）透視投影

透視投影法即中心投影法。如圖1.42所示橋臺的透視圖。由于透視圖和照相原理相似，符合人們的視覺，圖像接近于視覺映象，逼真、悅目、直觀性很強，常用為設計方案比較、展覽用的圖樣。但繪制較繁，且不能直接反映物體的真實大小，不便度量。

4）標高投影

標高投影是一種帶有數字標記的單面正投影，常用來表示不規則曲面。假定某一山峰被一系列水平面所截割，如圖1.43所示，用標有高程數字的截交線（等高線）來表示地面的起伏，這就是標高投影法，它具有一般正投影的優缺點。用這種方法表達地形所畫出的圖稱為地形圖，在工程中被廣泛采用。

圖1.43 山峰的標高投影

1.2.2 平行投影的特性

平行投影具有以下幾個特性。

1．真實性

平行于投影面的直線和平面，其投影反映實長和實形。

如圖1.44所示，直線AB平行于投影面H，其投影ab=AB，即反映AB的真實長度；平面ABCD∥H，其投影abcd反映ABCD的真實大小。

2．積聚性

垂直于投影面的直線，其投影積聚為一點；垂直于投影面的平面，其投影積聚為一條直線。如圖1.45所示，直線AB垂直于投影面H，其投影積聚成一點a（b）；平面ABCD垂直于投影面H，其投影積聚成一直線ab（dc）。

3．類似性

（1）點的投影仍是點，如圖1.46（a）所示。

（2）直線的投影在一般情況下仍為直線，當直線段傾斜于投影面時，其正投影短于實長，如圖1.46（b）所示，通過直線AB上各點的投射線，形成一平面ABba，它與投影面H的交線ab即為AB的投影。

（3）平面的投影在一般情況下仍為平面，當平面傾斜于投影面時，其正投影小于實形，如圖1.46（c）所示。

4．從屬性

若點在直線上，則點的投影必在該直線的投影上。如圖1.47所示，點K在直線AB上，投射線Kk必與Aa、Bb在同一平面上，因此點K的投影k一定在ab上。

5．定比性

直線上一點把該直線分成兩段，兩段之比等于其投影之比。如圖1.47所示，由于Aa∥Kk∥Bb，所以AK:KB=ak:kb。

6．平行不變性

兩平行直線的投影仍互相平行，且其投影長度之比等于兩平行線段長度之比。

如圖1.48所示，AB∥CD，其投影ab∥cd，且ab:cd=AB:CD。

1.2.3 三面正投影

1．三面投影體系

如圖1.49所示，根據平行投影，圖中3個形狀不同的形體在同一投影面的投影卻是相同的。這說明由形體的一個投影不能準確地表示形體的形狀，因此，需要多個投影面來反映形體的實形。一般將形體放在3個互相垂直的平面所組成的三面投影體系中進行投影，如圖1.50所示。在三面投影體系中，水平放置的平面稱為水平投影面，用字母“H”表示，簡稱為H面；正對觀察者的平面稱為正立投影面，用字母“V”表示，簡稱V面；觀察者右側的平面稱為側立投影面，用字母“W”表示，簡稱W面。3投影面兩兩相交，構成3條投影軸OX、OY和OZ, 3軸的交點O稱為原點。只有在這個體系中，才能比較充分地表示出形體的空間形狀。

2．三面投影圖的形成

將形體置于三面投影體系中，且形體在觀察者和投影面之間。如圖1.51所示，形體靠近觀察者的一面稱為前面，反之稱為后面。以觀察者的角度出發，定出形體的左、右、上、下4個面。由安放位置可知，形體的前、后兩面均與V面平行，上、下兩面則與H面平行。用3組分別垂直于3個投影面的投射線對形體進行投影，就得到該形體在3個投影面上的投影。

（1）由上而下投影，在H面上所得的投影圖稱為水平投影圖，簡稱H面投影。

（2）由前向后投影，在V面上所得的投影圖稱為正立面投影圖，簡稱V面投影；

（3）由左向右投影，在W面上所得的投影圖稱為（左）側立面投影圖，簡稱W面投影。

上述所得的H、V、W面的3個投影圖就是形體最基本的三面投影圖。

為了使3個投影圖能畫在一張圖紙上，還必須將3個投影面展開，使之攤平在同一個平面上，完成從空間到平面的過程。國家標準規定：V面不動，H面繞OX軸向下旋轉90°,W面繞OZ軸向右旋轉90°，使它們轉至與V面同在一個平面上，如圖1.52所示，這樣就得到在同一平面上的三面投影圖。這時Y軸出現兩次，一次是隨H面旋轉至下方，與Z軸在同一鉛垂線上，標以YH；另一次隨W面轉至右方，與X軸在同一水平線上，標以YW。攤平后的三面投影圖如圖1.53（a）所示。

為了使作圖簡化，在三面投影圖中不畫投影圖的邊框線，投影圖之間的距離可根據需要確定，3條軸線也可省去，如圖1.53（b）所示。

3．三面投影圖的對應關系

三面投影圖是從形體的3個方向投影得到的。3個投影圖之間是密切相關的，它們的關系主要表現在它們的度量和相互位置上的聯系。

1）投影形成相互的順序關系

在三面投影體系中：從前向后，以“人→物→圖”的順序形成V面投影；從上向下，以“人→物→圖”的順序形成H面投影；從左向右，以“人→物→圖”的順序形成W面投影。所以，投影形成相關的順序關系是“人→物→圖”。

2）投影中的長、寬、高和方位關系

每個形體都有長度、寬度、高度或左右、前后、上下3個方向的形狀和大小變化。形體左右兩點之間平行于OX軸的距離稱為長度；上下兩點之間平行于OZ軸的距離稱為高度；前后兩點之間平行于OY軸的距離稱為寬度。

每個投影圖能反映其中兩個方向的關系：H面投影反映形體的長度和寬度的關系，同時也反映左右和前后位置的關系；V面投影反映形體的長度和高度的關系，同時也反映左右和上下位置的關系；W面投影反映形體的高度和寬度的關系，同時也反映上下、前后位置的關系，如圖1.53所示。

3）投影圖的三等關系

三面投影圖是在形體安放位置不變的情況下，從3個不同方向投影所得到的，它們共同表達同一形體，因此它們之間存在著緊密的關系：V、H兩面投影都反映形體的長度，展開后所反映形體的長度不變，因此畫圖時必須使它們左右對齊，即“長對正”的關系；同理，H、W面投影都反映形體的寬度，有“寬相等”的關系；V、W面投影都反映形體的高度，有“高平齊”的關系，總稱為“三等關系”。

“長對正、高平齊、寬相等”是三面投影圖最基本的投影規律。繪圖時，無論是形體總的輪廓還是局部細節，都必須符合這一基本規律。