2.1 形體投影圖的畫法

2.1.1 基本體的投影

建筑形體不論簡單還是復雜，都可以看成是由若干個形體疊加或切割而成，稱這樣的形體為基本體。

基本體又稱幾何體，按其表面的幾何性質可以分為平面立體和曲面立體。

（1）平面立體——由平面多邊形所圍成的立體，如棱柱體和棱錐體等。

（2）曲面立體——由曲面或曲面與平面所圍成的立體，如圓柱體和圓錐體等。

1．平面立體的投影

平面立體的三面投影圖就是組成平面立體的各平面投影的集合。常見的平面立體有棱柱、棱錐。

1）棱柱體的三面投影

棱柱的棱線（立體表面上面面相交的交線）互相平行，上下兩底面互相平行且大小相等。如圖2.2所示，為一正五棱柱的三面投影。

在圖2.2（b）中，五棱柱的H面投影是一個正五邊形，它是上下兩底面的重合投影，并且反映上下底面的實形；H面投影中的5邊形也是五棱柱5個棱面在H面上的積聚投影。在V面投影中，上、下兩段水平線是頂面和底面的積聚投影；虛線圍成的矩形是五棱柱最后棱面的投影，且反映最后棱面的實形；左邊實線圍成的矩形是五棱柱左邊兩個棱面的重合投影，它不能反映棱面的實形；右邊實線圍成的矩形是五棱柱右邊兩個棱面的重合投影，它不能反映棱面的實形。W面投影中的兩個矩形是五棱柱4個側棱面的重合投影；最后的一條鉛垂線是五棱柱最后棱面的積聚投影；上、下兩條水平線是五棱柱頂面和底面的積聚投影。

2）棱錐體的三面投影

完整的棱錐由一多邊形底面和具有一公共頂點的多個三角形平面所圍成。棱錐的棱線匯交于一個點，該點稱為錐頂。如圖2.3所示，為一三棱錐的三面投影。

從圖2.3（a）可知，三棱錐的底面是水平面；最后棱面是側垂面；其余兩個棱面是一般位置平面。

如圖2.3（b）所示，由于底面是水平面，所以在三棱錐的H面投影中abc反映三棱錐底面的實形；在V面和W面投影中底面積聚成直線。由于三棱錐的最后棱面是側垂面，所以在W面投影中最后棱面積聚成直線，其余兩個投影是三角形。三棱錐左、右棱面是一般位置平面，所以3個投影面上的投影都是三角形。

2．曲面立體的投影

曲面立體的曲面是由運動的母線（直線或曲線），繞著固定的導線做運動形成的。母線上任意點的運動軌跡形成的圓周稱為緯圓。母線在曲面上的任一位置稱素線。

母線繞一定軸作旋轉運動而形成的曲面，稱為回轉曲面。工程中應用較多的是回轉曲面，如圓柱、圓錐等。

1）圓柱體的形成及投影

圓柱是由母線（直線）繞一定軸旋轉一周形成的。圓柱面上的所有素線都相互平行，如圖2.4（a）所示。

如圖2.4（c）所示，H面投影為一圓面，是上、下底面的重合投影，且反映上、下底面的實形；H面投影中的圓周線是圓柱面的積聚投影。V面投影為一矩形，上、下兩條直線為圓柱上、下底面的積聚投影；左、右兩條直線是圓柱最左素線和最右素線的投影。W面投影也是一個矩形，上、下兩條直線是圓柱上、下底面的積聚投影；前、后兩條直線是圓柱最前、最后素線的投影。

2）圓錐體的形成及投影

圓錐是由母線（直線）繞一定軸旋轉（在旋轉時母線與定軸相交于一點）一周形成的。圓錐表面上的素線都匯交于一點，如圖2.5（a）所示。

如圖2.5（c）所示，圓錐的H面投影是一圓，它是圓錐底面和圓錐表面的重合投影，且反映底面的實形。圓錐的V面和W面投影都是三角形，三角形的底邊是圓錐底面的積聚投影，三角形的兩條腰分別是圓錐最左、最右素線和最前、最后素線的投影。

3．基本體的尺寸標注

基本體一般只需注出長、寬、高3個方向的尺寸。如圖2.6所示為一些常見基本體尺寸標注的示例。

如果棱柱體的上、下底面（或棱錐體的下底面）是圓內接多邊形，也可標注外接圓的直徑和棱柱體（或棱錐體）的高來確定棱柱體（或棱錐體）的大小，如圖2.6所示。

圓柱、圓錐則標注它底面圓的直徑和高度尺寸。球體只需標注其直徑，但要在Φ前加寫S或“球”字，如圖2.6所示。

2.1.2 截交線、相貫線的形成

1．截交線的形成

平面與立體相交，可看作是立體被平面所截。與立體相交的平面稱為截平面，截平面與立體表面的交線稱為截交線，由截交線圍成的斷面稱為截斷面，如圖2.7所示。

平面與平面立體產生的截交線是由截交點連接而成的。截交點是截平面與平面立體棱線的交點或是截平面與截平面交線的端點，如圖2.8所示。

平面與曲面立體相交，其截交線是截平面與曲面立體表面交線的組合，如圖2.9所示。

平面與平面立體產生的截交線是直線；截交線圍成的截斷面是平面多邊形，如圖2.8所示。

平面與曲面立體相交，產生的截交線一般情況下是平面曲線。截交線的形狀取決于曲面體表面的性質及其與截平面的相對位置，如圖2.10和圖2.11所示。

2．相貫線的形成

兩立體相交又稱為兩立體相貫。相交的兩立體成為一個整體，稱為相貫體。它們表面的交線稱為相貫線，相貫線是兩立體表面的共有線，相貫線是由貫穿點連接而成的。貫穿點是兩立體表面的共有點，如圖2.12所示。

相貫線的形狀隨立體形狀和兩立體的相對位置不同而異，一般分為全貫和互貫兩種類型。當一個立體全部穿過另一個立體時，產生兩組相貫線，稱為全貫，如圖2.12（a）所示；當兩個立體相互貫穿，產生一組相貫線，稱為互貫，如圖2.12（b）所示。

2.1.3 組合體的投影

1．組合體的形體分析

組合體是由基本體組合而成的。在研究組合體時，無論組合體多么復雜，通常可將一個組合體分解成若干個基本體，然后分析每個基本體的形狀、相對位置，以方便地分析出組合體的形狀和空間位置。這種分析組合體的方法稱為形體分析法。

由基本體按不同的形式組合而成的形體稱為組合體。組合體的組合形式一般有：疊加式，如圖2.13（a）所示；截割式，如圖2.13（b）所示；綜合式，如圖2.13（c）所示。

2．組合體三面投影的畫法

1）疊加式組合體的投影圖繪制

形體分析法是求疊加式組合體投影圖的基本方法，即將組合體分解為幾個基本體，分別畫出各基本體的投影圖，分析出各基本體之間的相對位置關系，然后根據它們的相對位置進行組合，從而完成組合體的投影圖。

【例2-1】 根據如圖2.14所示立體圖，完成組合體的三面投影圖。

解題步驟如下。

（1）形體分析，根據已知立體圖可以判斷，該形體是由5個基本體疊加而成的，如圖2.15所示。

（2）選擇投影圖數量和投影方向，如圖2.16（a）所示。

特別提示

為了用較少的投影圖將組合體的形狀完整清晰地表達出來，在形體分析的基礎上，還要選擇合適的投影方向和投影圖數量。

選擇V面投影方向的原則是：讓V面投影圖能明顯地反映組合體的形狀特征；同時還應考慮盡量減少其他投影圖中的虛線和合理地使用圖紙，如圖2.16（a）所示。

（3）選比例、定圖幅。

（4）布置投影圖，如圖2.16（b）所示。

特別提示

布圖時，根據選定比例和組合體的總體尺寸，可粗略算出各基本體投影范圍大小，并布置勻稱圖面。一般定出形體的對稱線、主要端面輪廓線，作為作圖的基線。

（5）繪制底圖，如圖2.16所示。

畫最下面臺階的三面投影圖，如圖2.16（b）所示。

畫中間臺階的三面投影圖并與最下面臺階組合，如圖2.16（c）所示。

畫最上面臺階的三面投影圖并與中間臺階和最下面臺階組合，如圖2.16（d）所示。

畫左側支撐板的三面投影圖并與3個臺階組合，如圖2.16（e）所示。

畫右支撐板的三面投影圖并與其余4個基本體組合，如圖2.16（f）所示。

去掉多余圖線（去掉與兩端面平齊的連接線、去掉兩相貫基本體內部的交線），如圖2.16（g）所示。

判斷可見性，如圖2.16（h）所示。

特別提示

畫底圖時，力求作圖準確，輕描淡寫。在畫圖時，注意以下幾點。

（1）畫圖的先后順序一般應從形狀特征明顯的投影圖入手，先畫主要部分，后畫次要部分；先畫可見輪廓線，后畫不可見輪廓線。

（2）畫圖時，對于組合體的每一組成部分的三面投影，最好根據對應的投影關系同時畫出，不要先將某一投影全部畫好，再畫另外的投影，以免漏畫線條。

（6）檢查和描深，如圖2.16（i）所示。

特別提示

底圖畫完后，檢查確認無誤后，按GB/T 50104—2001《建筑制圖標準》規定的線型加深輪廓線。

2）切割式組合體投影圖的繪制

如果組合體是切割式，完成其三面投影圖時，應先畫原始基本體的三面投影圖，然后根據切平面的位置，逐個完成切平面與基本體的截交線，最后綜合完成組合體的三面投影圖。

【例2-2】 根據組合體的立體圖如圖2.17所示，完成組合體的三面投影圖。

解題步驟如下。

（1）選擇投影圖數量和投影方向，如圖2.18所示。

（2）形體分析，組合體是在四棱柱的基礎上經5次切割而成的，如圖2.19所示。

（3）選比例、定圖幅。

（4）布置投影圖。

（5）繪制底圖。

畫原始四棱柱的三面投影圖，如圖2.20（a）所示。

畫第一次切割后形體的三面投影圖，如圖2.20（b）所示。

畫第二次切割后形體的三面投影圖，如圖2.20（c）所示。

畫第三次切割后形體的三面投影圖，如圖2.20（d）所示。

畫第四次切割后形體的三面投影圖，如圖2.20（e）所示。

畫第五次切割后形體的三面投影圖，如圖2.20（f）所示。

（6）檢查和描深，如圖2.20（f）所示。

3．組合體的尺寸標注

投影圖只能表達立體的形狀，而要確定立體的大小，則需標注立體的尺寸，而且還應滿足以下要求。

（1）正確。要符合國家最新頒布的GB/T 50104—2001《建筑制圖標準》。

（2）完整。所標注的尺寸必須能夠完整、準確、唯一地表達物體的形狀和大小。

（3）清晰。尺寸的布置要整齊、清晰，便于閱讀。

（4）合理。標注的尺寸要滿足設計要求，并滿足施工、測量和檢驗的要求。

1）尺寸種類

要完整地確定一個組合體的大小，需注全3類尺寸。

（1）定形尺寸。確定組合體各組成部分形體大小的尺寸稱為定形尺寸，如圖2.21所示。

（2）定位尺寸。確定各組成部分相對位置的尺寸稱為定位尺寸。

如圖2.21所示V面投影圖右下方的定位尺寸50為直墻在長度方向的定位尺寸；W面投影中的50和120為支撐墻在寬度方向的定位尺寸；直墻和支撐墻在高度方向相對底板的位置是通過組合體疊加形式確定的，不需要定位尺寸。

由以上定位尺寸的標注可看出，在某一方向確定各組成部分的相對位置時，標注每一個定位尺寸均需有一個相對的基準作為標注尺寸的起點，這個起點叫做尺寸基準。由于組合體有長、寬、高3個方向的尺寸，所以每個方向至少有一個尺寸基準，如圖2.22所示。尺寸基準一般選在組合體底面、重要端面、對稱面及回轉體的軸線上。

（3）確定組合體外形的總長、總寬、總高的尺寸稱為總體尺寸。

如圖2.21所示的總高480mm，總長351mm，總寬320mm。

2）尺寸標注

（1）形體分析。組合體尺寸標注前需進行形體分析，弄清反映在投影圖上的有哪些基本形體及這些基本形體的相對位置。

（2）標注3類尺寸。

①在形體分析的基礎上，應先分別注出各基本體的定形尺寸。如果基本體是帶切口的，不應標注截交線的尺寸，而是標注截平面的位置尺寸。

②選定基準，標注定位尺寸。

③標注總體尺寸。

（3）檢查復核。注完尺寸后，要用形體分析法認真檢查3類尺寸，補上遺漏的尺寸，并對布置不合理的尺寸進行必要地調整。

2.1.4 形體的軸測投影圖畫法

軸測投影圖是用平行投影的方法畫出來的一種富有立體感的圖形，它接近于人們的視覺習慣。由于軸測投影圖度量性差，很難準確反映形體的實際大小，所以只作輔助圖樣，如圖2.23所示。

1．正等軸測投影圖、斜二軸測投影圖的形成

將形體連同確定它空間位置的直角坐標系一起，用平行投影法，沿不平行于坐標軸的方向S投射到一個投影面P上，所得的投影稱為軸測投影，如圖2.24所示。用這種方法畫出的圖稱為軸測投影圖，簡稱軸測圖，俗稱立體圖。接受軸測投影的投影面P稱為軸測投影面，直角坐標軸OX、OY、OZ在軸測投影面上的投影O1X1、O1Y1、O1Z1稱為軸測投影軸，簡稱軸測軸，軸測軸間的夾角稱為軸間角，軸測軸上的單位長度與坐標軸上的單位長度的比值稱為軸向伸縮系數（OX軸向伸縮系數p1=O1X1/OX; OY軸向伸縮系數q1=O1Y1/OY; OZ軸向伸縮系數r1=O1Z1/OZ）。

根據投射方向S與軸測投影面P的相對位置關系，軸測圖可分為以下兩大類。

（1）正軸測圖。投射方向S與軸測投影面P垂直，所得的投影圖稱正軸測圖。

（2）斜軸測圖。投射方向S與軸測投影面P傾斜，所得的投影圖稱斜軸測圖。

正等軸測投影圖（簡稱正等測）：投射方向S與軸測投影面P垂直，3個軸向伸縮系數相等，即p1=q1=r1。

斜二軸測投影圖（簡稱斜二測）：投射方向S與軸測投影面P傾斜，2個軸向伸縮系數相等，即p1=q1≠r1。

2．正等軸測投影圖、斜二軸測投影圖的軸間角、軸向變化系數

軸測投影圖的軸間角是畫軸測投影圖時建立坐標系的依據，軸向變化系數是畫軸測投影圖時量取尺寸的依據。

正等軸測投影圖的3個軸間角均為120°。3個軸向伸縮系數均約為0.82，為了便于作圖，采用簡化伸縮系數，即p1=q1=r1=1。作圖時，O1Z1軸一般畫成鉛垂線，O1X1、O1Y1軸與水平方向成30°角，如圖2.25所示。

斜二軸測投影的軸間角：∠X1O1Z1=90°, ∠X1O1Y1=∠Y1O1Z1=135°。軸向伸縮系數：p1=r1=1, q1=0.5。作圖時，O1Z1軸一般畫成鉛垂線，O1X1軸與O1Z1軸垂直畫成水平線，O1Y1軸畫成與水平方向成45°的角，如圖2.26所示。

3．正等軸測投影圖、斜二軸測投影圖的畫法

畫軸測投影圖的基本方法是坐標法，即按坐標系畫出形體上各點，然后按照點連線、線圍面、面圍體的方法完成形體軸測投影圖的繪制。但在作圖時，還應根據物體的形狀特點而靈活采用其他不同的方法。

此外，在畫軸測投影圖時，為了使圖形清晰，一般不畫不可見輪廓線（虛線）。

特別提示

畫軸測投影圖時還應注意，只有平行于軸向的線段才能直接量取尺寸，不平行于軸向的線段可由該線段兩端點的位置來確定。

軸測投影圖是按平行投影的原理得到的，所以作圖時要遵循平行投影的一切特性：相互平行的直線的軸測投影仍相互平行（因此，形體上平行于坐標軸的線段，其軸測投影必然平行于相應的軸測軸，且其變形系數與相應的軸向變形系數相同）；兩平行直線或同一直線上的兩線段的長度之比，軸測投影后保持不變（因此，形體上平行于坐標軸的線段，其軸測投影長度與實長之比，等于相應的軸向變形系數）。

1）平面立體軸測投影圖的畫法

為了使作圖簡便，圖形清晰，作圖時應分析清楚立體的特點，靈活應用坐標法，一般先從可見部分作圖。

正等軸測投影圖和斜二軸測投影圖的畫法基本一樣，只是畫圖時根據軸間角建立的坐標系不同，根據軸向變化系數的不同，量取尺寸時的比例也不同。

【例2-3】 如圖2.27（a）所示，根據五棱柱的三面投影圖，完成其正等軸測投影圖。

分析：棱柱體由于上、下底面的大小形狀相等且棱線互相平行，所以在作圖時，先用坐標法將棱柱的頂面畫出，再過頂面上的每一個點作互相平行的棱線，最后完成底面的作圖，如圖2.27所示。

解題步驟如下。

（1）分析立體，在三面投影圖中確定坐標原點，如圖2.27（b）所示。

（2）根據正等軸測投影圖的軸間角建立畫圖坐標系，如圖2.27（c）所示。

（3）根據正等軸測投影圖的軸向變化系數，用坐標法完成棱柱體頂面5個點的軸測投影（三面投影圖中1點與2點、3點與5點、O點與4點、O點與K之間的距離同軸測投影圖中1點與2點、3點與5點、O點與4點、O點與K之間的距離相等），依次連接1、2、3、4、5這5個點，完成棱柱體頂面的軸測投影，如圖2.27（d）所示。

（4）過頂面上的5個點作互相平行的5條棱線（三面投影圖中的棱線高同軸測投影圖中的棱線高相等），由于過2點作的棱線不可見，所以不作，如圖2.27（e）所示。

（5）繪制底面，如圖2.27（f）所示。

（6）去掉作圖線，如圖2.27（g）所示。

（7）加深圖線，如圖2.27（h）所示。

【例2-4】 如圖2.28（a）所示，根據五棱錐的三面投影圖，完成其斜二軸測投影圖。

繪制棱柱體的軸測投影圖時，應先用坐標法完成棱錐的底面，再用坐標法完成錐頂，最后將錐頂與底面的各點連接起來完成棱線。

解題步驟如下。

（1）分析立體，在三面投影圖中確定坐標原點，如圖2.28（b）所示。

（2）根據正等軸測投影圖的軸間角建立畫圖坐標系，如圖2.28（c）所示。

（3）根據正等軸測投影圖的軸向變化系數，用坐標法完成棱錐底面5個點的軸測投影（三面投影圖中1點與2點、3點與5點之間的距離同軸測投影圖中1點與2點、3點與5點之間的距離相等；軸測投影圖中O點與4點、O點與K點之間的距離是三面投影圖中O點與4點、O點與K點之間的距離的一半），依次連接1、2、3、4、5這5個點完成棱錐底面的軸測投影，如圖2.28（d）所示。

（4）用坐標法作錐頂的軸測投影（三面投影圖中的O′S′同軸測投影圖中的OS相等），如圖2.28（e）所示。

（5）將錐頂與底面的各點連接，完成棱線，S點與2點連接不可見，所以不作，如圖2.28（f）所示。

（6）去掉作圖線和不可見圖線，如圖2.28（g）所示。

（7）加深圖線，如圖2.28（h）所示。

2）曲面立體軸測投影圖的畫法

曲面立體，不可避免地會遇到圓與圓弧的軸測投影畫法。為簡化作圖，在繪圖過程中，一般使圓所在的平面平行于坐標面，從而可以得到其正等軸測投影為橢圓。作圖時，一般以圓的外接正方形為輔助線，先畫出正方形的軸測投影，再用四心圓法近似畫出橢圓。

【例2-5】 如圖2.29（a）所示，根據圓柱的兩面投影圖，完成其正等軸測投影圖。

解題步驟如下。

（1）建立繪制軸測圖的坐標系，并在X軸和Y軸上根據圓柱底面圓的半徑確定4個點（圓柱底面圓外接正方形各邊的中點），如圖2.29（b）所示。

（2）過X軸上的兩個點向Y軸作平行線；過Y軸上的兩個點向X軸作平行線，兩組平行線圍成一個四邊形（圓柱底面圓外接正方形的軸測投影），如圖2.29（c）所示。

（3）確定4個圓心，即過四邊形對角線短的兩個頂點向其對邊的中點連線，連線的4個交點就是4個圓心，如圖2.29（d）所示。

（4）過4個圓心作4段圓弧，完成圓柱頂面的投影，如圖2.29（e）所示。

（5）用畫頂面圓的方法，完成底面圓的軸測投影，如圖2.29（f）所示。

（6）作頂面、底面圓的公切線，如圖2.29（g）所示。

（7）去掉作圖線和看不見的圖線，如圖2.29（h）所示。

（8）加深圖線，如圖2.29（i）所示。

當曲面立體上的圓或圓弧所在平面平行于坐標平面XOZ時，用斜二軸測投影作曲面立體的軸測投影圖就會簡便很多。

【例2-6】 如圖2.30（a）所示，根據立體的兩面投影，完成其斜二軸測投影圖。

解題步驟如下。

（1）建立坐標系，如圖2.30（b）所示。

（2）畫前端面（由于前端面平行于坐標平面XOZ，所以前端面的軸測投影與立體前端面在V面投影上的形狀一樣，大小相等），如圖2.30（c）所示。

（3）畫后端面（由于前后端面平行，所以只需把前端面沿Y軸方向向后平移立體寬度的一半即可），如圖2.30（d）所示。

（4）畫棱線和半圓柱的公切線，如圖2.30（e）所示。

（5）去掉作圖線，加深圖線，如圖2.30（f）所示。

3）組合體軸測投影圖的畫法

在畫組合體的軸測圖之前，先應通過形體分析了解組合體的組合方式和各組成部分的形狀、相對位置，再選擇適當的畫圖方法。一般繪制組合體軸測投影的方法有疊加法、切割法。

（1）疊加法。當組合體由基本體疊加而成時，先將組合體分解為若干個基本體，然后按各基本體的相對位置逐個畫出各基本體的軸測圖，再經組合后完成整個組合體的軸測圖。這種繪制組合體軸測圖的方法叫疊加法。

【例2-7】 求作如圖2.31（a）所示組合體的正等軸測投影圖。

解題步驟如下。

①形體分析。由已知的三面投影圖可知，該組合體由4個基本體疊加而成，所以，可用疊加法完成組合體的軸測投影圖，如圖2.31（a）所示。

②建立坐標系。根據正等軸測圖軸間角的要求建立坐標系，如圖2.31（b）所示。

③繪制各基本體的正等軸測投影圖，根據各基本體的相對位置組合各基本體，完成組合體的正等軸測投影圖（繪制底板的軸測投影圖，如圖2.31（c）所示；繪制背板的軸測投影圖，并與底板組合，如圖2.31（d）所示；繪制兩個側板的軸測投影圖，并與底板和背板組合，如圖2.31（e）所示）。

④去掉多余的圖線（基本體疊加后，端面平齊不應有接縫），如圖2.31（f）所示。

⑤校核、清理圖面，加深圖線，如圖2.31（g）所示。

（2）切割法。當組合體由基本體切割而成時，先畫出完整的原始基本體的軸測投影圖，然后按其切平面的位置，逐個切去多余部分，從而完成組合體的軸測投影圖。這種繪制組合體軸測圖的方法叫切割法。

【例2-8】 求如圖2.32（a）所示組合體的正等軸測投影圖。

解題步驟如下。

①形體分析。由已知的三面投影圖可知，該組合體是在四棱柱的基礎上由8個切平面經3次切割而成的，所以，可用切割法完成組合體的軸測投影圖。

②建立坐標系。根據正等軸測投影圖的要求建立坐標系，如圖2.32（b）所示。

③畫完整四棱柱的正等軸測投影圖，如圖2.32（c）所示。

④按切平面的位置逐個切去被切部分，如圖2.32（d）、（e）、（f）所示。

⑤校核、清理圖面、加深圖線，如圖2.32（g）所示。

有些組合體俯視時主要部分相遮擋而不可見，此時可用仰視畫出組合體的軸測投影圖，直觀、效果較好。

【例2-9】 畫出如圖2.33（a）所示組合體的仰視斜二軸測投影圖。

分析：如圖2.33（a）所示，組合體是由一個四棱柱和兩個六棱柱疊加而成的。

解題步驟如圖2.33（b）、（c）、（d）、（e）所示。