1.2 幾何光學的基本定律

幾何光學的基本定律是研究光的傳播現象和規律，以及光線經過光學系統成像特性的基礎。

1.2.1 基本定律概述

1．光的直線傳播定律

在各向同性的均勻介質中，光是沿直線傳播的，這就是光的直線傳播定律。影子的形成、日食、月食等現象都很好地印證了該定律，小孔成像正是利用了光的直線傳播定律。但應注意，光的直線傳播定律是在不考慮光的波動性質的情況下才成立的，當光經過尺寸與波長接近或更小的小孔或狹縫時，將會發生衍射現象，光將不再沿直線傳播。另外，當光在非均勻介質中傳播時，光線傳播的路徑為曲線，而不是直線，如海市蜃樓現象。

2．光的獨立傳播定律

從不同發光體發出的多束光線在空間相遇時，彼此互不影響，各光線獨立傳播，稱為光的獨立傳播定律。按照這一定律，光束相交處光強是簡單的疊加。光的獨立傳播定律僅對不同發光體發出的光是非相干光才是準確的，如果兩束光由同一光源發出，經不同的路徑傳播后在空間某點交會時，交會點的光強將不再是簡單的疊加，而是根據兩光束所走過的光程不同，可能加強，也可能減弱，即可能成為相干光而發生干涉現象。

3．光的反射和折射定律

光的直線傳播定律和光的獨立傳播定律是光在同一均勻介質中的傳播規律，而光的反射定律和折射定律則是研究光傳播到兩種均勻介質分界面上時的現象與規律。

如圖1.3所示，當一束光AO投射到兩種透明介質的分界面上時，將有一部分光被反射，另一部分光被折射，兩者分別遵守反射定律和折射定律。圖中分界面PQ處，I、I′、I″分別為入射角、折射角和反射角，它們均以銳角度量，其符號規定為：由光線轉向法線，順時針為正，逆時針為負。

1）反射定律

反射定律可歸結為：

（1）反射光線位于入射光線和法線所決定的平面。

（2）反射光線和入射光線位于法線兩側，且絕對值相等，符號相反，即

式中，負號表示二者的傳播方向相反。

2）折射定律

折射定律可歸結為：

（1）折射光線位于入射光線和法線所決定的平面內。

（2）折射角的正弦與入射角的正弦之比與入射角的大小無關，僅取決于兩種介質的性質。用公式表示為

式中，n、n′為介質的絕對折射率，n＝c/v, n′＝c/v′，真空中n＝1。若令n′＝－n，則可由折射定律轉化為反射定律，因此反射定律可以看做折射定律的一個特例。

3）光的全反射

按照光的反射和折射定律，當光線入射到兩種介質的分界面時，一般都會發生反射和折射。但當光線從光密介質射向光疏介質，即n＞n′時，折射角將大于入射角。當入射角逐漸增大，到達某一角度Im時，光線的折射角達到90°，光線沿界面掠射而出，繼續增大入射角，則折射光線消失，所有光線全都發生反射，回到原光密介質，這種現象稱為全反射。Im稱為全反射的臨界角，如圖1.4所示。

由此可見，光線發生全反射的條件為：①光線從光密介質射向光疏介質；②入射角大于臨界角。

全反射具有很重要的應用，如全反射棱鏡、光導纖維、分劃板照明、360°平面光束儀等。圖1.5和圖1.6分別為全反射在直角棱鏡和光導纖維中的應用。

1.2.2 光路的可逆性

如圖1.3所示，如果光線沿BO入射，則按照光的直線傳播定律和反射定律，光線將沿OA出射；同樣，如果光線沿CO入射，則按照光的直線傳播定律和折射定律，光線也沿OA出射。由此可見，光線的傳播是可逆的，且無論是在均勻介質中光線直線傳播，還是在兩種均勻介質界面上發生反射和折射時，光路的可逆性現象都同樣存在。

光路可逆現象具有重要意義，根據這一特性，不但可以確定物體經光學系統后所成像的位置，而且也可以反過來由像來確定物體的位置，在光學系統的設計計算中，經常利用光路的可逆性，給解決實際問題帶來極大方便。

1.2.3 費馬原理

費馬原理指出，光從一點傳播到另一點，期間無論經過多少次反射或折射，其光程為極值（極大、極小或常量）。或者說，光是沿著光程為極值的路徑傳播的。

光程s是指光在介質中傳播的幾何路程l與該介質折射率n的乘積，即

利用n＝c/v和l＝vt，有

可見，光在某種介質中的光程等于同一時間光在真空中所走過的幾何路程。

光在均勻介質中是沿直線傳播的，但在非均勻介質中，因折射率n是空間位置的函數，故光線將不再沿直線傳播，其軌跡是一空間曲線，如圖1.7所示，光從A點傳播到B點，其光程由曲線積分來確定，即

根據費馬原理，此光程為極值，所以式（1-5）可表示為

圖1.8所示為非均勻介質中光程為穩定值和極大值的情況。

由費馬原理可以證明幾何光學的基本定律，如光的直線傳播定律：在均勻介質中，折射率為常數，所以要求光程為極值即要求幾何路程為極值，因兩點之間直線最短，對應的光程為極小值，所以均勻介質中光線沿直線傳播。

例1.1 用費馬原理證明光的反射定律。

證明 如圖1.9（a）所示，設點A、B均位于xOz面上，A（x1, o, z1）為點光源，B（x2, o, z2）為接收器，點P（x, y, o）為光線在界面xOy面上的入射點，則光線APB的光程為

由費馬原理，光程極值條件為

由，得y＝0, P點位于Ox軸上，即入射光線、法線及反射光線在垂直反射面的平面內，滿足反射光線、入射光線和法線共面。

由及圖1.9（b）按符號規定標注標示的入射角I、反射角I″，可知

所以，得sinI＝－sinI′，即I＝－I′。

即滿足反射光線和入射光線位于法線兩側，且絕對值相等，符號相反。

同樣，利用費馬原理可以證明光線的折射定律。

費馬原理的意義在于它從光程的概念出發概括了光傳播的規律，是幾何光學的理論基礎。利用費馬原理不僅可以直接推導幾何光學的基本定律，而且能用來研究近軸光學系統的成像規律、光學系統的像差等。光學系統的成像光線等光程是完善成像的物理條件。

1.2.4 馬呂斯定律

馬呂斯定律是指在各向同性的均勻介質中，與某一曲面垂直的一束光線，經過任意次折射、反射后，必定與另一曲面垂直，而且位于這兩個曲面之間的所有光線的光程相等。馬呂斯定律是表述光線傳播規律的另一種形式，該定律描述了光束與波面，光線與光程的關系。

馬呂斯定律強調，光線束在各向同性的均勻介質中傳播時，始終保持著與波面的正交性，并且入射波面和出射波面對應點之間的光程均為定值。

幾何光學的基本定律、費馬原理和馬呂斯定律，都能說明光線傳播的基本規律，都可以作為幾何光學的基礎，只要三者中任意一個已知，都可導出其余的兩個。