2.2 單個(gè)折射球面成像

光學(xué)系統(tǒng)成像是光學(xué)經(jīng)過折（反）射面逐次成像的結(jié)果，單個(gè)折射球面成像是其中基本的成像過程，本節(jié)主要討論單個(gè)球面折射的成像問題。

2.2.1 單折射球面成像的光路計(jì)算

因幾何光學(xué)定義包含光軸和主光線的截面為子午面，故在圖2.1所示的子午面內(nèi)，在△AEC中，應(yīng)用正弦定律，有

于是，得

當(dāng)軸上點(diǎn)無限遠(yuǎn)時(shí)，即可認(rèn)為L＝－∞, U＝0，如圖2.3所示。此時(shí)光線與球面相交的位置由光學(xué)的入射高度h決定，所以上式變?yōu)?/p>

在E點(diǎn)應(yīng)用折射定律，有

由圖2.1可知，φ＝U+I＝U′+I′，由此可得像方孔徑角U′

在△A′EC中，應(yīng)用正弦定律，有

于是，得像方截距為

式（2-1）～式（2-4）即為子午面內(nèi)物點(diǎn)經(jīng)單個(gè)折射球面成像時(shí)實(shí)際光線的光路計(jì)算公式。由公式可以看出，給出一組物方參量L和U，就可以計(jì)算出一組相應(yīng)的像方參量L′和U′。由共軸球面系統(tǒng)的對(duì)稱性可知，以A為頂點(diǎn)、2U為頂角的圓錐面上所有光線經(jīng)折射后均應(yīng)該會(huì)聚于A′點(diǎn)。但由上述公式組可知，當(dāng)物距L一定時(shí)，以不同孔徑角U入射的光線，將得到不同的像方截距L′，如圖2.4所示，即同心光束經(jīng)單折射面后，出射光束不再是同心光束，這表明，單個(gè)折射球面對(duì)軸上點(diǎn)成像是不完善的，這種現(xiàn)象稱為球差，將在第6章介紹。

當(dāng)把入射光線的孔徑角（或入射高度）限制在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，使得與光線有關(guān)的所有角度近似滿足sinα≈α，符合此條件的區(qū)域稱為光學(xué)系統(tǒng)的近軸區(qū)，近軸區(qū)內(nèi)的光線稱作近軸光線。因此將式（2-1）～式（2-4）中的所有角度的正弦值用其相應(yīng)的弧度值來代替，并用相應(yīng)的小寫字母表示，則有

同樣，當(dāng)軸上點(diǎn)無限遠(yuǎn)時(shí)，可得

近軸區(qū)內(nèi)，有

式（2-5）公式組稱為近軸光線的光路計(jì)算，可見，在近軸區(qū)內(nèi)，光學(xué)系統(tǒng)具有較為簡單的物像關(guān)系。

可以看出，對(duì)一個(gè)確定位置的物體，無論u為何值，l′均為定值，即近軸光路計(jì)算能夠獲得唯一的像，表明：近軸區(qū)內(nèi)以細(xì)光束成像是完善的，該像稱為高斯像。通過高斯像點(diǎn)且垂直于光軸的平面稱為高斯像面，其位置由l′決定。這樣一對(duì)構(gòu)成物像關(guān)系的點(diǎn)稱為共軛點(diǎn)。

雖然用近軸光路計(jì)算討論光學(xué)系統(tǒng)的物像關(guān)系具有唯一性，但近軸光路計(jì)算畢竟只是一種近似計(jì)算，要想精確反映光學(xué)系統(tǒng)實(shí)際的成像情況，還需采用的式（2-1）～式（2-4）實(shí)際光路計(jì)算。

2.2.2 近軸區(qū)成像的物像關(guān)系

由近軸區(qū)的光路計(jì)算式（2-5）公式組，還可以導(dǎo)出以下計(jì)算式：

式（2-8）～式（2-10）是近軸區(qū)物像計(jì)算的三種不同表達(dá)形式，其中式（2-8）表示物像方參數(shù)計(jì)算的一種不變式，用Q表示，稱為阿貝不變量；式（2-9）表示物像方孔徑角之間的關(guān)系；式（2-10）表示物像位置之間的關(guān)系。它們都是很重要的公式，在折射面已知的情況下，可以直接由給定的物方（像方）參數(shù)計(jì)算出像方（物方）參數(shù)，即由物求像或由像求物。

幾何光學(xué)將式（2-10）等號(hào)右邊的表達(dá)式定義為單折射球面的光焦度，用φ表示，即

光焦度表示了折射面的折光能力。式（2-11）說明折射球面的曲率半徑越小，或界面兩側(cè)的折射率差值越大，折光能力就越強(qiáng)。

在式（2-10）中分別令物距和像距為∞，則可得到無限遠(yuǎn)軸上物點(diǎn)（l＝－∞）所對(duì)應(yīng)的像距即折射面的像方焦距（用f′表示），及無限遠(yuǎn)軸上像點(diǎn)（l′＝∞）所對(duì)應(yīng)的物距即折射面的物方焦距（用f表示）。于是，有

單個(gè)折射面可以看做一個(gè)最簡單的成像系統(tǒng)，式（2-12）說明：單個(gè)折射球面的物方焦距與像方焦距之比和物方介質(zhì)折射率與像方介質(zhì)折射率之比，大小相等，符號(hào)相反。

2.2.3 近軸區(qū)成像的放大率和傳遞不變量

討論對(duì)有限大小的物體成像時(shí)，自然就涉及像的放大率和正倒問題。幾何光學(xué)中所用的放大率有三種：一種是垂軸放大率（橫向放大率），它定義為垂軸小物體成像時(shí)，像的大小與物的大小之比；另一種是軸向放大率，它表征像點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的物點(diǎn)沿軸移動(dòng)量之比；還有一種稱為角放大率，它是一對(duì)共軛光線與光軸夾角u′與u之間的比值。這三種放大率依次記為β、α和γ。

1．垂軸放大率β

它定義為垂軸小物體成像時(shí)，像的大小與物的大小之比，即

由圖2.5中相似△ABC和△A′B′C′，得

利用阿貝不變量Q式，得

由式（2-14）可知，β僅取決于共軛面的位置，與物體的大小無關(guān)。在一對(duì)共軛面上，β為常數(shù)，所以像與物相似。

2．軸向放大率α

軸向放大率表征像點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的物點(diǎn)沿軸移動(dòng)量之比，它定義為物點(diǎn)沿光軸作微小移動(dòng)dl時(shí)，所引起的像點(diǎn)移動(dòng)量dl′與物點(diǎn)移動(dòng)量dl之比，用α來表示，即

將式（2-10）兩邊微分，得

于是，得軸向放大率

軸向放大率與垂軸放大率之間的關(guān)系為

3．角放大率γ

近軸區(qū)內(nèi)，角放大率定義為一對(duì)共軛光線與光軸夾角u′與u之間的比值，用γ來表示，γ表示折射球面將光束變寬或變細(xì)的能力，即

利用式（2-7），得

上式表明：γ只與共軛點(diǎn)的位置有關(guān)，與光線的孔徑角無關(guān)。

角放大率與垂軸放大率之間的關(guān)系可表達(dá)為

顯然，垂軸放大率、軸向放大率和角放大率之間滿足：

由，得

式（2-22）稱為拉赫公式或拉赫不變量，是光學(xué)系統(tǒng)在近軸區(qū)成像時(shí)物方和像方參數(shù)乘積的一個(gè)不變式。拉赫不變量是表征光學(xué)系統(tǒng)性能的一個(gè)重要參量，即在拉赫不變量的限制范圍內(nèi)，像高y′的增大，必然伴隨著像方孔徑角u′的減小；也即表明在光學(xué)系統(tǒng)中，增大視場y將以犧牲孔徑角u為代價(jià)。

4．三種放大率與物體成像的關(guān)系

對(duì)單折射面，近軸區(qū)三種放大率反映了物體的成像關(guān)系。

（1）β是有符號(hào)數(shù)，具體表現(xiàn)為：

①成像正倒：當(dāng)β＞0時(shí)，表明y′、y同號(hào)，成正像；否則，成倒像。

②成像大小：當(dāng)｜β｜＝1時(shí)，表明｜y′｜＝｜y｜，像、物大小一致；｜β｜＞1時(shí)，表明｜y′｜＞｜y｜，成放大的像；反之，成縮小的像。

③成像虛實(shí)：當(dāng)β＞0時(shí)，表明l′、l同號(hào)，物像同側(cè)，虛實(shí)相反；否則，物像異側(cè)，虛實(shí)相同。

④當(dāng)物體位于不同的位置時(shí)，β不同。

（2）因α恒為正，故當(dāng)物點(diǎn)沿軸向移動(dòng)時(shí)，其像點(diǎn)沿光軸同向移動(dòng)；且因α≠β，故空間物體成像時(shí)要變形，例如一正方體成像后將不再是正方體。

（3）γ只與共軛點(diǎn)的位置有關(guān)，而與光線的孔徑角無關(guān)。物體總有一定大小，因此在上述軸上點(diǎn)成像的基礎(chǔ)上，我們還將討論軸外點(diǎn)和物平面以細(xì)光束成像的情況。

如圖2.6所示，球心C處放置的具有小孔的屏（稱光闌）限制了物方各點(diǎn)以細(xì)光束成像，它使物空間以C為中心，CA為半徑所作的球面A1AA2上的每一點(diǎn)均成像于同心球面V′（即球面A′1A′A′2）上。此時(shí)，物方垂直于光軸的平面BA的像是否也是過A′點(diǎn)并垂直于光軸的平面呢？情況并非如此。因?yàn)槲锲矫嫔系狞c(diǎn)B可看做是由球面上的點(diǎn)A1沿輔助光軸CA1移動(dòng)dl得到的。由式（2-17）可知，對(duì)于折射球面，當(dāng)物點(diǎn)沿光軸移動(dòng)時(shí)，像點(diǎn)一定沿同方向移動(dòng)。因此，B點(diǎn)的像B′必位于A′1和C之間，即物平面BA的像是一相切于A′點(diǎn)，并比球面V′曲率更大的曲面V″。由此可見，平面物體即使以細(xì)光束經(jīng)折射球面成像也不可能得到完善的平面像，這也是成像的像差之一，稱作像面彎曲，將在第6章介紹。

例2.1 如圖2.7所示，半徑為r＝20mm的一折射球面，兩邊的折射率分別為n＝1, n′＝1.5163，當(dāng)物體位于距球面頂點(diǎn)60mm時(shí)，求：

（1）軸上物點(diǎn)A的成像位置；

（2）垂軸物面上距軸10mm處物點(diǎn)B的成像位置。

解（1）對(duì)軸上點(diǎn)A，將給定條件r＝20 m m, n＝1, n′＝1.5163, lA＝－60 m m代入物像位置式（2-10）得

解得l′A＝165.75mm，即軸上點(diǎn)A的像A′點(diǎn)位于光軸上距頂點(diǎn)165.75mm處，A′點(diǎn)距球心的位置為145.75mm。

（2）過軸外物點(diǎn)B做連接球心C的直線，該直線可以看做一條輔助光軸，點(diǎn)B可以看做輔助光軸O1C上的一點(diǎn)。在輔助光軸上，其物距為

同樣，代入物像位置式（2-10）得，在輔助光軸上，l′B＝162.71mm，即軸外點(diǎn)B的像B′點(diǎn)位于主光軸OC以外距球心的位置為142.71 m m。

很顯然，AB的像A′B′并非平面，更加印證了圖2.6中垂直光軸的物平面以細(xì)光束經(jīng)折射球面成像后并非平面，垂軸物面上物點(diǎn)離光軸越遠(yuǎn)，像距越小，對(duì)應(yīng)的像面越彎向球心。在無限接近光軸的附近區(qū)域，物平面是靠近光軸很小的垂軸平面，彎曲的像面近似垂直于光軸，可認(rèn)為是成完善像，此完善像面稱為高斯像面。因此，通常所說的近軸概念包含兩種情況：①物體以很細(xì)的光束成像；②成像的物體很靠近光軸。在以上兩種情況確定的近軸區(qū)內(nèi)，可認(rèn)為球面光學(xué)系統(tǒng)成完善像。