數學的魅力

[挪威]紐特

“學數學為什么這么困難？”“學這種東西有什么用處？”你在上數學課時，可能也有這樣的疑問。問這種問題并不蠢，可是死背老師教的東西就很蠢了。

第一個問題可以簡單回答：“人所以會對數學感到頭痛多半是因為頭腦不適合計算。”對于生活在大自然中的原始人來說，數學這種東西應該是一點用處也沒有，因為他們最重要的事情是能夠活到明天，而人的身體構造從那時候到現在并沒有什么改變，因此你的大腦在叢林里尋找老虎時遠比思考二加二來得靈活。

要證明人腦的這個弱點很容易。請閉上眼睛，試著想象桌上放著五件東西，什么都可以，這里姑且假設是啤酒瓶好了。首先在腦海里想象桌上有五個啤酒瓶，然后再把一個酒瓶放在這張桌子上，這時……會怎樣？這第六個啤酒瓶是不是在腦海里顯得很模糊？再加入第七個啤酒瓶看看。這時除非把所有啤酒瓶一個個數出來，否則恐怕無法一次想象清楚。事實上，進行這個測驗時，只有極少數人才能在腦海中一次想象出八九個啤酒瓶。

所以，聽到這個地球上有很多民族沒有表示“數量”的語匯時，也沒什么好驚訝的。這些民族雖然有“一”這個詞，后面的數量卻都由“很多”這個詞匯來表示，也就是說沒有代表“二”、“三”、“四”等數字的話語。

然而，我們的社會卻要你在書桌前不停地使用原始人的大腦鉆研數學課本。為什么呢？答案有兩個，一個是————老師和父母一定已經告訴過你了，我在這里還是重復一次吧，就是在這個世界上生活時，多少有一些數學知識比較有利。

拿金錢來說好了，你也許有一天需要去銀行借錢，要避免在這時候為計算借款而張皇失措，就要盡可能多了解數學。當然你可以用計算器，但是萬一按錯了鍵，還是必須靠自己去發現這個錯誤。換句話說，要發現這種錯誤，就必須具備充分的數學知識。

蘇美爾人的智慧

總之，懂得計算比較有利，這也是數學這個東西會出現的原因之一。那是距今5000多年前的事了，當時有一個民族叫做蘇美爾人，剛開始在幼發拉底河和底格里斯河流域建造第一座大城，數學就是在這里起源的。

人一開始住在大城市，就會發生許多以前沒有遇到過的問題。蘇美爾人察覺到這一點，決定向幾千名居民收費，也就是說征稅，然后用收來的錢筑路、挖掘運河或建造房屋、寺院、城池。不管是哪一種建設，需要的勞工和建筑材料都遠遠不是以往的小村落所能比擬的。而且那時候已經有許多蘇美爾人在經商，也需要管理自己買賣的商品。

蘇美爾人于是想出最早的數學系統，制訂加、減、乘、除四則演算的規則，從而解決了生活上的現實問題。譬如建造一間寺院需要花上300天，在這段期間必須供給1000名勞工一天兩餐，這時管理階層的蘇美爾人就能夠馬上計算出施工期間必須準備60萬份飲食。因為他們具有計算能力，所以能夠預先做好計劃。

此外，蘇美爾人還知道天上的事情也和數字有關。他們早就注意到，每年都可以在同一個季節的夜空中看到同樣的星星。他們還知道，從太陽在盛夏抵達空中最高點到來年返回同一個位置總共需要365天，而滿月和滿月之間總是間隔29天。蘇美爾人最感到不可思議的是，有特別的星星在其他星星之間轉來轉去，而這種“游蕩的星星”——現在稱為“行星”——也是很規律地在空中運行。

光是遼闊的空中景象就夠讓人興奮不已了，蘇美爾人進一步發覺那里的星星、太陽、月亮和日期、數字有關時，心里一定相當的感動。人類就是從那時候開始頻頻觀測星空，第一個天文學家也許就是蘇美爾人。

幾何學的誕生

蘇美爾人的王國在距今4000年前為古巴比倫人所攻占。關于古巴比倫，上過宗教（基督教）課程的人應該都聽過，這個王國的首都是巴比倫，也就是以色列人被帶往的地方。古巴比倫人不僅征服了蘇美爾人，也接收了他們的數學知識，奠定了數學這門學問的基礎。古巴比倫人為了了解太陽、星星、月亮和行星如何在天空移動，而制作出正確的天體運行表。有了這份依據數學規則制作的運行表，人們才能開始預測星空的變化。

這些知識對當時的一般人來說，一定如同法術。計算技術實際上也運用在這一方面。古巴比倫人相信空中發生的事情會影響日后的地面，因此當時的天文學家也是占卜民眾生活的巫師。古代巴比倫的“星星宗教”也稱為占星術，一直流傳到現在。大部分的周刊雜志不是都有“占星”專欄嗎？那就是根據古巴比倫人對星星的數學知識建立出來的。

還有，古巴比倫人也使用細木棍在黏土盤上刻字。這種黏土盤有幾十萬塊留存下來，大部分是商品的庫存單、收據、估價單、天體運行表等等，幾乎都沒有關于宗教、詩、故事、法律等方面的。從這里可以知道，在古代巴比倫人的日常生活中，計算（以及金錢）是多么的重要。

發明幾何學的人也是古巴比倫人。幾何學是數學中的一門，研究三角形、圓、四角形、線等計算的學問。“幾何學（geometry）”一詞的原意是“測量土地”。這項知識要如何運用呢？我們請古巴比倫隔壁的古埃及人民來告訴我們。他們正面臨著很特殊的問題。

畢達哥拉斯

埃及人的生活從過去到現在都要依賴尼羅河。以前的尼羅河每年到了春天都會泛濫，泛濫過的河水會沖走用來劃定屬地的柵欄或石垣，所以每次泛濫之后，農民都必須請人重新測量土地。幾何學——亦即“測量土地”就是在這時派上用場的。

古希臘人開始關心自然時，數學在整個中東地區已經很普遍了。可是，希臘人什么都要認定是他們最早想出來的，在這方面也堅持第一個真正的數學家是泰勒斯。

目前已經知道，具備的數學知識能和古巴比倫人相比的古希臘哲學家寥寥無幾，其中之一就是畢達哥拉斯。他在公元前570年生于薩摩斯島，一般認為他的學問是由泰勒斯的弟子傳授的。畢達哥拉斯是因兩個發現而聞名，但是其中之一卻和畢達哥拉斯本人沒有關系！那就是幾何學上有名的“勾股定理”。

這項定理是關于三角形的邊長，只適用于三邊中有兩邊呈直角的三角形。所謂的直角就是綁著秤錘的線垂到地上時，與地平面形成的角度。這本書的書頁四邊就是這樣的直角。

三角形有這種直角，而且知道形成直角兩邊的長度時，就可以計算出最長邊（斜邊）的長。用公式來說明就一清二楚了。假設較短的兩邊是A和B，最長的邊是C，那么：

C×C=A×A+B×B

實際上測量各個邊長就能證明這個公式。你可以嘗試在這一頁從左上角到右下角畫一條直線，把這一頁分成兩個三角形。這時可以看出來，這兩個三角形都在頁邊呈直角。接著用尺測量斜線的長度，然后把這數字乘以它自己。同樣的，也測量這一頁的長和寬，兩個數字各乘以自己以后相加，應該會和斜線的長度自乘的結果一樣。

這個“畢氏定理”其實是建造金字塔時使用的“三角測量法”，為古埃及人所發現。從此以后，也用來測量山峰的高度或星星之間的距離。

另一個發現應該真的是來自畢達哥拉斯本人：豎琴每一條弦的長度如果呈一定的比例，這些琴弦發出的聲音就會很清晰。琴弦的長度可以用數字表示，所以畢達哥拉斯認為美麗的音色背后存在著“數字”，而為音樂創造出數學性的規則。

畢達哥拉斯曾經在古巴比倫求學，因此知道巴比倫人如何計算天體的運行。音樂和天空的星星雖然是完全不同的兩回事，畢達哥拉斯卻能發現這兩者都依循著數學性規則。他還進一步推想到，自然界所有一切的背后都存在著數字，就像泰勒斯心目中的水，數字對畢達哥拉斯來說就是所有一切的“根源”。

但是，畢達哥拉斯后來的發展可和泰勒斯不一樣，他創立了一種“宗教”，神明就是數字。這種新興宗教吸引了許多信徒，并逐漸有了“畢達哥拉斯學派”的稱號。這個學派在畢達哥拉斯過世之后，依然維持了幾百年。學派的活動非常神秘，據說把內容泄露出去的人會遭處決。

畢達哥拉斯的思想也許在現今讓人覺得很怪異，可是畢達哥拉斯確實有過一項重要的發現。

數學教科書

接下來終于可以談到你學習數學的第二個理由了。首先要說的是，自然界發生的許多事情實際上都是依循著數學法則，雖然數字未必是所有一切的“根源”，但是幾乎所有現象都可以用數字來表示。因此，如果你完全沒有數學知識，就很難了解自然界所發生的事情。

古希臘的哲學家也很清楚這一點，這也是他們為數學著迷了幾百年的原因之一。畢達哥拉斯時代的數學放進了太多東西，容易產生紛雜的錯誤。為了鉆研數學這個領域，就必須有把規則訂得井然有序的新數學。這種新數學約在公元前300年時出現，像數學家歐幾里得就寫了《幾何原理》，記載著種種圖形問題的數學證明。

數學證明就是證明公式所表示的事實是絕對正確的。拿勾股定理來說，我們怎么知道這個定理對所有直角三角形來說都是正確的？三角形有大有小，同一個公式不見得都成立，不是嗎？但是，只要是念過《幾何原理》的數學家，就不會為這樣的問題苦惱，因為他能夠證明出勾股定理不管三角形的大小，凡是帶有直角的三角形都適用。

歐幾里得的研究非常的重要，《幾何原理》在我們這個時代依然是數學教科書。近來經常有人說，學校使用的數學教科書太老舊了，可是，請想想看在短短的100年前，19世紀的學生可還在念2000年以前的教科書。