1　從“矛盾”說起

兩千多年前，韓非講過這樣一個故事：

楚人有鬻盾與矛者，譽之曰：“吾盾之堅，莫能陷也?！庇肿u其矛曰：“吾矛之利，于物無不陷也。”或曰：“以子之矛，陷子之盾，何如？”其人弗能應也。（《韓非子·難一》）

為什么“其人弗能應也”？因為“夫不可陷之盾，與無不陷之矛，不可同世而立”。換句話說，那楚人的話同時導致了“這支矛能刺破這張盾”和“它不能刺破這張盾”（或“這張盾不能被刺破”和“這張盾能被刺破”）的結論，而這一對“矛盾”句子不能同時成立。感謝古人給我們留下了“矛盾”這個生動的詞語，但是，除了這一對特殊句子，一般而言矛盾是什么？矛盾到底為什么不能成立？矛盾的句子不違反語法，但它顯然違反另一種法則。這是什么樣的法則呢？對這樣的問題，我們的古人總體來說沒有表示出多大的興趣。^①畢竟，這種問題看起來跟實際生活沒有太大的關系。我們能夠看出那個楚人的話是矛盾，憑著直覺，也能在許多重要的場合避免矛盾，這還不夠嗎？

然而，從古希臘開始的西方思想家卻在興致勃勃地思考這種問題。他們愿意對很多事情刨根問底，即使這些東西并不實用。假如讓古希臘的哲學家接著韓非的問題解釋下去，他們大致會說：第一，同時肯定和否定同一個主張就是矛盾（“矛盾”一詞，按他們的話來說，相當于“不可能”或“荒謬”），而不管這個主張是什么。第二，我們有一條普遍的形而上學原則，即所有的矛盾都不可能為真。如亞里士多德所說：“同一個東西同時且在同一方面既屬于又不屬于同一個東西，這是不可能的”（《形而上學》，1005b）。第三，這條“（不）矛盾律”同時是我們思想的“最確定的推理原則”或規則，這條規則說：如果你從一個主張推出了矛盾，你就要否定這個主張。后來的西方人把這條思想規則稱為reductio ad absurdum（以下簡稱RAA）。

追問這類“無用”的問題有什么意義呢？現在一些歷史學家認為，RAA提供的間接證明方法，在西方思想史上起了十分關鍵的作用。他們甚至說，這條規則或方法，導致了整個演繹科學的產生。^②比如，上古的希臘數學，使用經驗的方法，依賴視覺的形象（如人們用黑白石子代表奇偶數來做算術）。當RAA在公元前5世紀左右開始應用到數學中時，數學就逐漸脫離了石子和眼睛，發展出單純訴諸理智的抽象證明方法。經驗方法只能顯示一些特例，抽象證明才能建立全稱命題。^③構成一個理論的核心的，是一些全稱命題，一旦有了證明全稱命題的嚴格方法，古希臘人從東方學來的實用測量術，就逐漸演變成了歐幾里得嚴格的公理系統，而這是演繹科學的不朽典范。如今許多人認為，中國古代缺乏演繹科學的方法，這是我們沒有發展出西方意義上的現代科學的重要原因之一。

誠然，古代中國人（甚至所有人）實際思考起來，也不言而喻地“默契”于RAA或類似的規則，但是，對于什么樣的普遍規則制約著我們的思考這個問題，我們的先人雖不是“其人弗能應也”，卻沒有提供像古希臘人那樣系統與清晰的答案。回不回答或如何回答這個問題，也許不影響或不嚴重影響實際的思考，但嚴重影響了人們對于自己的思想結構的理論認識。當愛利亞的哲學家開始思考為什么“是”不可能不是，也不可能既是又不是時，當畢達哥拉斯前后的數學家開始使用RAA證明全稱數學定理時，其中孕育的對于抽象概念的關注以及處理抽象概念的思想方法，的確為演繹科學和思辨哲學開辟了道路，為人類的“認識自己”邁出了一大步。從對于自然的玄想到亞里士多德的形而上學，從實際測量的經驗方法到歐幾里得的幾何學，這種巨大的發展大概不能完全歸功于幾個思想規則的確立，但如果沒有對于思想方法的深刻反思，這發展根本不可想象。什么是矛盾？為什么矛盾不可接受？上面說的“推出”是什么意思？除了RAA，還有什么規則制約著我們的推理？亞里士多德（和希臘化時期的一些學者）把古希臘人的答案總結成一個理論——邏輯，或關于演繹推理的學說。

兩千多年以來，西方邏輯經歷了幾個發展階段。從亞里士多德到中世紀甚至到近代一些時候的理論可以稱為傳統邏輯，主要借助于自然語言，特別是對于自然語言的語法分析來理解命題和推理。17世紀，哲學家、數學家萊布尼茨（G. W. Leibniz）鑒于自然語言的模糊和歧義，提出建立一種普遍的人工語言（他稱為“通用文字”），使用數學那樣精確的方法研究和表達概念之間的關系，使這種語言中的推理成為嚴格的計算。后來，數學家布爾（George Boole）設計了這樣的一個命題邏輯演算，把復合命題間的推理組織為一個代數系統。19世紀的數學家、哲學家弗雷格（Gottlob Frege）建立了他稱為“概念文字”的符號語言，發明出一種全新的謂詞和量詞分析方法，構造了第一個謂詞邏輯的演算系統。其后通過羅素（Bertrand Russell）、希爾伯特（David Hilbert）、甘岑（Gerhard Gentzen）、哥德爾（Kurt G?del）和塔斯基（Alfred Tarski）等人的工作，邏輯語言的語形和語義諸問題逐漸得到澄清，關于邏輯系統的元邏輯理論也得到深入的研究。這條近代以來的線索標志著在傳統邏輯的基礎上，數理邏輯或現代邏輯的產生和發展。一言以蔽之，西方邏輯從亞里士多德發展至今，變得愈來愈精致、愈來愈嚴格、愈來愈完備。如今廣義的邏輯學科不僅研究推理，還研究符號系統本身的性質，它的解釋，它在數學、哲學、計算機科學以及語言學中的應用等等。

本書介紹數理邏輯的基本思想和技術，著重介紹它對于推理的研究，考察如何建立一個完全的形式推理系統。這是現代邏輯的第一步。我們會看到，其中的核心思想仍然沿襲了古希臘的傳統，但處理技術和結果遠遠超越了傳統邏輯。在系統展開邏輯理論之前，我們在本章中先解釋一系列邏輯概念的直觀背景，從中引申出本書的主題，說明這個主題的思想動機和其中主要部分的起承轉合。本章涉及的某些邏輯概念，只是在直觀的層面上提出和討論，到后面的章節我們才能逐漸得到它們的嚴格定義。既然只是一個鳥瞰式圖景，讀者就不必在這里強求細節的清晰。但在探究后面的細節時返回來參照本章，或許是有益的。我們的策略是“先見森林，后見樹木”，以求在考察一棵棵樹木時胸中有全局的森林，在推敲形式技術時眼里有直觀的圖景，而不致迷失在枝節的問題中。