1　集合（不）是什么？

集合是數學和哲學的最重要的概念之一，集合論試圖對集合概念做某種刻畫，但嚴格來講，我們迄今為止對這個概念還沒有一個標準的共識，或許我們對它的一些深層性質理解得仍然不夠清晰；然而，在基本的層面上，通行的集合論可以說已經對它做出了相對充分的描述。下面我們嘗試按集合論創始人康托爾（Georg Cantor）的定義來介紹集合的一些基本性質。他說：

我們把一個“集合”理解為任意這樣一個聚合M，它將我們的直觀或思想的確定的、有明確分別的一些對象m（稱為M的“元素”）聚為一個整體。

比如，把韓非和亞里士多德這兩個“我們的直觀或思想的確定的、有明確分別的對象”放在一起，就得到一個集合，我們把它記為｛韓非，亞里士多德｝。同理，我們有集合｛1，2，3｝，甚至｛1，亞里士多德｝等等。有序對也是我們的“思想的對象”，所以，我們可以構造集合｛〈1，2〉，3｝，｛〈1，2〉，〈2，1〉｝，等等。這樣的集合記法，是通過枚舉其中的元素得到的。

x是集合A的元素，記為x∈A。比如，韓非∈｛韓非，亞里士多德｝；〈1，2〉∈｛〈1，2〉，〈2，1〉｝，等等。

特別而言，單獨一個對象，也可以聚為一個集合，如｛韓非｝、｛〈1，2〉｝。注意，｛韓非｝不是韓非，前者是只有一個元素的集合，后者是前者包含的元素。只有一個元素的集合，稱為單元集。

如果一個集合的元素太多，無法一一枚舉出來，那么我們可以采取明確其共同性質的抽象表達法來標記它。比如，我們可以把所有自然數的集合N表為｛x｜x是自然數｝。按前面的理解，這即是說，集合N是概念“……是自然數”的外延。抽象法不限于表達那些大的集合，如｛x｜x是地球的自然衛星｝就是單元集。一般而言，如果φ（x）表示一個性質，則我們就用｛x｜φ（x）｝表示所有具有此性質的元素的聚合；換言之：

任給x，x∈｛x｜φ（x）｝當且僅當x滿足φ（即φ（x）成立）。

枚舉法是抽象法的特例，如｛1，亞里士多德｝可以表達為｛x｜x＝1或x＝亞里士多德｝（這里的“x＝1或x＝亞里士多德”是一個“復合”性質）。因此，直觀上看來，對任意一個集合，我們似乎可以設計一個概念來表述它；而任意一個概念，也似乎決定一個集合。這與弗雷格的觀念（集合是概念的外延）吻合。但是，這個簡單觀念蘊涵著復雜的問題，我們稍后討論這里的問題。

有些性質，沒有任何對象具有它們，如性質“x≠x”，顯然沒有東西不與自身等同。因此，集合｛x｜x≠x｝不含任何元素。不含任何元素的集合稱為空集。空集A因此是這樣的集合：

對任意的x，都有x?A。

康托爾要求集合的元素彼此之間“有明確的分別”，其含義之一大概是，我們應該忽略重復出現的元素以及元素出現的順序，比如集合｛a，a，b，c，c，c｝和｛b，a，c｝都應等于｛a，b，c｝。就是說，

給定集合A與B，如果對任意x，x∈A當且僅當x∈B，則A＝B。

這即是前面說的外延性原則，它給出了集合的同一性條件。

外延性原則保證了空集是唯一的，“唯一”的意思是說，如果A和B都是空集，則A＝B。下面給出一個證明：

假設A和B是空集。由A是空集知，對任意的x，都有x?A。此時有：如果x∈A，則x∈B（注意，這里的“如果……則……”是實質蘊涵）。同理，由B是空集得到，如果x∈B，則x∈A。所以，x∈A當且僅當x∈B。根據外延性原則，A＝B。

一個證明就是一個推理。下面用一個樹形圖表示這個推理的結構，以幫助我們熟悉樹形圖表示方法：

這棵樹有兩個葉，即兩個前提（“A是空集”和“B是空集”）。由此出發，經過中間步驟，得到根（結論）：A＝B。各個結點的來龍去脈層次分明。

所以，任何空集都等于｛x｜x≠x｝。這使得我們可以用一個專名?來標記空集。

集合的相等關系，有兩方面的蘊涵，減弱一方面，就得到子集概念。

1.1定義　集合A是集合B的子集，記為A?B，當且僅當對任意的x，如果x∈A，則x∈B。

例　｛韓非，亞里士多德｝?｛x｜x是人｝；

　　｛〈劉禪，劉備〉，〈曹植，曹操〉｝?｛〈x，y〉｜x是y的兒子｝；

　　｛x｜x是素數｝?｛x｜x是奇數｝。

我們現在不知道哥德巴赫猜想，即

　　｛x｜x＞2并且x是偶數｝?｛x｜存在素數y和z，使得x＝y＋z｝是否為真。

如果A?B且A≠B，則稱A是B的真子集，記為A?B。

1.2　習題　證明：

1）對任意集合A和B，如果A?B，且B?A，則A＝B。

2）對任意集合A，B和C，如果A?B，且B?C，則A?C。

3）對任意集合A，??A且A?A。（提示：子集定義中的“如果……則……”是實質蘊涵。）

4）對不同的個體a和b，

｛a｝∈｛a，｛a｝｝，｛a｝?｛a，｛a｝｝。

｛a｝?｛b，｛a，｛a｝｝｝，｛a｝?｛b，｛a，｛a｝｝｝

康托爾所說的元素的“確定性”，一般認為是要求一個給定的對象和一個給定的集合之間，有確定的關系。這似乎規定了關于集合的確定性原則：

對任意的對象x和任意的集合A，x∈A或x?A。

這是排中律在集合的屬于關系上的應用。我們可能沒有能行的方法判定，甚至根本不知道x∈A還是x?A，但x∈A和x?A必定有一個且只有一個成立。確定性原則要求在集合論里使用經典邏輯進行推理。如上例中提到的哥德巴赫猜想，按照確定性原則，這個命題或者為真，或者為假（直覺主義邏輯不承認這一點）。

關于一個集合的元素，康托爾要求它們是“直觀的”或“思想的”對象。按后來的某種理解，直觀的對象指個體，而思想的對象指集合。因此，一個集合也可以是另一個集合的元素，屬于關系不僅是前面所說的個體（和個體序列）與集合之間的關系，也可以是集合之間的關系。正如有性質的性質，也有集合的集合。“勇敢是一種美德”這個命題是對“勇敢”——或“……是勇敢的”——這個性質的述說，表示這個性質有“……是一種美德”的性質。“……是勇敢的”是個體的性質（一階性質），而“……是一種美德”則是個體的性質的性質（二階性質）。相應地，令集合A＝｛x｜x是勇敢的｝，B＝｛X｜X是一種美德｝，則命題“勇敢是一種美德”就對應于A∈B。A是個體的集合，B是個體的集合的集合。當然，還有個體的性質的性質的性質等等；相應地，也有個體的集合的集合的集合等等。

在一個語言里，如果不僅允許量詞使用在個體之上，而且允許它們使用在個體的性質和關系之上，則這個語言就不僅能談論個體有什么性質（關系），而且能談論個體的性質或關系有什么性質或關系。這稱為二階語言，研究其中推理的，稱為二階邏輯。二階語言的論域里面不僅有個體，還有個體的集合。比如，上一章提到，一階算術語言L₂可用來描述N＝｛x｜x是自然數｝這個論域。但二階算術語言描述的論域里不但有自然數，還有自然數的集合，如｛1，2，3｝，｛2，3，5，14，2798｝，｛x｜x是偶數｝，等等——就是說，任意的N的子集。這些子集也構成一個集合，稱為N的冪集。

1.3　定義　設A是集合，稱集合｛X｜X?A｝為A的冪集，記為（A）。

直觀上說，一個集合的冪集就是這個集合的所有子集的集合。根據習題1.2-3，任何集合A的冪集都不是空集，它至少包含?和A。

例　｛a，b，c｝的冪集是

　　｛｛a，b，c｝，｛a，b｝，｛a，c｝，｛b，c｝，｛a｝，｛b｝，｛c｝，?｝。

由于???，且沒有其他集合是空集的子集，所以（?）＝｛?｝（注意，單元集｛?｝不等于空集?）。

1.4　習題

1）列出｛a，｛b，c｝｝的冪集的所有元素。

2）設集合A有n（n是某個自然數）個元素。證明（A）有2ⁿ個元素。

給出一個集合，預設了它的元素已經先行確定。因此，給定任意兩個集合，我們可以把它們的元素聚在一起，構成一個新的集合。同樣，這兩個集合共同的元素，既然已經確定，也可以構成一個集合。另外，在其中一個集合里，去掉兩個集合共同的元素，剩下的那些元素還可以構成一個新集合。這三種形成新集合的運算分別稱為并、交和差。

1.5　定義　給定集合A和B，

稱集合｛x｜x∈A或x∈B｝為A和B的并集，記為A∪B。

稱集合｛x｜x∈A且x∈B｝為A和B的交集，記為A∩B。

稱集合｛x｜x∈A且x?B｝為A和B的差集，記為A－B。

例　｛a，b，c，d｝∪｛c，d，e｝＝｛a，b，c，d，e｝；

　　｛a，b，c，d｝∩｛c，d，e｝＝｛c，d｝；

　　｛a，b，c，d｝－｛c，d，e｝＝｛a，b｝；

偶數集與奇數集的并集是自然數集，其交集是空集；

偶數集與自然數集的并是自然數集，其交是偶數集。

根據定義1.5，顯然有

A∪?＝A；

A∩?＝?；以及

A∪A＝A∩A＝A（冪等律）。

再考慮一個稍微復雜點的例子：

如果B?A且C?A，則B∪C?A。

證明：給定B?A且C?A。考慮任意的x，假設x∈B∪C。根據定義1.5，我們首先有如下推理：

x∈B或x∈C。（前提）

由x∈B推出x∈A（因為B?A）；

由x∈C推出x∈A（因為C?A）。

總之（根據分情況證明規則），x∈A。（結論）

這一推理片段的結構，我們也用樹形圖表示一下：

（注意：“x∈B”和“x∈C”雖然出現在前提的位置上，但并不是這段推理的最后結論的前提。它們只是臨時引進的假設，目的是得到“由x∈B推出x∈A”和“由x∈C推出x∈A”這兩個條件。這兩個條件一旦得到，“x∈B”和“x∈C”就應該從原位置上抹去。所以，我們把它們用方括號標記出來，以區別于最后結論的真正前提：“x∈B或x∈C”，以及B?A和C?A。）

從上面這段推理，我們得到：

（在前提B?A和C?A之下）若（x∈B或x∈C），則x∈A。

再由x的任意性，得到最后的全稱結論：

（在前提B?A和C?A之下）任給x，若x∈B∪C，則x∈A——即B∪C?A。

兩個集合的并集和交集運算可以推廣到任意多集合上。其元素都是集合的集合叫集合族。設A是一個集合族，

我們稱集合｛x｜存在集合B∈A，使得x∈B｝為A的并，記作∪A，它是A中所有元素的并；

稱集合｛x｜對所有B∈A，都有x∈B｝為A的交，記作∩A，它是A中所有元素的交。

1.6　習題

1）X，Y，Z是任意集合。證明集合運算∪和∩滿足交換律、結合律和分配律：

i）X∪Y＝Y∪X（交換律）；

ii）X∩Y＝Y∩X（交換律）；

iii）X∪（Y∪Z）＝（X∪Y）∪Z（結合律）；

iv）X∩（Y∩Z）＝（X∩Y）∩z（結合律）；

v）X∩（Y∪Z）＝（X∩Y）∪（X∩Z）（分配律）；

vi）X∪（Y∩Z）＝（X∪Y）∩（X∪Z）（分配律）。

2）證明（德摩根律）：對任意集合X，Y和Z，

i）X－（Y∪Z）＝（X-Y）∩（X-Z）；

ii）X－（Y∩C）＝（X-Y）∪（X-Z）。

3）證明：設A是集合族。

i）A的任意元素是∪A的子集。

ii）∩A是A的任意元素的子集。

我們回到康托爾的集合定義上來。它最后要求集合是對象聚合成的“整體”，這似乎意味著，集合是某種統一體，是由“多”聚成的“一”。按照一種樸素的哲學觀念，當我們用一個概念（謂詞）“把握”了多個東西之后，這多就同時成了作為思想對象的一。例如我們用“人”或“自然數”等概念把某類的許多個體在思想上“統觀”成一。用上述觀念解釋康托爾，就似乎有以下結論：第一，每個集合都有一個定義它的謂詞；第二，每個謂詞都決定一個集合（其元素是所有滿足這個謂詞的對象）。這似乎是一種自然的想法，也是集合概念之所以出現的原始動機之一。

但是，現在人們意識到，這兩點恐怕都錯了，且都不是康托爾的原義。我們著重談第二點，因為這是弗雷格關于每個性質決定一個集合的想法的另一種表述。文獻上稱這個想法為一般概括原則，它說的是：

對任意性質詞φ，存在一個集合S，它的元素是所有滿足這個性質的對象，即S＝｛x｜φ（x）｝。

1902年，羅素給弗雷格寫了一封信，說明當φ表達某種集合的性質時，這個原則導致矛盾。其推論如下：

1.7　羅素悖論　令φ為X?X．根據上述原則，存在集合S＝｛X｜X?X｝，即對任意X，X∈S當且僅當X?X。特別地，S∈S當且僅當S?S．矛盾。

直觀上看，這里的φ表達性質“……不屬于自身”，而S相當于所有不屬于自身的集合的“集合”。如果S∈S，則根據S的定義，S有“……不屬于自身”這個性質，即S?S；另一方面，如果S?S，則S具有“……不屬于自身”這個性質，再根據S的定義，S∈S。所以，S∈S當且僅當S?S。矛盾。

因此，S不可能是一個集合。這意味著，并非任意一類“多”都能聚為“一”，即使你能用某個概念或謂詞把握或理解這類“多”。換言之，不能簡單地說集合是概念或謂詞的外延，有的概念的外延不是集合，有的性質不對應任何集合，這是集合概念深藏不顯的特性之一。康托爾早就指出，有“不一致的聚合”，也許他的意思就是，有些聚合不是集合。這個例子也表明，我們直觀的哲學觀念不是那么可靠的，精確的分析可能揭示其中的矛盾，而哲學分析要達到精確的程度，就需要借助邏輯和數學的方法。

羅素悖論是歷史上出現的幾個集合論悖論之一，它不表示集合概念本身有矛盾，而只說明人們對集合概念的初始的、樸素的理解有誤差。通過把集合概念的直觀內容闡述為一系列確定的原則或公理，限制集合的構造方式，人們避免了迄今為止所發現的所有集合論悖論。既然概念的外延不全是集合，一種處理方式是把概念的外延統稱為類。有的類是集合，有的不是，不是集合的類（如羅素悖論里的S），叫作真類。真類不是一個統一體，因而不能成為其他類的元素。雖然我們對于有關集合的許多問題還不能回答，但經過一百余年的數學研究，人們對集合概念已經有了相當深刻的理解。

遺憾的是，我們在哲學上對于什么是概念、什么是性質理解得還相當膚淺。比如，我們仍然無法解決關于性質的羅素悖論：有的性質能例示自身，如“……是抽象的”（“……是抽象的”這個性質是抽象的），有的不能，如“……是人”（“……是人”這個性質不是人）。性質“……是不能例示自身的”本身是一個（性質的）性質，令它為S。現在問：S能否例示自身？如果S能例示自身，則由S的定義，S不能例示自身；如果S不能例示自身，則S具有S這個性質，即它能例示自身。所以，S能例示自身，當且僅當S不能例示自身。矛盾。

一切好像順理成章。我們無法斷定這里面是否存在對“性質”這個概念的誤解問題，因為我們不知道都有什么原則制約著它。情形似乎是，我們對概念、性質的外延方面（類、集合）有了相當了解，但對它們的內涵方面所知不多。哥德爾認為，邏輯不但要研究外延，也要研究內涵，不但要有集合論，也要發展一種概念論。這種邏輯觀念，與我們前面所講的邏輯觀念顯然不同。我們不打算討論概念的本質問題以及由此帶出的廣泛的邏輯觀念問題，但在這個廣泛的觀念之下，本書介紹的，可以叫做某種狹義的外延邏輯。

這里需要說明，上一章討論一階語言的語義的時候，我們曾把集合理解為概念的外延，但那里談的是個體的性質和關系，個體和個體序列的集合，不牽涉高階的性質和任意集合，特別是不出現一個集合是否屬于自身的問題，因而我們前面提到的，是最低層次的集合，它們不受集合論悖論的影響，我們所有先前的討論，仍然可以在那個范圍里成立。