3.3 數值方法比較

本節首先給出一種逆拉普拉斯變換的數值解法，并針對巴黎期權的形式進行求解，給出相應的誤差分析。

3.3.1 逆拉普拉斯變換

考慮對巴黎期權的拉普拉斯形式進行逆拉普拉斯變換（以下簡稱“逆變換”）的數值方法。由于逆變換是一個圍道積分，我們的目標是通過尋找一個有限級數和來近似這個圍道積分。首先使用一個無窮級數來近似其逆變換，也即對積分離散化。然后通過把無窮級數化為有限級數，從兩種截尾級數近似方法中，選出一種快速、精確的近似方法。最后進行相應的誤差分析。

1．逆拉普拉斯變換的解析方程

考慮對于一個R+上的可積函數f，假設當x＜0時f（x）=0，記在z∈C以及Re（z）＞0上的拉普拉斯變換

以及在ξ∈C上的傅里葉變換

經典復分析理論告訴我們，對于上述的f，兩者之間有如下的關系：

式（3-24）的唯一存在性條件為f（x）e-σt均方可積，而這對于一般的期權價格是成立的，因為f有界而σ＞0。為了計算f，我們可以對式（3-24）左右同做傅里葉逆變換，并寫成如下的圍道積分的形式。

這里u=σ+iξ。通過展開拉普拉斯算子并使用歐拉公式分別計算上述積分的實部和虛部，并且考慮到f為一個實值函數，經過一系列的積分推導之后，可以得出

如果我們能解決上述奇異積分的計算，則我們可以得出f的值。為了使用數值近似的方法，使用梯形法數值近似上述積分，取步長為，且記，則有

為了測量fh（t）近似f（t）的程度，可以使用泊松求和公式。泊松求和公式精確地把積分展開成無窮級數，建立積分與級數的一一對應關系。鑒于求解過程較為復雜，這里只列出計算結果，有興趣的讀者可以參考復分析方面的資料。關于上述積分的泊松求和公式為

把泊松求和公式與式（3-27）比較，可以看出采用步長為的時候近似誤差可以被所控，由于f代表期權的價格，顯然有f＜S0，于是有。如果初始的股價為10元，取A=18的話，計算精度為O（10-7），在大部分情況下足以忽略。

當然，在數值計算的計算機實現上我們需要把無窮級數化為有限和的形式（截尾級數），記為Sn（t），也即

為了計算上述截尾級數的誤差，我們需要求出余項的上界，因為

為了要達到O（10-7）的精度，我們需要求出1.17項的和，而這一計算的工作量非常大。為了能快速實現上述無窮級數的近似，我們采用歐拉求和法來加速級數的收斂性。

2．歐拉求和法

截尾級數的收斂速度非常慢。但是鑒于上述級數的通項具有周期性，可以定義如下的一個歐拉和，也即關于通項sn, sn+1, …, sn+m的一個二項近似

由于上式的求和權重等于1，則可以放縮通項得到

讓左右兩式同時趨于無窮，由夾逼準則則有

也即歐拉求和對s的近似是無偏的。下面我們考慮收斂速度，也即歐拉和能以多快的速度收斂到真值s。我們關注連續項的差E（m, n+1, t）-E（m, n, t），通過一系列的放縮，可以得到

于是計算誤差

為了獲得O（10-7）的精度，如果選擇n=15則需要m=23。計算迭代所需要的計算開銷比之前的1.17要小很多，可以看出歐拉求和法非常有效地降低了計算的復雜度。

在計算巴黎期權的逆拉普拉斯變換之前，我們還需要數值近似正態分布的分布函數，也即N（x）。在本書的計算機實現上我們采取如下的多項式近似：

其中x＞0，并且

這種近似具有O（10-6）的精度，并且能夠快速實現。

3.3.2 比較不同類型的巴黎期權

通過上述所使用的數值方法，采用C++編程，在Linux環境下計算一次巴黎期權的價值所需時間約為10毫秒。圖3-1和圖3-2給出了八種巴黎期權關于標的資產價格的形狀。

從圖3-1和圖3-2所給出的八種巴黎期權的價值，注意到為了能直觀反映其價格形狀，標的資產價格的區間有所不同。可以看出，八種巴黎期權中有四種形狀和標準歐式期權類似，這是因為這四種巴黎期權的障礙敲入（敲出）條件與看漲（看跌）方向一致，從而標的資產的單向變動也會導致期權價格單向變動。而另外四種則具有獨特的鐘形形狀，這是因為這四種巴黎期權的障礙敲入（敲出）條件與看漲（看跌）方向相反，從而期權價值的變動受到雙向影響：一是敲入概率的變化；二是行權概率的變化。