3.2 巴黎期權的定價模型

我們著重關注向下敲入看漲巴黎期權。其他形式的巴黎期權可以通過一系列的平價關系得出。首先給出本節所用到的大部分符號，并介紹一系列關于布朗運動的停時，為后續巴黎期權的定價做準備。然后轉入向下敲入看漲巴黎期權的理論定價，給出其拉普拉斯變換形式。最后通過巴黎期權與歐式期權的初始價格給出任意時刻的巴黎期權價格。

3.2.1 符號假設與定義

本節主要會運用到下列符號：

S：標的資產價格過程；

K：行權價格；

T：期權到期日；

L：標的資產價格S的障礙價格；

D：期權的窗口期；

D′：期權在t時刻時于障礙價格單邊的累計徘徊時間；

x：標的資產價格S的初始價格；

r：無風險利率，假設為常數；

δ：股票的分紅率或外匯無風險利率；

σ：波動率，假設為正常數；k:；

b:，即布朗運動的障礙水平；

λ：拉普拉斯參數，為一個復值變量；

θ:；

d:；

m:。

假設巴黎期權的定價可以在無套利均衡條件下進行，從而可以直接定義風險中性測度Q下的標的資產價格。設標的資產的價格S={St, t≥0}在風險中性測度Q下服從幾何布朗運動dSt=St[（r-δ）dt+σdW t], S0=x，其中W={W t, t≥0}為一個Q-布朗運動，根據伊藤公式可寫出。為了計算方便，采用Chesney等人的參數變換

并根據Girsanov定理，可由通過定義的概率測度P使得Z={Zt=Wt+mt,0≤t≤T}為一個P-布朗運動。則在P測度下。可以看出，新定義的概率測度P消除掉資金的時間價值，從而使得在計算上免除反復考慮貼現值的煩瑣性。如果沒有特別提出，本章討論的標的資產的價格S={St, t≥0}以及布朗運動Z={Zt, t≥0}都在風險中性測度P下。

下面定義一些與布朗運動相關的停時。b的符號定義了標的資產初始價格和障礙價格的關系，下面將通過b來定義與計算。

定義1：對于常數b，定義關于S的“末達時”過程過程

注意：若采用S和L的形式，的形式應寫為=sup{u≤t|Su=L}。可以看出描繪了t時刻資產價格S在L的單邊區域“徘徊”的時間長度，是關于t的隨機過程，并且關于可測，從而是一個停時。

利用可以定義一個與巴黎期權直接相關的停時。

定義2：對于以及常數D，定義與為

注意：雖然沒有寫出顯式，但與同樣是一個可測的停時，可以把與看作布朗運動首達時T b=inf{t＞0|Zt=b}的一個拓展，它要求布朗運動在最近一段時間內連續低于某一個常數。

3.2.2 向下敲入看漲巴黎期權（PDIC）

本節我們深入探討向下敲入巴黎期權的定價，首先以拉普拉斯變換形式給出巴黎期權在初始時刻的價格，并在此基礎上給出任意時刻的巴黎期權價格。

1．巴黎期權的初始價格

本節研究向下敲入看漲巴黎期權的定價方法，其他形式的巴黎期權可以通過巴黎期權與標準歐式期權之間的平價關系進行推導。記Ft=σ（Zs, s≤t）為由布朗運動Z={Zt; t≥0}生成的σ-代數流，可以通過時間變換為巴黎期權寫出一個三重積分的形式。

定理1：由上述定義的巴黎期權可寫成

其中

以及

證明：

為了計算*PDIC（x, T; K, L; r, δ），我們利用條件期望性質，有

記Wt為，由布朗運動的強馬爾可夫性，可知對任意停時，Wt與獨立，并且。記則Yt與獨立。由條件期望的性質可知，于是有

經過整理即可得到定理1的結果。

為了計算定理1的期望，需要知道各個隨機變量的密度函數，為此給出如下引理。

引理：與相互獨立，記的概率密度為ν（dz）則在b＜0時有

并且的拉普拉斯變換為。

其中：b為任意實數；λ為任意復數；。

引理的證明需要用到布朗徘徊（BrownianExcursion）的理論，我們在此不給出證明，感興趣的讀者可以參考有關文獻中的討論。從引理可知，可以通過計算的拉普拉斯變換，來寫出巴黎期權的顯式表達。為此需要計算巴黎期權價格的拉普拉斯變換形式，從而有如下定理。

定理2：當b＜0時，巴黎期權價格的拉普拉斯變換*PDIC（x, λ; K, L; r, δ）可顯式表達。

當K＞L時，

當K≤L時，

其中：。

通過平價關系，可以使用相似的方法來證明b＞0的情況，鑒于其只是一些（繁雜的）積分變換運算，在這里不列出其證明過程，具體的推導過程可參考Labart等人的結果。

定理3：當b＞0時，巴黎期權價格的拉普拉斯變換有如下形式：

當K≥L時，

當K≤L時，有以下兩種情況：

當x≤K≤L時，

當K≤x≤L時，

由定理2和定理3，得出了向下敲入看漲巴黎期權在所有情況下的拉普拉斯變換形式。為了求解其真實價值，需要通過逆拉普拉斯變換，而這一般需要通過數值方法進行，后面我們將使用歐拉求和法進行巴黎期權的逆拉普拉斯變換。但是在此之前先考慮在任意時刻t巴黎期權的價格。

2．任意時刻的巴黎期權價格

到目前為止我們可以計算巴黎期權在零時刻的初始價格，但在實際中僅有巴黎期權的初始價格還不夠，還需考慮在任意時刻t≤T的巴黎期權的價格。設在時刻t（t＜T）, Z={Zt; t≥0}為在概率測度P下的布朗運動，并設向下敲入看漲巴黎期權在障礙水平L下已經累計徘徊的時間長度為D′，記

T′=T-t

可以看出，的經濟含義為標的資產價格在t后第一次達到L的時刻。則在t時刻巴黎期權的價格可以寫為

在任意時刻t，標的資產價格可能有三種情況：第一種情況，St＞L，則此時與到期日為T′的向下敲入看漲巴黎期權沒有任何區別；第二種情況，St≤L且≥D-D′，也即標的資產一直徘徊在L下，從而成功敲入，這只需要D-D′≤T′即可；第三種情況，St≤L但＜D-D′，這表明標的資產重新回到水平L上，從而需要在剩余時刻進行另外一次的向下徘徊，這要求≤T′。根據這個思路，可以得出如下定理。

定理4：在任意時刻t巴黎期權價格

的拉普拉斯變換為

其中：（S, T, K, r, δ）為標準歐式看漲期權價格的拉普拉斯變換。

證明：

可以把示性函數分為三條路徑：

則定理中的數學期望可以分裂為

再次利用和與Ft的獨立性原理，并再次利用強馬氏性與條件期望性質，經過一系列漫長的積分運算，可以得到

定理4告訴我們，要計算在任意t時刻的巴黎期權價格，可以通過把其分解成三塊價值分別計算來得出。第一塊為一個標準的歐式期權，其到期時間為T′。第二塊為一個初始價格為St的巴黎期權，其到期時間為T′。第三塊可以通過一個拉普拉斯變換來表示，其值依賴于一個特殊的初始巴黎期權與歐式期權，因此需要對其拉普拉斯變換求逆。

上述表達式中所有的變量都可以從前面得到，因此也可以計算任意時刻t的巴黎期權價值。在后面我們將重點分析如何通過數值方法對拉普拉斯變換求逆，并給出一個快速精確的數值方法。