任務(wù)四　求解線性方程組

知識(shí)目標(biāo)

掌握高斯消去法求解線性方程組的基本原理。了解Excel自帶函數(shù)和Excel規(guī)劃求解法處理線性方程組的方法。

能力目標(biāo)

能運(yùn)用高斯消去法進(jìn)行手工求解線性方程組，能將高斯消去法和Excel單元格驅(qū)動(dòng)相結(jié)合求解線性方程組。

化學(xué)化工中，用線性代數(shù)方法描述復(fù)雜的化學(xué)反應(yīng)、定義多原子和多分子體系的線性空間、計(jì)算各種物質(zhì)的物理化學(xué)性質(zhì)的加和方法、物料衡算和能量衡算、確定反應(yīng)體系的獨(dú)立反應(yīng)數(shù)、化工量綱分析中確定獨(dú)立變量數(shù)以及某些分析化學(xué)計(jì)算等，都常常要運(yùn)用線性代數(shù)方程組的計(jì)算。

線性代數(shù)方程組的解法大體上可分為兩大類，即迭代法與直接法。由于直接法具有計(jì)算量較小、結(jié)果精確的特點(diǎn)，故又稱精確法，目前求解線性方程組以采用直接法為多。以下將介紹求解線性方程組的基本原理，并著重講解如何利用Excel進(jìn)行求解的詳細(xì)步驟。

一、線性方程組的求解方法

消元法是求解線性方程組常用的一種直接方法。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是可以預(yù)先估計(jì)計(jì)算的工作量，并且根據(jù)消元法的基本原理，可以得到有關(guān)矩陣運(yùn)算的一些方法，故其應(yīng)用很廣泛。

☆思考：何謂高斯消元法？

（一）消元法

消元法亦稱高斯（Gauss）消去法，其基本思想是通過線性變換將原線性方程組轉(zhuǎn)化為三角形方程組（消元），然后再進(jìn)行求解（回代）。消元法分為消元和回代兩個(gè)過程。下面以一個(gè)四階方程組為例說(shuō)明消元法的基本過程。

（1）消元過程

所謂消元，是指逐步減少方程式中變量的數(shù)目。為此將一個(gè)方程式乘以（或除以）某個(gè)常數(shù)，然后在方程式之間作加減運(yùn)算。為便于說(shuō)明，將式（1-25）寫作增廣矩陣的形式

消元過程的第一步

若a11≠0（若a11=0，總可以通過方程次序互換，使?jié)M足a11≠0），將第一行各元素乘以（-ai1/a11）后加到第i行（i=2，3，4），則可得

消元過程的第二步

又若（若a2（1）2=0，同樣可以通過方程次序互換，使?jié)M足；將第二行各元素乘以后加到第i行（i=3，4），則可得

消元過程的第三步

再若，將第三行各元素乘以后加到第i行（i=4），則可得

至此消元過程完成，式（1-29）中原方程組的系數(shù)矩陣化為一上三角矩陣，原方程組（1-25）等價(jià)于如下三角形方程組

注意消元過程中利用了這樣兩條運(yùn)算規(guī)則：

①某方程各項(xiàng)除或乘同一非零數(shù)所得方程組與原方程組等價(jià)；

②某方程與另一方程相加或相減所得方程組與原方程組等價(jià)。

（2）回代過程

所謂回代，即從最后一個(gè)方程式直接解出

將x4代入上一式，解出x3

逐次往前計(jì)算，便可求出全部xi。

按此類推，n階線性方程組，即

式（1-33a）也可表達(dá)為

其消元法的計(jì)算公式和步驟可歸納如下：

①消元過程　依次按k=1，2，…，n-1計(jì)算下列系數(shù)

②回代過程

對(duì)于一個(gè)n階方程組，采用高斯消元法需作n-1次消元過程。消去第一列（n-1）個(gè)系數(shù)需作乘法運(yùn)算次數(shù)為n（n-1），消去第二列中（n-2）個(gè)系數(shù)需作（n-2）（n-1）次乘法運(yùn)算，……，最后消去第（n-1）列中一個(gè)系數(shù)需作1×2次乘法，總計(jì)消去過程的乘法運(yùn)算次數(shù)為

其次為使第i個(gè)方程的xi系數(shù)為1時(shí)需作除法運(yùn)算次數(shù)為

因此消元過程總運(yùn)算次數(shù)為

在回代過程中需作乘法運(yùn)算次，除法運(yùn)算n次。所以整個(gè)高斯消元過程運(yùn)算總次數(shù)為

由此可見，采用高斯消元法求解高階線性方程組的工作量很大，手工求解不太可能，如n=10時(shí)，總運(yùn)算次數(shù)為430次。

（二）高斯主元消去法

由式（1-28）可知，消元過程需用系數(shù)矩陣的對(duì)角線元素ak，k（通常稱為主元素）做除數(shù)。若主元素為零，總能通過行交換找到非零ak，k，但若主元素很小，由于舍入誤差及有效數(shù)字損失，其本身常有較大誤差，再用它作除數(shù)，則會(huì)帶來(lái)嚴(yán)重的誤差增長(zhǎng)，以致使最終解極不準(zhǔn)確，由此提出了高斯列主元消去法，即在消元之前應(yīng)對(duì)方程組的首行或首列元素進(jìn)行檢查，并將其中絕對(duì)值最大者調(diào)整到首行或首列。這種方法稱為主元消去法。

根據(jù)誤差分析，若選取主元素的絕對(duì)值最大的方程作為主方程，則所得的解的誤差最小。選取主元素的方法有三種。

①遍查方程組第一式中的所有元素（不包括常數(shù)項(xiàng)），并找出其中絕對(duì)值最大者作為主元素，然后將主元素及其所在列的其他元素與第一列各對(duì)應(yīng)元素互換位置。這種選取主元素的方法，稱為行主元法。

②遍查方程組第一列中的所有元素，并找出其中絕對(duì)值最大者作為主元素，然后將主元素及其所在行的其他元素與第一式的各對(duì)應(yīng)元素互換位置。這種選取主元素的方法，稱為列主元法。

③同時(shí)采用行主元法與列主元法選取主元素，稱為全主元法。

二、手工求解線性方程組

以下通過具體實(shí)例講解如何應(yīng)用上述方法求解線性方程組。

【例1-9】　采用高斯消元法求解以下三階方程組

2x1-x2+3x3=1

4x1+2x2+5x3=4

x1+2x2=7

解：對(duì)于三階方程，采用高斯消元法需要二次消元過程。此三階線性方程組經(jīng)過兩次消元過程即可將原方程組化為上三角形方程組，消元過程如下：

回代過程是將上三角形方程組自下而上逐步進(jìn)行求解，從而得出

x3=-6，x2=-1，x1=9

三、采用Excel求解線性方程組

以下仍以例1-9為例，介紹如何運(yùn)用Excel求解線性方程組的兩種方法：①高斯消去法與Excel單元格驅(qū)動(dòng)相結(jié)合求解線性方程組；②Excel自帶的函數(shù)求解線性方程組。

（一）高斯消去法與Excel單元格驅(qū)動(dòng)相結(jié)合求解線性方程組

具體步驟如下。

步驟1：打開Excel，將線性方程的增廣矩陣依次輸入單元格A6:D8中，如圖1-44所示。

步驟2：第一次消元，選中A6:D6，復(fù)制并粘貼到A10:D10，如圖1-45，這樣做的目的是保留原線性方程。在單元格A11中輸入消元公式：=A7-A6/$A$6*$A$7，選中A11，自動(dòng)填充到D11；在單元格A12中輸入消元公式：=A8-A6/$A$6*$A$8，選中A12，自動(dòng)填充到D12，第一次消元完成后的各方程系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)的數(shù)值如圖1-45所示。

步驟3：第二次消元，選中A10:D11，采用選擇性粘粘方法將其數(shù)值復(fù)制到A14:D15，如圖1-46。在單元格B16中輸入第二次消元公式：=B12-B11/$B$11*$B$12，選中B16，自動(dòng)填充到D16，至此完成整個(gè)消元過程。

步驟4：回代，如圖1-47所示，分別在單元格B18、D18、F18中輸入：=D16/C16、=（D15-C15*B18）/B15、=（D14-C14*B18-B14*D18）/A14即可得線性方程組的解，即：

x3=-6，x2=-1，x1=9

（二）采用Excel自帶函數(shù)求解線性方程組

步驟1：求系數(shù)行列式的值，如圖1-48所示，在A23:C25區(qū)域中輸入系數(shù)行列式。選擇單元格D23，輸入“=MDETERM（　）”，在“（　）”輸入框中輸入?yún)^(qū)域A23:C25，單擊“確定”，得方程組系數(shù)行列式的值為“-7”。由線性方程組求解知識(shí)可知，若方程組系數(shù)行列式的值不為0，說(shuō)明系數(shù)矩陣有逆矩陣，方程組有唯一解。

步驟2：求矩陣的逆。選擇3行3列的一個(gè)區(qū)域，如A27:C29，如圖1-49所示，輸入“=MINVERSE（　）”，在“（　）”中輸入A23:C25，同時(shí)按下Ctrl、Shift、Enter鍵，得逆陣。

步驟3：求方程的解，即逆矩陣與列向量b的乘積，如圖1-50所示。選擇一個(gè)1列3行區(qū)域，如D27:D29，輸入列向量b，即1、4、7；另選一個(gè)1列3列區(qū)域，如E27:E29，輸入“=MMULT（　）”，在“（　）”中輸入：“A27:C29，D27:D29”，同時(shí)按下Ctrl、Shift、Enter鍵，即可在區(qū)域E27:E29中得方程組解。

四、技能拓展——Excel規(guī)劃求解法解線性方程組

除采用單元格驅(qū)動(dòng)結(jié)合高斯消去法、Excel自帶的函數(shù)求解線性方程組外，Excel的規(guī)劃求解法也可用于求解線性方程組，以下仍以例1-9為例，介紹規(guī)劃求解法的具體處理過程。

步驟1：如圖1-51所示，依次在單元格B33、B34、B35中輸入3個(gè)方程的表達(dá)式，即：=2*A33-A34+3*A35、=4*A33+2*A34+5*A35、=A33+2*A34+0*A35，其中A33、A34、A35分別代表x1、x2、x3。

步驟2：選中B33，單擊“數(shù)據(jù)”，選擇“規(guī)劃求解”，調(diào)出“規(guī)劃求解參數(shù)”對(duì)話框，如圖1-52所示。選擇值為（ <文字顏色>V</文字顏色> ），輸入第一個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)值“1”。可變單元格輸入框中輸入：$A$33:$A$35。

步驟3：設(shè)置約束條件，在“約束”窗口中單擊“添加”按鈕，出現(xiàn)“添加約束”對(duì)話框，如圖1-53所示。在單元格引用位置輸入$B$34，約束值前選擇“=”，其值輸入4，即第二個(gè)方程常數(shù)項(xiàng)的值。以同樣的方法添加另一約束條件，即第三個(gè)方程常數(shù)項(xiàng)的值。

步驟4：求解計(jì)算，添加完約束條件后，在約束窗口就多了兩個(gè)表達(dá)式，即$B$34=4、$B$35=7，如圖1-54所示。按“求解”按鈕，得“結(jié)果”對(duì)話框，此時(shí)在A33:A35位置出現(xiàn)方程組的解。

可見，采用Excel的三種求解線性方程組的計(jì)算結(jié)果是完全一致的。