三大成就之二：龐加萊猜想

幾何分析的第二項重大成就（許多人會把它放在最頂點）是關于龐加萊猜想的證明。這個1904年提出的著名猜想在長達一個世紀的時光里，一直是三維拓撲的中心問題。我覺得它非常優美，原因之一在于猜想本身用一句話即可概括，但它卻讓數學家忙碌了百年之久。簡言之，龐加萊猜想說的是：如果在一個緊致的三維空間上，所能畫出的每一個可能的閉圈，都可在不撕裂閉圈或空間的要求下收縮成一個點，那么這個空間與球面是拓撲等價的。如本章稍前所述，滿足這項要求的空間具有平庸的基本群。

龐加萊猜想描述起來很簡短，其意義卻不是那么明顯易懂。雖然真正而且最難解的問題是在三維的情況，但現在且讓我們以二維的類比來說明。假設有一個球面，我們把一條橡皮筋套在它的赤道上。然后我們把橡皮筋輕輕往北極方向推，在此過程中一直讓橡皮筋貼著球面。如果橡皮筋的彈性夠好，當被推到北極的極點時，它就會縮小成一個點。但若是形如甜甜圈的環面則不然。假如有一條橡皮筋穿繞過它中間的洞，除非把甜甜圈切開，否則沒辦法把橡皮筋縮成一個點；而如果把橡皮筋套在甜甜圈的最外側，我們可以把它推到甜甜圈的頂端，如果再繼續推，橡皮筋就會往另一邊下移到甜甜圈的內側，只要繼續貼著甜甜圈，橡皮筋就不可能縮成一個點。所以對拓撲學家而言，球面和甜甜圈或是任何有一個或數個洞的曲面有著根本的不同。因此龐加萊猜想基本上就是關于球面在拓撲學里究竟如何刻畫的問題。

在談到證明之前，我要回溯30多年前，來到1979年我還在高等研究院的時候。我在當時邀請全世界從事幾何分析研究的十余名學者前來普林斯頓，試著為我們的領域奠定基礎。我列出了120個幾何學的重要問題，其中大約半數后來都徹底解決了。但龐加萊猜想并不在我所列的名單上，一方面因為它可說是整個數學界最著名的問題，沒有必要再特別指出，同時也因為我所尋找的是范圍較小較明確，我覺得最終可以得到解答的問題（而且最好在合理的時間范圍內）。雖然數學家通常是在艱苦奮斗的過程中學習，但最大的進步都是從解決問題得來的，解題對數學家的指導作用，比其他任何事都大得多。但是在當時，沒有人明確知道對于龐加萊猜想該如何著手。

一位沒有來參加我們討論的數學家是漢米爾頓（Richard Hamilton，當時他任職于康奈爾大學，目前則在哥倫比亞大學）。那個時候，漢米爾頓才剛展開一個雄心勃勃的計劃，試圖找出一個良好的動態方法，將復雜、不光滑的流形度量轉換成光滑許多的度量。沒有任何跡象顯示這個計劃可以在短期之內取得成果，而顯然這正是吸引他的主因。他對于一組和“黎奇流”（Ricci flow）有關的極困難方程非常感興趣。（黎奇流是本章稍早提到的幾何流問題的一例。）基本上，這是一種把凹凸不平和其他不規則修整成光滑的技巧，借此可讓彎纏起伏的空間轉變得到較均勻的曲率和幾何性質，以便更容易地辨識出它們的基本型態。漢米爾頓的計劃同樣也不在我的一百二十個幾何重要問題里，因為他當時還沒發表任何成果，只是泛泛地玩味著這個想法，還沒真的一頭栽入。

我初次得知他的研究，是在1979年稍晚到康奈爾大學演講的時候。漢米爾頓并沒想到他的方程可以拿來解龐加萊猜想，他只是覺得這是個值得探索的有趣東西。我必須承認，當我初次看到他的方程時，也對它們的用途有所懷疑，這些方程看起來太難處理，但漢米爾頓還是堅持下去。1983年，他發表了一篇論文，揭示現在稱為漢米爾頓方程的方程解。在那篇論文里，漢米爾頓證明了龐加萊猜想的一個特殊情形，亦即黎奇曲率為正時的情形。（黎奇曲率和物理有密切關系，第4章會再進一步討論。）

起初的存疑使得我不肯輕易相信，于是我一行行仔細閱讀漢米爾頓的論文。但他的論證立即說服了我，它的說服力強到我要求我在普林斯頓的三名研究生立刻去研究漢米爾頓方程。我隨即跟漢米爾頓提議，他的方法可以用于證明關于三維空間分類的瑟斯頓幾何化猜想，如果能成功，也將完整證明龐加萊猜想。在當時，我還不知道有其他任何工具能夠勝任此任務。令我敬佩的是，漢米爾頓以莫大的毅力對付此問題，在此后的二十年里持續不懈地探索黎奇流，其間除了和我及我的研究生有些互動之外，大部分時間都是獨力進行研究。

1984年，漢米爾頓和我同時到加州大學圣地亞哥分校任職，他就在我的研究室的隔壁，我們互動的頻率因此大幅提高。我帶的學生全都去上他開的黎奇流討論班。我們從他那里學到了許多，而我也希望或許曾給他一兩個有用的建議。當我在1987年轉職到哈佛大學時，最令我遺憾的，就是不能再和漢米爾頓緊密共事。

不論在他身邊的是誰，漢米爾頓總是以堅強的毅力持續貫注在他的計劃上。總計他發表了大約六篇重要的長篇論文，每篇都在90頁左右。他的論證全都沒有白費，所有成果最終都在攀登龐加萊高峰時用上了。

例如，漢米爾頓闡明了當空間在黎奇流的影響下變形時，圓凸狀的幾何物體總是會演變成球面，這和龐加萊的猜測是一致的。但他了解到，更復雜的物體無可避免會遇到障礙，產生折疊或其他奇點。這是沒辦法回避的，所以他需要準確知道會發生哪些奇點。為了羅列所有可能出現的奇點，漢米爾頓援引了我和李偉光以前做過的研究（我在此之前幾年曾對漢米爾頓提過），把我們的結果做了令人印象深刻的推廣。

我對這項工作的貢獻可回溯至1973年，當時我正開始應用我為“調和分析”（harmonic analysis）發展出來的一種新技術。（調和分析用于描述平衡狀態，是一門有數百年歷史的數學領域。）我的方法是根據一種稱為“最大值原理”（maximum principle）的研究策略，基本上就是去檢視最糟的狀況。舉例來說，假設你想證明不等式A小于0，你可以問：“A的最大值是多少？”如果你能證明即使在最糟的情形，亦即A達到最大值時，最大值仍然小于零，那么你就完成這個證明，可以放心地提早下班回家了。我把最大值原理用于各種非線性問題，其中有些是和在中國香港時就認識的同學鄭紹遠（S. Y. Cheng）合作的。我們的研究在數學上是歸類為“橢圓型”（elliptic）的幾何和物理問題。雖然這類問題有可能極為困難，但因為它們并未涉及時間的變化，因而可以被視為是靜態不變的，從而可以被簡化。

1978年，李偉光（Peter Li）和我開始對付更復雜的、涉及時間的“動態”狀況。特別是，我們研究了描述熱在物體或流形中如何傳導的方程。我們考慮某些特定變數隨時間變化的情形。“李偉光—丘成桐不等式”（Li-Yau inequality）是我們在這個領域最為人知的貢獻，它為熱能之類的變數如何依時間變化提供了數學描述。漢米爾頓觀察的是另一個變數，“熵”（entropy，用于測量系統的混亂度）的變化。李—丘關系式之所以被稱為不等式，是因為某些東西（在此是某一時間點上的熱或熵）會大于或小于另外的東西，像是另一時間點的熱或熵值。

我們的研究提供了觀察如何在非線性系統中發展出奇點的定量73方法，其做法是追蹤兩點距離如何隨時間變化。如果這兩點發生碰撞，亦即兩點間距離縮小至零，那就是奇點了。了解奇點幾乎是了解任何與熱流動相關問題的關鍵。尤其是，我們的技巧提供了“盡可能逼近奇點”的方法，顯示了在碰撞發生之前瞬間的情形，例如各點移動的速度等，就好像鑒識人員要重建車禍的事故現場一樣。

為了獲得奇點的特寫鏡頭（數學家稱之為“解開奇點”, resolve singularity），我們發展出一種特殊的“放大鏡”。基本上，我們把視野拉近到空間被擠壓成一點的區域，然后將該區域放大，并在放大過程中將皺痕或擠壓點撫平。這種操作不是只做一兩下，而是無窮多次。我們不但放大空間以便看到全部細節，而且也拉長了時間軸，形同把時間放慢下來。下一步驟則是比較奇點的形貌（亦即放大無窮多次后的極限狀態）和兩點碰撞之前的系統描述。李—丘不等式對于“事前”和“事后”快照的變動，提供了實際的度量。

漢米爾頓利用我們的方法得到黎奇流更詳細的面貌，得以探測黎奇流可能形成的奇點結構。但因為漢米爾頓方程的架構比我們的還要更非線性（因此更復雜），要把我們的不等式結合進他的黎奇流，是一項非常艱難的工作，結果花費了他將近五年的時間。

漢米爾頓的研究理路之一是專注于一類特殊解，它們在特定參考系中看起來是靜止的。這就像是在廣義相對論中，你可以找到一個旋轉參考系，使得位于某個旋轉木馬上的人與物看起來沒有在移動，如此一來，情況分析起來就會容易得多。借由選擇較易理解的靜態解，漢米爾頓找到了把李—丘估計結合到他的方程里的最佳辦法。這又讓他能夠更清楚地觀察黎奇流的變化，也就是系統如何移動和演變。他特別想知道的是，奇點如何從時空的復雜變動中產生出來。最終，對于所有可能出現的奇點，漢米爾頓都能描述其結構（不過他還不能證明所有這些奇點真的都會出現）。在漢米爾頓所列出的奇點中，除了一種之外，其余的他都有辦法處理，可以用拓撲“手術”（surgery）消除。拓撲手術是漢米爾頓引入并在四維中廣泛運用的概念。手術的程序非常復雜，但若能順利執行，就可以證明所研究的空間，正如龐加萊的猜測確實和球面等價。

漢米爾頓始終無法以手術消除的奇點，是雪茄形的突起。所以假如他能論證雪茄型奇點根本不會出現，就能更清楚地理解奇點問題，從而大幅逼近龐加萊和瑟斯頓兩大猜想的解決。漢米爾頓的結論是，要這么做的關鍵，是把李—丘估計推廣到曲率不必為正的普遍情形。漢米爾頓立刻找我和他一起研究這個問題。結果這問題出奇頑強，然而我們還是有相當的進展，覺得達到目標只是遲早的事而已。

出乎我們意料的是，2002年11月時，一位圣彼得堡的幾何學家帕瑞爾曼（Grisha Perelman）在因特網上，發表了一篇關于黎奇流技巧的幾何學應用的論文。不到一年之內，他又在網上發表了另外兩篇。帕瑞爾曼旨在以這三篇論文“實現漢米爾頓計劃的某些細節”，以及“為幾何化猜想的證明給出簡短的說明”。[17]他同樣也使用李—丘不等式來控制奇點的行為，不過他結合這些方程的手法與漢米爾頓不同，同時還加入了許多他自己的創見。

就某種意義而言，帕瑞爾曼的論文真可說是晴天霹靂，因為沒有人知道他在做與黎奇流相關的問題。在此之前，大家比較熟悉的，是他在另一個完全不同、稱為“度量幾何”（metric geometry）的領域的貢獻，他因為證明了幾何學家契格（Jeff Cheeger）和格羅莫爾（Detlef Gromoll）的著名猜想而奠定了名聲。在2002年網上的論文出現之前，帕瑞爾曼幾乎已經不和數學界往來，除了偶爾會有數學家收到他的電子郵件，詢問關于黎奇流的文獻。但既然帕瑞爾曼不太跟別人提起，或許根本沒和任何人說他究竟在做什么，沒有人會想到他正認真研究黎奇流，以解決龐加萊猜想。事實上，他的行為低調到甚至許多同行都不清楚他是不是還在做數學呢。

同樣令人震驚的是論文本身，三篇論文總計僅僅68頁，這表示將需要很多人花很長時間才能消化它們的內容，并把論文中只概略描述的關鍵論證補充完整。在帕瑞爾曼的許多研究結果中，他說明如何回避雪茄型奇點，從而化解了漢米爾頓不能解決的問題。事實上，現在普遍認為這項肇始于漢米爾頓、完成于帕瑞爾曼的計劃，已經解決了百年難題龐加萊猜想，以及較晚出現的瑟斯頓幾何化猜想了。

如果這項共識是正確的，漢米爾頓和帕瑞爾曼的整體努力，正可以代表數學的偉大勝利，同時也可說是幾何分析的至高成就。他們的貢獻遠超過菲爾茲獎的得獎標準，帕瑞爾曼因此獲獎。同樣值得獎勵的漢米爾頓，則因為菲爾茲獎得主年紀須少于40歲的規定，而失去獲獎資格。談及幾何分析，依我估計，這個領域在此之前三十年所發展出來的定理、引理和其他各種工具，大約半數都被用于漢米爾頓和帕瑞爾曼的研究，最后終于道出龐加萊猜想與瑟斯頓幾何化猜想的證明。

以上所述是幾何分析這支大榔頭所打進的幾根釘子。但你可能還記得，我答應要介紹的是幾何分析的三大成就。四維拓撲的進展，以及龐加萊猜想和導致其證明的黎奇流方法，構成了前兩項。還沒交代的第三項，則是我曾鉆研多時的問題，讓我們在下一章細說分明。