愛因斯坦的四維時空理論

描繪高維空間的早期重大突破之一來自笛卡兒（René Descartes）。這位17世紀的法國鴻儒身兼數學家、哲學家、科學家和作家等多重身份，但對我而言，他在幾何學方面的成就，意義特別重大。笛卡兒的貢獻之一，是教導我們如果用坐標取代用圖形來進行思考，將有非常非常大的效用。他所發明的坐標系現今稱為笛卡兒坐標或直角坐標，統合了代數和幾何。狹義來說，笛卡兒指出一旦定出交于一點且彼此垂直的x, y, z軸，三維空間中的任一點只需要三個數字（x, y, z坐標）就可以明確標定。但他的貢獻遠遠不止于此，他這神妙一筆，大幅拓展了幾何學的視界。因為有了坐標系之后，我們就可以用代數方程式來描述不易形象化的復雜高維幾何形體。

使用這個方法，你可以思考任何想要的維度，不只是（x, y, z），還可以是（a, b, c, d, e, f）或是（i, k, l, m, n, o, p, q, r, s）。所謂空間的維數，即決定此空間中任一點的位置時所需的坐標數目。借由這種系統，我們可以思考任何維數的高維空間，進行與其相關的各種計算，不再擔心如何描繪這些空間的問題。

兩個世紀之后，德國大數學家黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）以此為出發點，大幅拓展了幾何學的領域。黎曼在19世紀50年代研究彎曲空間的幾何（稱為“非歐幾何”，這個主題將在下一章繼續討論），了解到這些空間并不需要受限于維數。他展示了如何在這些空間上，精確計算距離、曲率和其他性質。1854年，黎曼在他的就職演講里，講述了日后被稱為黎曼幾何的幾何原理，并且猜度了宇宙本身的維度性和幾何性質。當時年僅二十多歲的黎曼，也正在發展一門數學理論，試圖把電、磁、光和引力整合在一起，因而預見了一項科學家持續鉆研至今的研究目標。雖然黎曼把空間從歐氏幾何的平坦性和三維的限制中釋放出來，但是數十年之內，物理學家對這想法并沒有太多反應。他們之所以缺乏興趣，或許是源自于缺乏暗示空間是彎曲的或者空間不止三維的實驗證據所導致。結果就是，黎曼先進的數學根本超越了當時的物理學。結果，至少還要再等大約五十年，物理學家或者至少某位特定的物理學家出現之后才追上。這位物理學家，就是愛因斯坦（Albert Einstein）。

或許你已經知道，愛因斯坦的狹義相對論發表于1905年，日后他繼續研究，最終完成了廣義相對論。當愛因斯坦發展狹義相對論的時候，他援引了一個同樣正由德國數學家閔可夫斯基（Hermann Minkowski）所探討的想法，亦即，時間與三維空間不可分離地糾纏在一起，形成一個稱為“時空”（spacetime）的新幾何構造。在這個出人意料的轉折里，時間本身被視為第四維，而數十年前黎曼就已經將它結合進他優雅的方程式里。

有趣的是，英國作家威爾斯（H. G. Wells）在此之前十年寫下的小說《時間機器》（The Time Machine），即已預見相同的結果。誠如小說主角“時間旅人”所解釋：“維度其實有四個，其中三個是我們稱為空間的三個平面，第四個是時間。然而，人們卻總傾向于要把前三維和第四維強加以虛假的區分?！?span id="wnxr48b" class="super1">[4]閔可夫斯基在1908年的一場演講里，說了幾乎相同的話，差別只在于，他用數學來支持這個看似荒唐的主張：“如此一來，單獨的空間和單獨的時間注定要化為幽影，唯有兩者的結合方能保存一種獨立的實在性?！?span id="uj2vzw1" class="super1">[5]將這兩種概念加以結合的理論基礎，在于物體的運動不僅穿越空間，而且也穿越時間。所以若要描述四維時空（x, y, z, t）中的事件，我們需要四個坐標：三個空間坐標和一個時間坐標。

雖然這想法看似有點艱深，但其實可以用極平常的形式來表達。假設你和某人約好在購物中心見面，你會先記下那棟建筑物的位置，比方說第一街和第二大道的交叉口，然后約好在三樓見面。如此就定出了x, y, z坐標。唯一剩下的就是敲定時間，也就是第四坐標。一旦指明這四項信息，除非發生不可預期的意外，否則你的約會就確定了。但如果要采用愛因斯坦的說法來表示，你不能把這次約會看成是先決定地點，再決定時間。你們真正決定的，是這個約會事件在時空中的位置。

所以在20世紀初，我們的空間概念從自古以來一直撫育人類的三維安適小窩，一舉躍升為玄奧隱晦的四維時空。此一時空概念構成了愛因斯坦隨即建立的引力理論，也就是廣義相對論的基礎。但就像我們問過的：事情就到此為止嗎？是否一切就停在四維，還是我們的時空觀念可以再繼續成長？1919年，一個可能的答案意外地以論文初稿的形式送給愛因斯坦審閱，論文作者是當時名不見經傳的德國數學家卡魯札（Theodor Kaluza）。

圖1.4 由于我們無法描繪四維空間的圖形，這里只是對四維“時空”的一個粗淺解說。時空的基本想法就是：我們世界的三個空間維度（以x, y, z軸表示）基本上和第四個維度（時間）是一樣的。我們將時間想成是一個不斷變動的連續變數，上圖是在時間t1, t2, t3……時的空間坐標軸凍結畫面。利用這個方式，我們希望能呈現整體四維的感覺，即三個空間維度再加上時間