從蒼蠅的世界看維度的意義

我們都很熟悉三個基本方向上的移動：東西、南北、上下（或者也可以說是左右、前后、上下）。不管我們去哪里——不論是開車上雜貨店或是飛到大溪地——我們的運動都是這三個獨立方向的某種基本組合。我們對這三個維度太過熟悉，以至于要設想另一個維度，并且指明它確切指向哪里，似乎是不可能的。長久以來，似乎我們所見的即是宇宙的一切。事實上，早在兩千多年前，亞里士多德在《論天》（On the Heavens）中就論稱：“可在一個方向上分割的量，稱為線；如果可在兩個方向上分割的量，稱為面；如果可在三個方向上分割的量，則稱為體。除此之外，再無其他量。因為維度只有三個?！?span id="a2thouw" class="super1">[2]公元150年時，天文學家、數學家托勒密嘗試證明不可能有四個維度，堅持認為不可能畫出四條相互垂直的直線。他主張，第四條垂直線“根本無法量度，也無法描述”。[3]然而，與其說他的論點是嚴格的證明，還不如說是反映了人們沒有能力看到并描繪四維空間的事實。

對數學家而言，維度指的是一種“自由度”（degree of freedom）也就是在空間中運動的獨立程度。在我們頭上飛來飛去的蒼蠅可以向任何方向自由移動，只要沒有碰到障礙，它就擁有三個自由度?，F在假設這只蒼蠅降落到一個停車場，而被一小塊新鮮柏油黏住。當它動彈不得時，這只蒼蠅只有零個自由度，實質上被限制在單一點上，亦即身處于一個零維的世界。但這小東西努力不懈，經過一番奮斗后從柏油中掙脫出來，只可惜不幸翅膀受了點傷。不能飛翔之后，它擁有兩個自由度，可以在停車場的地面上隨意漫步。然后，我們的主角察覺到有掠食者（或許是一只食蟲的青蛙），因此逃進一根丟棄在停車場的生銹排氣管，蒼蠅此時只有一個自由度，暫時陷入這根細長管子的一維，亦即線狀的世界。

但維度是不是就只有那么多？一只蒼蠅在天上飛，被柏油黏住，在地上爬，逃進一根管子里——這是否就囊括了一切可能性？亞里士多德或托勒密應該會回答“是”，對一只沒有高度冒險精神的蒼蠅而言，或許也確是如此，但是對當代數學家來說，故事并沒有就此結束，因為他們通常不認為有什么明顯理由只停留在三個維度。我們反而相信，想要真正理解幾何學的觀念，像是曲率或距離，需要從所有可能的維度，從零維到n維來理解它（其中n可以是非常大的數）。如果只停留在三維，我們對這個概念的掌握就不算完整，理由是：比起只在某些特定情境才適用的斷言，如果大自然的定律或法則在任何維度的空間中都有效，那么它的理論威力更大，也可能更基本。

甚至即使你所要對付的問題僅限于二維或三維，也可能借由在各種維度中研究該問題而得到有利的線索。再回到我們那只在三維空間里嗡嗡飛的蒼蠅，它可以在三個方向移動，亦即具有三個自由度。然而，假設還有另一只蒼蠅在同一空間里自由移動；它同樣也有三個自由度，整個系統就突然從三維變成六維的系統，具有六個獨立的移動方向。隨著更多的蒼蠅在空間里穿梭，每一只都獨立飛行而不與他者相關，那么系統的復雜度及其維度，也隨之增加。