1.4 漿液在巖體裂隙中的流動機理

1.4.1 牛頓型漿液的流動公式

1.4.1.1 劉嘉材教授推導出的公式

設裂隙的寬度為δ，漿液黏度為μ，在孔內灌漿壓力Pc作用下，漿液平行于裂縫面的平面徑向流動（見圖1-10），現從流域內取出任一流體單元（見圖1-11）。

流體單位所受的外力為法向應力p和剪切應力τ，垂直于裂縫平面間無剪應力作用。若不計速度變化的影響，則沿單元中心徑向軸方向的各分力之和應為零，即：

式中：v為漿液在縫內的流速；γ為漿液的重度；J為漿液的坡降；δ為縫寬。

在平面徑向流中，漿液流量為：

距灌漿孔距離為r處的灌漿壓力為：

式中：P為半徑為r處的壓力；Pc為灌漿孔內的壓力；rc為灌漿孔半徑。

式（1-29）表明，在灌漿過程中，距灌漿孔軸線距離為r的任意一點處的灌漿壓力衰減值，與擴散半徑的對數成正比，與漿液黏度成正比，與縫寬的三次方成反比。因此，縫隙的寬度愈小，壓力衰減得越厲害。設灌漿巖縫內漿液壓力為P0，當灌漿壓力P=P0，可求得灌漿壓力的最大影響半徑：

灌漿孔內吸漿量為：

單位時間內灌入縫內的漿量應等于在該時段內增大擴散半徑所需的漿量，積分得到：

式中：t為漿液擴散半徑達到r時所需的歷時。

1.4.1.2 貝克（Baker）公式

假設在灌漿孔橫穿寬度為δ的單個平滑的裂隙的理想情況下，漿液注入量可按下式計算：

式中：R為漿液的擴散半徑；r0為灌漿孔半徑；μ為漿液的黏度；δ為裂隙的寬度；ρ為漿液的密度；g為重力加速度；H為灌漿段的埋深。

1.4.1.3 二維粗糙裂隙中漿液的流動公式

假設巖體內存在一水平粗糙裂隙，并充滿地下水。在灌漿過程中，地下水推動漿液向外流動。建立兩個區內的流動方程：

在漿液流動區：

在水流動區：

式中：Pg為漿區灌漿壓力；Pω為水流動區的水壓力；qg為漿液流量；qω為水流量；ξ為漿流場或水流場中任意一點的半徑；r0為灌漿孔半徑；re為漿液的影響半徑。

邊界條件：ξ=r0, Pg=Pe; ξ=re, Pω=Pe; ξ=r, Pg=Pω, qg=qω。求解上述方程的定解問題，得：

式中：P0為灌漿孔底壓力；Pe為地下靜水壓力。

1.4.2 賓漢姆漿液擴散公式

1.4.2.1 維特科（Wittke）和沃爾尼（Wallner）公式

在二維平面等厚光滑裂隙中，賓漢姆漿液在壓力作用下產生流動。根據漿液平衡方程和邊界條件。推導出漿液在裂隙中壓力分布及最終擴散范圍如下：

式中：P0為孔內裂隙面壓力；r0為鉆孔半徑；δ為裂隙寬度；τ0為漿液的屈服強度；r為離灌漿源距離。

漿液在裂隙（δ）內流動時流動速率為：

式中：Ir為壓力梯度；μ為漿液的塑性黏度。

賓漢姆型漿液的塑性黏度和屈服強度均影響漿液在裂隙中的平均運動速率，μ和τ0的增加均會降低進漿速率，延長灌漿歷時。

1.4.2.2 H·B·加賓公式

H·B·加賓推導出單一水平裂縫中賓漢姆漿液輻射灌漿流量為：

式中：R為漿液的擴散半徑；h0為流核半徑。

H·B·加賓推導出單一水平裂縫中賓漢姆漿液輻射流動時的壓力計算式：

式中：rc為灌漿孔半徑；Q為灌漿流量；τ0為漿液的動切力。

1.4.2.3 隆巴迪（G·Lombadi）公式

對縫寬為δ的裂縫，漿液最大擴散半徑Rmax為：

式中：Pmax為最大灌漿壓力；τ0為漿液剪切力。

最大吸漿量：

最大上抬力：