第八節 管網技術經濟計算

在本章第三節中已講到可以用平均經濟流速確定管徑，由此得到的管徑是近似的經濟管徑。本節介紹利用技術經濟計算的方法確定經濟管徑。

給水管網的優化設計不但要保證供水水量、水壓、水質安全性和供水可靠性，還應滿足經濟性，即使管網建造費用和管理費用之和為最小。

管網技術經濟計算是在水源位置、輸水管和管網布置、控制點及所需的最小服務水頭、節點流量、水泵初步運行方案等確定后，以管網的經濟性為目標函數，以管網優化設計中的其他因素為約束條件，建立目標函數和約束條件的數學表達式，從而求出最優解。因為水質安全性不易定量評價；用水量變化和管道損壞會使計算流量與實際流量不符，從而導致供水可靠性評價的難度；再加上二級泵站運行和管網流量分配有多種方案等，這些因素很難用數學式表達，因此管網技術經濟計算的約束條件主要為水量和水壓的保證性。

綜上所述，管網技術經濟計算就是在滿足各種設計目標的水量、水壓的前提下，求出一定設計年限內，使管網建造費用和管理費用之和為最小時的管段直徑（稱為經濟管徑）或水頭損失（稱為經濟水頭損失）。

城市管網的建造費用包括管線、泵站、管網中的水塔、水池等費用。由于泵站、水塔、水池等費用所占比例較小，可以忽略，故管網的建造費用主要為管線費用，與管道直徑、長度、管材及施工費有關。管網的管理費用包括供水所需動力費用、檢修及技術管理等費用，后兩者的費用可忽略。動力費用由泵站的流量和揚程決定，揚程的大小則取決于管網控制點要求的最小服務水頭、輸水管和管網的水頭損失等。水頭損失又與管段長度、管徑、流量和管材等有關。因此，當管道長度和管材確定后，管網的建造費用和管理費用僅取決于管徑和流量。

給水管網一般按最高日最高時用水量進行技術經濟計算，然后根據其他不利的特殊用水情況，適當調整水泵揚程和管徑，最終選出可滿足各種設計目標的最優方案。

目前，給水管網技術經濟計算的一般方法是，首先進行流量分配，然后寫出以流量、管徑（或水頭損失）表達的費用函數式和約束條件表達式，求出最優解。

一、技術經濟計算的目標函數和約束條件

（一）目標函數

按年計的管網建造費用與管理費用之和稱為管網年費用折算值，它是管網技術經濟計算的目標函數，可用式（5-10）表示，即

式中：W為管網年費用折算值，元；C為管網建造費用，元；t為投資償還期，年；M為每年的管理費用，元；p為以管網造價的百分數計的每年的折舊和大修率；M₁為每年的動力費用，元。

C及M₁的計算方法如下：

式中：c為每米長度管線的建造費用，元/m；a、b和α分別為系數和指數，由管材和當地施工條件而定；l_ij為管段長度，m；D_ij為管徑，m；E為電費，分/（kW·h）；Q為輸入管網的總流量，L/s；H_p為二級泵站揚程，m；η為泵站效率，一般為0.55～0.85，水泵功率小時η較小；β為供水能量變化系數，中型城市前置水塔的輸水管和無水塔的管網取0.1～0.4，前置水塔的管網取0.5～0.75；ρ為水的密度，ρ=1；g為重力加速度，g=9.81m/s²；H₀為水泵靜揚程，m；∑h_ij為從管網起點到控制點的任一條管線的總水頭損失，m。

若將式（5-59）和式（5-60）代入式（5-10），可得出管網年費用折算值由兩部分組成：一部分為按年計的管網建造費用和折舊大修費用；另一部分為年供水動力費用，取決于流量和管網的水頭損失。若只取其變量部分，得管網年費用折算值（單位為分）如下：

其中

P=8.76βEρg/η

式中：P為輸送1L/s的水達到1m的高度每年所需要的電費，分。

重力供水時，不需要供水動力費用，因此管網年費用折算值為

（二） 約束條件

目標函數W₀的約束條件如下：

（1）滿足J-1個節點的連續性方程。

（2）滿足 L個環的能量方程。

（3）管段流量q_ij應大于或等于最小允許流速時的流量q_min，并小于或等于最大允許流速時的流量q_max，即q_max≥q_ij≥q_min。

（4）任一節點的自由水壓H_c應大于最小服務水頭H_a，即H_c≥H_a。

（三） 目標函數的極值問題

式（5-61）的目標函數中，包含兩個未知數，即D_ij和h_ij，當管段流量q_ij和管長l_ij一定時，這兩者之間存在著如下關系：

式中：k和m、n分別為系數和指數。

因此，W₀可看作是q_ij和D_ij或q_ij和h_ij的函數。若取式（5-63）中的n=2，則W₀可表示為

目標函數W₀是否有極小值，簡要分析如下。

式（5-64）的目標函數中包含兩個變量q_ij和h_ij，若將h_ij看作是常量，根據一般的α和m值，例如取α=1.6，m=5.33，得出，說明W₀只有極大值，而無極小值。因此，當流量為未知數，即流量未分配時，求不出最小的年費用折算值，得不到經濟管徑。

若將q_ij看作是常量，則可得出，說明W₀有極小值。也就是說，當管網的流量已經分配，各管段的流量為已知時，可得到最小的年費用折算值，并可求出經濟管徑或經濟水頭損失。這就是在管網技術經濟計算時首先要進行流量分配的原因。

二、輸水管的技術經濟計算

根據供水條件不同，輸水管有壓力輸水和重力輸水兩種輸水情況。

（一） 壓力輸水管的技術經濟計算

圖5-18為一根從泵站到水塔的壓力輸水管，由三段管段組成。求出每一管段的最小年費用折算值，就可求出整根輸水管的最小年費用折算值。將式（5-63）代入年費用折算值公式（5-61）中，對單根管段求導，并令?W₀/?D_ij=0，得

前已述及，當各管段的流量已知時，W₀有極小值，故將式（5-65）整理后，就可得出使年費用折算值為最小的壓力輸水管的經濟管徑公式：

其中

式中：f為經濟因素，它是一個包含多種經濟指標的綜合參數。

當輸水管全線流量不變時，由式（5-67）得出整根輸水管的經濟管徑公式為

圖5-18 壓力輸水管

經濟因素f值應根據當地各項技術經濟指標計算。每米長管線建造費用公式c=a+bD^α中的a、b、α值的求法如下。

首先，得到當地敷設每米長各種管徑管道的費用，其中包括管材費用、各種配件費用、挖溝敷管費用、試驗及消毒等施工費用。然后，將管徑和費用的對應關系點繪在普通坐標紙上，將各點連成光滑曲線，并延伸到與縱坐標軸相交，交點處的D=0，則c=a，如圖5-19所示。該圖中系數a=12。

將c=a+bD^α兩邊取對數，得lg（c-a）=lgb+αlgD，此為直線方程。將對應的D和c-a值繪在雙對數坐標紙上，得一直線，如圖5-20所示。直線斜率為α，α=1.7；在直線上相應于D=1時的c-a值為b，b=372。由此得出此地區每米長管道的建造費用公式為

c=12+372D^1.7

每米長管道的建造費用公式也可用最小二乘法計算確定。

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圖5-19 求管線建造費用公式中的a值

圖5-20 求管線建造費用公式中的b值和α值

【例5-1】 有一壓力輸水管如圖5-18所示。Q=150L/s，q₂=40L/s，q₃=50L/s。p=2.8%，t=5年，β=0.4，E=50分/（kW·h），η=0.7，k=1.743×10^-9，m=5.33，n=2，c=12+372D^1.7。求壓力輸水管的經濟管徑。

解：由已知條件得出各管段流量為q_1-2=150L/s，q_2-3=110L/s，q_3-4=60L/s。

根據已知條件計算P值和f值，得

依據式（5-66）計算各管段的經濟管徑：

選用500mm管徑。

D _2-3=(1.58×10^-9×150×110²)^0.14=(2.87×10^-3)^0.14=0.44m

選用450mm管徑。

D _3-4=(1.58×10^-9×150×60²)^0.14=(0.853×10^-3)^0.14=0.37m

選用400mm管徑。

（二）重力輸水管的技術經濟計算

重力輸水管靠重力輸水，不需要供水動力費，年費用折算值應按式（5-62）計算。將式（5-63）代入該式中，得

重力輸水管技術經濟計算就是在充分利用現有水壓H（位置水頭），也就是使輸水管的總水頭損失∑h_ij=H的條件下，求W₀為最小時的水頭損失或經濟管徑。可用拉格朗日條件極值法求解，因此求W₀為最小值的問題轉化為求下列函數的最小值：

F(h)= W₀+λ(H-∑h_ij)

式中：λ為拉格朗日系數，在計算過程中確定其數值。

求函數F（h）對各管段水頭損失h_ij的偏導數，并令其等于零，最終解得

一般地，同一輸水管各管段的α、b、k、m、p、t值相同，故由式（5-70）得出下列關系：

其中

式中：i_ij為輸水管各段的水力坡度。

為充分利用現有水壓H，應有

由式（5-71）和式（5-72）即可選定各管段的管徑，方法參見［例5-2］。

【例5-2】 某重力輸水管由1-2和2-3兩段組成。l_1-2=600m，q_1-2=150L/s；l_2-3=700m，q_2-3=25L/s。起點至終點可利用的水頭為5m。求輸水管各段的經濟管徑。

解：取n=2，m=5.33（鋼筋混凝土管），α=1.8，則nα/（α+m）=0.5，代入式（5-71），得，即，代入式（5-72），得

將已知數據代入，得

解得i_1-2=0.0056，則

按照各管段的流量和水力坡度，查鋼筋混凝土管的水力計算表，選用的管徑和實際水力坡度如下：

D _1-2=400mm, i_1-2=0.005182

D _2-3=250mm, i_2-3=0.001763

輸水管總水頭損失為∑h=0.005182×600+0.001763×700=4.34m，小于現有可利用的水壓H=5m，說明選用的管徑是合適的。

在選用管徑時，應選用相近而較大的管徑，以免控制點的水壓不足。但是，為了充分利用現有水壓，整條輸水管中的個別管段可以選用相近而較小的標準管徑。從式（5-71）可以看出，流量較大的管段，其水力坡度可較大，因而可選用相近而較小的標準管徑；流量較小的管段，可選用相近而較大的標準管徑，目的是使整條輸水管的總水頭損失盡量接近于可利用的水壓H。

三、管網技術經濟計算

從經濟的角度看，環狀管網的造價比樹狀管網高，但為了保證供水的可靠性，有時必須采用環狀管網。對環狀管網流量分配的研究結果表明，只有將環狀管網轉化為樹狀管網時，才可得到經濟性最優的流量分配，也才能得到最小的W₀值。這也就是說，環狀管網只有近似的而沒有優化的經濟流量分配。因此，目前在環狀管網計算時應從實際出發，首先進行初始流量分配，然后采用技術經濟計算的方法去求經濟管徑。

（一） 起點水壓未給的管網

管網技術經濟計算的原理基本上與輸水管的技術經濟計算相同，但還應滿足節點流量平衡條件和能量方程，前者已在流量分配時滿足，因此，在求W₀的極小值時，只需考慮能量方程，即符合∑h=0的水力約束條件。

管網技術經濟計算時，既可以求經濟管徑，也可以求經濟水頭損失。由于求經濟水頭損失比較簡單，故一般先求之，然后根據兩者的關系，求出經濟管徑。

現以圖5-21的四環管網為例，進入管網的總流量為Q，控制點為節點9，其水壓標高H₉已知。圖中已標明各節點流量和各管段流向。

該管網的管段數P=12，節點數J=9，環數L=4。未知的管段流量q_ij和管段水頭損失h_ij各為12，共計24個未知數。當管段流量已分配時，只有水頭損失12個未知數。

管網起點的水壓標高H₁未知，控制點的水壓標高H₉已知，兩者的關系為

式中：∑h_1-9是指從節點1到控制點9任一管線的水頭損失總和。

圖5-21 環狀管網技術經濟計算

各管段的水頭損失應根據水流方向采用正值或負值，如果選定的管線為1-2-3-6-9，則

∑h_1-9=h_1-2+h_2-3+h_3-6+h_6-9

式（5-73）可以表示為

H ₁= h_1-2+h_2-3+h_3-6+h_6-9+ H₉

應用拉格朗日未定乘數法，寫出新的函數式為

式中：W₀為管網年費用折算值，見式（5-64）；f_Ⅰ、f_Ⅱ等均為已知的約束條件；λ_Ⅰ、λ_Ⅱ等均為拉格朗日未定乘數。

將W₀（其計算式中動力費用中的水頭損失恢復用起點水壓H₁代替）和式（5-73）及各環的∑h=0代入式（5-74），寫出經濟水頭損失的拉格朗日函數式，即

函數F（h）對H₁和各管段的h _ij求偏導數，并令其等于零，得

共計13個方程。

由式（5-76）、式（5-77）、式（5-79）消去λ_Ⅰ和λ_H，得

式中的管段1-2和管段1-4是與節點1相連的管段。

用同樣方法可以消去λ_Ⅱ、λ_Ⅲ、λ_Ⅳ等，得出類似式（5-80）的有關其他節點的方程。

為簡化起見，令

將式（5-81）和式（5-82）代入式（5-80）及其他類似的有關節點的方程，得出下列方程組：

式（5-83）中有J-1個獨立的方程，每一個方程表示一個節點所連接的管段關系。除了管網起端節點1以外，其他節點方程包括了該節點所連接的全部管段，并且在流向該節點的管段前標以正號，離開該節點的管段前標以負號。這些方程類似于管網水力計算中的節點流量平衡方程，因此式（5-83）稱為節點方程。

由J-1個節點方程和L個能量方程，共計P個方程，從理論上可以求出P個管段的水頭損失h_ij。但因為式（5-83）為非線性方程，不容易求解，故實際上常采用下面的方法求解h_ij。

將式（5-83）各項除以A，得

設，其中x_ij稱為虛流量，用以表示該管段流量占總流量Q的比例，當通過管網的總流量Q=1時，各管段的x_ij在0～1之間。式（5-84）可歸納如下。

管網起點：∑x_ij=1。例如，節點1：x_1-2+x_1-4=1。

其他節點：∑x_ij=0。例如，節點5：x_5-6+x_5-8-x_2-5-x_4-5=0。

由于未知的虛流量數x_ij等于管段數P，并根據上述x_ij與h_ij的關系，可得到各管段的經濟水頭損失公式：

將式（5-63）中管徑D與水頭損失h的關系代入式（5-85），即可得到經濟管徑公式：

將式（5-81）進行變換，則有

得

將式（5-87）代入式（5-86）得

式中：Q為進入管網的總流量；q_ij為管段流量。

式（5-88）即為起點水壓未給或需求出二級泵站揚程時的環狀管網經濟管徑計算公式。當該式應用于圖5-18所示的壓力輸水管時，因各管段的x_ij=1，且q_ij≠Q，所以可化為式（5-66）；輸水管沿線無流量輸出時，因q_ij=Q，則可化為式（5-68）。

由于按照q_i+∑q_ij=0的條件進行流量分配時已得到q_ij，f和Q也是已知值，因此，在根據式（5-85）或式（5-88）求各管段的經濟水頭損失或經濟管徑時，只需求出x_ij即可。

由于每環中各管段的水頭損失應滿足能量方程，且各管段的值相同，因此根據∑h_ij=0和式（5-85），則有

由于各管段的流量q_ij和長度l_ij已知，上述方程即轉化為求解虛流量x_ij的方程。

如果與管網水力計算時須滿足各節點流量平衡（q_i+∑q_ij=0）和各環水頭損失平衡（∑h_ij=0）的條件相對照，可將管網起始節點x_ij=1，其他節點∑x_ij=0的關系視為各節點虛流量平衡條件，而將式（5-89）視為各環內虛水頭損失平衡的條件。將稱為虛水頭損失，用h_φ表示，相應地將稱為虛阻力，用S_φ表示，則有

求虛流量x_ij時須先進行虛流量分配。分配時，虛流量的節點編號及虛流量方向與實際流量分配時相同；除起點外，其他節點應符合∑x_ij=0的條件。虛流量分配后，應校核各環的虛水頭損失是否滿足∑h_φij=0的條件，若不滿足，則應參照管網平差方法，求出各環的虛流量的校正流量。環L的虛流量的校正流量可按下式計算：

Δx_L求出后，按照管網平差方法調整各管段的x_ij，并據此求出各管段的h_φij，再次校核各環的虛水頭損失是否滿足∑h_φij=0，若不滿足，則求出新的Δx_L，重復上述步驟，直到滿足∑h_φij=0為止。

求得各管段的x_ij值后，代入式（5-85）或式（5-88），即可得該管段的經濟水頭損失或經濟管徑。若求得的經濟管徑不等于標準管徑，則應選擇規格相近的標準管徑。

（二） 起點水壓已給的管網

水源位于高地依靠重力供水的管網，或從現有管網接出的擴建管網，都可視為起點水壓已給的管網。求經濟管徑時，可略去供水所需動力費用一項，且須滿足各環∑h_ij=0及充分利用現有水壓盡量降低管網造價的水力條件。假設圖5-21所示為一重力供水管網，起點1和控制點9的水壓標高已知，則管網可利用的水壓為H=H₁-H₉，以選定的路線1-2-3-6-9為例，應有下列關系：

H=∑h_ij=h_1-2+h_2-3+h_3-6+h_6-9

按照上述條件，根據式（5-75）可寫出下列函數式：

式中：ij為管段編號；L為環的編號。

推求經濟管徑的數學推導過程與起點水壓未給的管網相同，最后得出與式（5-88）形式相近的經濟管徑公式，差別在于兩者的經濟因素f值不同。起點水壓已給的管網的f值的計算方法如下。

根據式（5-85）和式（5-90），可得實際水頭損失與虛水頭損失之間的關系如下：

代入可利用水壓H=∑h_ij中，得

則由此得出起點水壓已給時，環狀管網的經濟因素f值為

將式（5-96）代入式（5-88），即可得到起點水壓已給管網的經濟管徑公式：

式中：∑h_φij為從管網起點到控制點選定的管線上，各管段虛水頭損失的總和；總和號內的q_ij、l_ij和x_ij為選定管線上各管段的流量、管長和虛流量。

由上可知，無論是起點水壓未給的管網還是起點水壓已給的管網，均可用式（5-88）求經濟管徑，只是兩者求經濟因素f值的公式不同。前者須計入為管網提供水壓所消耗的動力費用而用式（5-67）；后者不計動力費用，只需充分利用現有水壓H而用式（5-96）。

起點水壓已給的管網，在進行技術經濟計算時，也須先進行虛流量分配，然后進行虛流量的管網平差，其平差方法與起點水壓未給的管網相同，最終求出各管段的x_ij。之后求出從管網起點到控制點選定的管線上各管段虛水頭損失的總和∑h_φij。將∑h_φij、H和各管段的x_ij、q_ij代入式（5-97），即可得到各管段的經濟管徑。

四、近似優化計算

由于設計流量本身的精確度有限，而且計算所得的經濟管徑一般不是市售標準管徑，選擇管徑時往往要向標準管徑上靠一檔或下靠一檔，因此，可用近似技術經濟計算的方法選擇管徑，以減少計算工作量。

近似技術經濟計算方法仍以式（5-88）為依據，分配虛流量時須滿足∑x_ij=0的條件，但不進行虛流量平差。用這種方法計算所得的管徑，只是個別管段與精確計算法的結果不同。為進一步簡化計算，還可將每一管段視為與管網中其他管段無關的單獨工作的管段，即按照每一管段的x_ij=1去進行計算，對于距二級泵站較遠的管段，由該方法得出的管徑誤差較大。

應用界限流量的概念，可求出單獨工作管段的經濟管徑。

由于市售水管的標準管徑分檔較少，檔距較大，例如，管徑為100～500mm的給水管，相鄰兩檔管徑的檔距一般為50mm；管徑在500mm以上的水管，相鄰兩檔管徑的檔距為100mm，因此，每種標準管徑不僅有相應的最經濟流量，而且有其經濟的界限流量范圍，在界限流量范圍內選用這一管徑都是經濟的。

確定每種管徑界限流量值的條件是相鄰兩個標準管徑的年費用折算值相等。例如，D_n-1、D_n及D_n+1是三個相鄰的標準管徑，若D_n-1和D_n的年費用折算值相等時所對應的流量為q₁，則q₁為D_n-1的上限流量，又是D_n的下限流量；若D_n和D_n+1的年費用折算值相等時所對應的流量為q₂，則q₂為D_n的上限流量，又是D_n+1的下限流量。因此，D_n的界限流量范圍是q₁～q₂，凡是管段流量在q₁和q₂之間的，應選用D_n的管徑，否則就不經濟。如果管段流量恰好等于q₁（或q₂），則因兩種管徑的年費用折算值相等，兩種管徑都可以選用。

各種標準管徑的界限流量可用下述方法求出。

將相鄰兩檔標準管徑D_n-1和D_n分別代入年費用折算值公式（5-61），取式（5-63）中的n=2，也代入式（5-61），又因Q=q₁，則得

按照相鄰兩檔管徑的年費用折算值相等，即W_0n-1=W_0n，且管段長度L相等的條件，得

化簡后得D_n-1和D_n兩檔管徑的界限流量q₁：

用同樣的方法，可以求出D_n和D_n+1兩檔管徑的界限流量q₂。q₁～q₂即為D_n的界限流量范圍。

由于各城市的管網造價、電費、用水規律及所用水頭損失公式均有差異，所以各城市的界限流量不同。即使同一城市，隨著時間的推移，管網造價和動力費用等也會變化，因此，必須根據當時當地的經濟指標和所用水頭損失公式，求出f、k、α、m等值，然后代入式（5-101）確定各種標準管徑的界限流量。

表5-2為α=1.88、m=5.33、f=1、n=2時求出的界限流量表。

若當地的經濟因素f≠1，必須將管段流量化為折算流量q₀后再查表5-2確定管徑。折算方法如下。

單獨工作的管段（即x_ij=1），當經濟因素為f、通過該管段的流量為q_ij時，根據式（5-88），取n=2，得經濟管徑為

當f=1時，通過管段的流量為q₀時的經濟管徑為

兩種條件下的經濟管徑應當相等，則可得出單獨工作管段的折算流量q₀為

同理，可求出f≠1且x_ij≠1時，管段的折算流量q₀為

因此，當f≠1時，若管段為單獨工作，則按式（5-102）計算q₀；若考慮管網中各管段之間的相互關系，即x_ij≠1時，應按式（5-103）計算q₀，并根據q₀值查表5-2確定經濟管徑。