1.6 建筑材料檢測試驗數據修約

1.6.1 有效數字及其運算規則

若某一近似數據的絕對誤差不大于（小于或等于）該近似值末位的半個單位，則以此近似數據左起第一個非零數字起到最后一位數字止的所有數字都是有效數字，有效數字的個數為該近似數據的有效位數。例如，0.0056、0.056、5.6、5.6×10-2均為兩位有效數字，0.0560、5.60×10-2為3位有效數字，0.05600為4位有效位數。

常見的有效數字運算規則如下。

1．加、減運算

當幾個有效數字作加、減運算時，在各數中以小數位數最少的數為準，其余各數均湊成比該數多一位小數位。若計算結果尚需參加下一步運算，則有效位數可多保留一位。例如，12.37+0.656-3.8→12.37+0.66-3.8=9.23≈9.2，計算結果為9.2，若尚需要參與下一步運算，則取9.23。

2．乘、除運算

當幾個有效數字作乘、除運算時，在各數中以小數位數最少的數為準，其余各數均湊成比該數多一位小數位。若計算結果尚需參加下一步運算，則有效位數可多保留一位。例如，1.1628×0.72×0.50800→1.163×0.72×0.508=0.4254≈0.425，計算結果為0.425，若需參與下一步運算，則取0.4254。

乘方、開方運算規則同乘、除運算，如12.62=1.58×102。

3．計算平均值

在計算幾個有效數字的平均值時，如有4個以上的數字進行平均計算，則平均值的有效位數可以增加一位。

1.6.2 數據修約規則

在運算或其他原因需要減少數字位數時，應按照數字修約進舍規則進行修約。

（1）當擬舍棄數字的最左一位數字小于5，則舍去，即保留數的末位數字不變。例如，將16.2438修約到個數位，得16；將16.2438修約到一位小數，得16.2。

（2）當擬舍棄數字的最左一位數字大于5，則進一，即保留數的末位數字加1。例如，將21.68修約到個位數，得22；將21.68修約到一位小數，得21.7。

（3）當擬舍棄數字的最左一位數字是5,5后有非0數字時，則進一，即保留數的末位數字加1。當5后無數字或皆為0時，則保留數的末位數字應湊成偶數（若所保留的末位數字為奇數，則保留數字的末位數字加1；若所保留的末位數字為偶數，則保留數字的末位數不變）。例如，將11.5002修約到個位數字，得12；將250.65000修約為4位有效數字，得250.7；將18.07500修約為4位有效數字，得18.08。

（4）負數修約時，先將它的絕對值按上述規定進行修約，然后在所得值前面加上負號。例如，將-0.0365修約到兩位小數，得-0.04；將-0.0375修約到3位小數，得-0.038。

（5）擬修約數字應確定修約間隔或指定修約數位后一次修約獲得結果，而不得多次按進舍規則連續修約。例如，修約97.46，修約到保留1位小數，正確的做法是97.46→97.5（一次修約），不正確的做法是97.46→97.5→98.0（兩次修約）。

1.6.3 根據檢測數據建立直線關系式

在進行材料檢測時，有時需要根據測試數據找出材料的某兩個質量特性指標之間的關系，建立相關經驗公式，如抗壓強度抗拉（抗折）強度的關系、快速試驗標準試驗強度的關系等。在工程實踐中，常見的兩個變量之間的經驗相關公式是簡單的直線關系式，如標準稠度p=33.4-0.185s（下沉深度）、Rh=0.46Rc CW-0.07等經驗公式都是直線關系式。直線關系式為

式中 Y——因變量；

X——自變量；

a——系數或斜率；

b——常數或截距。

建立兩個變量間直線關系的方法很多，有作圖法、選點法、平均法、最小二乘法等。下面舉例逐一說明。

【例1.1】測得8對水泥快速抗壓強度R快與28d標準抗壓強度R標值見表1.4。試分別用作圖法、選點法、平均法、最小二乘法建立標準抗壓強度R標與快速抗壓強度R快的直線相關公式。

解（1）作圖法。建立坐標系，橫坐標代表快速抗壓強度R快，縱坐標代表標準抗壓強度R標，將8對測試數據點繪于坐標中，通過點群中心畫一直線，使8個點在直線兩側分布均勻（圖1.1）。這條直線即表示Y=b+aX，就是R快與R標的相關式。延長直線使之與縱坐標軸相交，交點至零點的距離即為截距b=17.3MPa，系數a為直線的斜率，a==1.0854，則得R標=17.3+1.0854R快。

有了上述經驗公式，就可以用快速抗壓強度R快推算28d標準抗壓強度R標。如測得快速抗壓強度R快=30.0MPa，代入相關公式R標=17.3+1.0854R快，得28d標準抗壓強度R標=49.9MPa。

用作圖法求兩個變量間的直線經驗公式時，特別要注意截距b和斜率a的正負號。相關直線與Y軸（縱坐標）的交點在零點以上時，b為正值；交點在零點以下時，b為負值。

（2）選點法。先將8對測試數據按照從小到大的順序排列。在8對測試數據中大小兩端各選一對數據，如選第1組（6.3,26.1）和第8組（40.9,62.6），則根據這兩組數據可得聯立方程組，即

通過求解此方程組，可得a=1.0549, b=19.5，由此可寫出R快和R標的直線關系式：R標=19.5+1.0549R快。

如果測得快速抗壓強度 R快=30.0MPa，代入上式得28d標準抗壓強度 R標=51.1MPa。

利用選點法建立的相關公式，因選擇的兩組測試數據的不同而有差別，見表1.5。

（3）平均法。先將8對測試數據按照從小到大排序，再將8對測試數據分成兩組，前4對一組，后4對一組，并求出兩組檢測數據的算術平均值：

第一組

第二組

組成方程組：

求解此方程組得a=1.11988, b=16.503，即可得到R快和R標的直線關系式為R標=16.503+1.11988R快。

（4）最小二乘法。最小二乘法是一種最常用的統計分析方法，其基本原理是使各測試數據與統計分析得到的直線關系間的誤差的平方和為最小。最小二乘法中，直線方程式的截距b、斜率a、相關系數r、標準離差σ及變異系數的計算公式為

截距

斜率

相關系數

標準離差

變異系數

先列表計算8對測試數據的∑X、∑Y、∑X2、∑Y2、∑XY等數值（表1.6），然后代入上述公式計算得b、a、r、σ、CV值。

代入公式得

得到b和a值后，即可寫出直線關系式R標=17.3+1.0872R快，如果測得快速抗壓強度R快=30.0MPa，代入關系式便得到28d標準抗壓強度R標=50.0MPa。

另外，將列表計算得到的數值分別代入r、σ、CV的計算公式，可得r=0.9949, σ=1.455MPa, CV=5.88。相關系數越接近1，說明統計分析得到的直線關系式與測試數據之間的相關性越好，公式的使用可靠性越大，用公式計算的結果越接近實測值。

用最小二乘法統計分析直線關系式的計算較為復雜、費時，但利用Excel電子表格進行計算則可大大提高計算的效率和精度。