數的起源

人類究竟在何時和怎樣才產生出數的概念的？如果要講述這個關于數的起源的故事，那么“在很久很久很久以前……”這樣的開頭對于我們要講的故事來說是再恰當不過的了。數的產生，是從離開我們極其遙遠的人類生存時期開始的。那個時期未曾留下任何書面的文獻，因為數的概念在人類發明文字——這一記錄人類自己思想的符號——之前很早就產生了。數學史家一般都從以下幾個方面考察數學的起源和早期發展：

1．考古工作中挖掘的古代人類的遺物，如勞動工具，建筑，生活用具等；

2．現存的原始部落的日常生活、語言；

3．各民族語言發展的歷史和它們之間的比較研究。

借助于此，對數的概念的起源，我們就能形成一個大致的輪廓了。對于大多數讀者來說，了解這樣一個大概也就可以了。下面我們做的就是去了解人類是怎樣逐漸一步步地獲得了數的最初知識的。

數覺

人類之所以能夠產生數的觀念，首先，是由于人類即使在最古老的年代，也已經有了某種對數的朦朧意識。比如說人能夠區分有與沒有的差別；此外當在一個小的集合中，增添或者去掉東西時，人能夠覺察到其中有所變化，會意識到是“多了”或是“少了”。這種覺察數之有無與數之多少的能力，被數學史家稱為“數覺”。可以相信，早在進化的蒙昧時期，人類就已經具有這種能力了。

其實，有實例表明若干種動物看來也具有一種與人類相類似的原始數覺。如，在有些鳥類的鳥巢中若是有四個蛋，那么你可以放心地拿去一個，鳥沒有覺察；但是如果拿掉兩個，這鳥通常就要逃走了。鳥會用某種奇怪的方法來辨別二和三。

下面這一則有趣的故事能夠更好地說明鳥所具有的這種本領。

有個田主決心要打死一只在他莊園的望樓里筑巢的烏鴉。他試了好多次想驚動它，始終沒有成功：因為人一走近，烏鴉就離開了巢，飛走了。它會棲在遠遠的樹上守著，等到人離開了望樓，才肯飛回巢去。有一天，這田主定下了一個計策：兩個人走進望樓，一個留著，一個出來走開了。但是烏鴉并不上當：它老等著，直到留在望樓里的人也走了出來才作罷。這個試驗一連作了幾天：兩個人，三個人，四個人，都沒有成功。末了，用了五個人：也像以前一樣，先都進了望樓，留一個在里面，其他四人走出來，離開了。這次烏鴉卻數不清了；它不能辨別四與五，馬上就飛回巢里去了。

至于這只烏鴉的結局如何可就不言而喻了。

現在我們所要說的是，我們的遠祖是具有這種數覺的智力水平的。不過辨別數目時，如果僅靠數覺，其范圍是十分有限的。一個論據是：許多語言幾乎都帶有這種早期局限性的痕跡。如英文的thrice和拉丁文的ter，都同樣的有雙重意義：三倍和許多。而我們古漢語中的“三”不也常泛指多嗎？其實，我們現代人在數覺方面也不過如此，并無明顯進步。有精密的實驗結果證實：普通文明人的直接視覺數覺，很少能超過四，至于觸覺數覺，范圍甚至還要小些。

說到這里，你或許已開始覺得這種數覺有些幼稚的可笑，而具有這種數覺的能力也實在不是一件什么大不了的事情。確實，這在現代人看來，是那么的微不足道。可是，這畢竟是一個好的起點。在沒有數的概念之前，人的這種朦朦朧朧的數覺或數的意識，是認識的第一步。正是這種比鳥類高明不了多少的原始數覺，奠定了人類產生數這一概念的基礎。如果沒有這種基本的數覺，會怎么樣呢？答案很簡單：如果沒有這種簡單的數覺，那么人類就根本不可能產生出后來的數的概念。當然了，如果人類只有這種數覺的話，在對數的概念的認識上，也就不會比鳥類有什么進步了。

讓我們現代人感到慶幸的是，在一連串內在的與外在的特殊條件影響下，人類在數覺之外，學會了另一種技巧，這種技巧注定了使他們未來的生活受到巨大的影響。這技巧就是計數，并且，正是由于有了計數，我們贏得了用數來表達我們的宇宙的驚人成就。下面我們所要敘述的就是這種技巧的形成。

邁出第一步：計數

在了解人類邁出的第一步之前，先讓我們簡單看一下當時我們的遠祖已經具備了哪些有利的條件。

先看內在條件。前面我們已經提到過人類的數覺能力，這當然是人產生數概念的第一個基本條件。另外，這種時候人類已經能夠直立行走。可不要小瞧這一點，后面我們將會看到在數的概念形成中，直立行走，從而解放出雙手是人類能夠產生出數的概念的一個重要方面。

在外在的條件方面。人類社會正處于原始社會。在早期生產力非常低下。人們每天外出狩獵以維持生存。很可能經常空手而回不足果腹。但隨著生產力的提高，帶回的食物可能會多少有了點富余，也就慢慢地出現了剩余物。

在生活中這種數與量的變化的影響下，人類借助于原始的數覺，開始逐漸形成“無”與“有”的區別。這是人類最早形成的數學概念。當“有”經常出現時，人類認識到不同數量的差別，于是有了“多”與“少”的數學概念。在認識“多”與“少”的差別的過程中，人類邁出的第一步大概是知道了“一”和“多”的不同。從多中，首先分出“一”，很可能是經過了非常困難的階段才作出的。而這一過程究竟發生在人類何種階段，恐怕也不是一個容易回答的問題了。曾有人把這種分出解釋為，人通常總用一只手拿一件物品，這便把一從多中分了出來。事情是否真得如此不是我們這本書中所要闡述的了。我們需要了解的是任何概念的產生都有賴于在朦朧中劃一條界限。沒有1的概念就沒有數的概念，把1從混沌一片中解放出來，這是數的認識的開端。不過，這時除1之外的那些數還是一個模糊的“多”，或者可看成是一個簡單的否定——非一。也就是說，在計數的開端首先建立了一和不確定的多（或非一）這兩個概念。大概又經過了很長的時間，原始民族才又從多中區別出2、3等不同的數。對于很多原始民族來說，對“多”所做出的區分到很小的數就停止了，他們從所謂的“多”中區分中的無非是前面幾個數而已，大概多于三個的時候就不算多吧。如南非布須曼族，只知1、2、多；澳大利亞土人有的可以數到4；再好些的到5、6。剩下的就進入不加區分的混沌一片了。實際上，許多原始民族用于數的單獨的名稱只有1和2，間或也有3，超過這幾個數時，便說“許多，很多，太多”。

但是，對于另外一些民族來說，隨著其生產力水平的提高，較大的數目在生產、生活中越來越多的出現。在這種背景下，這些民族開始形成一種新的技巧：計數。

一種計量數多少的辦法

事實上，人們在想出數之前很久就已經以艱難而辛苦的方法進行著計數了。因為說來可能有些奇怪，人們根本不用數字也能夠計數。許多古代的計數趣聞正可以反映出這一點。

在大約公元前9至前8世紀，著名的《荷馬史詩》中記載著一個故事：俄底修斯刺瞎了獨眼巨人波呂斐摩斯并離開了庫克羅普斯國，不幸的盲目巨人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨羊兒外出吃草，每出來一只，他就在一堆石子中撿起一粒石子。晚上羊兒返回山洞，每進去一只，他就扔掉一粒石子。當他把早晨撿起的石子都扔光時，他就確信所有的羊全返回了山洞。

在人類的計數史上，“巨人數羊”現在看來是趣聞的故事，在當時，卻是人類智慧的結晶呢。這里所用的辦法被稱為一一對應的方法。其方法是將一個集合中的每一事物和另一個集合中的每一事物相對應，一個對一個，直到某一集合或兩個集合中的事物同時配完為止。通過這種方法能夠讓我們甚至在不知道事物的具體數目的情況下，明了兩類事物的多少關系。如果某一集合的事物先配完，那么說明它的數目少于另一個集合的數目；如果兩個集合的事物同時配完，那么說明兩個集合有著相同的元素。

其實，這種辦法在現在我們也在經常使用著。

比如，設想我們現在走進一個教室。在我們面前有兩個集合：一個是座位，一個是人。我們不用計數，就可以知道這兩個集合是否相等，如果不相等，哪個多些。因為要是所有的座位都坐滿了人，同時沒有人站著，我們不用計數就知道兩個集合相等。要是座位已經滿了，而仍有人站著，我們不用計數就知道人多而座位少了。

古代人最早大概就是采用這種方法來計數的。當他們獵取到比如說一些野兔，他們就近取材，發現這些野兔的數目恰好可以與一個人的耳朵一一對應起來。于是，他們就可以用“有像我的耳朵那么多”這樣的話來說明野兔的數目。如果下一次獵取的野豬也恰有這么多，他們同樣可以用“有像我的耳朵那么多”這樣的話來表示野豬的數目。慢慢地，“有像我的耳朵那么多”這樣的話可能被簡略成“人的耳朵”這樣的說法。進一步，“人的耳朵”后來就成了一個可以代表某一數目的代表性集合。只要一些物品的數目恰好是我們所熟知的2，那么原始人就可以說有“人的耳朵”那么多。當然，物品的數目不可能總是2，當出現其他數目的物品時，他們只需要采用同樣的方法，找其他的一個代表集合就是了，用不同的代表集合來代表不同的數目。比如說表示數四時，就說“像牲口的腳那么多”。這樣，對不同的數目找到不同的代表集合，較少數目的計數問題就解決了。原始人類恐怕就是這樣做的吧。他們先是用人和動物的身體部分作為對一些物品的口頭表達。而慢慢地，這些敘述的語句又被相應的簡稱所代替。就這樣，代表集合的語句以及其簡稱被用來稱呼數的數目，如說“有耳朵一樣多”，或者簡單說“耳朵”。再往后，這些名稱便作為數字的稱呼而鞏固下來。于是，人們開始用詞“耳朵”或“手”或“翅膀”等表示我們更熟悉的數字2；用“獸足”表示我們熟悉的數字4，或者“手指”來表示數字5等等。到后來，這種讀音固定下來，就成為抽象數的讀音。這大概正是部分數字讀音的由來吧。這種推測，可以從語言學中得到部分證實。據研究，漢語中“二”的讀音就源于“耳”，意思是像耳朵一樣多。藏語中的“二”源于“翼”，意思是像鳥的翅膀一樣多。

在這一時期，原始人有了許多不同的代表集合來表示不同的數目。等到人們要算某一事物的個數時，只需要在這些代表集合中，把能和它匹配的那一個代表集合找出來并用相應的語句或其簡稱來表達就行了。

運用這種方法，原始人就能夠（當然是在小的范圍內）回答“物體有多少個”這一問題了。不過，這種回答并不如同我們現在的回答方式，如說某物有2個、5個等等。因為那時人們對數的理解還沒有達到這一步。在他們的意識中數是十分具體、十分形象的，它既不能同量分開，也不能同形分開，也就是說，只有同量和形結合在一起，必須依附著所指的物體，他們才能懂得數。在這一時期當提及二、五時，人們腦海中浮現出的是與之對照的實物：人的耳朵、手指之類。這種時候人們對數的認識還是非常具體的，是與實物相聯系的。

用一些代表集合來表示數目，是原始人計數史上的一大進步。這意味著人類在形成數的概念上完成了第一次抽象。不過，用這種方法畢竟存在著一些不足：首先，這種辦法并不要求數目按照從小到大的次序排列，因而這些用來表示數目的代表集合完全可能是亂七八糟堆放在一起，毫無次序的；其次，由于代表集合是如此具體與混雜，利用這種辦法，想抽象出數的概念是不可能的；再次，當需要計的數目比較大時，這種辦法即使不說失效，也可以說顯得極其笨拙。而恰恰隨著生產、生活的需要，較大的數目越來越多的出現。于是，建立在同樣原則上的一種解決問題的辦法被原始人類使用了。

這種方案有著同樣的簡單性，就是選取代表集合時，不再用沒有關聯的不同實物來表示，而是用同一種事物的不同數目來表示。如一塊石頭來作為數目1的代表集合；兩塊石頭來作為數目2的代表集合；三塊石頭作為數目3的代表集合等等。這種事物也可以取其他的東西來替代，人們習慣上是就近取材的。石子、竹片、樹枝、貝殼之類都曾被不同的民族用來作為計數的實物。

用這種辦法計數，可以找到一些實例。如在馬來亞語和阿茲特克語中，數詞“一”、“二”、“三”在字面上指的是“一塊石頭”、“兩塊石頭”、“三塊石頭”；在南太平洋紐埃島人的語言中，這三個數詞在字面上的意思則是“一個果子”、“兩個果子”、“三個果子”；而爪哇語中這三個詞的意思則是“一顆谷粒”、“兩顆谷粒”、“三顆谷粒。”

用石頭、貝殼之類東西計數的好處是容易找到。但是也存在一些問題：其一是這些東西容易散亂；其二是無法長久地保留。為了解決這類缺點，后來人們開始采取結繩的方式來計數。這就是歷史上的結繩計數。所謂結繩就是在一條繩上打上結，在這種計數方式的完善中，人們又曾用不種顏色的結來表示出不同的事物。

在沒有書寫記錄的年代，結繩法擔負了記載歷史的作用。在古人心目中，數，就是用手打成的“繩結”。結繩方法實際上曾遍及世界各地。無論東方還是西方，都是有過結繩計數的歷史的。如中國、希臘、波斯、羅馬、巴勒斯坦以及伊斯蘭國家都有記載或實物標本。有一則傳說可以引來作為佐證：古波斯王在一次戰爭中，命令將士們守一座橋，要守60天。為了把這個數準確地表示出來，波斯王用了一根長長的皮條，在上面系了60個扣。他對將士們說：“我走后一天解一個扣，什么時候解完了，你們的任務就完成了，也就可以回家了。”

甚至至今，還有個別的少數民族在用結繩的方法呢。如在我國新疆巴里坤草原的牧民現在仍用羊毛結繩記數；日本琉球群島的某些小島上人們也還沒有放棄這種結繩計數的古老辦法。

然而，這一方法保存的信息的存在時間仍過于短促，因此人們就用在木棒、龜甲、竹筒或骨頭上刻出痕跡的辦法來構成一些記錄，稱為“符契杖”，這就是歷史上的刻痕記數。其中最古老的例子是，1937年，人們在捷克斯洛伐克發現了一根大約三萬年前的狼撓骨，這根長為18厘米的骨頭上，深深地刻著55個痕跡。還有一件引人注目的刻痕計數實物是“伊尚戈骨頭”，據鑒定，確認為公元前8500年的遺物。在我國北京郊區周口店的山頂洞人遺址中，考古學家發掘出了四根帶有磨刻痕跡的骨管，發現它們已有一萬多年的歷史了。這些都證實了刻痕計數法在人類歷史上曾被廣泛地使用。在我國古書《易經》中就記載著：“上古結繩而治，后世圣人易之以書契。”據調查，云南有的少數民族50年代仍沿習結繩、木刻記數呢！

在沒有文字以前，用繩結和書契（刻木、刻骨等）兩種方法計數，是世界絕大多數民族歷史上經歷過的階段。實際上可以說，這兩種“非文字記數法”曾遍及世界各地，這是人類進行艱難而辛苦計數的開端。

在這一計數的開端，人類所使用的是“一一對應”的辦法。用這種辦法計數，除了上述提到的證據外，我們還可以提到一些其他的實例。

如：一些美洲的印第安人，通過收集每個被殺者的頭皮來計數他們殺敵的數目。還有一些非洲的原始獵人，通過積累野豬的牙齒來計數他們殺死野豬的數目。

最后我們還可以舉出一種奇特而有趣的，由居住在大洋洲島嶼上的土著人采用的關節計數。他們用：左手小指表示1，依次用左手無名指表示2………左手大拇指表示5；接著，左手腕表示6，左手肘表示7，左腋表示8，左肩表示9，左側鎖骨表示10，咽喉表示11；再接著對稱地向右數下去，到右手小指表示21。《數學天方夜譚》一書中敘述了古代土著人做買賣的情景：

“一個漁夫正在用捕撈來的魚跟農夫換取蔬菜。他試探性地伸出左手的大拇指。然而農夫堅決地搖了搖頭，使勁地用右手肘撞擊左手掌。漁夫遲疑了一下，用手點了點自己的左肩，農夫卻用手指著右側鎖骨。最后漁夫指著自己的咽喉，農夫終于點頭答應，買賣成交了。”

你能看懂這段啞謎嗎？讓我們一起把它翻譯出來——

“我用5條魚換你的這些蔬菜，行嗎？”漁夫問。

“不行。得15條！”農夫不肯。

“那么，9條可以吧？”漁夫又添了四條。

“出條12，你就拿去。”農夫也做了讓步。

“11條，再多一條也不換了。”

“好吧，我吃點虧——實在便宜你了。”

你看，用石子、貝殼、關節、繩結、樹痕，雖然可以幫助人們計數，但多么不方便啊！

原始人利用一一對應的方法得到的這種數的概念在現代數學中稱為基數。基數所根據的是對應原則。也許你會覺得這種辦法實在是有些笨拙，然而它卻自有其美妙處，我們后面還要用到它，在那里你可以體味到它的好處。我們在這里順便指出的是：一一對應的思想方法滲透并支配著整個數學，是現代數學的基本思想方法，是數學家最有效的常備武器之一。

另一種計數的辦法

上面我們介紹了一種古代人采用的計數方法。這種方法是利用一一對應的原則來實現的。由此得到的基數概念解答了物體“有多少個”的問題。在此，我們可以想象一下原始人是如何完成這一點的。

比如說獵取了一些野兔。到底有多少只呢？利用一一對應的方法是這樣進行的：取一只野兔，就在一旁放上一塊石子，或在繩子上打一個結，或者刻上一道痕。

重復這種機械的對應過程，直到野兔取完為止。這樣，人們就知道一共有與石子或繩結或刻痕相同數目的野兔了。

可以發現，這與我們現代人的做法并不相同。我們是通過從一開始數數，一、二、三……而最后得出答案的。也就是說，當原始人最初采用一一對應來計數的時候，他們還沒有形成自然數按次序由小到大排列這一觀念。單憑匹配本身不足以創造出我們現在所使用的有序的自然數的概念。設若不是我們能夠將事物排列成有順序的次第，進步就是不大可能的。那么，人類又是如何實現這一步的轉化的呢？

一種可靠的推測是：這一轉變是從人類領悟到自己的手指是最方便的天然計算器開始的。

直立行走使人空出了雙手，這雙手不僅僅用來拿東西，后來人類認識到它還是人的最自然的計數工具。想想借助于自己的手指人類可以如何計數吧。當想了解捕了多少魚或是野果或是野獸時，就可以把物品從一邊移到另一邊。每移動一件，就彎下一個手指。在這個彎下手指的過程中，人類認識到自然數可以從1到大排成一個序列。即是說那些代表集合可以由小到大排成有前后次序的序列，最后當人們將前幾個數字，按照有順序的次第記住，并制定一個語音系統，使得能從任何一個數讀出它的后面的較大數時，一種數制就這樣被發明出來了。正如我們小時候學數數時所做的那樣，數數是從“一”開始的，隨后我們需要數出它的后面數“二”，再后是“三”……至于這些數的讀音由于不同的民族制定了不同的語音系統，所以是不同的。但這是無關緊要的。

數制一旦有了，計數某一集合的事物，就等于將集合中每個成員分別和有順序的次第的自然序列中的每一項相對應，一直到整個集合對應完了為止。對應于集合中的最后一個成員的自然序列的項，就稱為這個集合的序數。有了序數，如果要確定某一集合的事物的多少，即它的基數，我們不用再找一個代表集合麻煩地來作一一匹配了——我們只消將它加以計數就成了。數學的發展實在應當歸功于人類知道了數的這兩個方面的統一性。在實用上，我們雖然覺得基數很有用，但它不能創造出算術來。算術的運用就是依據我們總是可以由一個數數到它的后繼數這一默認的假定出發的，而這個假定正是序數概念的本質。

可見，手指對人類計數的發展起著至關重要的作用，對于它在何環節上起到的作用我們不能判斷，但是這種作用的重要性是無可懷疑的。我們可以說，人類在計算方面之所以成功，應當歸功于十指分明。大概正是屈指計數使人們不自覺地從基數轉到了序數吧。正是這些手指，才教會人類計數，從而把數的范圍無限地擴大開來。如果沒有這套裝置，人類對于數的技巧就不會比原始的數覺高出多少。因此，我們不無理由地說，要是沒有手指，那么數的發展，以及隨之而來的我們精神上的和物質上的進步所依據的精確科學的發展，也將毫無希望地處于低下的階段。

在現代，除了小孩子初學計數的時候還用手指，屈指計數的技術已經被淘汰了。文字書寫的出現，簡便的計算方法，以及教育的普及，使得這個技能成為陳舊和多余的了。在這種情形之下，我們自然容易低估屈指計數在計算史中曾經起過的重要作用。不過在幾百年以前，屈指計數在西歐還是如此風行，以致一本算術課本如果不包含屈指計數的方法，它便不能算是完全的。在當時，用手指計數和用手指演算簡單的算題，都被看作是受過教育的人的一種能力呢。

在轉入下一部分的論述之前，我覺得有必要對基數與序數的區別再重復一下。

回想一下，我們小時候，如果父母拿了四個蘋果，問我們一共有幾個，我們是如何做的吧。

我們習慣性地掰著手指，口中念念有詞：一個、兩個、三個、四個。這種有次序的將數目數出來的方式，就是采用了序數制。而當我們一次性地伸出四個手指說有四個時，我們就是使用了基數制。

我們可以再舉一個例子。比如我問你“這本書共有多少頁？”你回答說：180頁。這種回答所使用的就是基數。而如果我問你“這本書的后記在哪一頁上？”你回答說：第180頁上。這種回答所使用的就是序數了。另外，你還可以聯想一下你所學過的英語。在英語中數詞是分基數與序數的。one、two、three、four……被稱為基數；而first、second、third、fourth……則被稱為序數。當你區分開這些英文的差別時，你也就明白了人們關于自然數理解中的這兩種不同的觀念。后面我們還要提到，正是在此基礎之上，形成了建立自然數理論的兩種方式：自然數的基數理論與自然數的序數理論。

但不管怎么說，事實上，由于這兩者對于我們現代人來說已經融為一體了，以致于當把它們分開來時我們往往不太適應。數數在我們的習慣中已經根深蒂固，我們確實很難將兩者分割開了。但是在遙遠的古代，兩者的出現卻可能會有著先后。那么，何者為先呢？我們可以在小孩子那里找到基數先于序數存在的一個證據。比如，我們教一個小點兒的孩子數數。伸出一個手指，教他數1；伸出兩個手指，教他數2; ……伸出五個手指教他數5；伸出一個手指的大拇指與小拇指，教他數6。教過多遍后，孩子好像學會了，只要你伸出某種手指，孩子就會說出相應的數目。不過，一個小小的實驗，就能夠證實這時孩子所學會的還只是基數。實驗很簡單：在依次伸出一至五個手指后，伸出一個手的五個手指與另一個手的一個手指，問孩子這是多少。剛才還對答如流的孩子，這次恐怕就傻了眼。這說明，他還只是把手指的樣子當作代表集合與相應的數目聯系在一起。他還不會真正地數數。他還不明白數6不過是數5的下一個數而已，即他還沒有真正的序數概念。

如果可以拿個體的早期與人類的原始期作類比的話，那么我們可以認為原始人最早所掌握的也將是基數的概念，而對序數的認識就要晚一些。這只是我的一種推測，讀者朋友大概會有自己的高論吧。

抽象數概念的初步形成

具體的東西總是在抽象的東西之先。任何抽象都來自于具體。各民族早期表達數的語言，都是非常具體的，是與實物相聯系的。這種早期數概念的極端具體性，可以舉出不列顛哥倫比亞的辛姆珊族的語言作為一個明顯的例子。這種語言共有七種不同的數字：一種用于走獸和扁平的物體；一種用于時間和圓形的物體；一種是用來數人的；一種是用于樹木和長形物體的；一種是用于小艇的；一種是用來測量的；還有一種是在沒有特定對象時計數用的。最后一種大概是后來才發展起來的。前幾種必定是這族人還沒有學會計數之前的早期遺物。

離開具體實物的抽象數的產生是一件不容易的事情，具體的、不同質的表達多少的概念結合為統一的抽象的數概念，需要經過多次的抽象過程。

前面我們已經提到人類曾經用到兩種方法進行計數。在這種計數過程中，人類已經從具體到抽象邁出了重要的幾步。其中，給不同的數起名字，是抽象數形成過程中重要的一環。

在發展計數的最初級階段，人們恐怕還不會想到使用數的名稱。需要表達數時，或者用實際拿在手上或放在腳邊的被數物品，或者靠相應的身體動作和手勢就行了。這或許是由于早期還缺乏對數命名的必要。因為在早期由于人們只限于把物品進行分配，分配后沒有必要再記住出現的數，所以也就不需要數的名稱，而只要借助于相應的手勢就可以了。事實上，用手勢表示數像遺跡一樣，長期保存在許多沒有產生口頭讀數的民族里。但是越到后來，單純依靠手勢之類的方式就越行不通了。尤其是，當農業成為生產的主要方式時，人們不僅需要對屬于自己的財產計數，而且還要記住它們的數目。大概正是由于這類實際的需要，促使人類走上了創造數的名稱的道路。

至于原始人類是如何對數進行命名的，在前面我們已經簡單地涉及過了。比如我們提到了漢語中“二”的名稱的由來。通過這一例子，我們明白在久遠的年代，人類對數的命名是與某些代表集合相聯系的。或者可以說數的名稱是一些代表集合或其簡稱轉化而來的。

不過，愿意思考并有著懷疑精神的讀者可能會問：可是現在從多數數字的讀音中我們都已經找不到這種聯系的痕跡了，為什么？這或許說明對數的命名發生在較早的時期吧。數字產生的確切時代，雖然無從稽考，但有確鑿的證據表明，它的產生比有文字記載的歷史還要早好幾千年。于是，一種可信的推測是語言的演變歪曲了一些數名的本來面目。

在文字產生之前，人類就已經形成了數的概念。等到表示數的字一經造成并且采用之后，就和它原來所表示的物體一樣地可以作為代表了。到后來，因為數的記號和它所假借的物名之間需要有所區別，這樣有一方的讀音就要改變。在這一變化中，數字的讀音沒有發生變化，而它所借的實物的名稱卻不得不發生改變。最終是“鳩占鵲巢”。由于數字所假借的實物的名字，幾歷滄桑，備經變化。于是在經歷了長年累月之后，二者間的聯系就被忘卻了，以致于我們現在早已無法明白數字現在的讀音所代表的實物究竟是什么了。當人類愈來愈依賴語言時，聲音就代替了所表示的東西，原來的具體的代表集合便以數字的抽象形式而出現了。

最后一句話似乎有點深奧。讓我們舉一個例子再解釋一下。比如前面提到的“耳（朵）”原來是一個具體的代表集合，即“像人的耳朵一樣多”。到后來，“耳”的聲音代替了這個具體的集合，慢慢地成了數字“二”的稱呼。你看，就這樣，原來的具體的代表集合后來開始以數字的抽象形式而出現了。

另一方面，人類對數進行命名的早期，大概還只能限于極少量的數目。對于這些不多的數，大多情況下，不同民族的人們都會按上面所說的方式給它們取互不關聯的名字。當后來數目稍微增加時，人們很可能采用了重復已有的簡單數詞的辦法。如在早期人類用于數的單獨的名稱只有1和2，超過這幾個數時，便說3是2和1,4是2和2,5是2和2和1等等。在澳洲的一些部落的語言中，我們就可以看到這種說法的例證。他們對數的命名使用了十分有趣的名稱，1是破掛子，2是帆船，3是帆船 -破掛子，4是帆船-帆船。你看，只有1與2的名稱，卻也表示出了1到4或再稍多點的數呢。當數的范圍擴大時，人類出于經濟的原則并沒有對每個新的數都起一個新的名稱，而是非常自然地借助于前面已有的數來表示出后面的數。事實上，當原始人如此做的時候，他們已經不自覺地使用了一種重要的觀念。這就是后面我們還要介紹的“進位制”。用現在的話來說，就是“滿幾進一”。在當時，就是只對少數幾個數命名，而對稍微多的數就用重復前面幾個數的方式來表達。最早的時候，命名的數可能只限于1與2，也就是說，那時人類使用的是二進制。到后來，人類慢慢地發展到了使用手指計數。開始很可能只限于一只手，于是，人們對數的命名范圍發生了改變，擴展到了前面五個數。在這種情況下，就可以用：“另一只手上的一個手指”，或“第二個五個手指中的一個”，或“五與一”，來表示數六。同樣用“另一只手上的二個手指”或“五與二”等表示數七，等等。在這里，五就成了高一級的單位。而人類也就進入了五進制階段。在這一階段，數6、7等還不必使用另外的命名。再到后來，手指計數開始進到兩只手了。于是，前面十個數也就慢慢地都有了自己的名稱。而對十以上的就借助前面十個數來表示。例如，可以用“兩只手上的十個手指和一只腳上的二個腳趾”或“兩個手指還剩下一個”來表示11；為了表示數十二，就可以說“兩只手上的十個手指和一只腳上的二個腳趾”或“兩個手指還剩下二個”，等等。再到后來，人類又很自然地想法使數的口頭表達簡單化。如數11簡化成“腳的一趾”或“還剩下一個”，數12簡化成“腳的二趾”或“還剩下二個”等等。在這里，十成了高一級的單位。而人類也就進入了十進制階段。當然，人類還可以引入更高的數作為高一級的單位。如引入20。這時，數二十三就說“兩只手上的十個手指，兩只腳上的十個腳趾和別人的三個手指”，或進一步簡單說成“別人的三個手指”，等等。

就這樣，數的命名與手指、腳、人等天然計數工具聯系在一起了。而可以表示五的手，表示十的雙手，表示十五的一只腳，表示二十的雙手與雙腳或人也就都很自然地被原始人所使用，以表示更高一級的單位了。讓我們從語言學的角度對此證實一下。

據語言學的研究，英文eleven原意是：還剩下一個。tw elve原意是還剩下二個。英文的digit一詞含有手指與數字的雙重意義。在俄語中5與掌骨有著相似的讀音。南美的卡馬尤拉部落人把“中指”一詞作為數詞“三”，他們把“三天”說成“中指天”。新幾內亞東南部的巴希亞部落人，把“九十九”說成“四個人死去了，兩只手廢棄了，一只腳壞掉了，還有四。”

其實，數的命名過程要比上面所述復雜得多。對于更多的細節，我想，我們還是交給這方面的專家解決吧。我們只要了解，在計數的有聲時期的較早階段，各種有聲的聲音被發展起來了，并且人們利用不同的聲音（字）來表示不同的數。例如，三頭羊和三個人，“三”這個一般性質的抽象，經過長時間后，由具有某種具體聯系的某個獨立的聲音來表示了。此外，我們需要了解的是，數的命名為形成數的抽象概念提供了巨大的幫助。當把不同類但具有相同數目的一些東西都用一個名稱來代替的時候，隨著人們對這種名稱的重復，人們會逐漸認識到數所具有的獨特性：即數是獨立于具體事物之外的。比如說人們慢慢地發現兩只兔子、兩只野豬或兩個果子，雖然在具體物上有著極其大的區別，但是在這種不同之外卻有著某種共同的東西。

讓我們來設想這樣的過程。

一個原始人問另一個原始人：“今天打了幾只兔子？”

另一個回答說：兩只。

又一次，問題變成：今天打了幾只野豬？

回答是：兩只。

再一次，問題變成：今天采到了幾個果子？

回答是：兩個。

……

這樣問答的重復，一定會使得原始人感到非常奇怪：對于完全不同的事物怎么會有相同的回答呢？即使智力水平還不高的原始人也會慢慢地意識到這其中有著某種相同的東西。現在我們已無法推測原始人是從何時開始意識到這一點的了。或許當意識到這一點時，他們會感到非常震驚吧！回想一下：當我們小時候剛開始考慮學數的時候，在三個蘋果、三位叔伯、三朵花等不同的事物間忽然領悟到其中有某種共同的東西存在時，我們有什么感受？當然，很可能這種感受由于過于久遠，已經從我們的記憶中消失了。確實，由于我們通常很早就與數打交道，以致于對自己領悟到“數可以離開具體事物而獨立存在”時的驚訝美妙感覺已經遺忘了，對數這一概念的極端抽象性似乎也因為熟視無睹而沒有什么感覺了。

數，實際上是一個極其抽象的概念。“三個”的抽象導致了數3這一概念的形成，這一過程不可思議之處在于世界上并沒有任何東西是數字3，它是一個純粹抽象的概念！當我們說到數3或任何其他數的時候，我們并沒有不舒適的感覺，這只是因為我們已經熟悉了它。當你試圖不用詞來解釋數3是什么時，你就會認識到這個概念是多么的抽象。由此可見，數的概念與其他概念的不同在于數的概念必須要經過多次抽象才能得出。一般人常說，數學太抽象，實際上正是如此。抽象數的概念的初步形成就花費了人類何等漫長的時間啊！正如羅素生動描述的那樣：“不知道要經過多少年，人類才發現一對錦雞和兩天同是數字2的例子。”

但不管怎么說，經過長期艱苦的努力后，原始人畢竟初步形成了抽象數的概念。不過，抽象數概念的最終確立還有一步要走，這就是記數符號的使用。這正是我們要經過的下一站。

數字記數法

早期記數符號的出現

前面我們已經提到，在人類剛開始產生數的概念的時候，在人類歷史上最早出現的是實物記數法，是“非文字記數法”，那時人類所認識的是與實物相聯系的數。原始社會末期，私有制和貨物交換產生以后，數的概念有了進一步的發展。人們開始用文字符號取代結繩與刻痕記數，這樣，與實物相脫離的真正抽象的數才被最終確定下來。當人們不必依賴具體的實物，而是用抽象的數字符號來表示數字時，數字才完成了它的起源過程。作為記數符號的數字的發明，意味著自然數的出現，標志著數學開始邁出它的第一步。為此，人類曾經歷了一個多么漫長的歲月啊！

人類創造文字，大約有5000年的歷史了。當文字出現后，如何將數目用文字記錄下來就成為一件重要的事情。但是這種符號不是很快就能建立起來的。迄今知道的最古老的埃及和巴比倫記數法的出現也是公元前四千年代和公元前三千年代的事了。

在人類剛形成數的概念并開始在較小范圍內記數時，不約而同地采用了劃橫或豎杠的方式。即數目是幾，就劃幾道杠。然而當面對較大的數目時，這種最原始的解決辦法還是否可行呢？有一則讀者可能在剛學習數的時候就已經熟悉的笑話：“一個學生剛從先生那里學會寫一、二、三，便認為自己已經學會識字了。于是，有些吝嗇的孩子的父親高高興興地辭掉了先生。不久家里請一位姓萬的客人，需要這位 ‘聰明’的學生寫個請柬，于是他一劃一劃忙了起來，忙了大半天，還沒有寫出這個萬字，最后當父親急急火火地問他怎么還沒有寫完時，他抱怨說：‘這人真怪，為什么偏要姓萬呢？’他以為萬字就是一定要劃出一萬道橫杠來。”

可見，這種解決方案在數目較小時雖然略顯笨拙，卻還是可行的，但是當面對大的數目時，就根本行不通了。然而隨著生產力進一步提高，實際生活中恰恰越來越多地要用到大的數目。如果我們不采用被我們嘲笑過的這個傻學生的辦法，去劃一萬道橫杠，那么用什么辦法才能完滿地解決這個問題呢？對每一個數目都引進一個新的符號，行不行呢？想想看，如果這樣，那么一萬內的數目就需要我們采用一萬個數的符號了。更何況自然數是無限的呢？這可一點也不見得比傻學生的解決方案聰明多少呃。

符號的簡化：進位制的使用

記數符號的引入，使人們可以表示出一些較小的數。但是當數較大時，無論是采用“對每一個數都引進一個新的符號”還是“數目是幾，就畫幾道杠”的方法都是完全行不通的。那么用什么辦法呢？回想一下前面我們已經提到的，原始人在對數進行命名時已經很自然地使用的那種新方法吧。當原始人把“一只手”作為數5后，就用“另一只手上的一個手指”，或“五與一”等來表示數六。當然，同樣地可以如此表示出數七、八等。于是，對于比5稍大些的數我們不用引進新的稱呼也能夠表達明白了。這一解決思路前面已經提到叫進位制思想。換言之，所謂進位制就是“以 P個數組成一個新的單位，而 P個新單位又可以用一個更高的單位來表示，依此類推”。因為是以 P個數組成新的單位，所以就叫 P進制。P稱作進位的基數。對數的命名中所采用的這種辦法，不是同樣可以用在記數上嗎？有了這種進位制的思想，記數就可以簡單些了，人們就可以憑借少數的數碼來表示出很大的數目，而不用采用過多的符號了。許多民族都完成了這一步，可見想到這一點并非什么太難的事情。不過不同的民族對此卻有不同的發展過程，除了選取的進位基數不同外，各民族在每一個較高單位的表示方法上也不盡相同。

下面，我們先來進一步介紹幾種進位基數。

正如我們前面已經提到的，當人們開始用語言來表述一定的數目時，二進制被認為是最古老的記數法。它出現在人們還沒有用手指進行計數的時候，也就是在一只手是低級單位，一雙手和一雙腳是高級單位之前的時候。今天，我們還可以找到二進制的痕跡。如我們用雙、對來計量。據考查，在澳洲和非洲的最原始的還沒有達到屈指計數程度的民族中，到現代仍存在著這種記數法。他們獨立的數字只有一和二，其復合的數字到六為止。至于六以上，則統稱之為“堆”。他們大多以雙來計數。這種習慣達到如此根深蒂固的程度，以致我們從一排七根針中抽去兩根，他們很難察覺出來，但如果只抽去一根，他們就馬上覺察出來了。

這種最原始的記數法，是基數最小的一種記數法，它只需要兩個數碼就可以表示任何數。這種神秘雅致的記數法的歷史常與萊布尼茲聯系在一起。

萊布尼茲：17世紀德國數學家、自然科學家、哲學家。他的研究領域極其廣泛，包括數學、哲學、邏輯學、力學、地質學、法學、歷史、語言、法律及神學等。他被譽為百科全書式的人物，他的多才多藝在歷史上也很少有人能與之相比。在數學上他以獨立創立微積分學而著稱。此外，他在數學上貢獻還有：1673年制作了能夠進行四則運算的計算機；系統闡述了二進制記數法等等。

萊布尼茲在重新發現了二進制后，對其大力提倡和闡述，使二進制記數法引起了人們的普遍關注。對二進制，萊布尼茲表示出了極大的偏愛。他認為一切數都可以用0和1創造出來，這正可以作為基督教《圣經》所說上帝從“無”創造“有”的象征。為此，他曾贊嘆說：“用一、從無，可生萬物。”也就是說，從二進位制中，萊布尼茲發現了上帝創造世界的證據。對此拉普拉斯普在他的名著《概率的哲學探討》中評論說：“萊布尼茲在他的二進制算術中，看出了創造萬物的影象……他想象：一代表上帝，零代表混沌；上帝由混沌中創造出世界萬物，正如在他的記數法中用一和零表示一切的數一樣。這個觀念太使萊布尼茲喜歡了，所以他將它提交任中國數學院院長的耶穌神父閔明我，希望因這種創世界的象征，而使非常喜歡科學的中國皇帝也轉信耶穌教。我提到這點，目的只在指出，即使是大人物的眼睛，也會被幼稚的偏見所蒙蔽！”

行文至此，還想順便提一下萊布尼茲與《易經》的一樁公案。

在萊布尼茲稍前，已經有人重新提出過二進制記數法。不過，萊布尼茲大概未見到過前人的論述，所以一直以為是自己的獨創。因此，當他得知中國古老的八卦排列和2進位制一致時，感到欣喜若狂，他將他的結果與中國古代圣哲的思想聯系起來，認為自己揭開了數千年前中國的一個不可解之謎。他的這一說法被一些國人所借用，于是在我國產生了一則流傳甚廣的神話：中國早在幾千年前的《易經》中就已有了二進制思想的證據，甚至更加離譜地認為萊布尼茲是受《易經》的影響而發明了二進制。事實上，這只是一出錯誤的喜劇而已。其一，萊布尼茲先自己發現了二進制而非受《易經》的啟發；其二，他認為中國古老的伏羲八卦的排列和二進制記數法的順序一致，但是他所見到的八卦圖并非周易原來的圖，而是中國北宋邵雍改畫的。原來的八卦圖的排列與二進制記數法的順序并不一致，因而無法從中得出我國周代就已有二進制記數法的結論。甚至至今仍有著不少的書籍或報紙在宣揚這一說法，并美其名曰：弘揚中華民族古代智慧，真不知道這種往我們古人臉上涂金的方式是出于無知，還是出自過度的自卑了。

好了，讓我們再轉回到二進制本身吧。二進制記數法雖可僅用兩個符號就能表示出任意數，但缺點在于：其表示很冗長。如87要寫成1010111，所以在實用上是不方便的。但現代電子計算機中卻采用了這種記數法。為什么呢？這是由于其不方便處對于電子計算機來說并不構成任何障礙。而其優越處是其他記數法所不可比擬的。最為重要的原因在于只用兩個數碼的長處使得二進位制只要求元件有兩種不同的穩定狀態，這不但容易辦到，而且可靠性高。如開關的“通”、“斷”，穿孔帶的“有孔”“無孔”，晶體管的“通導”、“截止”等都可以實現。而如果電子計算機中使用其他進制，就要求元件具有更多種穩定的物理狀態來表示這些個數碼，而這是很困難的。其二，是符號的經濟和演算的簡單。在這種進位制中，計算法則只有兩條：1+1=10;1×1=1。在十進位制中加法和乘法計算都比這復雜得多。其三，它比其他數制更節省元件。還有，它便于使用數理邏輯來進行分析和總體設計。正因此，二進制這種最古老的進位制在今天舊貌換新顏而受到人們的重視并顯得特別重要了。

有證據表明，3、4也曾作為原始的基數。也有證據說明在史前時期使用過12作為基數。它的產生，據猜測是由于一年有十二個月的緣故。至今，在長度、重量、貨幣、時間等的計量中我們仍然廣泛地以12為基數。另外，常用的還有十六進制、六十進制等等。在我國舊時的一斤為十六兩，所以我們才有成語“半斤八兩”。至于六十進位的證據就更多了。至今我們用于測量角和時間的單位都還是六十進制的。

其實，我們可以說古代各民族記數法中的進位基數是五花八門的，不過有幾種似乎更受青睞。1920年前后，有人調查了307種原始的計數方法。結果發現有146種是10進制的。由此可見人的十個手指，對人類計數留下了不可磨滅的印跡。的確，我們的十個手指毫無疑義地影響了我們數制基底的選擇。除了十進制外，還有其他兩種相當普遍的基底，也顯著地表明了我們計數方法的擬人化傾向。這兩種數制便是以五為基底的五進制和以二十為基底的二十進制。事實上，正如所預期的，5作為基底是第一個被廣泛使用的尺度。五進位制被認為是手指計數法中最古老的。顯然這是起源于慣用一只手計數的民族。但是人為什么只限于用一只手呢？一個可信的的解釋是，原始人出門很少不帶武器的。遇著要計數的時候，他就把武器夾在腋下，在左手上計數，用右手查點。許多種語言現在仍然帶著五進制的痕跡，因而可以相信有些十進制曾經經歷過五進制的階段。在五進制后，記數法沿著兩條道路繼續發展。沒有停留在只用一只手的手指計算的，轉向利用第二只手，就導致了十進制，如果繼而用腳趾來計算，也就產生了二十進制。有證據表明，以20為基數的計數制曾被廣泛使用。許多民族都曾經經歷過二十進制的初期階段。在二十進制中，具有20個指趾的人就成了天然的高一級單位。在這種進位制中，兩個人可以表示40，三個人可以表示60等等。那么是什么原因，使得這種進位制在后來被淘汰了呢？推測原因大概有兩點：其一，若用20為基數，那么就需要20個不同的名稱來表示20以內的數字。這有點過于煩瑣；其二，是人們鞋的使用。或許正是由于鞋子的使用，才使人類停留在兩只手的計算上，而最終在多數民族那里建立了十進制吧。

設想要是人類沒有屈伸自如的手指，而只有兩只“不分關節”的禿拳，或者人類的手指數不是十個，那么整個文化史會成個什么樣子，這是一個有趣的問題。實在說，人類采用十進制是一種生理上的湊巧。人類有十個手指的事實，造成了人用十來計數的根深蒂固的傳統。誰要想去改變數制的基底，在現在即使不是是很滑稽的，也將是極不受歡迎的。

關于基數的選取問題就說這些吧。下面讓我們去看看古代民族所使用的幾種有代表性的進位制記數法。

先看古埃及人所用的辦法。

在最古老的古埃及象形文字中可以發現，古埃及人用的是十進位制。1用一短劃來表示，10像拱門，100是一卷繩，1000像荷花，10000是一個指頭，有時向左彎，有時向右彎。100000，有時像蝌蚪，有時像小鳥。其最大的單位是107，像初升的太陽。可見，在每一個較高的單位，他們都用一種新的符號來表示。

古羅馬人所采用的也是這種記數方法。只不過他們所用的是五進位。他們用Ⅰ代表1，把ⅠⅠⅠⅠⅠ寫成Ⅴ，然后把兩個Ⅴ記作X, L代表50, C代表100, D代表500等等。每當出現一個較高的單位時，就引入一個新的符號來表示。在這種表示方法下，一個簡單的數要寫成長長的一串，如888=DCCCLXXXⅧ。

這種曾在古羅馬被廣泛使用的記數法相當笨拙，但與有多少數就劃多少道杠相比總算是一種進步吧！這種記數法竟然在12世紀以前一直盛行于歐洲呢。

上述記數法可被稱為簡單累數制，也可以叫做加法累數制。其原理是將各個數碼所表示的數加起來。如羅馬人表示300就要重復寫三次C（上面已經提到羅馬人用C代表100）。這是很麻煩的。對這種笨拙的表示法進行簡化的一種思路是把重復出現的數改用乘法表示。最有代表性的就是中國數字。如4600不必寫成“千千千千百百百百百百”，也用不著另造表示4000與600的新字，而是寫成“四千六百”。不比較不知道，當與古羅馬人采用的方法相比較時你就會發現這是多么聰明的方法啊。這種記數法被稱作乘法累數制。我國早在殷商時代便使用了這種十進的乘法累數制。在出土的甲骨文中發現了13個數字：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬（當然在寫法上與現在并不相同，這里我們使用了現代人所熟知的寫法），而用這十三個數字，就可以表示出相當大的數了。后來又增加一些新字，以表示更大的單位與更大的數。如億、兆、京等等。但是由于規定太過煩瑣，并且在不同時期并不統一，很容易弄錯，所以并沒有得到推廣。現在只有億還在使用，表示萬萬。億以上不再定新名了。

古希臘人使用過兩種記數法。一種稱為阿提喀記數法。它最早出現于公元前450年。這種記數法是以10為基數。一個單位用一條豎線表示，對五、十、千、萬都用一個字母來表示，所有其他數字都可借助這些符號按照加法原則來記。

另一種記數法叫愛奧尼亞記數法，它最早為畢達哥拉斯與他的學派所采用。

對于畢達哥拉斯與畢達哥拉斯學派這兩個我們本書中經常提到的名詞，這里先稍微詳細地介紹一下。

提起畢達哥拉斯，學過幾何的讀者或許會記得有一個畢達哥拉斯定理，即我們所稱的勾股定理。不過對畢達哥拉斯其人，恐怕就不一定怎么熟悉了。

畢達哥拉斯（約公元前580～前500年）是古希臘哲學家、數學家、天文學家，還是音樂家、教育家。據說早年他曾師從名哲泰勒斯、阿那克西曼德、菲爾庫德斯。他對老師的觀點有選擇汲取，最后逐漸形成了自己的學說。他又曾游歷過古埃及、古巴比倫等東方國家，在這些國家他不斷向有學問的人請教，以豐富自己的見解和知識。當他完成游歷回到自己的故鄉時已是一個思想成熟的智者了。但在家鄉他卻不能施展才志。于是他移居到意大利半島南部的克羅托內，在那里他贏得了人們的信任與景仰，并組織起一個政治、宗教、數學合一的秘密團體，即后來稱的畢達哥拉斯學派。這一學派的創建具有歷史意義，也是畢達哥拉斯天才靈感的成果。在他的領導下，該學派進行了多方面的研究工作。學派中有一種習慣，就是將一切發明都歸之于學派的領袖，而且秘而不宣，以致后人不知某項成果是何人在何時所發明的。但由于這個學派在他生前，是以他為精神靈魂的，因此可以相信當他在世時，學派做出的多數重大成果都一定凝聚著他的心血與智慧。可以說，正是在他的領導下該學派取得了多方面的巨大的成就。

畢達哥拉斯學派特別重視事物的定量研究。他們認為一切事物和現象都可以、并且只能通過數學得到解釋。宇宙的本質就在于數的和諧性。基于這種信念，他們努力從事數的研究。他們幾乎把全部時間用在這種研究上，第一個推進了這一個知識部門。可以說畢達哥拉斯是數學這門學科的奠基人、創始者。他發明的許多術語和以他命名的數學用語沿用至今。最有名的是以他名字命名的畢達哥拉斯定理。他還發現了三角形內角和為180°，并發明了用幾何作圖法解二次方程。他最早把自然數劃分為奇數與偶數。數學中神秘有趣的完全數、親和數也是由他最早發現的。另外這個學派在數學研究中有一個特點，就是將算術與幾何緊密聯系起來從而發現了許多既屬于算術又屬于幾何的結論。發現無理數更是這一學派在數學上的重大貢獻之一。

在對數的研究基礎上，畢達哥拉斯提出：高度抽象的數可以表現一切物質，構成一切物質。進一步他又提出了哲學命題：萬物皆數，數是萬物始基。

此外，畢達哥拉斯是音樂理論的鼻祖。他用數學觀點研究音樂，并闡明了單弦的樂音與弦長的關系，從而為現代音樂理論奠定了基礎。他是天才的教育家。在西方他又是第一個把某些韻律和旋律用于教育的人，他通過音樂使學生的靈魂得以凈化。在天文方面，他首創地圓說，認為日、月、五星都是球體。

畢達哥拉斯學派后來在政治斗爭中遭到破壞，畢達哥拉斯本人逃亡到塔蘭托，后被殺害。享年89歲，度過了他漫長充實的一生。他死后，畢達哥拉斯學派還繼續存在了兩個世紀之久，對希臘文化產生了巨大的、多方面的、深遠的影響。

現在讓我們轉回到正題上去。畢達哥拉斯學派所使用的這種記數法借助27個字母來表示數。其中三個字母是借用的腓尼基字母表中的舊字母，其余24個是希臘字母表中的字母。為了把數與字母區別開，在數的上面畫一條橫線。借助于27個字母及其組合可以表示1～999的數字。對于若干千的數，采用在1～9的符號左下方加一小直線的辦法來解決。在其記數法中，可記的最大數是108。可見，這種記數法與簡單累數制比較，不但對每一個較高的單位都要另設符號，而且對較高單位的倍數也設新符號。這種記數法可稱為分級符號制，其好處在于表示數時比較緊湊，缺點是采用的符號過多。

通過上面的介紹，可以發現，有了進位制，表示數目的方法簡化了。但是人們要不停地創造新的符號，才能表示越來越大的數目。因此單純的進位制存在著明顯的不足：其一，用這種方法當數大到一定程度，書寫太過復雜，如古埃及人用他們的記數法來表示986這個數，至少要用23個符號；其二，用這種方法無法解決表示任意大數的問題；其三，由于記數的煩瑣使得自然數的計算成為非常復雜的事情，這對算術和代數的發展顯然是很不利的，從而嚴重阻礙了計算技術的提高。

在古代，人們生活中滿足于一些不大的數。如三四千年前，遺留下來的埃及、巴比倫的數學文獻中，把10000稱為“黑暗”，意思是說，這樣的數已經模糊不清，不能清楚想象了。以后，界限放寬到108，就是“黑暗的黑暗”，并說：“大過這個數（108）不是智慧所能了解的。”或許是這種對大數的缺乏必要，使古代許多民族在使用了進位制后竟然沒有想到過完善它。不過，更令人驚訝的是，為了完善它竟然又花費了人類極其漫長的時間呢！這正是我們下面要提到的內容。

關鍵的第三步：位值制的使用

進位制的出現，表明人類抽象思維的能力有了進一步發展。但進位制仍然不能夠完滿地解決記數的問題。怎樣才能用有限的幾個符號來表示任意大的數目呢？人類還需要發明一種巧妙的辦法來解決這一問題。

讓我們先來想想我們現在是如何解決這一問題的。

舉一個簡單例子。比如在十進位中數“一千九百七十一”，我們現在記作1971，從右算起，1,9,7,1所在的位置分別稱為個位，十位，百位，千位。出現在最左邊的數字1由于處于千位上于是代表一千，而與右邊的數字1表示不同的意思。你看，沒有采用新的記數符號十、百、千等，我們也表示出了數“一千九百七十一”。這一奇妙的效果是如何實現的呢？道理說出來很簡單，就是利用了數在書寫時有“順序”，即在寫法上無非是從左到右，或者從右到左，或從上到下。于是記數符號本身有了位置的概念。也就是說，不但每個記數符號本身表示大小不同的數目，更巧妙的是同一個記數符號由于寫在不同位置上，其數值大小就可以不相同而表示出不同的數目。或者說一個數字究竟表示什么數值，要看它在什么位置上。這就是“位值”的含義，而這種巧妙的方法就是位值制。位值制的奇特處之一在于它不用隨著數的增大而采用不同的符號，而且使人們可以僅用比較少的數字來表示出任意大的數目。位值制是千百年來人類智慧的結晶，它可以同字母的發明相媲美。有些讀者會說：發現這一點應該是一點也不難啊。但事實上，許多古代民族，雖然很早就創造了數字，懂得進位，卻始終沒有產生出位值制思想。而我們今天所使用的完善的位值制更是經歷了極其漫長的時間與曲折的過程才最終建立起來的。或許由于一開始我們就接受了這種記數法，以致我們已經很難體味出其中的美妙處了。但我們卻實在有必要去回顧一下古代人為了解決這一問題所經過的曲折歷程并了解一下為何古代人對此的認識竟然如此晚。

較早使用位值制思想的是古巴比倫人，就讓我們從他們開始。

古巴比倫人在數學和天文學上采用的——與我們的習慣完全不同——都是六十進位制。古巴比倫人在記數時采用了兩個基本符號（用來表示1），一個（用來表示10），巴比倫人用這兩個符號借助于前面已經提到過的簡單累數制，可以記出60以下的數字。對于60以上的數怎么辦呢？他們采用了位值制。如下圖中的70，使用的仍然是上面的兩個符號，只是表示1的符號放在了表示60的位置上，因此就表示了60。

這種記數法并不是純粹的位值制。純粹的60位值制需要使用60個不同的符號來代表60以下的數，正如我們現在的十進位值制中需要使用十個不同的符號一樣。而巴比倫記數法60以下是用簡單累數制的。因而我們應該說巴比倫記數法是簡單累加制與位值制的混合。這樣做的好處是僅需要用少量符號，而不用引入更多的符號。如果這樣做能夠完全起到后者所起到的效果，那我們應該說巴比倫人的做法實在是太聰明了。然而，事實是，兩種制度并用往往會出現一些問題。其中最大的缺點是有時會分不清哪一個數碼是在什么位置上。比如說：

究竟表示的是多少呢？它可能是3，也可能是180（3個表示1的符號都在60位上），還可能表示3661（1×602+1×60+1）。

對這一困難，古巴比倫人采用留下空白，即在容易混淆的地方間隔大一點的方式來解決問題。這倒不失為一種權宜之策。然而，馬上出現的一個問題使他們的解決方案重新陷入尷尬之中。這一問題就是：如果出現某位上沒有數字又怎么辦呢？

這種情況下，最自然的想法——實際上，很多民族一開始面對這一問題時都是用了這種辦法——是用留下空白的方式來解決。古巴比倫人也正是用留空位的辦法來表示數字間某位上沒有數的。但這種留出空白的方法對古巴比倫人卻帶來了新的問題。即：空白在巴比倫記數法中現在已經有了兩種功能。除了用來分隔兩個數碼之外又用來表示空位。可以想象得到，這種辦法在解決舊問題的同時也導致了新的混亂。

此外，由于古巴比倫人經常使用分數，而且分母總是常數60，但是他們并沒有像現代的十進位分數部分的記號，而是與表示整數的記號混淆在一起。于是，一個數作為分數時，可以表示21/60，也可以表示20/60+1/602。這樣一來，引起的麻煩更加嚴重了。有時一個記號就可能出現好幾種理解。

這樣，一個數的值往往依賴于所寫的上下文，導致混亂完全是不可避免的了。

引入位值制思想，這是人類記數上的一大進步。然而，對于巴比倫人來說完整的位值制尚不能如此建立起來。除了由于累加制與位值制混合使用帶來的缺陷外，他們還有更重要的一步要走。這就是：如何解決某位上沒有數字這一問題。

對于我們這些一開始就接觸符號0的人來說，一切似乎都是那么順理成章，這種理所當然使得我們已經很難體會到許多事情的必要性了。比如說，102、1002、10002、120、1200……即便是小學生，也能非常容易地區分它們的不同。你有沒有想過，我們為什么能夠如此輕易地做到這一點呢？實際上，能夠區分開它們不同，是因為我們發現在數1與2間零的個數不同。你有沒有想過，如果我們沒有零的記號，事情又會是什么樣子呢？

早期很多民族都用空位的辦法來表示零。12、12、12、12……面對這樣的寫法，你能區分出它們到底代表的是些什么數字嗎？

在位值制中，為了表明某位置上有無空位，以及各個數字的位置，必須要有零的符號，否則就容易出現混亂。看看古巴比倫人在沒有零的記號時，引起的記數上的混亂就可以更清楚地認識到零的重要性了。后來希臘人沿用了巴比倫人的六十進制，卻放棄了位值的先進思想，這恐怕是主要原因。可見，符號零的使用是重要且極其必要的。

經過一千多年的摸索，到公元前二世紀，巴比倫人才發明了一個特殊的符號用它來表示數的某位是空的。這種符號，寫法有好幾種。但不管怎么說，引入這個符號后，對于某位上有沒有數的問題是解決了。然而，在數學中他們卻沒有使用這個符號來表示末位數中出現零的情況，即像340、3400這樣的數。因此這個零只具有現代零號的一部分功能，它無法指明數碼所在的位置。奇怪的是，在他們的天文學上，這一零號卻可以用在末位上。

現在想來，巴比倫記數法遲遲不創造零號，原因可能有三：一是零出現的頻率較小，他們所采用的是六十進位制，只有60這個數必須用到0；二是六十進位制差一位就差60倍，較易從上下文來確定究竟表示什么；三是必要時用留出空檔來表示空位。

這或許是人類普遍存在的惰性。如果對某件東西不是經常要用到，人們很難想到去完善它、改進它；即使經常要用到，如果有權宜之策，也不去考慮長久的周全之計呢！

基于位值制思想，在北美洲中部居住的瑪雅人發明了的一種很有趣的二十進位值制記數法。用不著奇怪，形成二十進位制對于瑪雅人來說其實是非常自然的。由于他們生活在熱帶叢林中，常常赤著腳，露出腳趾，遇到比10大的數時，他們就請腳來幫忙，就這樣形成了二十進位制的記數法。這又可證實，大多民族后來使用十進制，只是因為他們穿上了鞋子的緣故。

在瑪雅人的記數法中一共只有三個基本的符號。小圓點用來表示1，小短橫用來表示5，另外還有一個卵形記號。有人認為，小圓點是石子的形象，小短橫是木棍的形象，卵形記號很像個小貝殼。利用小圓點與小短橫，他們表示出了20以下的數字，用的辦法是累加記數法。這一點他們與古巴比倫人相似。當數目超過20時，他們利用了位值制的思想。可見，他們的記數符號并不獨立，而是采用了累加與位值制的混合。為了避免引進混亂，對一個多位數他們采用了高位在上低位在下的分層寫法。而最重要的是，瑪雅人創造了零的符號，就是前面已提到的像一只貝殼也像半開的眼睛的記號。他們的零號既可以表示某一位置上沒有數，也能用在數末，起到指明數碼位置的作用。他們的零號已經具備了在記數法中零應有的兩種功能。其稍微的不足在于，由于部分采用了累加制，使得記數較為煩瑣。此外，其零號雖然已具有確定數碼位置的功能，但其意義仍有含混之處。現今的記數法，加一個0等于將左邊的數擴大成原來的10倍，但瑪雅記數法加入零號，在普通記數法中擴大20倍，但在時間記數法中則為18倍。正如他們采用二十進位制有他們自身的道理一樣，這樣做他們想必也有自己其他方面如天文歷法的考慮在內。我們所要做的結論是，其記數系統與古埃及、古巴比倫、古希臘羅馬相比是相當先進的。極可惜的是，他們所創造的燦爛的古代文化并沒有對世界的發展做出應有的貢獻。

在粗略瀏覽了其他幾個古代民族后，讓我們回過來再去看一下我們中國古代是如何做的吧。

前面我們已經介紹過早在殷商時期，我國已采用了十進位記數法。這種記數法在記數方面是很有效的。但是如果涉及到數的計算，那么其不足處就顯示出來了。針對于此，我國古代在運算中采用了一種新的記數法：算籌記數法。由于當時我國盛產竹子，于是人們采用了小竹棍來作為記數并計算的工具，這就是算籌。在兩千多年前的春秋戰國時期，算籌在中國人手里已經使用非常普遍，為人所熟知了。那么如何用算籌記數呢？為初學者便于瑯瑯習誦，后來的《孫子算經》、《夏侯陽算經》編有押韻的順口溜，前者記：“凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。”后者又加了四句：“滿六以上，五在上方，六不積算，五不單張。”當時記五或小于五的數：幾根算籌就表示幾，記六、七、八、九用一根籌，以一當五，放在上面，一至九，九個數表示法則有縱、橫兩式。《孫子算經》前兩句說明數位在記數中的重要意義，后四句告訴我們自然數記法的一般規則：個位數用縱式，十位數用橫式。從“一縱、百立、萬、百相當”可知百位、萬位都用縱式。“僵”就是臥倒，“千、十相當”，所以十位、千位都用橫式。依此類推，交替使用縱橫兩式。《夏侯陽算經》所續四句話明確了以一當五算籌的用法：既不允許并排用六根籌記六，也不允許單獨用一根籌，以一當五。

這種以算籌為工具的記數方法，顯然運用了位置制的思想。另一個重要點仍然是如何記空位的情況。對此，解決方式是不放算籌，成為空檔。初看上去，你或許會認為，這種留空位的辦法與古巴比倫人是完全相同的，它會帶來與其相同的混亂。但是，巧妙之處在于算籌記法有縱橫兩種形式，記數時縱橫相間。因此空檔是易于辨認的。對于個位是零的情況也能表示出來，一定程度上避免了可能出現的混淆。但嚴格說起來，這種記數法仍然在理論上存在著不足之處。如對連續空位較多，或者末位有多個零的情況，并不能清楚表示出來。或許是這類情況較少出現，或許是人們在運算中可以通過其他方式避免這種混亂，不管是出于什么原因，我國古代都沒有對此進行過進一步的完善。但即使如此，我們仍然可以說，我國是采用較完善的十進位值制記數法最早的國家。這種完善性的最好是證明我國古代數學由于采用這種籌算法而在計算方面大大超過了其他的古代民族。

算籌與籌算

算籌產生于何時，無可靠記載。據推測，我國大約從西周開始使用竹籌在氈毯上或在算板上進行各種運算。到春秋戰國時代，這種算具已很普及。當時一些著作如《老子》、《荀子》中都出現了“算”、“籌”等詞。自西周直到宋、元，在長達二千年歷史時期內，算籌一直是我國社會各行各業通用算具。在珠算盤發明以前它是中國獨創的并且是最有效的計算工具，也是當時世界上最簡便的計算工具。對于這一點，當下面我們提到西方所使用的計算工具時作一比較就更明顯了。

用算籌為工具的運算方法稱為籌算。中國古代數學一開始就和算器的使用密不可分，以致可以用“籌算”二字來代表中國古代的數學。正是獨特的算籌的使用影響并決定了中國古代數學的發展。

首先，算籌的使用使我國古代形成了強烈的位值制觀念。它不僅在籌算記數法中有所體現，事實上，位值制在中國籌算數學中有著更為重要的應用。如我國古代解線性方程組（即多元一次方程組，如初中所學習的二元或三元一次方程組）時，由于使用算籌，將未知數與系數分離開表示，分離系數法表示出了方程的各行各未知數的系數及常數項，而不必寫出物品的名稱，這與現今的矩陣表示法相近。籌式以不同的“位”代表意義不同的“量”；以不同的位置關系表示特定的數量關系。在這些籌所規定的不同“位”上，可以布列任意的數碼。這種做法在籌算中實在是順理成章的事情。由此，我國古代方程諸術中列籌式描述了實際中常見的比例問題和線性問題；而用算籌擺出的天元、四元諸式，則刻畫了高次方程問題。算籌所表示對象也由數發展到式，這樣籌式本身就具有了代數符號的性質。可以認為，中國古代的籌式就是一種特殊的代數符號系統。李約瑟稱之為“位置的代數學”。他寫道：“在演算過程中，籌算盤上的數字是按照它們所代表的量的類別（未知數、冪等）而占有一定的位置的。一種穩固的、劃一的數字圖式體系就建立起來了。”而這些都是借助于算籌擺放位置的不同而天然地具有了不同的含義而實現的，都可以看作是位值制記法。這種記法大大簡化了數學表達式，簡化了運算，使中國人的計算才能得以更充分地發揮。自漢迄元，計算數學在中國越來越發達，中國古代數學亦長期處于世界領先地位，這都不能不歸之為優越的位值制原理的使用，從而也不能不歸功于算籌的使用。

此外，中國古代數學家還用籌算發展了一套內容十分豐富的“籌式”演算。他們通過擺弄算籌來解決復雜的實際應用問題，得到了解線性方程組、高次方程等的方法。又由于這種方法要以是否適合籌算為轉移。這樣計算的方法就需要有一定的程序，按照一定的程序擺籌解題。程序的獲得過程、按程序解題、擺放算籌等都是方法。而這種具有模式化與程序性的方法，現在被稱為算法。于是我們可以說籌算具有算法的機械化的特點，或者說中國的籌算本身就是一個算法體系，它集計算技術與數學原理于一身。這正是我國古代數學的一大特點。

歷史表明，先進的記數法與計算工具算籌的使用成為中國古代數學長于計算并取得輝煌成就的前提條件，并使中國古代在計算技術方面居于世界遙遙領先的地位。籌算以后發展為珠算。明代以來，珠算廣泛應用于商業等實際部門，使中國傳統數學依賴算器，發展計算技術的特點表現得更為充分。當然，由于中國籌算的優越性，在客觀上抵制了筆算的發展，不便于數學的符號化和理論的深入，這可以說是過分依賴算器的副作用。

在另一方面，我國古代在書寫中，開始是用空位來代表零，后來用“空”字代表零。這無疑比留一個空位要好得多。數位清楚了，不會引起誤會。這是數學史上零的表示法的一大進步。不過，空字夾在數的符號里，畢竟顯得很不協調，于是又出現了用囗表示零。南宋蔡元定著的《律呂新書》中就曾把118098記作：十一萬八千囗九十八。用它代替空表示零，不僅簡便，和諧，更重要的是它已經是一個數字的符號，標志著用符號表示零的新階段的開始。到了宋元時期，用O表示零已普遍運用，這大概是囗寫快了，就成了O。例如金的《大明歷》（1180年）中把505寫成“五百O五”。用“O”表示零，既容易寫，又美觀，這是我國數學家的獨創。

然而，令人遺憾的是限于當時思想交流的困難，我國古代所使用的位值制沒有對世界數學的發展作出應有的貢獻。

現在世界上所通用的記數法，來源于印度，是印度人的貢獻。

印度人大約在公元前3世紀才開始使用記數符號，以后逐漸地形成了十進制記數系統，在大約公元6世紀前開始采用位值制。他們創造了十個互相獨立的符號，這是完善的十進位置制必不可少的重要內容。然而，印度人的偉大的變革之處是零符號的發明。后來的事實證明這是數學史上的一件大事。不過，完成這一步對于印度人來說也并不是一蹴而就的。

最初他們沒有表示零的記號，也是用空一格的方式來表示空位的，后來為了避免看不清，就在中間加上小點。他們所用的小圓點的記號，名稱叫“蘇涅亞”，意思是空。如果兩個數碼間有一個“·”記號，就表示這是一個三位數，這個三位數的中間那位數上“一無所有”。小圓點相當于現在的零號。至于現代使用的橢圓零符號“0”最早是在公元876年中印邊界一塊石碑上發現的。

公元773年，印度數字開始傳入阿拉伯國家。后來，花拉子密寫成《印度的計算術》，這是第一部用阿拉伯語介紹印度數字及記數法的著作。由于當時沒有印刷術，數字全憑手寫，字體因人因地而異，變化很大，東、西阿拉伯就很不相同。西部較接近現代寫法，但沒有0，東部字體逐漸固定下來，至今許多伊斯蘭國家仍在使用。

印度數字后來經阿拉伯又傳入歐洲，但在這一過程中0卻遲遲沒有被廣泛采用。熱爾貝是法國有名的學者，991年成為蘭斯的大主教，999年又成為教皇。他將印度-阿拉伯數字介紹到歐洲，對促進印度-阿拉伯數字的使用產生過一定的影響。但他卻不知道0。正式介紹包括0在內的印度-阿拉伯數字到歐洲的是斐波那契。

斐波那契：意大利數學家（約1170～1240），被譽為西方中世紀第一個偉大的數學家，使西方數學開始了一個新的時期。他早年游歷了許多東方和阿拉伯城市，了解了不同國家和地區在商業上的算術體系，通過比較他發現印度-阿拉伯十進制系統美麗的數字具有的價值，并積極地提倡使用它們。公元1202年，他完成了自己的名作《算盤書》。在這本廣博的書的前幾章，他解釋了位值制原理、整數和分數的各種計算方法，說明了怎樣應用印度-阿拉伯數字，以及如何用它們進行加、減、乘、除計算和解題。這本第一次正式向歐洲人介紹印度數字的著作問世后廣為傳播，為印度-阿拉伯數字和阿拉伯數學在歐洲的流傳起了極其重要的作用。

在斐波那契所著的《算盤書》一書的開頭寫著：

“這是印度的九個數字：987654321

還有一個阿拉伯人稱之為零的符號0，任何數都可以表示出來。”

為斐波那契廣泛傳播的印度-阿拉伯記數法，具有明顯的好處。除了記號緊湊，能表示任意自然數外，用它計算容易而精確，但令人感到奇怪的是它并沒有馬上受到普遍的歡迎。事實上，從11世紀引入到被普遍接受的15世紀，經過了幾個世紀。在這一變革過程中，阻力有的來自于數學內部，有的來于數學外部。在數學內部，墨守陳規的珠算家和主張改革的筆算家之間經歷了長期的斗爭。在數學外部，有些地方阿拉伯數字不許用在公文上；又有些地方，這種方法完全被禁止了。如1299年，意大利曾禁止弗羅梭丁的商人使用這一數字，下令必須用羅馬數字或文字記帳，原因是易出差錯或被涂改。這種情形有如在我國規定票據要用大寫數字一樣。從13世紀意大利的文獻中可找出很多證據說明當時的商人把阿拉伯數字用來作為一種密碼。不過，事情的發展正如人們所熟知的那樣，保守的方式或禁止的辦法只能延遲卻不能完全阻止偉大的變革。在經歷了通常難以避免的蒙昧的和反復的階段后，新記數法的優越性在16世紀已經無可爭議了。

當新的記數法得到更為廣泛的傳播后，人們開始注意到零在新數制中所占的重要地位，他們把整個數制和它的主角零的概念cifra等同起來了，以致于在今日歐洲這個字的不同形式ziffer, chiffre等等都具有了數字的意義。由于在歐洲人的印象中，這些數字來自阿拉伯國家，所以他們就稱其為阿拉伯數字；17世紀以后，歐洲數學在全世界占了統治地位，世界各國都向他們學習數學，包括阿拉伯數字這樣的名稱也隨之傳開并沿用下來。正如我們已經提到的，其實這一稱呼并不恰當，它是世界數學發展史上的一個大誤會。如果顧名思義，認為阿拉伯數字就是阿拉伯國家的數字，那可就大錯了。為了準確起見，我們還是稱之為印度-阿拉伯數字更合適些。在這一過渡階段中，數字的外形發生了一系列的改變，到16世紀才逐漸固定下來。當印刷術采用后，數字就被完全定形成現在我們所熟悉的樣子了。

無論如何，在歷史上屢經變遷后，以印度-阿拉伯數字為記數符號的十進位值制記數法——這讓我們早已習以為常視為常識般簡單的東西——在人類花費了巨大的難以置信的勞動并經過了漫長的時間后，終于最后建立起來了！它們既是人類智慧的結晶，又是數學文明的開始。現在，世界各個角落，無論大人小孩，無論講什么語言，用阿拉伯數字和十進位置制運算都是一致的。

拉普拉斯曾總結說：“用十個記號表示所有的數，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個深遠而重要的思想，今天看來它如此簡單，以致我們忽視了它的真正偉績。但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大的方便，才使我們的算術在一切有用的發明中列在首位；而當我們想到它竟逃過了古代最偉大的兩位數學家阿基米得和阿波羅尼斯的天才思想的關注時，我們更感到這個成就的偉大了。”“用很少的幾個符號來表示一切數目，使符號除了具有形狀意義外，還具有數位的意義。這一思想如此自然，如此使人容易理解，簡直無法估計它的奇妙程度。”

當我們回顧這一美妙記數法的建立過程時，會意識到符號零的引入具有重大意義。在完整的位值制中，零號是不可少的，零是位值制記數的必然產物，也是位值制記數法的精要所在。事實上，正如前面已經提到的，作為位值制記數法精髓的零，歷史上，它的出現比位值制又晚得多。從第一個數字符號開始記數到想出一個表示無的符號，花費了人類大約五千年的時間。但無的符號卻使世界整個改了觀！有了零，記數系統才得以廣泛運用，它使數字的運用發生了革命！

零這代表空無一物的東西，竟具有震動世界的重要性，說起來真叫人覺得奇怪；而更令人奇怪的是，多少偉大的數學家，竟讓零從他們眼皮底下溜走。

也許有的讀者早已經在心里暗想：唉，這有什么難的？要是當初有我，這一點小發明早就出現了。對于如此想的讀者，我想講述一個有趣的故事。

1492年，哥倫布從西班牙出發，歷盡千辛萬苦，終于發現了美洲新大陸，他在1493年返回西班牙后，受到了群眾的歡迎和王室的優待，也招致了一些貴族大臣的妒忌。

在一次宴會上，有人大聲宣稱：“到那個地方去，沒有什么了不起，只要有船，誰都能去。”

哥倫布對這個挑釁性的話并沒有回擊，只是隨手在餐桌上拿起一個熟雞蛋說：“誰能把雞蛋豎起來？”許多人試了又試，都說不可能。

哥倫布將雞蛋殼在桌子上輕輕地敲破了一點，就豎了起來，于是又有人說：“這誰不會？”

哥倫布說：“在別人沒有做之前，誰都不知怎么做，一旦別人做了之后，卻又認為誰都可以做。”這就是流傳了400多年的哥倫布雞蛋的故事。哥倫布的這句話，由于寓意深刻，也便成了世界名言。

凡事都是開創時困難，別人開了頭，仿效是容易的。實際上，零的誕生正是一個這樣的典型例子。在發明之前，誰都想不到，一旦有了它，人人都會用它來記數。數學史家把0比作“哥倫布雞蛋”，這不僅僅是形狀相似，其中還孕含著深刻的道理。真是一個一語雙關的絕妙比喻。

有了零，有了位值制，在十進位制中我們就能夠用十個數字表示出任何自然數了！只用有限個符號就能夠駕馭無窮多個數，就可以方便、清楚地表示出所有的自然數了。你有沒有為此感到過驚奇呢？無怪乎革命導師馬克思曾把十進位值制記數法稱為人類“最妙的發明之一”了。

重要的數

數0

前面我們已經提到零號在位值制中的重要作用。具體說，0在位值制中起到兩種作用：表示某位是空的；起著指示數字所在的數位的作用。正是由于它的這兩種作用，它使我們得以區分不同的數。因而把它運用到數字系統，成為一種極為成功的嘗試。

然而，0有著更為微妙和深刻的意義。零的概念實在是意味深長的。

首先，0作為一個概念，是一個確實的數。

古代中國、瑪雅、巴比倫這些曾引入空位或零號的民族都沒有將它和“一無所有”這一概念聯系起來，以表達“一無所有”的概念，也沒有把零看作一個獨立的數，將它單獨使用，不曾將零用在計算之中。如巴比倫人對這類情況是用語言來表達的。當他們遇到20減去20，不知如何表達，只寫道：“20減20，你看。”在另一討論谷物分配的問題中，在可以用零來表示的地方寫著“谷物已耗盡”。

印度人首先認識到零除了在別的數之間起空位作用外還有它獨立的存在性。零本身理所當然地是一個數，它表示“沒有”這個量。于是，“沒有”這個抽象概念第一次被賦予一個有形記號表示。其次，0本身是一個數，也就可以將零納入數的系統之中，并且可以如同其他數一樣進行運算。0作為數參加運算的觀念經歷了漫長的歲月，甚至可以說印度人承認零是一個數并用它參加運算是他們對零的發現作出的更為重要的貢獻。

對零的這種認識在3世紀時已經出現。公元6世紀，在印度天文學家瓦哈拉米希拉的《五大歷數全書匯編》中可以看到對零施行加、減運算。公元7世紀，婆羅摩及多對零的運算有了更完整的敘述。在他的傳世著作《婆羅摩修正體系》（628）中寫道：“負數減去零是負數；正數減去零是正數；零減去零什么也沒有；零乘負數、正數或零都是零……零除以零是空無一物，正數或負數除以零是一個以零為分母的分數”。

最后一種情形，用現代的符號表示就是a/0，這個數等于多少，沒有進一步說明。這是印度人提出以零作除數問題的最早記錄。

850年，馬哈維拉認為：一數被零除，其值不變。

婆什迦羅是1000～1500年間印度最突出的數學家。他對零作除數的問題仍然不十分清楚。他指出：一個數加上零，其值不變；零的乘方或開方結果還是零……一數先乘以零再除以零，其值不變。即他認為：。他還寫道：“以零作分母的量，它是不會改變的。正像無限和永恒的神一樣，在創造或毀滅世界時雖然有眾多的創造物消失或產生出來，但神始終是不變的。這一段話隱含：

。

顯然，他對零不可以作除數是不了解的。

零不能做除數，這是一個小學生就明白的事情，無論在什么情況下，用零作除數都是沒有意義的。這是因為a≠0, b=0，如果，不可能存在一個c，使得bc=a。比如我們用5除以0，那么結果應該是什么呢？設結果為c，即 c=5/0。從定義上講，數必須滿足等價方程0×c=5。然而這個方程在任何情況下都是無解的，因為任意數乘以零都等于零。所以無論c是什么數，都無法滿足上述方程。但是0/0又如何呢？設為x，則0×x=0，每一個數都滿足這一方程。結果我們無法得到一個確定的、唯一的答案。兩種情況中的任何一種在數學上都無法接受，因此用零作除數被宣告是無效的運算。

這道理的簡單性也像哥倫布雞蛋一樣，一說出來就盡人皆知，但在數學發展中得出這一正確的結論也經歷了極其長的時間呢，甚至歐洲到19世紀初還有一些數學家對零的運算有錯誤的認識。另外，零不能作除數的處理現在我們雖然都明白，但使用代數式運算時，由于有些情況并非如此明顯，所以你必須小心檢查，是否會出現被零除的情形。一個很能說明問題并且轟動一時的例子，與愛因斯坦相對論有關。愛因斯坦在自己的一項工作中發現，方程出現某種特異的結果，因而他轉向另一個方向，而這個方向后來也不得不放棄。1922年，蘇聯數學家弗里德曼研究了這些特異結果之后發現，愛因斯坦在推導中曾用一個量除過方程，而這個量在某些情況下是零。這一發現以及由此引出對愛因斯坦分析方法的改進，為膨脹宇宙數學理論奠定了基礎。

你看，0的產生史作為一部傳奇故事本來就已夠令人驚奇了，想不到在它誕生后，還會引出這么些有趣的事情來。作為一個獨特的數，0確實有著比其他數更豐富的內容。對于小學生來說，就已了解到零有一個奇妙的特性：它與任何數的乘積都是零，正是這一特性導致了它最獨特的地方，0不能做除數。對于一個初中生，他們還明白了一件關于零的獨特之處，就是零既非正數又非負數。實際上，除此之外，符號0在數學上還有多種意義。

0是標度或分界，如溫度以0度為界分為零上零下，海拔高度以0米為界分為高于低于海平面。可以說，0是“有”“無”之間的一個關節點，0之前意味著沒有，從0開始才意味著有。例如，一天的時間從0開始，一個人的一生從0歲起算。在數學中，0起到了溝通有無的作用。

在以數軸表示實數時，這個意義發揮得更加突出：0是一個特殊的點，從這一點起，在一條直線上以某一方向為正，而相反的方向為負。這個0點一經確定，就成為運算的中心，常常決定了其他各點所在的方向。在實數直線上，0不僅代表數字0，它還代表與此數有關的位置——我們記數和運動的起點。

如果我們需要考慮精確度的話，小數末尾的零就不能隨便去掉。例如工人師傅加工零件，要求一個零件的長度為16毫米，另一個零件的長度為16.0亳米。前者表示精確到1毫米，即加工后的實際長度在15.5～16.5毫米都可以是合格的。而后者表示精確到0.1毫米，即加工的實際長度在15.95～16.05毫米才是合格的。顯然后者的加工精度比前者高。你看，只是末尾一個0之差，就有兩種不同的要求。這說明零并非意味著什么也沒有。

正如恩格斯指出的：零是任何一個確定的量的否定，所以不是沒有內容的。相反地，零是具有非常確定的內容的………零不只是一個非常確定的數，而且它本身比其他一切被它所限定的數都更重要。事實上，零比其他一切數都有更豐富的內容。

除此之外，0的特殊性還帶來一系列問題，它的出現導致了一系列的矛盾。在歷史紀年中，由于零就引出了一些問題。先讓我出一道腦筋急轉彎測測你。

古希臘有一位雄辯家，他生于公元前30年7月4日，死于公元30年7月4日。問：他活了多大歲數？

怎么樣？問題不難吧？你的答案是多少？

如果你回答說：當然是60歲了。那么，我將以一種得意的神情告訴你：很不幸，你錯了！于是，你可能困惑地想：不會吧？實際上，你錯的原因很簡單。在歷史紀年中，是沒有公元0年的，所以你就多算了一年，因此正確答案應是59歲。

與之有關的最近事件是21世紀從哪一年開始的問題：是2000年還是2001年？中國天文學界認為應該從2000年開始，而英國格林尼治天文臺認為應該從2001年算起。一個本來是人為規定的事，卻驚動了天文學界科學家來討論。

你看，零是不是很特殊？

在數學上，當零出現時，就曾受到是否為數的質疑。當然在現在它是確切的數已經被公認了。但它能否看作是自然數呢？這卻是一個引起爭論的問題。

無論從規范的定義或者從歷史的發展來看，自然數都是從1開始，而不是從0開始。特別當我們數數時，總是先要把要數的對象排成一個順序，每一個對象給一個編號，這個編號實際上是個序數，表示你操作的順序，而這個過程總是從1開始的。在這種情況下，自然數的基數和序數也是統一的、一致的。由于0的出現，問題就復雜了。0可以看成基數的頭一次推廣。但是把它看成序數就非常勉強，或者說當把0人為地加入到自然數當中，按照大小順序排列，得到0、1、2……時，同正常的序數不相符合。上面所說2000年能否算作21世紀第一年的爭論，實質上正是零可否看作序數問題的反映。

說到底，0是一個非常特殊的符號，它可以被看作是第一個理想數。它為推廣數的概念鋪平了道路。

除了上述所提到的以外，零的概念的開拓與延伸在數學發展中顯得更為重要。這一概念在數學的幾乎每一個分支都起著同樣重要的作用。比如在平面與空間三維甚至多維空間中，0的概念被推廣為坐標系的原點。更進一步，在向量中有零向量與之對應。在矩陣中也有零矩陣，用O來表示，這種矩陣在很多場合都很有用。在集合中有一個沒有任何元素的集合——空集——用希臘字母來表示。這個符號也使人們想起普通的0。實際上，我們在后面還將看到人們正是把空集的元素個數與零聯系在一起了。在群論中，有零元的概念。在結構數學中，一個集合有沒有0元對于整個結構有重要的影響。而無論是零向量、零矩陣、零元等等這一切都有著與0類似的特性，都可以看作是零的概念的延伸、推廣。

因而，正如一位數學史家所說：數字零，注定要成為文化進展的轉折點。沒有它，今天的科學、工業和商業的發展都是不可想象的。這個偉大的發現影響所及絕不限于算術。在文化史上，零的發現永遠標志著人類最偉大的獨一無二的成就。

數1

上面我們已經提到了數零，它是整個數的海洋中最重要的數之一。下面，我們準備再簡單介紹另一個重要的數：1。

1是“數之始也”，是數目或計數的開始。前面我們已經提到過區分出一與多是人類數的概念發展中的一大進步。

在數學上，數1的第一個重要特性是它可以看作是生成元。所有的正整數都是通過它的連加而形成的：2=1+1,3=2+1……這一過程可以一直進行下去，甚至到地老天荒的那一天也不會終止。于是，我們認識到了一個很自然的結論：自然數是永遠也數不完的，它有無窮多個！哦，無窮！這個與數學結下不解之緣的神秘美妙的概念，我們在下文中還會介紹到。這里先提到一點：在數學中無窮大通常用∞來表示。必須強調指出的是，無窮大是一個概念而不是一個具體的數。

與自然數相類似，負整數亦可以通過連減以類似方式得到。

當我們引入更直觀的數軸時，我們對數字1、0與概念無窮大，大約能夠理解更深刻一些。回想一下我們對數軸的定義：所謂數軸，是規定了原點、單位長度及正方向的有向直線。由此可見，在數軸上，符號0、1各有奇特的作用。0代表起點，同時它的存在又為方向的確定給出了依據。而1是單位長度，是我們使用的標度。而∞則代表該直線的完全性——事實上它包括所有的自然數（當然還包括了除自然數外的其他實數）。

正由于1這一生成元的特性，它常常被賦予哲學的，甚至是神的特性。在大多數宗教中，數字1象征著上帝的獨一無二。在我國偉大思想家老子的心目中，1也處于極其重要的地位。他在《道德經》一書中寫道：道生一、一生二、二生三、三生萬物。可見，在他眼中，1的重要僅次于最重要的“道”。一表示數字的開始，同時也表示萬物之始。這個思想成為我國古代宇宙觀和哲學的基礎。既然萬物開始于“一”，人們對“一”當然就格外重視了。

由于1是所有數的生成元，而它自己則無法生成。因而古希臘人認為1不是數，而僅僅是組成數的成份、原子，是構成所有真正的數的“基磚”。如古希臘哲學家亞里士多德拒絕把1看作一個數。這正是導致我們所熟知的“1既非素數又非合數”這一特殊性質的一大原因。

數1的另一重要特性是任何數與它的乘積都保持原數而不發生改變。用簡單的數學式子來表達就是。這樣的道理或許是很簡單，但并非不重要。事實上，這代表了一種極為重要的不變性。當讀完后面的內容時，你會對此有新的體會。

數1，具有的獨特性質，使它的概念在其他數學領域中都有所推廣。如在矩陣中有單位矩陣；向量中有單位向量；尤其是在群論中有單位元的概念等等。而這一切概念都具有與數1類似的特性，并在相應的領域中起著重要的作用。事實上，在結構數學中一個結構是否包含與數1地位相當的單位元對這一結構而言是至關重要的。