第一部分　旅程

1　數學世界里的尼斯湖水怪

無窮就像尼斯湖水怪，以其令人驚嘆的體型和難以捉摸的個性，吸引人們展開想象。無窮是一場夢，一個巨大的由無窮無盡的時間和空間所構成的迷幻世界。無窮是一個黑暗森林，在里面，你會遇見超越想象的生物、糾纏在一起的灌木叢和突然照射進來的陽光。無窮是一個環形，它在我們面前呈現為一個無窮無盡的螺旋。

我們的生活是有限的，我們的頭腦是有限的，我們所處其中的世界也是有限的。但是我們仍舊能夠瞥見我們周圍的無窮。我小時候生活的房子中間有一個火爐，火爐上有一個煙囪。所有的房間都圍繞著這個火爐連接在一起。這意味著我和妹妹可以一圈一圈地相互追逐，沒有終點，感覺上就好像我們生活在一個無窮大的房子里一樣。環形讓人們可以在有限的空間里開啟一個無窮的旅程。這個原理不僅僅被用在了孩子們的相互追逐上，還被用在了汽車賽道上和粒子對撞機上。

后來，我的母親教我使用頻譜計算機編程。直到現在，每當想起我最喜歡的計算機小程序時，我都還是會不由自主地笑出來。

10 打印輸出“你好”

20 返回到10

這些計算機語句能夠產生一個無窮無盡的循環。當然，這是一個抽象概念的循環，而不是一個物理上的循環。每到這種時候，我就會點擊“開始”，然后非常興奮地看著“你好”這個詞在屏幕上滾動。因為我知道，除非我點擊“結束”，否則這個過程就會永遠重復下去。我是那種不會輕易感到厭煩的孩子。我每天都會這么做，而不覺得自己應該趕緊寫一些更加有用的程序。不幸的是，這也使得我的編程能力從來沒有真正進步過。無窮的耐心導致了一個奇怪的后果。

我的這個簡短但能產生冗長的打印輸出結果的抽象循環背后的原理是：程序會自己回到原點。自我索引讓我們能夠從另一個角度窺測無窮。分形是用和自身形狀相同的形狀構建的形狀。當你把其中的一部分放大的時候，你看到的將是相同的形狀。為了達到這一目的，這個形狀的細節需要能夠“永遠”保持下去。毋庸置疑，這些細節一定會超越我們能夠描繪和能夠看到的極限。圖1-1描繪了一些分形樹和著名的謝爾賓斯基三角（Sierpinski triangle）的最初幾級。

如果你把兩面鏡子對在一起，你看見的將不再僅僅是自己的鏡像，還有你的鏡像的鏡像。你的鏡像的鏡像又會產生出自己的鏡像。只要你調整鏡子的角度，這些鏡像就會一直疊加下去。每一個鏡像都會比前面的鏡像小，從理論上講，它們會像分形一樣“無窮”延續下去。

我們能夠從環形和自我索引中看到無窮，同樣也能從鏡子里的鏡像越來越小這件事情上看到無窮。孩子們為了能夠讓自己一直吃到蛋糕，每次都只吃剩余的蛋糕的一半。一群人在分享一個蛋糕的時候，都很謙讓，不愿意吃最后的一塊，所以每個人都吃剩余部分的一半。有人告訴我日語里有一個專門形容這個現象的詞——“enryo no katamari”，意思就是大家都很謙讓而不愿意吃的最后一點蛋糕。

我們并不確切地知道宇宙是不是無窮的。但是我喜歡抬頭看教堂的尖塔，讓自己相信塔尖的兩側是平行的，而這個塔無窮地沖往天際，直至無窮。我們的生活是有限的，但是不朽的傳奇和神話故事能夠穿越時間、跨越文化。

對于無窮，我們有如此多需要探索的，就像是尼斯湖波光粼粼的水面下可能藏著也可能沒藏著的那個巨大的、古老的、神秘的怪物。這個被我們稱為無窮的怪物到底是什么？當我們說“永遠”這個聽起來平淡無奇的詞的時候，我們所指的到底是什么？在我們所生活的這個缺乏耐心的世界里，人們總是很夸張地使用“永遠”這個詞。可能我們剛在網絡上等待了兩分鐘就會說，“我看起來要永遠在線等待了！”如果網頁三秒鐘沒有打開，我們就會說，“這個網頁難道永遠也打不開嗎？”西班牙巴斯克的作家阿瑪妮亞·家本桃修（Amaia Gabantxo）告訴我，在巴斯克語里，11對應的詞是“hamaika”，這個詞同時也有無窮的意思。我的一個來自巴斯克的朋友證實了這一點。他觀察了一個櫥柜，然后宣稱里面有“4瓶2013年的、10瓶2014年的和許多瓶2015年的”自制果醬。很明顯，超過10就會被認為是無窮了。我的研究領域是高維范疇理論。在這里，“高”通常意味著三維或者更多，其中也包含無窮。換句話說，從三到無窮都被囊括在了同一個字里。

我們在自己的平凡生活里思考的無窮可能是很夢幻且令人興奮的，但是一經仔細研究，這些無窮就消失了。就好像彩虹一樣，無論你怎樣努力也沒辦法觸摸到它。而且，這些無窮往往會造成矛盾、沖突、不可逾越的鴻溝和黑暗的陷阱。在后面的討論中我們會看到，它們其實禁不起嚴格的邏輯檢驗。

數學的一個作用就是解釋我們周圍世界中出現的各種現象，特別是會在很多不同的地方發生的同樣的現象。如果同一個觀點能夠聯系很多不同的情形，數學家就會沖進來試圖尋找能將這些情形統一起來的大一統的理論。一旦他們找到了這個理論，我們就能更好地理解這些情形背后的相同點。無窮就是這樣的一個觀點。它作為一個引人遐想的觀點無處不在。它看起來好像也能像其他的數學觀點一樣最終被統一起來，就好像長度、體積或者數量一樣。但是，為什么當我們把這些簡單的數學概念延伸到無窮的時候就這么困難呢？這正是這本書的主旨：為什么這件事這么困難？數學家為此付出的努力最終帶來了什么？在這個探索無窮的旅程中我們能看到什么？

無窮的本能

無窮是一個很容易想象但是很難具體描述的概念。小孩子能夠很快地理解無窮這個概念，而數學家們卻花了幾千年的時間從純技術的層面遵循嚴格的邏輯論證無窮。下面是一些可能會讓我們聯想到無窮的事物。孩子們經常會產生這些關于無窮的聯想：

無窮會永遠持續下去。

無窮比最大的數字還要大。

無窮比我們能想到的任何巨大的事物都更大。

無窮加一，它還是無窮。

無窮加無窮，它還是無窮。

無窮乘以無窮，它依舊是無窮。

孩子們第一次接觸無窮這個概念的時候可能會非常激動。他們學習從一數到十，再數到二十，然后學著數到一百、一千、一萬、一億。如果你問一個小孩最大的數字是多少，他們通常會說“一億”。如果你接著問一億零一是不是更大呢，他們的眼睛通常會因詫異而瞪大。

無論他們想到的是多大的數字，你都可以加上一然后獲得一個更大的數字。說服他們接受這一點并不困難。這說明了一個道理，那就是，最大的數字是不存在的。數字可以一直加下去！但是，一共有多少個數字呢？無窮這個概念由此生成了。

也許一些孩子最初接觸無窮這個概念是在電影《玩具總動員》中。他們聽見巴斯光年說，“飛向無窮浩瀚的宇宙！”（“To infinity…and beyond!”）這個口號聽著就很激動人心。但是，在我還是個孩子的時候，《玩具總動員》這個電影還沒有制作出來。我是通過前面描述的循環、家里的物理回路和我最喜歡的計算機程序中的抽象循環來理解無窮的。

一旦孩子們開始思考無窮，他們就會提出很多非常難以回答的關于無窮的問題。無窮是什么？是一個數字嗎？是一個地點嗎？如果不是地點的話，我們怎么能像巴斯光年說的那樣飛向無窮呢？

從孩子們在學校里聽見無窮這個概念起，問題就開始了。一除以零是不是等于無窮？一除以無窮是不是等于零？如果無窮加上一還是無窮的話，那么無窮減去無窮是什么呢？

面對孩子們提出的這些看起來無法回答的數學問題，大人們可能會覺得難為情。因為大人們總會覺得自己需要知道所有的答案。但是數學教育家和創新者克里斯托弗·丹尼爾森說，學習的一個重要的方面就是能夠提出新的問題，這比陳述新的事實更加重要。在數學領域，總會有更多的問題。即便是數學非常好的人或者在大學學習數學專業的人，甚至每天從事數學研究的數學家，也總會發現更多的尚且沒有得到解答的關于無窮的問題。

無窮的不可思議

下面是一些我最喜歡的令人費解的題目或結論。我們將會在后面的章節中探討這些題目。

如果你有一個有無窮房間的旅館，而這個旅館已經客滿了，你是否還可以通過將每一個客人挪后一個房間來容納下一個客人？

如果一個彩票機里面有無窮多個號碼球，你中獎的概率有多大？

一些無窮比其他的無窮要大！

無窮的襪子在某種程度上比無窮的鞋子多。

如果我能夠獲得永生，那么我可以一直磨磨蹭蹭。

你從甲地到乙地旅行，你需要經過兩地之間的中點，然后經過剩余路程的中點，然后再經過剩余路程的中點，以此類推。剩余的路程永遠有中點，那么你永遠也到達不了你的目的地。是不是這樣？

循環小數0.9999…等于1。

一個圓形是不是有無窮條邊？

為什么數學好的人也會在微積分上卡殼？是的，這里面也有一個關于無窮的問題。

無窮能夠通過不同的方式激發任何年齡段、任何知識水平的人的熱情。這本書將會帶領大家探索無窮并且超越無窮。如果你仔細思考并且使用正確的方式思考的話，你就會理解確實存在超越無窮的可能，就像我們總有更多的可問的問題和更多的值得探索的事物一樣。無窮不是一個物理上的地點，所以我們要經歷的并不是一個物理上的旅程。你可以坐在原地和我一起體驗這個旅程，因為這個旅程是抽象的。這個旅程將會通往一個深入的、雜亂的、神秘的、無邊無際的世界。

為什么

我們為什么要參與這個旅程？就像物理的旅程一樣，抽象的旅程也有其存在的諸多意義。每個人都有自己的理由。也許你要在目的地做一件特別的事；也許終點處有非常好的風景；也許旅途中有美妙的景色；也許你喜歡行走或者攀爬所帶來的物理體驗，或者快速駕駛所帶來的愉悅，又或者坐在火車上觀看兩邊的田野向后飛掠所帶來的靜謐感（雖然我自己有關火車的經歷往往牽涉延遲和惱怒的通勤者而不是靜謐感，但是我們可以暫時把這些放在一邊）；也許你喜歡探索未知的世界；也許你享受四處游蕩，在陌生的城市迷路；也許你就是喜歡旅行，想要見識盡可能多的地方，因為“世界那么大，我想去看看”。

所有這些理由在抽象的世界中都有所對應。你要在目的地做一件特定的事——比如上班通勤，對應你腦中想要解決的一個特定的難題。這種抽象旅程的目的往往不是發現喜悅，而是完成任務。終點處的好風景對應我們通過研究獲得的看待日常事物的新視角。旅途的美妙景色對應我們在研究過程中產生的神秘而美好的觀點和看法。看著一個幾乎不可能的觀點逐漸被證實的喜悅，就像看到迷霧逐漸散去，大海開始在地平線上閃閃發光。我并不像很多人那樣只是單純地喜歡旅行，但是我有非常大的好奇心想要探索抽象的世界。我能夠平靜而順從地接受這個世界上還有很多我沒有去過的地方，但是當我遇到不能理解的觀點時，我就會變得貪得無厭，想要探索一切。每當我瞥見自己不理解的事物時，我就會一門心思地撲上去。我喜歡讓自己迷失在一個完全陌生的城市里，我也喜歡讓自己迷失在一個陌生的觀點里。雖然我竭盡所能地想要理解這些事物，但是我也樂于承認世界上的確存在一些人類無法理解的事物。事實上，我對此非常著迷。因為這意味著總有更多的事物存在。對我來說，這是一件美好的事情。如果有一天我們說“就這些了，沒有更多了”，你不覺得這聽起來有一些傷感嗎？就像如果有一天，我說我已經嘗遍了倫敦的每一個餐館一樣（當然這在事實上是不可能的）。總有一個你沒有嘗過的餐館，同樣的，總有一些我們還不理解的事物。

從一個奇怪的角度看，這本書一點兒都不像是關于無窮的。它講的是一個通往未知世界的驚喜之旅。儒勒·凡爾納的《地心游記》并不是講地心的，它講的是一個不可思議的奇妙旅程：抽象的思考是怎樣進行的，以及這類思考能幫助我們做什么。當我們開始產生一個有趣的想法時，這本書可以幫助我們找到這個想法的本質。就本書而言，它可能并不會解釋所有的事情——沒錯，數學家也無法解釋關于無窮的每一件事——但是它可以幫助我們搞清楚，借助無窮這個概念，我們可以做什么，不可以做什么。

這本書的第一部分將幫助我們弄懂無窮是什么。如果你問一個小孩子無窮是什么，他可能會說“它比任何數字都更加大”。這話沒錯，但還是沒有告訴我們無窮是什么。就像“姚明比你見過的其他人都要高”并沒有告訴我們姚明是誰一樣。

在這本書的第二部分，我們將利用關于無窮的觀點來審視我們周圍的世界，看看這個難以捉摸的怪物都到過哪些地方。它存在于我們用來玩樂的鏡子里，存在于我們追跑打鬧的路徑中，存在于我們的每一段旅程里，存在于我們無窮變幻的世界的每一個情景中。理解無窮是進入微積分領域的基礎，而微積分，毫無例外地存在于我們現代生活的方方面面。

所以，對微積分稍有理解將有助于我們享受當代生活的方方面面。但我并沒有把無窮的這些現實應用當作這本書的主要寫作方向。數學有一個很沉重的負擔，就是實用性。詩歌、音樂或者足球就沒有這種負擔。如果你問我這些知識有什么用的話，我就會說，它幫助我們發電，打電話，建造橋梁、道路和飛機，向城市提供生活用水，開發藥物，挽救生命。但這并不是說因為你思考了這些問題，所以你可以使用這些產品，而是因為其他人思考了這些問題，所以我們才能使用這些產品。因此，這些應用并不是我思考這個問題的原因，也不是我想要講述這個故事的原因。

即便你在5歲之后就不再學習任何關于無窮的知識了，你還是能夠生活得一樣好。但是對于我來說，數學的價值并不在于“過日子”，而在于數學的思維和研究為我們的思索帶來了光明。學習數學真正的目的是轉過頭來更好地理解我們的生活。就像在空中飛得更高能夠讓我們看到更遠的地方一樣。

讓我們開始這個旅程吧。