10.3　名校考研真題詳解

一、判斷題

1．若f（x）恒正連續，且收斂，則必有（　  ）[上海交通大學研、浙江大學研、南京師范大學2006研]

【答案】錯

【解析】舉反例：利用反常積分概念，很明顯可知滿足題意，但是

二、解答題

581．如果廣義積分（其中a是瑕點）收斂，那么收斂．并舉例說明命題的逆不成立．[中國科學院研]

證明：由收斂，根據柯西準則，存在δ＞0，只要，

總有

利用定積分的絕對值不等式，又有

再由柯西收斂準則的充分性可知收斂．

命題的逆不成立，例如：

設，令，則而由狄利克雷法可以判定

是條件收斂的，從而可知收斂但不收斂．

596．積分是否收斂？是否絕對收斂？證明所述結論．[北京大學研]

解：

積分是以x＝0為瑕點的瑕積分，因為

所以與同階，所以收斂．

而，所以絕對收斂，積分

是無窮積分，當x＞1時，，可利用的馬克勞林公式得

已知條件收斂，而絕對收斂，所以無窮積分條件收斂但不絕對收斂．

綜合可知：條件收斂．

617．計算積分[武漢大學研]

解：設顯然在S_A上可積，且

作半徑為a和的圓D₁和D₂，使得，由有

而

類似且有由夾逼原則可得，

即

所以 

1．求[中山大學2007研]

解：由于，所以絕對收斂．

1．求[南京大學研]

解：令，則原式變為

1．設函數f（x）在區間[0,＋∞）上連續，0＜a＜b．

（1）證明：如果，則

（2）證明：如果積分收斂，則[中北大學研、北京交通大學2006研]

證明：（1）對任意的，有

在上式右端的兩個積分中分別進行變量替換ax＝t和bx＝t，則有

由積分第一中值定理，有

其中ξ介于aα與bα之間，η介于aβ與bβ之間．令則同時有由f（x）的連續性及f（＋∞）存在性，即有

（2）與（1）的證明完全類似．對任意的，有

在上式右端的兩個積分中分別進行變量替換ax＝t和bx＝t，則有

由積分第一中值定理，有

其中ζ介于aα與bα之間．令，則同時有由f（x）的連續性及收斂，即有

1．設對任意的A＞0，f（x）在[0，A]上正常可積，且收斂，令

，

試證明φ（x）在（0,＋∞）內至少有一個零點．[南京大學研]

證明：由φ（x）的表達式可知．因為

根據連續函數的介值性可得，φ（x）在（0，＋∞）內至少有一個零點．

1．討論的收斂性．[中國地質大學研]

解：令

當α＞1時，取δ充分小，使α－δ＞1，因為，所以與同時收斂，故收斂．

當α≤1時，由于，所以與同時發散，故發散．

又因為，所以僅當α－1＜1，即α＜2時收斂．

綜上所述，僅當1＜α＜2時，積分收斂．

1．討論的收斂性．[復旦大學研]

解：由于

所以當0≤p＜q－1時，收斂；當p≥q－1時，發散．由于

所以當p＞－2時，收斂；當p≤－2時，發散．故當－2＜p＜q－1時，收斂；當p≤－2或p≥q－1時，發散．

1．f（x）在（0，1]上單調，且廣義積分收斂，證明：存在．[上海大學2006研]

證明：不妨設f（x）在（0，1]上單調遞增，則由知

而故由夾逼法知