第2部分　函數項級數

第11章　函數項級數、冪級數

11.1　復習筆記

一、函數項級數的一致收斂

1．函數項級數的概念

（1）函數項級數定義

設是定義在實數集X上的函數，則稱是函數項級數，并稱是這一級數的n次部分和.

（2）收斂性定義

如果對X中的一點x₀，數項級數

收斂，就稱函數項級數在x₀點收斂，否則就說它在x₀點發散．如果對X中任何一點x，級數收斂，則函數項級數在X上收斂（即在每一點都收斂）．這時，對每一點，級數有和，記此和為S（x），即可見，S（x）是X上的函數．

2．一致收斂的定義

（1）一致收斂的定義

①設有函數列（或函數項級數的部分和序列）,若對任給的，存在只依賴于而不依賴于x₀的正整數，使時，不等式

（對函數項級數，此式也可寫為）對X上一切x都成立，則稱

②設如果就稱在X上一致收斂于．

（2）內閉一致收斂、收斂、一致收斂的關系

①當在（a，b）內任一閉區間上一致收斂時，稱在區間（a，b）內閉一致收斂；

②函數列在（a，b）一致收斂，則一定內閉一致收斂．但反之不然．但在（a，b）內閉收斂，則它在區間（a，b）也收斂．

（3）一致收斂的柯西充要條件

函數列在X上一致收斂的充要條件為，對任給的，可得正整數，使時，不等式對任意的正整數p和X上任意的x都成立．

3．一致收斂級數的性質

（1）若在[a，b]上，函數列的每一項都連續，且一致收斂于,則其極限函數也在[a，b]上連續．

這個定理表明：在定理的條件下，對[a，b]上任一點x₀，有

即兩個極限運算（一個對x→x₀取極限，另一個對n→∞取極限）可以交換順序．

（2）設在[a，b]上一致收斂于，每一都在[a，b]上連續，那么

亦即極限號與積分號可以互換，又函數列也在[a，b]上一致收斂于

（3）若在[a，b]上函數列的每一項都有連續導數，收斂于一致收斂于則

亦即

也就是極限號與求導數號可以交換．又此時在[a，b]上也是一致收斂的．

（4）和的連續性

若在[a，b]上級數的每項都連續，且一致收斂于S（x），則S（x）也在[a，b]上連續．

（5）逐項求積

設在[a，b]上一致收斂于，并且每一都在[a，b]上連續，則

亦即和號可以與積分號交換，又在[a，b]上，函數項級數也一致收斂于

（6）逐項求導

若在[a，b]上，的每一項都具有連續導數，且一致收斂于收斂于，則，亦即

且一致收斂于S（x）．

4．一致收斂級數的判別法

（1）魏爾斯特拉斯判別法

若對充分大的n，恒有實數，使得對X上任意的x都成立，并且數項級數收斂，則

在X上一致收斂．

（2）阿貝爾判別法

若在X上一致收斂，又對X中每一固定的x，數列單調．而對任意的n和X中每個x，有

（不依賴于x和n的定數），那么在X上一致收斂．

（3）狄利克雷判別法

的部分和在X上一致有界，又對X內每個x，數列單調，并且函數列在X上一致收斂于零，則在X上一致收斂．

二、冪級數

1．收斂半徑

（1）冪級數定義

形如的函數項級數稱為冪級數．它的部分和是多項式，它的一般項為

（2）收斂半徑定義

R叫作冪級數的收斂半徑．

（3）相關定理

①柯西－阿達馬（Hadamard）定理

冪級數在內絕對收斂，在內發散．

②阿貝爾第一定理

若在點x＝ξ收斂，那么它必在內絕對收斂，又若在x＝ξ發散，則它必在也發散．

③阿貝爾第二定理

若的收斂半徑為R，則此級數在內的任一個閉區間[a，b]上一致收斂，也就是在內閉一致收斂；又若級數在收斂，則它必在一致收斂．

2．冪級數的性質

（1）設冪級數的收斂半徑為R，則其和函數S（x）在內連續．又若冪級數在（或R）收斂，則S（x）在（或（）連續．

（2）設冪級數的收斂半徑為R，其和函數為S（x），則在內冪級數可以逐項積分和逐項微分．即對內任意一點x，有

以及

并且逐項積分和逐項求導后的級數（顯然是冪級數），其收斂半徑仍為R．

3．函數的冪級數展開

（1）假若函數f（x）在某點及其某一鄰域內能表示為冪級數，也就是在內恒有那么，它在這個鄰域內必有任意階的導數，并且

上式右端的冪級數稱為f（x）的泰勒級數．

（2）如果f（x）在點的某個鄰域內有任意階的導數，不一定有

設余項

只有當余項在這區間內趨于零時，一個任意階可導的函數能夠表示為一個冪級數．

（3）余項的各種形式

①的拉格朗日形式

其中ξ是介于和x之問的一個數．

②的積分余項形式

③

其中ξ為，x之間的某一值，這稱為柯西余項．

（4）一些基本初等函數的麥克勞林級數

①

②

③

④

⑤

⑥二項式在－1＜x＜1內，恒有

三、逼近定理

魏爾斯特拉斯逼近定理

設f（x）是[a，b]上的連續函數，那么對任意給定的ε＞0，總存在多項式P（x），使得

．