2.1　正弦交流電的基本概念

我們把方向不隨時間變化的電壓、電流統稱為直流電，如圖2-1（a）、（b）所示；把方向、大小都隨時間做周期性變化的電壓、電流稱為交流電，如圖2-1（c）、（d）所示。

方向和大小按正弦規律變化的電壓、電流稱為正弦交流電。通過正弦交流電的電路稱為正弦交流電路。正弦交流電路中的電壓和電流等物理量統稱為正弦量。正弦交流電在任意時刻的數值稱為瞬時值，用小寫字母表示，如i、u及e分別表示電流、電壓及電動勢的瞬時值。瞬時值有時為正、有時為負、有時為零。

2.1.1　正弦量的三要素

如圖2-2所示電路，按給定的參考方向通過正弦電流i，i的波形如圖2-3所示，它的變化規律可以用正弦函數表示，也可以用余弦函數表示。本書中均采用正弦函數表示正弦電壓和電流。

圖2-3中正弦電流i在選定參考方向下的瞬時值表達式為

i=Imsin（ωt+φ）　　（2-1）

在式（2-1）中，幅值Im、角頻率ω和初相位φ稱為正弦量的三要素。

（1）頻率與周期

在式（2-1）中，ω為正弦電流i的角頻率，它的定義是單位時間內正弦量變化的弧度數，其單位是弧度/秒（rad/s）。

正弦量每變化一次所需要的時間稱為周期T，周期越長，表明交流電變化得越慢，其單位為秒（s），如圖2-3所示。正弦量每秒內變化的次數稱為頻率f，頻率越高，表明交流電變化得越快，它的單位是赫茲（Hz）。顯然，頻率和周期互為倒數，即

角頻率ω與頻率f、周期T之間的關系為

周期或頻率是反映正弦交流電變化快慢的參數。

我國和許多歐洲國家都采用50Hz作為工業交流電的標準頻率，習慣上稱為工頻，也有的國家（如美國、日本）采用60Hz。

（2）初相位與相位差

在式（2-1）中，ωt+φ稱為正弦量的相位角或相位。相位是隨時間t變化的，它反映出正弦量變化的進程。相位不同，對應的瞬時值也不同。

當t=0時，ωt+φ=φ，把此時的相位角φ稱為初相位角或初相位（簡稱初相）。初相位是描述正弦交流電初始狀態的參數。初相位的大小與計時起點的選擇有關，它表明正弦量從什么狀態開始計時。習慣上初相角不取大于π的正角，當初相角大于π時，取與之對應的小于π的負角。

相位差是用來描述電路中兩個同頻率正弦量之間相位關系的量。如圖2-4所示，圖中u和i的波形可用下式表示：

u=Umsin（ωt+φu）

i=Imsin（ωt+φi）

則電壓u和電流i的相位差為

φ=（ωt+φu）-（ωt+φi）=φu-φi　　（2-4）

可見，相位差即為初相位之差，它表明了兩個同頻率正弦量之間，在時間上超前或滯后的關系。

①超前　若φ=φ1-φ2>0，則i1超前i2角φ，即i1到達零值、正的最大值、負的最大值時，均超前i2角φ，如圖2-5（a）所示。

②滯后　若φ=φ1-φ2<0，則i1滯后i2角φ，如圖2-5（b）所示。通常，相位差用絕對值不大于180°的角來描述。

超前與滯后是相對的，i1超前i2，也可以說是i2滯后i1。

③同相　若φ=2nπ（n=0，1，2，…），則稱i1和i2相同，即i1和i2同時達到最大、最小，同時為零，如圖2-5（c）所示。

④反相　若φ=nπ（n為奇數），則稱i1和i2反相，即i1為正時，i2為負；i1為負時，i2為正，如圖2-5（d）所示。

⑤正交　若（n為奇數），則稱i1和i2正交，即一個正弦量為零時，另一個正弦量為正的幅值（或負的幅值），如圖2-5（e）所示。

（3）幅值與有效值

在式（2-1）中，Im是正弦量的幅值（也稱振幅、最大值），反映了正弦量變化過程中所能達到的最大幅度，用帶下標m的大寫字母表示，如Im、Um及Em分別表示電流、電壓及電動勢的幅值。工程上通常用有效值計量正弦量的大小，正弦量的有效值是指熱效應和它相當的直流值。

周期電流i和直流電流I在相同的時間內分別流過同一電阻R，如果產生的熱效應相當，那么這個直流電流I被稱為周期電流i的有效值。

如電阻R在一個周期T內所產生的熱量為，通過T時間的直流電流所產生的熱量為Q直流=I2RT，若Q交流=Q直流，則

式中，I為周期電流i的有效值。

對于正弦電流i=Imsin（ωt+φ），有

同理，對于正弦電壓和正弦電動勢，其有效值與最大值關系為

如無特殊說明，工程上所說正弦量的大小都是指有效值。如通常所說的照明電路電壓220V，三相交流電動機的電壓380V，以及各種電氣設備的額定電壓、額定電流和交流電工測量儀表的讀數等均指有效值。

【例2-1】　某正弦交流電壓，最大值和有效值分別為多少？

【例2-2】　某正弦交流電壓u=311sin314tV，最大值、頻率、角頻率和周期各為多少？

解：最大值為　　Um=311V

角頻率為　　ω=314rad/s

【例2-3】　某正弦電壓在t=0時為，初相角為30°，求其電壓的有效值。

解：電壓的瞬時值表達式為

u=Umsin（ωt+30°）

t=0時

u（0）=Umsin30°

2.1.2　正弦量的相量表示法

如前所述，一個正弦量由幅值、角頻率和初相位三個要素確定，而正弦量的這些特征，可以用正弦波和三角函數表示出來。除此之外，還可以用相量表示，復數是相量的基礎。

（1）復數

如圖2-6所示，一復數A，a1為其實部，a2為其虛部，a為其長度，則復數A可用四種形式來表示：

①代數式

A=a1+ja2　　（2-8）

為虛單位。

②三角函數式　令復數A的模|A|=a，φ角是復數A的輻角，有

A=｜A｜（cosφ+jsinφ）=a（cosφ+jsinφ）　　（2-9）

式中，，，

③指數式　根據歐拉公式ejφ=cosφ+jsinφ

A=aejφ　　（2-10）

④極坐標式

極坐標式是復數指數式的簡寫，這四種復數的表示形式，可以相互轉換。

復數的指數形式（或極坐標形式）與復數的三角函數式之間可以通過歐拉公式進行轉換，指數形式（或極坐標形式）要變換成代數式可以通過歐拉公式進行轉換；代數式變換成指數形式（或極坐標形式）可以通過式（2-9）進行轉換。

（2）正弦量的相量表示

用復數來表示正弦量的方法稱為正弦量的相量表示法，即用復數的模來表示正弦量的幅值（最大值或有效值），用復數的輻角來表示正弦量的初相位。只有同頻率的正弦量用相量進行分析計算才有意義，它使得正弦交流電路的分析和計算變得更為簡單。

在線性正弦交流電路中，各部分的電流和電壓都是同頻率的正弦量。因為頻率不變，所以可以用相量來表示正弦量。

正弦量的相量形式是用大寫字母上面加小圓點表示。例如，“”“”“”等。

同理，可自行寫出和相量。

相量、、稱為有效值相量，、、稱為最大值相量或幅值相量。

相量在復平面上的幾何圖形叫做相量圖，如圖2-7所示。

同頻率的正弦量，由于它們之間相位的相對位置不變，即相位差不變，因此可以將它們的相量畫在同一個坐標上。不同頻率的正弦量，用相量表示時，不能畫在同一相量圖上。

（3）相量運算

相量的運算規則符合復數運算中的交換律、結合律和分配律等。

①加、減運算　加、減運算用復數的代數式進行。運算時，只需把實部與實部相加、減，虛部與虛部相加、減即可。

例如，A1=a1+jb1，A2=a2+jb2，則

A1±A2=（a1+jb1）±（a2+jb2）=（a1±a2）+j（b1±b2）　　（2-13）

如果復數是其他形式，應先把其轉換成代數式，再進行加、減運算。

②乘、除運算　乘、除運算用復數的指數形式（或極坐標形式）進行較為方便。兩個復數的乘積（商）的模等于這兩個復數的模的乘積（商）；兩個復數的乘積（商）的幅角等于這兩個復數的輻角的和（差）。

【例2-4】　已知頻率均為50Hz的電壓相量：①；②；。試寫出它們所代表的正弦電壓瞬時值表達式。

解：角頻率為ω=2πf=2π×50=314rad/s。各正弦電壓的瞬時值表達式為

③U3=10V　φ3=-90°

【例2-5】　已知：i1=70.7sin（314t-30°）A，i2=60sin（314t+60°）A。試求：i1+i2=i。

解：首先用相量表示i1、i2

再通過寫出對應的正弦量