第2章 動(dòng)力學(xué)、混沌和預(yù)測

再一次一無所知，從頭開始……這讓我很開心。

對于我們來說平常大小的事物，人們?yōu)橹畬懺姷哪切撇?、水仙花、瀑布，它們對于我們，就好像天堂對于古希臘人，充滿了神奇……現(xiàn)在也許是最好的時(shí)代，你曾以為正確的東西幾乎都是錯(cuò)的。

——斯托帕德（Tom Stoppard），

《阿卡狄亞》（Arcadia）

動(dòng)力系統(tǒng)理論（動(dòng)力學(xué)，dynamics）關(guān)注的是對系統(tǒng)的描述和預(yù)測，其所關(guān)注的系統(tǒng)通過許多相互作用的組分的集體行為涌現(xiàn)出宏觀層面的復(fù)雜變化。動(dòng)力一詞意味著變化。而動(dòng)力系統(tǒng)則是以某種方式隨時(shí)間變化的系統(tǒng)。下面是動(dòng)力系統(tǒng)的一些例子：

◆太陽系（行星位置隨時(shí)間變化）；

◆心臟（周期性跳動(dòng)）；

◆大腦（神經(jīng)元不斷激發(fā)，神經(jīng)遞質(zhì)在神經(jīng)元之間傳遞，突觸強(qiáng)度變化，整個(gè)系統(tǒng)不斷變化）；

◆股票市場；

◆世界人口；

◆全球氣候。

不僅這些，其他你想得到的系統(tǒng)幾乎都是動(dòng)力系統(tǒng)。甚至巖石在地理時(shí)間尺度上也是變化的。動(dòng)力系統(tǒng)理論以最一般化的方式描述系統(tǒng)的變化，描述變化可能的宏觀形態(tài)，以及對于其變化能夠做出怎樣的估計(jì)和預(yù)測。

近年來，動(dòng)力系統(tǒng)理論很受大眾關(guān)注，這是因?yàn)樗囊粋€(gè)分支——混沌學(xué)——發(fā)現(xiàn)了一些讓人著迷的結(jié)果。但實(shí)際上它的歷史很悠久，同許多學(xué)科一樣，它可以追溯到古希臘哲學(xué)家亞里士多德。

動(dòng)力系統(tǒng)理論的起源

亞里士多德（圖2.1）是目前所知的最早論述運(yùn)動(dòng)理論的人之一，他的理論流行了1500多年。他的理論有兩個(gè)主要原理，后來發(fā)現(xiàn)都是錯(cuò)的。首先，他認(rèn)為地面上的運(yùn)動(dòng)與天上的不同。他認(rèn)為地面上的物體在受到力推動(dòng)時(shí)才會(huì)沿直線運(yùn)動(dòng)；沒有力，物體就會(huì)保持靜止。而在天上，行星等天體是圍繞著地球不斷做圓周運(yùn)動(dòng)。另外，亞里士多德認(rèn)為，在地面上，不同物質(zhì)組成的物體運(yùn)動(dòng)方式也不一樣。比如，他認(rèn)為石頭落向地面是因?yàn)槭^主要是由土元素組成，而煙會(huì)上升則是因?yàn)闊熓怯蓺庠亟M成。在天上也是一樣，越重的物體中的土元素越多，下落也越快。

同以前許多理論家一樣，亞里士多德在構(gòu)造理論時(shí)沒有考慮實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。他的方法是用邏輯和常識(shí)引導(dǎo)理論；用實(shí)驗(yàn)對理論進(jìn)行驗(yàn)證的重要性在當(dāng)時(shí)還沒有被認(rèn)識(shí)到；亞里士多德的思想影響很大，一直統(tǒng)治著西方科學(xué)，直到16世紀(jì)——伽利略（圖2.2）登上歷史舞臺(tái)。

伽利略、他之前的哥白尼以及與他同時(shí)代的開普勒是實(shí)驗(yàn)和觀察科學(xué)的先驅(qū)。哥白尼提出行星不是圍繞地球而是圍繞太陽運(yùn)行。（伽利略在宣揚(yáng)這種觀點(diǎn)時(shí)受到了天主教會(huì)的強(qiáng)烈阻撓，最后被迫公開宣布放棄。直到1992年教會(huì)才正式承認(rèn)對伽利略的迫害是錯(cuò)誤的。）在16世紀(jì)初，開普勒發(fā)現(xiàn)行星的運(yùn)行軌跡不是圓而是橢圓，他還發(fā)現(xiàn)了關(guān)于這種橢圓運(yùn)動(dòng)的幾條定律。

哥白尼和開普勒只研究了天體的運(yùn)動(dòng)，而伽利略不僅研究天上的運(yùn)動(dòng)，也研究地面上的，他做了一些我們現(xiàn)在在中學(xué)物理課上會(huì)學(xué)到的實(shí)驗(yàn)：單擺、沿斜面滾動(dòng)的小球、自由落體、鏡面光線反射。不過伽利略可沒有我們現(xiàn)在使用的那些精密實(shí)驗(yàn)設(shè)備，據(jù)說他通過數(shù)脈搏來計(jì)算單擺的擺動(dòng)周期，還在比薩斜塔上下落物體以測量重力的效應(yīng)。這些經(jīng)典實(shí)驗(yàn)徹底改變了對運(yùn)動(dòng)的理解，并且直接駁斥了長期盛行的亞里士多德的觀點(diǎn)。與直覺不同，靜止并不是物體的自然狀態(tài)；相反，要施加力才能讓運(yùn)動(dòng)物體停下來。不管物體多重，在真空中下落的速度都是一樣的。最具革命性的是，地面上的運(yùn)動(dòng)定律居然也能解釋天上的運(yùn)動(dòng)。自從伽利略之后，有了實(shí)驗(yàn)觀察作為基礎(chǔ)，科學(xué)革命的發(fā)生就不可避免了。

動(dòng)力學(xué)歷史上最重要的人物是牛頓（圖2.3），牛頓生于伽利略死后那一年。他可以說是憑一己之力創(chuàng)建了動(dòng)力學(xué)。為了創(chuàng)建動(dòng)力學(xué)，他還要先發(fā)明微積分——描述運(yùn)動(dòng)和變化的數(shù)學(xué)。

物理學(xué)家將對運(yùn)動(dòng)的總體研究稱為機(jī)械力學(xué)（mechanics）。這個(gè)詞源自古希臘，因?yàn)楣诺溆^點(diǎn)認(rèn)為，所有運(yùn)動(dòng)都可以用杠桿、滑輪、輪軸等簡單“機(jī)械”的動(dòng)作組合來解釋。牛頓的工作現(xiàn)在被稱為經(jīng)典力學(xué)。力學(xué)分為兩部分：描述物體如何運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)（kinematic），以及解釋物體為何遵循運(yùn)動(dòng)學(xué)定律的動(dòng)力學(xué)。例如開普勒定律就是運(yùn)動(dòng)學(xué)定律，它們描述了行星如何運(yùn)動(dòng)（以太陽為焦點(diǎn)沿橢圓運(yùn)動(dòng)），但沒有解釋行星為何這樣運(yùn)動(dòng)。牛頓的定律則是動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)，它們用力和質(zhì)量作為基本概念解釋了一切物體的運(yùn)動(dòng)，包括行星。

下面是著名的牛頓三大定律：

1．在任何情況下，一切物體在不受外力作用時(shí)，總保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

2．物體的加速度與物體的質(zhì)量成反比。

3．兩個(gè)物體之間的作用力和反作用力，在同一條直線上，大小相等，方向相反。

牛頓的偉大之處在于他認(rèn)識(shí)到這些定律不僅適用于地面上的物體，對天上的物體也同樣適用。勻速運(yùn)動(dòng)定律是伽利略首先提出來的，但是他認(rèn)為只適用于地面上的物體。而牛頓則認(rèn)為這條定律對行星應(yīng)該也適用，并且認(rèn)識(shí)到需要用力（引力）來解釋橢圓運(yùn)動(dòng)方向的不斷變化。牛頓的另一重要貢獻(xiàn)是提出了萬有引力定律：兩個(gè)物體之間的引力與兩者質(zhì)量的乘積成正比，與兩者距離的平方成反比。牛頓深刻認(rèn)識(shí)到這條定律適用于宇宙中一切事物，無論是行星還是蘋果，這個(gè)認(rèn)識(shí)是現(xiàn)代科學(xué)的基石。正如他說的：“自然簡單而自足，對宏大物體的運(yùn)動(dòng)成立的，對微小物體也同樣成立。”

牛頓力學(xué)描繪了一幅“鐘表宇宙”的圖景：設(shè)定好初始狀態(tài)，然后就遵循著三條定律一直運(yùn)行下去。數(shù)學(xué)家拉普拉斯認(rèn)識(shí)到其中蘊(yùn)含了可以如鐘表般精準(zhǔn)預(yù)測的觀念：他在1814年斷言，根據(jù)牛頓定律，只要知道宇宙中所有粒子的當(dāng)前位置和速度，原則上就有可能預(yù)測任何時(shí)刻的情況。在20世紀(jì)40年代計(jì)算機(jī)被發(fā)明出來之后，這種“原則上”的可能似乎有可能變成現(xiàn)實(shí)了。

對預(yù)測的重新認(rèn)識(shí)

然而，20世紀(jì)的兩個(gè)重要發(fā)現(xiàn)表明，拉普拉斯的精確預(yù)測的夢想，即使在原則上也是不可能的。1927年，海森堡（Werner Heisenberg）提出了量子力學(xué)中的“測不準(zhǔn)原理”，證明不可能在準(zhǔn)確測量粒子位置的同時(shí)，又準(zhǔn)確測量其動(dòng)量（質(zhì)量乘以速度）。對于其位置知道得越多，對于其動(dòng)量就知道得越少，反過來也是一樣。不過，海森堡原理還只是限制了對量子世界微觀粒子的測量，大多數(shù)人都只是覺得它挺有趣，但是對宏觀尺度上的預(yù)測——比如天氣預(yù)報(bào)——應(yīng)該沒有多大影響。

然而混沌的發(fā)現(xiàn)給了精確預(yù)測的夢想最后一擊?；煦缰傅氖且恍┫到y(tǒng)——混沌系統(tǒng)——對于其初始位置和動(dòng)量的測量如果有極其微小的不精確，也會(huì)導(dǎo)致對其的長期預(yù)測產(chǎn)生巨大的誤差。也就是常說的“對初始條件的敏感依賴性”。

對于一些自然系統(tǒng)，并沒有這個(gè)問題。如果你對初始條件的測量不是十分精確，你的預(yù)測即使不全對，也會(huì)八九不離十。例如天文學(xué)家在測量行星位置時(shí)即使誤差較大，也還是能準(zhǔn)確預(yù)測日食。而對初始條件的敏感依賴性指的是，如果系統(tǒng)是混沌的，在測量初始位置時(shí)即使只有極其微小的誤差，在預(yù)測其未來的運(yùn)動(dòng)時(shí)也會(huì)產(chǎn)生巨大的誤差。對于這樣的系統(tǒng)（颶風(fēng)就是例子），一點(diǎn)點(diǎn)誤差，不管多小，也會(huì)導(dǎo)致長期預(yù)測很不精確。

這一點(diǎn)很不符合直覺，事實(shí)上，很長一段時(shí)間里，科學(xué)家們都認(rèn)為這不可能。然而，混沌現(xiàn)象在很多系統(tǒng)中都被觀測到了，心臟紊亂、湍流、電路、水滴，還有許多其他看似無關(guān)的現(xiàn)象?，F(xiàn)在混沌系統(tǒng)的存在已成為科學(xué)中公認(rèn)的事實(shí)。

現(xiàn)在已無法說清楚是誰最先意識(shí)到可能存在這類系統(tǒng)。遠(yuǎn)在量子力學(xué)出現(xiàn)之前，就有很多人提出了對初始條件敏感依賴性的可能性。例如，物理學(xué)家麥克斯韋（James Clerk Maxwell）在1873年就猜想，有些量的“物理尺度太小，以致無法被有局限性的人類注意，卻有可能導(dǎo)致極為重要的結(jié)果”。

第一個(gè)明確的混沌系統(tǒng)的例子可能是19世紀(jì)末由法國數(shù)學(xué)家龐加萊（Henri Poincaré）（圖2.4）給出。龐加萊是現(xiàn)代動(dòng)力系統(tǒng)理論的奠基者，可能也是貢獻(xiàn)最大的人，大力推動(dòng)了牛頓力學(xué)的發(fā)展。龐加萊在試圖解決一個(gè)比預(yù)測颶風(fēng)簡單得多的問題時(shí)發(fā)現(xiàn)了對初始條件的敏感依賴性。他試圖解決的是所謂的三體問題（three-body problem）：用牛頓定律預(yù)測通過引力相互作用的三個(gè)物體的長期運(yùn)動(dòng)。牛頓已經(jīng)解決了二體問題。但沒想到三體問題要復(fù)雜得多。在向瑞典國王表示敬意的一次數(shù)學(xué)競賽中，龐加萊將其解決了。競賽主辦方提供2500瑞典克朗獎(jiǎng)勵(lì)解決“多體”問題：用牛頓定律預(yù)測任意多個(gè)相互吸引的物體的未來運(yùn)動(dòng)。提出這個(gè)問題是為了確定太陽系是否穩(wěn)定，行星是會(huì)維持還是會(huì)偏離目前的軌道？龐加萊想先試著解決三體問題。

他并沒有完全成功——這個(gè)問題實(shí)在太復(fù)雜了。但是他的嘗試很精彩，所以最后還是贏得了獎(jiǎng)金。牛頓發(fā)明了微積分，而龐加萊為了解決這個(gè)問題也創(chuàng)建了一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支——代數(shù)拓?fù)洌╝lgebraic topology）。拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的擴(kuò)展，正是在研究三體問題的幾何結(jié)果的過程中，龐加萊發(fā)現(xiàn)了對初始條件的敏感依賴性。下面是他對此的總結(jié)：

如果我們能知道自然界的定律和宇宙在初始時(shí)刻的精確位置，我們就能精確預(yù)測宇宙在此后的情況。但是即便我們弄清了自然界的定律，我們也還是只能近似地知道初始狀態(tài)。如果我們能同樣近似地預(yù)測以后的狀態(tài)，這也夠了，我們也就能說現(xiàn)象是可以預(yù)測的，而且受到定律的約束。但并不總是這樣，初始條件的細(xì)微差別有可能會(huì)導(dǎo)致最終現(xiàn)象的極大不同。前者的微小誤差會(huì)導(dǎo)致后者的巨大誤差。預(yù)測變得不可能……

換句話說，即便我們完全知道了運(yùn)動(dòng)定律，兩組不同的初始條件（在這里是指物體的初始位置、質(zhì)量和速度），即使差別很小，有時(shí)候也會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)隨后的運(yùn)動(dòng)極為不同。龐加萊在三體問題中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)這樣的例子。

直到電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之后，科學(xué)界才開始認(rèn)識(shí)這類現(xiàn)象的意義。龐加萊遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了他所處的時(shí)代，他意識(shí)到對初始條件的敏感依賴性將會(huì)阻礙對天氣的長期預(yù)報(bào)。他的遠(yuǎn)見于1963年被證實(shí)，氣象學(xué)家洛倫茲（Edward Lorenz）發(fā)現(xiàn)，即使是很簡單的計(jì)算機(jī)氣象模型，也會(huì)有對初始條件的敏感依賴性?，F(xiàn)在雖然有了高度復(fù)雜的氣象計(jì)算模型，天氣預(yù)報(bào)也最多只能做到大致準(zhǔn)確預(yù)測一個(gè)星期。目前還不清楚這個(gè)局限是否是天氣的混沌本質(zhì)導(dǎo)致的，也不知道通過收集更多數(shù)據(jù)和構(gòu)造更好的模型，可以將這個(gè)局限推進(jìn)多遠(yuǎn)。

線性兔子和非線性兔子

現(xiàn)在我們再詳細(xì)了解一下對初始條件的敏感依賴性。混沌系統(tǒng)中初始的不確定性到底是如何被急劇放大的呢？關(guān)鍵因素是非線性。對于線性系統(tǒng)，你可以先了解其組成，然后將它們合到一起。當(dāng)我的兩個(gè)兒子和我一起做廚藝時(shí)，他們喜歡輪流加原料。杰克放兩杯面粉，跟著尼克又加一杯糖。結(jié)果呢？三杯面粉和糖的混合物，整體等于部分之和。

對于非線性系統(tǒng)，整體則不等于部分之和。杰克放了兩杯蘇打粉，尼克又加了一杯醋。整個(gè)事情就不可收拾了（你可以自己在家里試試）。有什么后果？你會(huì)得到大量醋、蘇打粉和二氧化碳混合的泡泡。兩者之間的區(qū)別在于：前面的糖和面粉不會(huì)產(chǎn)生反應(yīng)生成新的東西，而后者的醋和蘇打粉會(huì)劇烈反應(yīng)，產(chǎn)生很多二氧化碳。

還原論者喜歡線性，而非線性則是還原論者的夢魘。理解線性和非線性的區(qū)別很有用，值得研究一下。為了更好地理解非線性以及混沌現(xiàn)象，我們要研究一點(diǎn)點(diǎn)簡單的數(shù)學(xué)，借用一個(gè)經(jīng)典的生物群體數(shù)量動(dòng)力學(xué)模型來闡釋線性和非線性。設(shè)想你養(yǎng)了一群兔子，兔子會(huì)配對生小兔子，每對兔子父母每年會(huì)生4只小兔子然后死去。圖2.5顯示了兔子的繁殖狀況。

很顯然，如果不受限制，兔子的數(shù)量會(huì)每年翻番（這意味著兔子很快會(huì)接管這個(gè)星球，乃至太陽系和整個(gè)宇宙，不過我們暫時(shí)還不用擔(dān)心）。

這是一個(gè)線性系統(tǒng)： 注1整體等于部分之和。我想讓它們做什么呢？我們先將4只兔子分開放到兩個(gè)島上，每個(gè)島上2只。然后讓兔子繼續(xù)繁殖。圖2.6顯示了繁殖兩年的情形。

注1：“這是一個(gè)線性系統(tǒng)”：有人可能會(huì)說這個(gè)并不真的是線性系統(tǒng)，因?yàn)槿后w數(shù)量隨時(shí)間呈指數(shù)增長：nt= 2tn0。不過這里的線性指的是nt到nt+1是線性映射。

兩邊都是每年翻番。不管是哪一年，如果你把兩個(gè)島的兔子加起來，你得到的數(shù)量還是與沒分開時(shí)一樣多。

如果以當(dāng)年的兔子數(shù)量為橫坐標(biāo)，以次年的兔子數(shù)量為縱坐標(biāo)，將各年的數(shù)據(jù)標(biāo)上去，你將會(huì)得到一條直線（圖2.7）。這就是為什么稱之為線性系統(tǒng)。

但是如果考慮到種群數(shù)量增長所受的限制，情況會(huì)怎樣呢？這會(huì)使得增長規(guī)則變?yōu)榉蔷€性的。假定前面的規(guī)則仍然成立，每對兔子每年生4只小兔子然后死去。不過現(xiàn)在有些小兔子會(huì)因?yàn)樘^擁擠沒有繁殖就死去。研究種群數(shù)量的生物學(xué)家常用邏輯斯蒂模型注2（Logistic model）描述這種情形下群體數(shù)量的增長。這個(gè)模型以一種簡化方式描述群體數(shù)量的增長。你設(shè)定好出生率、死亡率（由于種群數(shù)量過多導(dǎo)致的死亡概率）以及最大種群承載能力（棲息地所能承載的種群數(shù)量上限），然后將這一代的種群數(shù)量代入邏輯斯蒂模型，就能算出下一代的種群數(shù)量。在這里我不給出邏輯斯蒂模型的具體形式注3（注釋中有），你可以在圖2.8中看到它的變化情況。

注2：“邏輯斯蒂模型”：參見（http://mathworld.wolfram.com/LogisticEquation.html）:“邏輯斯蒂方程[有時(shí)也稱為費(fèi)爾哈斯特模型（Verhulst model）、邏輯斯蒂模型或邏輯斯蒂增長曲線]是種群數(shù)量增長模型，最早由費(fèi)爾哈斯特（Pierre Verhulst）發(fā)表（1845）。模型是時(shí)間連續(xù)的，但從連續(xù)模型得出的離散二次迭代方程也叫邏輯斯蒂方程。”邏輯斯蒂映射是表示邏輯斯蒂模型的非常有用的方式。

注3：“我不給出邏輯斯蒂模型的具體形式”：邏輯斯蒂模型如下：

其中nt是當(dāng)前這一代的種群數(shù)量，k是承載能力。讓xt=nt/ k, R=(出生率-死亡率)，就能從中得到邏輯斯蒂映射。其中xt表示“承載率”：當(dāng)前種群數(shù)量與最大可能的種群數(shù)量的比率。從而

因?yàn)榉N群數(shù)量nt總是介于0和k之間，所以xt總是介于0和1之間。

舉個(gè)簡單的例子，設(shè)出生率為2，死亡率為0.4，承載力為32，第一代有20只兔子。用邏輯斯蒂模型算出第二代為12只。將新的種群數(shù)量再代進(jìn)去，又可以得出第三代仍然是12只兔子存活。此后的兔子數(shù)量將一直維持在12只。

如果將死亡率降到0.1（其他參數(shù)不變），會(huì)有些有趣的事情發(fā)生。根據(jù)模型可以得出第二代為14.25只兔子，第三代則為15.01816只。

等一下！怎么會(huì)有0.25只兔子，還有稀奇古怪的0.01816只？在真實(shí)世界中顯然是不可能的，不過這只是模型，允許兔子數(shù)量為小數(shù)。這樣在數(shù)學(xué)上簡單些，而且預(yù)測的兔子數(shù)量仍然大致符合實(shí)際。所以這里我們無須為此擔(dān)心。

將算出的種群數(shù)量再代進(jìn)去計(jì)算下一代的種群數(shù)量，這個(gè)不斷重復(fù)的過程即所謂的“對模型進(jìn)行迭代”。

如果將死亡率恢復(fù)成0.4，承載力翻一倍變成64，結(jié)果又會(huì)怎樣呢？根據(jù)模型我們發(fā)現(xiàn)，從20只兔子出發(fā)，9年后種群數(shù)量會(huì)變?yōu)榻咏?4的一個(gè)值，然后停在那里。

你可能注意到了這些例子中的種群變化比前面單純每年翻番的情形復(fù)雜得多。這是因?yàn)橐肓朔N群數(shù)量過多導(dǎo)致的死亡，模型變成了非線性的。其圖形不再是直線，而是拋物線（圖2.8）。邏輯斯蒂模型中的群體數(shù)量變化不再簡單等于部分之和。為了說明這一點(diǎn)，我們將20只兔子分為兩群，每群10只，再對各群進(jìn)行迭代（參數(shù)同前面一樣，出生率為2，死亡率為0.4）。圖2.9為迭代結(jié)果。

第一年，前面是20只兔子只剩下12只，而分成兩群后，每群有11只，總共22只。整體的變化不再等于各部分的變化之和。

邏輯斯蒂映射

許多研究這一類事物的科學(xué)家和數(shù)學(xué)家使用邏輯斯蒂模型的一個(gè)簡化形式，邏輯斯蒂映射（logistic map），它也許是動(dòng)力系統(tǒng)理論和混沌研究中最著名的方程。邏輯斯蒂映射中出生率和死亡率的效應(yīng)被合成一個(gè)數(shù)，記作R。種群規(guī)模用“承載率”替代，記為x。這個(gè)簡化模型問世之后，科學(xué)界和數(shù)學(xué)界很快就將種群規(guī)模、承載力等與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系拋到腦后，轉(zhuǎn)而著迷于這個(gè)方程本身，因?yàn)樗奶匦蕴屓苏痼@了?，F(xiàn)在我們也來體驗(yàn)一下。

下面就是這個(gè)方程，其中xt是當(dāng)前值，xt+1則是下一步的值：

xt+1=Rxt（1-xt）

我給出邏輯斯蒂映射的方程是為了向你展示它有多簡單。事實(shí)上，它是能抓住混沌本質(zhì)——對初始條件的敏感依賴性——的最簡單的系統(tǒng)之一。1971年，數(shù)學(xué)生物學(xué)家梅（Robert May）在著名的《自然》雜志上發(fā)表了一篇文章分析邏輯斯蒂映射，引起了種群生物學(xué)家的關(guān)注。在此之前也有一些數(shù)學(xué)家對其進(jìn)行了詳細(xì)分析，包括烏拉姆（Stanislaw Ulam）、馮·諾依曼（John von Neumann）、梅特羅波利斯（Nicholas Metropolis）、保羅·斯坦（Paul Stein）和米隆·斯坦（Myron Stein）。但它真正變得有名是在20世紀(jì)80年代，物理學(xué)家費(fèi)根鮑姆（Mitchell Feigenbaum）利用它展示了一大類混沌系統(tǒng)的共性。由于其顯然的簡單性和深厚的歷史，它成了介紹動(dòng)力系統(tǒng)理論和混沌的一些主要概念的完美載體。

如果我們讓R的值變化，邏輯斯蒂映射就變得非常有趣。我們先從R=2開始。x的初始值x0也必須介于0和1之間，姑且設(shè)為0.5。將它們代入邏輯斯蒂映射，得出x1為0.5。同樣，x2也是0.5，后面也一樣。因此，如果R=2，種群初始值為最大值的一半，以后就會(huì)一直不變。

現(xiàn)在讓x0=0.2。你可以自己用計(jì)算器算一下（我用的一個(gè)最多顯示7位小數(shù)的計(jì)算器）。結(jié)果更有意思了：

x0=0.2

x1=0.32

x2=0.4352

x3=0.4916019

x4=0.4998589

x5=0.5

x6=0.5

……

最終結(jié)果是一樣的（永遠(yuǎn)是xt=0.5），但是迭代了5次才得到。

用圖可以看得更清楚。圖2.10是xt在前20步的值的圖形。我用線將這些點(diǎn)連起來了，這樣可以更清楚地看到，隨著時(shí)間推移，x迅速收斂到0.5。

如果x0很大，比如0.99，又會(huì)怎樣呢？圖2.11顯示了得到的圖形。

最終的結(jié)果還是一樣的，不過過程要長一些，波動(dòng)也更劇烈。

你可能已經(jīng)猜到了：只要R=2, xt最終都會(huì)到達(dá)0.5，并停在那里。0.5正是所謂的不動(dòng)點(diǎn)（fixed point）：到達(dá)這一點(diǎn)所花的時(shí)間依賴于出發(fā)點(diǎn)，但是一旦你到達(dá)了那里，你就會(huì)保持不動(dòng)。如果你愿意，可以讓R=2.5，再試一下，同樣你會(huì)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)總是到達(dá)一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，不過這次不動(dòng)點(diǎn)是0.6。

R=3.1的情形更有趣。邏輯斯蒂映射的變化更加復(fù)雜了。圖2.12是x0=0.2時(shí)的圖形。

在這個(gè)例子中，x永遠(yuǎn)也不會(huì)停在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；它最終會(huì)在兩個(gè)值（0.5580141和0.7645665）之間振蕩。如果將前者代入方程，就會(huì)得到后者，反過來也是一樣，因此振蕩會(huì)一直持續(xù)下去。不管x0取什么值，最后都會(huì)形成這個(gè)振蕩。這種最終的變化位置（無論是不動(dòng)點(diǎn)還是振蕩）被稱為“吸引子”，這個(gè)說法很形象，因?yàn)槿魏纬跏嘉恢米罱K都會(huì)“被吸引到其中”。

往上一直到R等于大約3.4，邏輯斯蒂映射都會(huì)有類似的變化：在迭代一些步驟后，系統(tǒng)會(huì)在兩個(gè)不同的值之間周期振蕩（最終的振蕩點(diǎn)由R決定）。因?yàn)槭窃趦蓚€(gè)值之間振蕩，系統(tǒng)的周期為2。

但是如果R介于3.4和3.5之間，情況又突然變了。不管x0取何值，系統(tǒng)最終都會(huì)形成在四個(gè)值之間的周期振蕩，而不是兩個(gè)。例如，如果R=3.49, x0=0.2，最終的結(jié)果就像圖2.13那樣。

x的值很快就開始在四個(gè)不同的值之間周期振蕩（如果你想知道，它們分別大約是0.872,0.389,0.829和0.494）。也就是說，在3.4和3.5之間的某個(gè)R值，最終的振蕩周期突然從2增到4。

在3.54和3.55之間的某個(gè)R值，周期再次突然倍增，一下躍升到8。在3.564和3.565之間的某個(gè)值周期躍升到16。在3.5687和3.5688之間周期又躍升到32。周期一次又一次倍增，前后R的間隔也越來越小，很快，在R大約等于3.569946時(shí)，周期已趨向于無窮。在此之前，邏輯斯蒂映射的變化大致都可以預(yù)測。如果R值給定，從任何x0點(diǎn)出發(fā)的最終長期變化都能預(yù)測得到：R小于3.1時(shí)會(huì)到達(dá)不動(dòng)點(diǎn)，R介于3.1和3.4之間時(shí)會(huì)形成雙周期振蕩，等等。

但是當(dāng)R等于大約3.569946時(shí)，x的值不再進(jìn)入振蕩，它們會(huì)變成混沌。下面解釋一下。將x0, x1, x2……的值組成的序列稱為x的軌道。在產(chǎn)生混沌的R值，讓兩條軌道從非常接近的x0值出發(fā)，結(jié)果不會(huì)收斂到同一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)或周期振蕩，相反它們會(huì)逐漸發(fā)散開。在R=3.569946時(shí)，發(fā)散還很慢，但如果將R設(shè)為4.0，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)軌道極為敏感地依賴于x0。我們先將x0設(shè)為0.2，對邏輯斯蒂映射進(jìn)行迭代，得到一條軌道。然后細(xì)微地變動(dòng)一下x0，讓x0=0.2000000001，再對邏輯斯蒂映射進(jìn)行迭代，得到第二條軌道。圖2.14中的實(shí)心圓圈連成的實(shí)線就是第一條軌道，空心圓圈連成的虛線則是第二條軌道。

這兩條軌道開始的時(shí)候很接近（非常接近，以至于實(shí)線軌道把虛線軌道都蓋住了），但在大約30次迭代之后，它們明顯分開了，很快就不再具有相關(guān)性。這就是“對初始條件的敏感依賴性”的由來。

我們已經(jīng)看到有三種不同的最終狀態(tài)（吸引子）：不動(dòng)點(diǎn)、周期和混沌（混沌吸引子有時(shí)候也稱為“奇怪吸引子”）。吸引子的類型是動(dòng)力系統(tǒng)理論刻畫系統(tǒng)行為的一種方式。

我們再仔細(xì)來看看混沌行為到底有多不尋常。邏輯斯蒂映射極為簡單，并且完全是確定性的：每個(gè)xt值都有且僅有一個(gè)映射值xt+1。然而得到的混沌軌道看上去卻非常隨機(jī)——事實(shí)上邏輯斯蒂映射還被用來在計(jì)算機(jī)中生成偽隨機(jī)數(shù)。因此，表面上的隨機(jī)可以來自非常簡單的確定性系統(tǒng)。

此外，對于產(chǎn)生混沌的R值，如果初始條件x0有任何的不確定性，對一定時(shí)間之后的軌道就無法再預(yù)測了。R=4時(shí)我們已經(jīng)看到這種狀況。如果我們對x0不能精確到小數(shù)點(diǎn)后第10位——大多數(shù)實(shí)驗(yàn)觀察都做不到這么精確——那么大約在t=30時(shí)，xt的值就無法預(yù)測了。對于任何能產(chǎn)生混沌的R值，只要x0有不確定性，不管精確到小數(shù)點(diǎn)后多少位，最終都會(huì)在t大于某個(gè)值時(shí)變得無法預(yù)測。

數(shù)學(xué)生物學(xué)家梅對這些驚人的特性進(jìn)行了總結(jié)，與龐加萊遙相呼應(yīng)：

簡單的確定性方程（1）（即邏輯斯蒂映射）能產(chǎn)生類似于隨機(jī)噪聲的確定性軌道，這個(gè)事實(shí)有著讓人困擾的實(shí)際含義。例如，這就意味著種群調(diào)查數(shù)據(jù)中那種明顯的不穩(wěn)定波動(dòng)不一定表明環(huán)境的變化莫測或是采樣有錯(cuò)誤：它們有可能就是像方程（1）這樣完全確定性的種群數(shù)量變化關(guān)系所導(dǎo)致的……另外，還可以看到，在混沌中，不管初始條件有多接近，在足夠長的時(shí)間之后，它們的軌道還是會(huì)相互分開。這意味著，即使我們的模型很簡單，所有的參數(shù)也都完全確定，長期預(yù)測也仍然是不可能的。

簡而言之，系統(tǒng)存在混沌也就意味著，拉普拉斯式的完美預(yù)測不僅在實(shí)踐中無法做到，在原則上也是不可能的，因?yàn)槲覀冇肋h(yuǎn)也無法知道x0小數(shù)點(diǎn)后的無窮多位數(shù)值。這是一個(gè)非常深刻的負(fù)面結(jié)論，它與量子力學(xué)一起，摧毀了19世紀(jì)以來的樂觀心態(tài)——認(rèn)為牛頓式宇宙就像鐘表一樣沿著可預(yù)測的路徑運(yùn)行。

但是對邏輯斯蒂映射的研究是不是也會(huì)產(chǎn)生一些正面作用呢？對于試圖發(fā)現(xiàn)隨時(shí)間變化的系統(tǒng)的一般原則的動(dòng)力系統(tǒng)理論，它能有所助益嗎？事實(shí)上，對邏輯斯蒂等映射的深入研究也已經(jīng)得到了同樣深刻的正面結(jié)果——從中發(fā)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的普遍特征。

混沌的共性

最早用術(shù)語混沌來描述對初始條件具有敏感依賴性的動(dòng)力系統(tǒng)的人是物理學(xué)家李天巖（T. Y. Li）和約克（James Yorke）。這個(gè)詞用得恰到好處：在口語中“混沌”一詞意指隨機(jī)和不可預(yù)測，在邏輯斯蒂映射的混沌中就有這些性質(zhì)。然而，與口語中的混沌不同，數(shù)學(xué)混沌還有本質(zhì)上的秩序，即很多混沌系統(tǒng)所共有的普適性。

第一條普適性質(zhì)：通往混沌的倍周期之路

在前面的數(shù)學(xué)探討中，我們看到隨著R從2.0增大到4.0，邏輯斯蒂迭代最初會(huì)產(chǎn)生不動(dòng)點(diǎn)，然后是2周期振蕩，然后是4周期，然后是8周期，一直下去，直到出現(xiàn)混沌。在動(dòng)力系統(tǒng)理論中，這些突然的周期倍增被稱為分叉（bifurcation）。不斷分叉直至混沌的過程就是“通往混沌的倍周期之路”。

我們經(jīng)常用分叉圖來表現(xiàn)分叉，分叉圖是“控制參數(shù)”（比如R）和系統(tǒng)吸引子之間的函數(shù)關(guān)系。圖2.15就是邏輯斯蒂映射的分叉圖。橫坐標(biāo)為R，縱坐標(biāo)是各R值對應(yīng)的x的最終值（吸引子）。例如，R=2.9時(shí)，x會(huì)到達(dá)固定點(diǎn)吸引子x=0.655。R=3.0時(shí)，x會(huì)到達(dá)雙周期吸引子。這就是圖中第一個(gè)分叉點(diǎn)，不動(dòng)點(diǎn)吸引子換成了雙周期吸引子。在3.4和3.5之間，又分叉為4周期吸引子，后面不斷周期倍增，直至R到達(dá)3.569946附近，開始出現(xiàn)混沌的發(fā)端（onset of chaos）。

通往混沌的倍周期之路有著悠久的歷史。早在20世紀(jì)20年代，就在數(shù)學(xué)方程中發(fā)現(xiàn)了倍周期分叉，20世紀(jì)50年代芬蘭數(shù)學(xué)家米爾堡（P. J. Myrberg）描述了類似的連續(xù)分叉。洛斯阿拉莫斯國家實(shí)驗(yàn)室的梅特羅波利斯、保羅·斯坦和米隆·斯坦證明，倍周期之路并不是只有邏輯斯蒂映射才有，事實(shí)上任何拋物線形狀的映射都有類似現(xiàn)象。這里“拋物線形狀”意指映射的圖形有一個(gè)隆起——用數(shù)學(xué)術(shù)語說就是“單峰（unimodal）”。

第二條普適性質(zhì)：費(fèi)根鮑姆常數(shù)

到20世紀(jì)70年代，物理學(xué)家費(fèi)根鮑姆（圖2.16）的發(fā)現(xiàn)讓倍周期之路得以在數(shù)學(xué)界聞名。費(fèi)根鮑姆用一臺(tái)可編程的臺(tái)式計(jì)算器算出了倍周期分叉點(diǎn)的R值表（其中“≈”表示“約等于”）：

R1≈3.0

R2≈3.44949

R3≈3.54409

R4≈3.564407

R5≈3.568759

R6≈3.569692

R7≈3.569891

R8≈3.569934

…

R∞≈3.569946

這里R1對應(yīng)周期21（=2）, R 2對應(yīng)周期22（= 4）, Rn對應(yīng)周期2n。符號∞（“無窮大”）用來標(biāo)志混沌的出現(xiàn)——周期為無窮大的軌道。

費(fèi)根鮑姆注意到，隨著周期增大，R值之間的距離越來越近。這意味著隨著R的增大，分叉之間的間隔越來越短。在圖2.15的分叉圖中可以看到這一點(diǎn)。費(fèi)根鮑姆用這些R值計(jì)算了分叉靠近的速度，也就是R值的收斂速度。他發(fā)現(xiàn)速度約等于常數(shù)4.6692016。這意味著隨著R值增加，新的周期倍增比前面的周期倍增出現(xiàn)的速度快大約4.6692016倍。

這很有趣，但還不至于讓人震驚。當(dāng)費(fèi)根鮑姆研究了其他一些映射后——邏輯斯蒂只是研究過的映射之一——事情變得更有趣了。我在前面提到，在費(fèi)根鮑姆進(jìn)行這些計(jì)算之前的幾年，他在洛斯阿拉莫斯的同事梅特羅波利斯、保羅·斯坦和米隆·斯坦就證明了所有單峰映射都會(huì)有類似的倍周期現(xiàn)象。費(fèi)根鮑姆下一步做的就是計(jì)算其他單峰映射的收斂速度。他先算了正弦映射，正弦映射與邏輯斯蒂映射相似，不過用的是正弦函數(shù)。

費(fèi)根鮑姆重復(fù)了前面的步驟：計(jì)算正弦映射的倍周期分叉點(diǎn)的R值，然后計(jì)算這些值的收斂速度。他發(fā)現(xiàn)收斂速度為4.6692016。

費(fèi)根鮑姆很吃驚，速度是一樣的。他又檢驗(yàn)了其他單峰映射，結(jié)果還是一樣。所有人，包括費(fèi)根鮑姆自己，都根本沒有想到會(huì)是這樣。發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)果后，費(fèi)根鮑姆接著又從理論上解釋了為何常數(shù)4.6692016具有普適性——對所有單峰映射都成立。這個(gè)數(shù)現(xiàn)在被稱為費(fèi)根鮑姆常數(shù)。常數(shù)的理論解釋使用了一種復(fù)雜的數(shù)學(xué)技巧——重正化（renormalization）。重正化最初是從量子力學(xué)中發(fā)展出來，后來又被應(yīng)用到另一個(gè)物理學(xué)領(lǐng)域：相變和其他“臨界現(xiàn)象”的研究。費(fèi)根鮑姆將其引入了動(dòng)力系統(tǒng)理論，并成為理解混沌的基石。

后來發(fā)現(xiàn)這并不僅僅是數(shù)學(xué)現(xiàn)象。費(fèi)根鮑姆做出這個(gè)發(fā)現(xiàn)之后，他的理論在多個(gè)物理動(dòng)力系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)中得到了證實(shí)，包括流體、電路、激光和化學(xué)反應(yīng)。在這些系統(tǒng)中都發(fā)現(xiàn)了倍周期分叉，也用類似的方法計(jì)算了費(fèi)根鮑姆常數(shù)。在這些實(shí)驗(yàn)中很難準(zhǔn)確測量分叉點(diǎn)的R值，但即使這樣，實(shí)驗(yàn)得到的費(fèi)根鮑姆常數(shù)也仍然在接近4.6692016的誤差范圍之內(nèi)。這很讓人印象深刻，因?yàn)橘M(fèi)根鮑姆的理論在算出這個(gè)數(shù)時(shí)只涉及數(shù)學(xué)，沒涉及物理。正如費(fèi)根鮑姆的同事卡達(dá)諾夫（Leo Kadanoff）所說的，這是“一個(gè)科學(xué)家所能遇到的最好的事情，頭腦中想到的東西在自然界中得到了完美的印證”。

氣象這樣的大尺度的系統(tǒng)很難直接做實(shí)驗(yàn)，因此沒有人在大尺度系統(tǒng)中直接觀察到倍周期分叉或混沌。不過，一些氣象計(jì)算機(jī)模型卻表現(xiàn)出了通往混沌的倍周期之路，另外電力系統(tǒng)、心臟、行星等系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)模型中也有類似發(fā)現(xiàn)。

關(guān)于這個(gè)故事還有一件讓人吃驚的事情。同許多重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)一樣，幾乎在費(fèi)根鮑姆做出他的發(fā)現(xiàn)同時(shí)，另一個(gè)研究小組也獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了這個(gè)規(guī)律。這個(gè)小組是法國科學(xué)家科雷特（Pierre Coullet）和特雷瑟（Charles Tresser），他們也用重正化技術(shù)研究了倍周期分叉，并且發(fā)現(xiàn)了單峰映射的普適常數(shù)4.6692016。費(fèi)根鮑姆也許的確是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)者，并且向科學(xué)界廣泛而清晰地傳播了這個(gè)結(jié)果，所以這個(gè)成就大部分被歸功于他。不過在許多科技文獻(xiàn)中，也稱這個(gè)理論為“費(fèi)根鮑姆—科雷特—特雷瑟理論”，稱費(fèi)根鮑姆常數(shù)為“費(fèi)根鮑姆—科雷特—特雷瑟常數(shù)”。在書中還有幾個(gè)這樣的例子，都是在思想條件成熟時(shí)同時(shí)獨(dú)立做出發(fā)現(xiàn)。

混沌思想帶來的革命

在這一章我們看到，混沌的發(fā)現(xiàn)使得科學(xué)的許多核心原則被重新加以思考。這里我總結(jié)一下這些新思想，19世紀(jì)的科學(xué)家?guī)缀鯖]人會(huì)相信這些。

◆看似混沌的行為有可能來自確定性系統(tǒng)，無須外部的隨機(jī)源。

◆一些簡單的確定性系統(tǒng)的長期變化，由于對初始條件的敏感依賴性，即使在原則上也無法預(yù)測。

◆雖然混沌系統(tǒng)的具體變化無法預(yù)測，在大量混沌系統(tǒng)的普適共性中卻有一些“混沌中的秩序”，例如通往混沌的倍周期之路，以及費(fèi)根鮑姆常數(shù)。因此雖然在細(xì)節(jié)上“預(yù)測變得不可能”，但在更高的層面上混沌系統(tǒng)卻是可以預(yù)測的。

總的來說，變化、難以預(yù)測的宏觀行為是復(fù)雜系統(tǒng)的標(biāo)志。動(dòng)力系統(tǒng)理論為刻畫其行為提供了數(shù)學(xué)詞匯表，例如分叉、吸引子以及系統(tǒng)變化方式的普適特性。這些詞匯在復(fù)雜系統(tǒng)的研究中頻繁出現(xiàn)。

邏輯斯蒂映射是種群數(shù)量增長的簡化模型，但是對其以及類似模型的詳細(xì)研究卻帶來了對秩序、隨機(jī)和可預(yù)測性的重新認(rèn)識(shí)。這證明了理想模型（idea models）的力量——這些模型很簡單，用數(shù)學(xué)或計(jì)算機(jī)就足以進(jìn)行研究，但是又抓住了自然界復(fù)雜系統(tǒng)的本質(zhì)。理想模型在這本書中，乃至整個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)中都扮演了重要角色。

刻畫復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)還只是理解它的第一步。我們還要理解這些動(dòng)力系統(tǒng)如何被用在生命系統(tǒng)中以處理信息和適應(yīng)環(huán)境變化。后三章會(huì)針對這些主題給出一些背景知識(shí)，然后我們再來看看從動(dòng)力學(xué)中得到的思想如何與信息論、計(jì)算和進(jìn)化結(jié)合起來。