3.1　梁的力學(xué)計(jì)算

通過(guò)學(xué)習(xí)本節(jié)四合院大門的力學(xué)計(jì)算，你將能夠：

1）掌握梁的尺寸和材料；

2）了解結(jié)構(gòu)的邊界條件；

3）清楚梁常見的受荷情況；

4）學(xué)會(huì)手工計(jì)算和軟件計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力。

3.1.1　矩形梁的尺寸和材料

如圖3-3所示，矩形梁是一個(gè)長(zhǎng)方體，截面尺寸b×h，長(zhǎng)L。

鋼筋混凝土梁包含兩種材料：混凝土和鋼筋。

3.1.2　梁的邊界條件

一個(gè)結(jié)構(gòu)由節(jié)點(diǎn)和構(gòu)件組成，如圖3-4所示，框架有3個(gè)節(jié)點(diǎn)：①、②和③，有3個(gè)構(gòu)件：柱A、斜桿B和梁C。

一個(gè)結(jié)構(gòu)每個(gè)節(jié)點(diǎn)有6個(gè)位移變量即6個(gè)自由度：3個(gè)平移uj、vj和wj，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)θx、θy和θz，邊界條件指的是對(duì)節(jié)點(diǎn)和桿件端部位移的指定。

一個(gè)結(jié)構(gòu)的邊界條件可分解為兩部分：支座邊界條件和構(gòu)件邊界條件。支座邊界條件用于指定節(jié)點(diǎn)的位移，構(gòu)件邊界條件用于規(guī)定構(gòu)件端部與節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系：剛接或鉸接。

如圖3-4，節(jié)點(diǎn)①的邊界條件為嵌固，節(jié)點(diǎn)①的XYZ平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)位移為零，柱A下端與節(jié)點(diǎn)①剛接，柱A下端彎矩不為零，斜桿B下端與節(jié)點(diǎn)①鉸接，斜桿下端可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，下端彎矩為零。

如圖3-2組成的門，梁兩端和柱上下端與節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系為剛接，柱下端節(jié)點(diǎn)位移為零。

3.1.3　梁的荷載

梁的荷載（圖3-5）通常來(lái)源于4個(gè)方面：

1）梁本身自重的均布荷載；

2）梁上物體自重的均布荷載；

3）交叉梁的集中力；

4）板荷載。

四合院大門梁的荷載包括梁本身自重和門頂上裝飾物的自重。

3.1.4　梁的位移和內(nèi)力計(jì)算

結(jié)構(gòu)力學(xué)中位移法可求解靜定和超靜定結(jié)構(gòu)的位移和構(gòu)件的內(nèi)力，是最常用的計(jì)算方法。梁端節(jié)點(diǎn)位移包括：3個(gè)平移uj、vj和wj，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)θx、θy和θz。梁內(nèi)力包括：左中右端的彎矩My、左右端的剪力Vz，扭矩T。

位移法求解分為3個(gè)步驟：

1）根據(jù)構(gòu)件端的力和位移平衡方程，形成單元?jiǎng)偠群秃奢d項(xiàng)；

2）組集總體剛度和總體等效荷載，形成整個(gè)結(jié)構(gòu)位移方程，求節(jié)點(diǎn)位移；

3）位移回代構(gòu)件端的力和位移平衡方程，求構(gòu)件內(nèi)力。

3.1.4.1　空間三維桿單元的單元?jiǎng)偠?/span>

柱、梁及支撐（包括斜柱、斜梁等）均為一維構(gòu)件，采用三維桿單元來(lái)計(jì)算。

單元局部坐標(biāo)系如圖3-6所示。

如上圖假定在i端的內(nèi)力及位移為：

則單元的平衡方程為：

{F}e=[K]e{δ}e

　　

式中　L——桿件長(zhǎng)；

A——截面面積，矩形截面等于b×h；

E——彈性模量；

G——剪切模量；

μ——泊松比，對(duì)于混凝土材料為0.2；

Ix，Iy，Iz——桿件繞x，y，z軸慣性矩；

b——截面寬；

h——截面高；

β——截面短邊與長(zhǎng)邊之比；

μy，μz——剪切不均勻系數(shù)；

φy，φz——剪切影響系數(shù)。

為方便手工計(jì)算，不考慮剪切不均勻系數(shù)，剪切影響系數(shù)φy=φz=0時(shí)，得到如下簡(jiǎn)化公式：

3.1.4.2　桿單元的等效荷載

桿單元兩端嵌固，根據(jù)材料力學(xué)公式，把桿上荷載轉(zhuǎn)化為等效節(jié)點(diǎn)荷載。

等效節(jié)點(diǎn)荷載按如表3-1求解，等效節(jié)點(diǎn)荷載正負(fù)號(hào)與支座反力相反。

3.1.4.3　邊界條件的處理

位移法處理邊界條件的方法是用如下凝聚方法去掉有關(guān)的自由度。邊界條件包括：

1）構(gòu)件與節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系，如鉸接；

2）節(jié)點(diǎn)的位移。

何時(shí)處理？

1）構(gòu)件與節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系凝聚在局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠戎羞M(jìn)行；

2）節(jié)點(diǎn)的位移在總體坐標(biāo)下的總體剛度中進(jìn)行。

凝聚方法如下：

Ku=R

或以下標(biāo)符方式表示為：

如果某一個(gè)特定位移un是已知的和已被指定，它的對(duì)應(yīng)荷載或反力Rn則是未知的。因此，N-1階平衡方程將寫成：

或簡(jiǎn)化為：

δ2為邊界條件有關(guān)的位移，凝聚過(guò)程寫成矩陣形式如下：

展開如下：

K11δ1+K12δ2=R1

K21δ1+K22δ2=R2

　　

　　

　　

若指定的節(jié)點(diǎn)位移為零，此節(jié)點(diǎn)位移對(duì)應(yīng)的方程可在位移求解中扔掉，減少方程個(gè)數(shù)，方便求解。

3.1.4.4　局部到整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣

節(jié)點(diǎn)位移描述是在總體坐標(biāo)下的，總剛也應(yīng)是總體坐標(biāo)下的，而單剛是建立在局部坐標(biāo)系下的，所以單剛組集到總剛前要從局部坐標(biāo)變換到總體坐標(biāo)，梁、柱的局部坐標(biāo)與結(jié)構(gòu)的整體坐標(biāo)系之間關(guān)系如圖3-7所示。

其中

3.1.4.5　結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣及結(jié)構(gòu)整體平衡方程

在結(jié)構(gòu)的整體坐標(biāo)系，構(gòu)件單元的平衡方程可寫成：

式中　[Ki]、{δi}、{Fi}——在整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚒⑽灰葡蛄亢凸?jié)點(diǎn)內(nèi)力向量。

[Ki]、{δi}和{Fi}與局部坐標(biāo)下的[Ki]e、{δi}e和{Fi}e的關(guān)系如下：

式中　[T]——由局部坐標(biāo)到結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。

按照剛度疊加原則，可得到結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣[K]及相應(yīng)的整體平衡方程：

[K][δ]=[P]

3.1.4.6　構(gòu)件的內(nèi)力計(jì)算

在求得結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)下的位移向量[δ]后，對(duì)于柱、梁、支撐等構(gòu)件，按照各桿端對(duì)應(yīng)的自由度號(hào)取出各桿端位移{δi}，然后，可按下式求出左右端位移產(chǎn)生的桿左右端內(nèi)力中部線性插值：

[Fi]e=[Ki]e[T]{δi}

再疊加左右端嵌固下按材料力學(xué)的解析公式求解的各截面的內(nèi)力。

構(gòu)件各截面的內(nèi)力=端部位移產(chǎn)生的內(nèi)力+荷載左右端嵌固下的內(nèi)力。

左右端嵌固下按材料力學(xué)的解析公式如表3-1求解。

3.1.4.7　手工計(jì)算梁的內(nèi)力

幾何：柱截面尺寸b×h=400×400（mm2），柱高H=3000mm，梁截面尺寸，b×h=200×500（mm2），梁長(zhǎng)L=4000mm；

荷載：容重25kN/m3，梁上均布恒載10kN/m；

材料：柱梁混凝土等級(jí)C30，鋼筋強(qiáng)度360N/mm2。

計(jì)算梁左右端彎矩和左右端剪力。

為方便計(jì)算，將所有計(jì)算單位換算成標(biāo)準(zhǔn)單位，其中尺寸為m，荷載為kN。

查表得C30混凝土：

（1）求解梁局部坐標(biāo)下剛度矩陣

A=0.2×0.5=0.1（m2）

β=0.2/0.5=0.4

　　

　　

　　

將C1～C10代入單剛，得到梁局部坐標(biāo)下剛度矩陣（位移單位為mm）：

（2）求解柱局部坐標(biāo)下剛度矩陣

A=0.4×0.4=0.16（m2）

β=0.4/0.4=1

　　

　　

　　

將C1～C10代入單剛，得到柱局部坐標(biāo)下剛度矩陣（位移單位為mm）：

（3）求解梁局部坐標(biāo)下等效荷載

梁身自重荷載可以等效為均布線荷載：ρA=25×0.1=2.5（kN/m），加上梁上荷載10kN/m，則梁總荷載為12.5kN/m，查表3-1均載公式，可得梁等效荷載如下：

NA=NB=0kN

RA=RB=-12.5×4/2=-25（kN）

MA=12.5×42/12=16.666667（kN·m）

MB=-MA=-16.666667（kN·m）

根據(jù)圖3-6，圖中桿兩端i，j下標(biāo)分別對(duì)應(yīng)上式的A，B下標(biāo)。其中彎矩要按照右手法則判定：四指繞彎矩旋轉(zhuǎn)方向，大拇指方向?yàn)閺澗胤较颉Ｗ⒁馊艉奢d方向與坐標(biāo)系方向相反要乘以-1。因此得到Fx=0，Fy=0，Fz=-25；Mx=0，My=0，Mz=16.6666667，桿件的等效荷載可以展開為

（4）求解柱局部坐標(biāo)下等效荷載

柱身自重荷載按照等效為柱上下段各一半荷載：ρAH=25×0.16×3/2=6（kN/m）。對(duì)于柱而言，i段為下端，j端為上端，可得柱等效荷載如下：

（5）求解局部坐標(biāo)與總體坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換矩陣

梁局部坐標(biāo)與總體坐標(biāo)相同，剛度和等效荷載不需要變換。柱局部坐標(biāo)與總體坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換矩陣如圖3-8所示。

[T]T[K][T]相當(dāng)于每3行中，第2行和第3行往前移，第1行放在第3行，每3列中，第2和第3列往前移，第1列放在第3列。

柱整體坐標(biāo)下剛度矩陣如下：

柱整體坐標(biāo)下等效荷載如下：

{F}={0，0，-6，0，0，0，0，0，-6，0，0，0}

（6）處理節(jié)點(diǎn)嵌固邊界條件

節(jié)點(diǎn)編號(hào)①②③④如圖3-9所示，節(jié)點(diǎn)位移為零的編在最后，組集總剛時(shí)③④節(jié)點(diǎn)的剛度和荷載項(xiàng)可直接扔掉，每個(gè)節(jié)點(diǎn)6個(gè)自由度，現(xiàn)總共剩下12個(gè)自由度。

組集總剛度時(shí)，將柱頂?shù)娜缦聞偠扰c梁剛度相加，其他剛度扔掉。

（7）組集總剛度

組集后的總剛度矩陣如下：

（8）處理門平面外位移為零邊界條件

總體坐標(biāo)Y方向荷載為零，位移為零，直接扔掉①②節(jié)點(diǎn)Y向平動(dòng)、X向轉(zhuǎn)動(dòng)和Z向轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的剛度和荷載項(xiàng)，現(xiàn)總共剩下6個(gè)自由度：①節(jié)點(diǎn)X向平動(dòng)u1、Z向平動(dòng)w1和Y向轉(zhuǎn)動(dòng)θ1、②節(jié)點(diǎn)X向平動(dòng)u2、Z向平動(dòng)w2和Y向轉(zhuǎn)動(dòng)θ2。

得到如下6個(gè)變量的剛度：

{F}={0，0，-31，0，16.666667，0，0，0，-31，0，-16.666667，0}

（9）求得①②節(jié)點(diǎn)位移

u1=0.004mm，w1=-0.019mm，θ1=0.00014弧度

u2=-0.004mm，w2=-0.019mm，θ2=-0.00014弧度

（10）求得梁左右端彎矩和左右端剪力

根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求得梁左右端彎矩和左右端剪力如下：

M1=4.375kN·m，M2=4.375kN·m，V1=0kN，V2=0kN

根據(jù)梁荷載按固端求得梁左右端彎矩和左右端剪力如下：

M1=-16.667kN·m，M2=-16.667kN·m，V1=25kN，V2=-25kN

疊加后，梁左右端彎矩和左右端剪力如下：

M1=-12.292kN·m，M2=-12.292kN·m，V1=25kN，V2=-25kN

3.1.4.8　上機(jī)計(jì)算梁的內(nèi)力

啟動(dòng)廣廈結(jié)構(gòu)CAD軟件，出現(xiàn)下圖廣廈結(jié)構(gòu)CAD主控菜單（圖3-10），點(diǎn)擊[新建工程]，在彈出對(duì)話框中選擇要存放工程的文件夾，并輸入新的工程名：C：\GSCAD\EXAM\高校\梁.prj。

點(diǎn)擊[圖形錄入]，進(jìn)入錄入系統(tǒng)，圖3-11中標(biāo)示了圖形錄入各功能區(qū)的意義。

在圖3-11圖形錄入中點(diǎn)擊菜單[結(jié)構(gòu)信息]-[GSSAP總體信息]，在彈出的GSSAP總體信息對(duì)話框中共有6頁(yè)。如圖3-12所示對(duì)話框?yàn)榭傂畔㈨?yè)，填寫參數(shù)如下：

[結(jié)構(gòu)計(jì)算總層數(shù)]填1，[梁柱重疊部分簡(jiǎn)化為剛域]填0；其余參數(shù)按默認(rèn)值考慮。

切換到調(diào)整信息，如圖3-13，填寫[梁端彎矩調(diào)幅系數(shù)]為1，其余參數(shù)不需修改。

切換到材料信息，如圖3-14填寫[砼構(gòu)件的容重]為25，所有鋼筋強(qiáng)度為360N/mm2，其余參數(shù)不需修改。

點(diǎn)擊[確定]按鈕保存GSSAP總體信息的修改。

點(diǎn)擊菜單[結(jié)構(gòu)信息]-[各層信息]，按圖3-15輸入層幾何信息。其中層高為3m。然后切換到層材料信息（圖3-16），輸入[剪力墻柱砼等級(jí)]和[梁砼等級(jí)]為C30。

點(diǎn)擊屏幕菜單[軸網(wǎng)、輔助線和軸線]-[正交軸網(wǎng)]，在如圖3-17所示對(duì)話框中輸入上開間和左進(jìn)深都是4000mm，點(diǎn)擊[確定]關(guān)閉對(duì)話框。

然后在繪圖區(qū)點(diǎn)擊選擇一個(gè)定位點(diǎn)，輸入一個(gè)軸網(wǎng)。輸入效果如圖3-18所示。

點(diǎn)擊屏幕菜單[柱1]-[軸點(diǎn)建柱]，再點(diǎn)擊參數(shù)窗口，彈出如圖3-19所示柱截面對(duì)話框。在對(duì)話框中輸入截面寬B=400mm，高H=400mm，角度0，點(diǎn)擊[確定]關(guān)閉對(duì)話框。

然后選擇繪制的軸網(wǎng)交點(diǎn)，布置兩個(gè)柱，輸入效果如圖3-20所示。

點(diǎn)擊屏幕菜單[梁1]-[軸線主梁]，再點(diǎn)擊參數(shù)窗口，彈出如圖3-21所示梁截面對(duì)話框。在對(duì)話框中輸入截面寬B=200mm，高H=500mm，偏心=0，點(diǎn)擊[確定]關(guān)閉對(duì)話框。

然后點(diǎn)擊剛才繪制的兩個(gè)柱之間的軸線，布置一條梁，輸入效果如圖3-22所示。

點(diǎn)擊屏幕菜單[梁荷載菜單]-[加梁荷載]，然后點(diǎn)擊參數(shù)窗口，彈出如圖3-23所示梁荷載對(duì)話框。選擇荷載類型為均布荷載；選擇荷載方向?yàn)橹亓Ψ较颍痪己奢dq=10kN；選擇工況為重力恒載，點(diǎn)擊[確認(rèn)]關(guān)閉對(duì)話框。計(jì)算程序會(huì)自動(dòng)計(jì)算梁的自重，不需要另外輸入。

在繪圖區(qū)點(diǎn)擊剛才輸入的梁，布置的梁荷載，如圖3-24所示。

在圖3-25中點(diǎn)擊工具欄1[保存]按鈕，保存模型。點(diǎn)擊工具欄2中的[生成GSSAP數(shù)據(jù)]按鈕，生成計(jì)算數(shù)據(jù)。然后關(guān)閉圖形錄入。

在圖3-26主控菜單點(diǎn)擊[樓板、磚混和次梁計(jì)算]，進(jìn)入以后直接退出。

在主控菜單點(diǎn)擊[通用計(jì)算GSSAP]，計(jì)算完畢后點(diǎn)擊[退出]按鈕關(guān)閉計(jì)算程序。

在主控菜單點(diǎn)擊[圖形方式]，進(jìn)入圖形方式。

如圖3-27，點(diǎn)擊左側(cè)工具欄[三維位移]，在彈出的對(duì)話框中選擇工況為恒載，選擇顯示方式為靜態(tài)，鼠標(biāo)移動(dòng)到繪圖區(qū)中顯示的柱頂，則軟件會(huì)如圖3-27所示顯示柱頂位移。與手工計(jì)算結(jié)果一致。

如圖3-28，點(diǎn)擊左側(cè)工具欄[梁內(nèi)力]，在彈出的對(duì)話框中選擇[單工況內(nèi)力]-[恒載]，可查得軟件梁的內(nèi)力結(jié)果，其中梁上文字為梁左中右的彎矩值+梁軸力；梁下文字為梁左、右端剪力。與手工計(jì)算結(jié)果基本一致，因軟件計(jì)算考慮了截面的剪切不均勻和梁柱剛域影響，在小數(shù)位上會(huì)有一點(diǎn)誤差。