第一章　四數(shù)數(shù)獨的樂趣

數(shù)獨作為一種益智游戲，起源于18世紀末的瑞士。20世紀70年代，在美國、日本得以發(fā)展，近些年來，在我國開始流行。

數(shù)獨的種類很多，先從最簡單的四數(shù)填數(shù)字游戲開始，帶大家走進有趣又好玩的數(shù)獨世界。

一、有趣的四數(shù)數(shù)獨游戲

例題1.1

下面是一個4×4的表格，由16個格構成，橫向連續(xù)排列的4個格組成一行，豎向連續(xù)排列的4個格構成一列，粗線條內的2×2四個格構成一個大格。請在空格中填上數(shù)字1或2或3或4，要求其中的每一行、每一列以及每一個大格中的數(shù)字都不重復。

該如何解決這個問題呢？

初學者容易在遇到解題困難時采用猜測的方法，就是將某一個數(shù)字用猜測的方法強行填入到某一個格中，直到出現(xiàn)矛盾，再返回修改猜測的步驟。運氣好的時候也許會猜對一次吧，但是，這種方法背離了周密觀察及嚴謹推理的宗旨，本書并不提倡。

還是從游戲規(guī)則入手進行分析，即每一行、每一列以及每一個大格內的數(shù)字不重復，只要符合規(guī)則的結果就予以保留，只要和規(guī)則矛盾的結果都予以舍棄。

第1步：下面左側表格中，注意標記“？”的空格所在的行、列和大格（陰影部分）。

“？”空格所在的行中已經出現(xiàn)了數(shù)字2和4，因為每一行中的數(shù)字不重復，所以，這個“？”空格的值已經排除了數(shù)字2和4的可能性。

同樣的道理，“？”空格中也不可能是數(shù)字3，因為“？”空格所在的列中已經出現(xiàn)了數(shù)字3。

既然“？”空格的數(shù)字既不是2和4，也不是3，那只能是1了。

這個尋找“？”空格中的數(shù)字的過程就是對空格的同一行、同一列以及同一個大格中已經出現(xiàn)的數(shù)字進行點算，如果點算發(fā)現(xiàn)1、2、3、4中已經出現(xiàn)了三個數(shù)字，未出現(xiàn)的數(shù)字只剩下一個數(shù)字時，這個數(shù)字就是該空格中的數(shù)字。

第2步：注意觀察下面左側表格中“？”空格所在的行（陰影部分），該行就差這個“？”空格就被填滿了，出現(xiàn)的三個數(shù)字是1、2和4，根據(jù)一行中數(shù)字不重復的規(guī)則，“？”空格處的數(shù)字是3。

當某一行中只剩下唯一的一個空格沒有填入數(shù)字時，說明該行已經出現(xiàn)了三個數(shù)字了，只有一個數(shù)字未出現(xiàn)。因此，這個空格中的數(shù)字就是該行中唯一未出現(xiàn)的數(shù)字。

第3步：觀察下面左側表格中“？”空格所在的大格以及行和列（陰影部分），點算后得到唯一未出現(xiàn)的數(shù)字是2。

第4步：同理，還可以得到第二行最右一個空格的數(shù)字是4。

第5步：注意觀察下面左側表格中陰影所在的大格，僅差一個空格就可以被填滿，因此，“？”空格中的數(shù)字是3。

第6步：同理，右上的大格中，唯一一個空格中的數(shù)字是1。

第7步：同理，最左邊一列中，唯一一個空格中的數(shù)字是4。

第8步：同理，最右邊一列中，唯一一個空格中的數(shù)字是2。

第9步：注意觀察下面左側表格中“？”空格所在的行、列和大格（陰影部分），點算已經出現(xiàn)的數(shù)字，顯然，“？”空格中的數(shù)字是2。

第10步：注意觀察下面左側表格中陰影所在的列，“？”空格中的數(shù)字是1。

第11、第12步：同理，最后余下的兩格中的數(shù)字分別是3和4。

例題1.1中這種類型的填數(shù)字游戲就是四數(shù)數(shù)獨。

二、四數(shù)數(shù)獨及其術語

結合對例題的觀察，得知四數(shù)數(shù)獨的游戲盤面是一個4×4的表格，由16個格構成。

水平方向排列的4個格組成行；垂直方向排列的4個格組成列；粗線條內的2×2四個格組成一大格，稱這個大格為宮。

有時候，為了方便起見，將行、列和宮都統(tǒng)一稱為單元。

如圖1.1（a）所示，本書中規(guī)定：

行用R1、R2、R3、R4來表示，例如R1表示第一行；列用C1、C2、C3、C4來表示，例如C1表示第一列；宮用第一宮、第二宮、第三宮、第四宮表示。

為了描述方便，格的坐標用它所在的行號和列號來表示，如圖1.1（b）所示，格X的坐標可以記做R2C2。

四數(shù)數(shù)獨的規(guī)則就是：在游戲盤面上的空格中，填上數(shù)字1或2或3或4，要求其中的每一行、每一列以及每一宮內的數(shù)字不重復。

每一個單元（行或列或宮）內都只有四個格，而數(shù)字也只有四個，數(shù)字不重復的意義就在于：每個單元內每個數(shù)字都會出現(xiàn)并且僅能出現(xiàn)一次。

當盤面中16個格全部都是空格時，排列組合的數(shù)目將非常繁多，如果將盤面上的空格全部填入數(shù)字，并且不違反游戲規(guī)則，這樣形成的盤面稱為最終盤面，也可以簡稱為終盤。

四數(shù)數(shù)獨習題都會在盤面的部分格中給定數(shù)字，稱為提示數(shù)，提示數(shù)的功能就是作為解題的線索和初始條件，對于標準的四數(shù)數(shù)獨習題，終盤解是唯一的。

剛剛開始一道四數(shù)數(shù)獨習題時，只借助于提示數(shù)進行推理，得到的盤面的某空格中的數(shù)字解，稱為首解。

下面，再介紹一個對于解決數(shù)獨習題而言非常重要的概念。

如圖1.2所示，當盤面中的某一格與格A同屬于一行，或者同屬于一列，或者同屬于一個宮，就稱這個格是格A的同位格，將格A的全部同位格統(tǒng)稱為格A的同位群。仔細觀察會發(fā)現(xiàn)，四數(shù)數(shù)獨中，任何一格的同位群中均有7個同位格。

顯然，在前面例題的解題過程中，已經用到了同位群的方法。

三、四數(shù)數(shù)獨的算法總結

根據(jù)四數(shù)數(shù)獨的規(guī)則，結合例題1.1的解題經驗，可以總結出以下的算法。

1.單元唯一法

當某一單元中，有三個格中已經有數(shù)字了，只剩下唯一一個空格時，該空格的數(shù)字是確定的，就是唯一沒有出現(xiàn)的數(shù)字。

可以參考例題1.1解答中的第2步。

單元唯一法是單元內數(shù)字不重復規(guī)則的最簡單應用。

2.余數(shù)唯一法

什么是余數(shù)？余數(shù)是針對盤面上的空格而言的，一個空格的余數(shù)是指這個空格的同位群中已經出現(xiàn)的數(shù)字以外的其它數(shù)字。

當某一個空格的余數(shù)只剩下唯一一個數(shù)字時，那么，該空格的值就是該數(shù)字。這個方法稱為余數(shù)唯一法。

可以參考例題1.1解答中的第1步。

理論上，單元唯一法是余數(shù)唯一法的特例。單元唯一法的著眼點是一個單元中唯一的一個空格，而余數(shù)唯一法的著眼點是一個空格的同位群中唯一未出現(xiàn)的數(shù)字。

3.宮排除法

例題1.2

下面的四數(shù)數(shù)獨表中能夠取得首解的位置很多，在第二宮中，能嘗試找出一個唯一解嗎？

如下表所示，因為空格R1C1中的數(shù)字是1，因此，第二宮中，空格R1C3及空格R1C4不可能是數(shù)字1，并且空格R2C4的提示數(shù)為3，因此只有空格R2C3可能是數(shù)字1。根據(jù)四數(shù)數(shù)獨的規(guī)則，數(shù)字1是必須出現(xiàn)在第二宮中的，因此空格R2C3的數(shù)字是1。

當宮外的格與宮內的格同屬于一行（或同屬于一列）時，宮外的格中出現(xiàn)的數(shù)字就不可能出現(xiàn)在宮內的格中，也可以說是這些宮內的格排除了該數(shù)字。如果用一個數(shù)字對一個宮進行排除，當這個宮內只剩下一個空格沒有被該數(shù)字排除時，這個格的值就是該數(shù)字。這個方法就是宮排除法。

對宮的排除可以得出唯一解，如果對行或列進行排除，是否也可以得出唯一解呢？

4.行排除法

例題1.3

還是例題1.2中的表格，在第一行中，能嘗試找出一個唯一解嗎？

在第二宮中，因為格R2C4的數(shù)字是3，因此，格R1C3及格R1C4中的數(shù)字不可能是3。這樣，在第一行中，空格R1C2的數(shù)字是3。

顯然，這個方法與宮排除法類似，本題中就是用數(shù)字3對第一行進行排除，排除的結果是只有唯一一個空格R1C2沒有被數(shù)字3排除，這個空格的數(shù)字就確定了。

因為排除的對象是行，所以這種解題方法稱為行排除法。

5.列排除法

例題1.4

仍然是例題1.2中的表格，在第一列中，能嘗試找出一個唯一解嗎？

如下表所示，第三宮中，因為空格R4C2的值是數(shù)字2，因此，空格R3C1及空格R4C1的值不可能是2。這樣，在第一列中，空格R2C1的值為數(shù)字2。

這個解法與行排除法的道理是一致的，只不過排除的對象是列，這種解題方法就是列排除法。

單元唯一法和余數(shù)唯一法是從數(shù)字的角度來觀察，找出已經出現(xiàn)的數(shù)字，確定未出現(xiàn)的唯一余數(shù)，可以統(tǒng)稱為余數(shù)法。

宮排除法、行排除法及列排除法是從空格的角度來觀察，觀察某一個單元中的空格是否被某個數(shù)字排除，確定沒有被該數(shù)字排除的唯一空格，可以統(tǒng)稱為排除法。

好吧，請拿起筆，開始這個有趣的填數(shù)字游戲吧。

習題一