第一講 美麗的數學

同學們都是小學五六年級或初一年級的學生. 正是長身體、長知識、長智慧、長才干的時期. 大家只是對算術、代數有了一點兒了解. 要對大家講“美麗的數學”的確是一件很難的事，也是我力所不能及的事.我想，同學們喜聞樂見的是故事，喜愛趣味問題. 通過故事可以了解數學的發展，通過問題可以體驗數學的思維，了解數學文化. 因此，我們通過講故事與問題的方式來了解數學，感悟數學之美.

一、數學的理性思考——魅力無窮

要回答什么是數學，這是一個很難的問題. 就數學的研究內容和范圍來說，小學生認為數學就是算術，算術是研究數與數的計算的科學，然而數學要比算術廣泛得多；初中的學生認為數學是代數和幾何，代數是用符號表達的語言，主要研究運算與關系，幾何主要研究形狀、大小和空間，然而數學要比代數、幾何廣泛得多；有人說：數學研究概率和統計，概率只是研究隨機現象，統計主要研究數據的整理與圖示，并分析其意義. 然而數學要比概率、統計廣泛得多；有人說，數學是研究微積分，微積分主要研究變量的變化規律，極限與無限，然而數學要比微積分廣泛得多. 一句話：數學包括所有這一切，但又比這一切更為廣泛.

社會實踐在發展，人的認識在發展，數學也在發展！對數學的認識與理解也是與時俱進的. 不管怎么說：數與形總是數學的兩大柱石. 因此人們常說：數學是研究數量關系與空間形式的科學.

如何研究呢？也就是說數學工作者的工作有什么特色呢？我們看兩道大家都可以理解的趣味數學問題.

例1：我國的人口超過13億。請你回答：存在兩個人出生的時間相差不超過2.5秒鐘嗎？

那好辦！咱們搞個人口大普查吧。結果興師動眾，耗費投資和精力.遺憾的是，人們的出生時間一般記錄到幾點幾分，沒有秒的記錄；更不好辦的是，50歲以上的人，特別是農村人口，出生時間只能精確到日.因此普查的辦法是行不通的. 可是會數學地思考問題的人，卻采取另外的處理方式. 咱們就看1～100歲的人就夠了，1小時等于3600秒，1天24小時等于3600×24=86400秒，1年最多為366天（都按閏年算）合86400×366=31622400秒，100年最多為3162240000秒. 如果每2.5秒為1個間隔，3162240000秒為個間隔，現有1300000000個人，放入1264896000個間隔，可以肯定，至少有兩個人出生的時間相差不超過2.5秒鐘. 所以會數學思考的人不用人口普查，只需要動腦筋，想一想，算一算，就很快得出了肯定的結論. 你看數學的思考多么奇妙！

例2：有沒有這樣的集會，大家見面后互相握手，其中握奇數次手的總人數恰恰是2005？

你要組織人員在會議中去統計嗎？那也是大海里撈針了！難！會數學思考問題的人，往往從一般情況入手分析：假設參加集會有n個人，每兩個人見面握一次手，對每人都計握手1人次. 握來握去，有的兩個人重復握手也沒有關系. 假設，握0次手的人有n0個，握1次手的人有n1個，握2次手的人有n2個，握3次手的人有n3個，握4次手的人有n4個，……，握k次手的人有nk個，……，

則0×n0+1×n1+2×n2+3×n3+4×n4+…+k×nk+…

=2×握手總次數=偶數

于是1×n 1+3×n3+5×n5+7×n7+…=偶數

即（n 1+n3+n5+n7+…）+（2×n3+4×n5+6×n7+…）=偶數

所以n 1+n3+n5+n7+…=偶數. 因此會數學思維的人出口驚人地告訴我們：握奇數次手的總人數必是個偶數，決不能等于2005.

上面的例子太簡單了，那我們就看一個可以基本聽明白的事例.

例3：實現計算過程的數學模型——圖靈機.

電子計算機的研制成功是20世紀的重大科學成就之一. 而計算過程實現機械化的可行性的證明是由數學家實現的. 多少世紀以來，人們都在學習計算，但是究竟什么是計算？在1936年以前，從未有人進行過實質性的思考. 數學家圖靈于1936—1937年發表論文《論可計算數及其對判定問題的應用》，首次對計算的本質進行了深刻的分析. 他用抽象分析法，舍棄計算時所用的工具、符號等與實質無關的因素，對計算的結構進行了分析. 圖靈發現在用二進制表示數的情況下，一切計算過程都具有“線性”的性質，即整個計算就表現為一條印著方格的紙帶上的一個只含0和1兩個數碼的數串，每個方格中只有一個數碼（0或1）. 于是發現計算可能做的事，也就是計算的實質只是如下幾種活動：

（1）寫上符號0；

（2）寫上符號1；

（3）向左移一格；

（4）向右移一格；

（5）觀察現在掃描的符號并相應地選擇下一個步驟；

（6）停止.

計算者執行的程序，也就是這類指令所排列成的表，這就是實現計算過程的數學模型. 這個模型就是后來文獻中所說的圖靈機. 它是在不考慮硬件的條件下，對可計算問題的邏輯描述. 圖靈機是程序內存的，主要由三部分組成：一條帶子、一個讀寫頭、一個控制裝置. 圖靈機理論表明，一切可計算問題都可以機械地進行. 因此，通用計算機是可以制造出來的. 這為現代電子計算機的開發從理論上打下了基礎. 而弄清算法的結構，找到實現計算過程的數學模型，又是發現圖靈機的關鍵.

試想，不用證明可行性，哪個投資者敢向無底洞去投資呢？既然圖靈從理論上證明了一切可計算問題都可以機械地進行. 因此，通用計算機在理論上是可以制造出來的. 剩下的事都交給技術工程師去實際完成就可以了. 事實上，計算機的5代革命，都是數學領頭的.

再如，王選教授創造的漢字激光照排系統，使印刷業告別了“鉛與火” 的時代，處于國際領先水平. 眾所周知，漢字字形信息量太大，數字化的困難是西方文字照排無法相比的. 王選說：“由于我是數學系畢業，所以很容易想到信息壓縮，即用輪廓描述和參數描述相結合的方法描述字形，并于1976年設計出一套把漢字輪廓快速復原成點陣的算法.”王選的成功，具有不平常的意義. 其中數學技術是關鍵的技術之一.

以上三個例題，可以使我們看到，數學是一種理性的思維方法，一種推理的方法. 能用數學方法去判斷一個想法是否正確，或者至少是否大概正確.數學是探索和發明的樂土，在這里每天都有新思想被發現. 數學是用來解決科學中、行政管理中、其他各種行業中提出的各種問題的一種思維方法. 它是用各種符號表達的語言，這種語言能為世界上所有的文明民族所理解；數學還是宇宙的語言，也能為地外文明（如果存在的話）所理解. 它是一種像音樂那樣具有對稱性、令人喜悅的節奏的藝術.

通過這些介紹我們大體可以了解到：

數學是以現實世界的空間形式和數量關系為研究對象的一門科學.它非常抽象！屬于理性思維的范疇. 它推理嚴謹，結論確定. 它的應用十分廣泛，這些是它的主要特點. 數學具有人類追求的真、善、美的特點，數學的美不同于科學的美，藝術的美，數學的美是理性的美，抽象的美. 數學是鍛煉思維的體操，數學是打開科學大門的鑰匙.正如華羅庚所說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，地球之變，化工之巧，日用之繁，無處不用數學.”

再看幾個數學的奇跡！

事例1 1781年，德國物理學家、天文學家赫舍爾（1738—1822）發現了天王星以后，人們又發現它的計算位置和實際觀測位置有偏差，而這種偏差又是無法用當時已知行星的吸引作用的影響來解釋的. 因此，科學家猜測一定有尚未發現的行星存在. 1845年，法國天文學家勒維烈（1811—1877）根據哥白尼學說計算出了這顆當時尚未發現的行星的軌道. 1846年9月18日，勒維烈把他的計算結果寫信告訴了柏林天文臺助理員、天文學觀察家約翰·加勒（1812—1910），加勒在1846年9月23日收到這封信的當天晚上，即觀測發現了這顆新的行星，其位置距離勒維烈的計算位置相差不到1°！這就是海王星. 人們把海王星稱為“筆尖上”發現的行星！

事例2 土星光環從望遠鏡里觀察似乎是連續的物質. 數學家用計算證明這是不可能的，并且光譜的分析證實了根據計算而得出的結論.

事例3 由于長期天文觀測，發現土星的軌道在擴大，木星的軌道在縮小. 于是提出一個問題，長此下去，木星將會掉到太陽上去，而土星將會飛出太陽系.

這個問題關系到太陽系的前途，普遍受到人們的關心. 拉普拉斯根據數學原理，用微積分工具，特別是無窮級數，論證了這種現象源自于行星間的引力作用，軌道發生周期性擾動. 以后土星和木星的軌道還會變回去，并計算出這個周期是929年. 這個結論超出了人們的直觀范圍，而天文觀測又要到九百年后才能看到.

這就要求數學必須具有邏輯的嚴謹性，結論的確定性，這樣才能保證科學的預見性. 這種以后將發生的事總還可以檢驗，而歷史上久遠發生過的而記載是否真實的事就更不好檢驗了. 然而，數學不但可以準確地預報未來，也還能精確地“回報”往事.

比如《春秋》中記載了公元前722-公元前481年的37次日蝕，通過計算可以判知其中有32次是可靠的，其余皆屬誤傳.

人們在談論人文精神時，常常把人文精神定位在追求“真、善、美”和人的全面而自由的發展的最高層面上. 在討論藝術美的理論中，也經常談到“真、善、美”三位一體的問題. 對于數學，一個正確的數學理論，反映客觀事物的本質與規律，這是數學的真；數學理論不管離現實多遠，最后總能找到她的用途，體現其為人類服務的價值取向，這是數學的善；數學理論本身的奇特、微妙、簡潔有力以及建立這些理論時人們的創造性思維，就是數學的美. 正如數學家懷特海曾指出的：數學是真善美的辯證統一. 因此從更廣泛的意義上看，數學是一種文化，是一種追求理性美與創造理性美的文化.

數學家H·龐加萊說過：數學家不單單因為數學有用而研究數學；他研究數學還因為他喜歡它，而喜歡它則是因為它是美麗的！

既然數學是這樣的奇妙、有魅力，青少年應該立志學好數學！這并不是要求每個人都成為數學家或科學家，但是為了了解現代世界，每個人都應該掌握數學的思維方式，至少都必須懂得一些數學.