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第2課時(shí):必要知識(shí)精講

推薦用時(shí):7.5小時(shí)

必要知識(shí)1 數(shù)量規(guī)律

我們?cè)诤暧^上了解了圖形推理的三大規(guī)律和高效破題方法后,當(dāng)然還不能夠獨(dú)步天下。我們?nèi)孕枘托娜ヅ靼啄鞘N小規(guī)律到底是什么。

先說一件事,數(shù)量規(guī)律其實(shí)考的就是這個(gè)問題:數(shù)(shǔ)什么?數(shù)(shù)怎么變?

先解答第一個(gè)問題,數(shù)(shǔ)什么?數(shù)(shǔ)的是這五個(gè)“小可愛”——點(diǎn)、線、角、面、素。這其實(shí)也就是第一大規(guī)律中的五種小規(guī)律了。

你真的以為就這么簡(jiǎn)單?那你還是太年輕了。這五個(gè)“小可愛”又可以衍生出基本的十種情況:

以上給大家展示的就是我們要數(shù)(shǔ)的對(duì)象,都不難理解。我們先不急著做題,繼續(xù)弄明白第二個(gè)問題,數(shù)(shù)怎么變?

關(guān)于數(shù)量規(guī)律的兩個(gè)基本問題我們弄清了,那么這一大規(guī)律我們可以說是掌握十之八九了,接下來我們一舉拿下它的關(guān)鍵就是活學(xué)活用了。跟老師一起做幾道經(jīng)典題。

經(jīng)典真題1(國(guó)家2016)把下面的六個(gè)圖形分為兩類,使每一類圖形都有各自的共同特征或規(guī)律,分類正確的一項(xiàng)是:

A.①④⑥, ②③⑤

B.①③⑤, ②④⑥

D.①②⑤, ③④⑥

C.①②④, ③⑤⑥

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名師解析 C。根據(jù)前面講到的“破題思維”,大家應(yīng)該能夠在10秒之內(nèi)排除其他可能,鎖定數(shù)量規(guī)律。因?yàn)閳D⑤的存在,我們可以放棄角的個(gè)數(shù)和角的度數(shù)了,在空白面的數(shù)量上也差異很大。根據(jù)②的存在,我們似乎可以聯(lián)想到一筆畫問題,沒錯(cuò),這就是本題的規(guī)律。觀察發(fā)現(xiàn)①②④都能夠由連貫且不重復(fù)的一筆畫成,③⑤⑥則需要至少兩筆畫成。所以答案是C項(xiàng)。

【考點(diǎn)拓展】咳咳,大家注意了,結(jié)合這道題給大家科普一個(gè)非常重要的知識(shí)!幾筆畫成題目的終極必殺技——數(shù)奇點(diǎn)。

什么是幾筆畫成?一是路線不重復(fù),二是一定要連貫。一個(gè)圖形至少由幾條這樣的筆畫組成,就是幾筆畫成。注意:這里的“一個(gè)圖形”必須是一個(gè)連通圖。

什么是奇點(diǎn)?就是從一個(gè)點(diǎn)出發(fā),引出的不同方向的線條數(shù)量如果是奇數(shù),那么這個(gè)點(diǎn)就是“奇點(diǎn)”,一個(gè)圖形中“奇點(diǎn)”的個(gè)數(shù),決定了這個(gè)圖形最少需要幾筆畫成。

幾筆畫成的規(guī)律是什么?當(dāng)一個(gè)圖形中的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為0或者2時(shí),這個(gè)圖形可以一筆畫成。奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為4時(shí),圖形能兩筆畫成。奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為6時(shí),圖形能3筆畫成。好,那么大家發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎?首先,奇點(diǎn)個(gè)數(shù)只能是0或者偶數(shù);其次,筆畫數(shù)=奇點(diǎn)個(gè)數(shù)÷2(0除外)。

我們來看幾個(gè)圖形,吸收一下這個(gè)知識(shí):

(1) 這個(gè)圖形中有三個(gè)點(diǎn)從上面的頂點(diǎn)觀察,這個(gè)點(diǎn)引出了“2”條線,“2”是個(gè)偶數(shù),所以這個(gè)點(diǎn)是個(gè)“偶點(diǎn)”。再依次看這個(gè)圖形的另外兩個(gè)點(diǎn),直角 右下角 也都是偶點(diǎn)。所以此圖實(shí)際上擁有3個(gè)偶點(diǎn),0個(gè)奇點(diǎn)!奇點(diǎn)數(shù)為零,所以這個(gè)三角形可以一筆畫成。(2這個(gè)圖形中有幾個(gè)點(diǎn)呢?有人說不就是一個(gè)直線與弧線的切點(diǎn)嗎。錯(cuò)!

這個(gè)圖形中有5個(gè)點(diǎn)——大家記住,這里的“點(diǎn)”不僅指的是“交點(diǎn)”也包括“端點(diǎn)”。那么這5個(gè)點(diǎn)中有幾個(gè)奇點(diǎn)呢,逐一來看:點(diǎn)1引出1條線,是奇點(diǎn);點(diǎn)2引出4條線,是偶點(diǎn);點(diǎn)3引出1條線是奇點(diǎn);點(diǎn)4引出1條線是奇點(diǎn);點(diǎn)5引出1條線是奇點(diǎn)。那么本題的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)是4個(gè),4÷2=2,這個(gè)圖形就至少需要兩筆畫成。

同學(xué)們不要小看這個(gè)奇點(diǎn)問題,也不要嫌老師啰嗦,當(dāng)我們?cè)诳荚囍杏龅焦P畫數(shù)規(guī)律的時(shí)候,圖形遠(yuǎn)比上面舉例的圖形復(fù)雜得多,如果我們不能把這個(gè)基礎(chǔ)打牢,運(yùn)用中就很容易出錯(cuò)。那么我們?cè)賮盱柟桃淮危?/p>

圖①有6個(gè)點(diǎn),每一個(gè)點(diǎn)引出的線條數(shù)量都是“4”這個(gè)偶數(shù),那么也就是說這個(gè)圖形奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為“0”,可以一筆畫成。

圖②有8個(gè)點(diǎn)(4個(gè)端點(diǎn),4個(gè)交點(diǎn)),其中奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為“4”(4個(gè)端點(diǎn)都是奇點(diǎn)),所以圖形至少需要兩筆畫成。

圖③奇點(diǎn)個(gè)數(shù)是……其實(shí)不用數(shù)了,這顯然不是一個(gè)連通圖,所以不用考慮也知道它肯定是不能一筆畫成的。這種非連通圖特別容易構(gòu)成干擾,考試中要注意。非連通圖的筆畫數(shù)需要把每個(gè)連通圖的筆畫數(shù)加起來。

經(jīng)典真題2(北京2016)從所給的四個(gè)選項(xiàng)中,選擇最合適的一個(gè)填入問號(hào)處,使之呈現(xiàn)一定的規(guī)律性:

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名師解析 C。我們用幾秒鐘基本上就排除了對(duì)稱、封閉、曲直的規(guī)律,顯然也沒有位置變化的跡象,那么注意力就可以集中在數(shù)量規(guī)律中了。

給定圖形至少有兩個(gè)特點(diǎn):①每個(gè)圖形都有很多個(gè)封閉的空間;②每個(gè)圖形都有一個(gè)較大塊的空白區(qū)域。以這兩個(gè)特點(diǎn)為突破口,發(fā)現(xiàn)①“很多個(gè)封閉空間”=“5個(gè)封閉空間”, ②“一個(gè)較大塊的空白區(qū)域”=“面積是整個(gè)圖形面積的一半”,結(jié)合這兩點(diǎn),就能很快判斷出答案選C。

【點(diǎn)破天機(jī)】當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)線索的時(shí)候,應(yīng)該習(xí)慣先從簡(jiǎn)單的入手,結(jié)合排除法來提高效率。比如這道題里,應(yīng)該先判斷特點(diǎn)②,排除掉最大塊的封閉空間不是整體的的A、D項(xiàng),然后再結(jié)合特點(diǎn)①,排除掉只有四個(gè)封閉空間的B項(xiàng)。別小看這節(jié)省出來的幾秒鐘,在考試中也許就是實(shí)實(shí)在在的一兩分。

必要知識(shí)2 位置規(guī)律

位置規(guī)律可以分為兩類:一是靜態(tài)位置,二是動(dòng)態(tài)位置。后者考查比較多。

(一)靜態(tài)位置

其實(shí)我們不必管那些復(fù)雜的分類,靜態(tài)位置關(guān)系很好理解,大家只需清楚地知道上面列舉的八種靜態(tài)位置關(guān)系,在看到一組圖形時(shí)能從整體上做出判斷就可以了。趁熱打鐵,看看下面這兩道題:

經(jīng)典真題3(國(guó)家2014)從所給的四個(gè)選項(xiàng)中,選擇最合適的一個(gè)填入問號(hào)處,使之呈現(xiàn)一定的規(guī)律性:

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名師解析 C。這道題考的是位置關(guān)系,每幅圖中兩個(gè)元素的靜態(tài)位置不同,有的是外離,有的是相交,并且間隔的兩幅圖中元素的靜態(tài)位置存在共性——第1、3、5幅圖形中兩個(gè)元素是外離的,第2、4、6幅圖形中兩個(gè)元素是相交的,所以本題答案為C選項(xiàng)。

經(jīng)典真題4(國(guó)家2012)把下面的六個(gè)圖形分為兩類,使每一類圖形都有各自的共同特征或規(guī)律,分類正確的一項(xiàng)是:

A.①②⑥, ③④⑤

B.①③⑤, ②④⑥

C.①②④, ③⑤⑥

D.①③④, ②⑤⑥

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名師解析 D。①③④中的小黑點(diǎn)均在三角形的左邊,②⑤⑥中的小黑點(diǎn)均在三角形的右邊。這是圖形分類題型剛剛出現(xiàn)時(shí)候的一道題,規(guī)律十分簡(jiǎn)單,考的就是靜態(tài)位置規(guī)律里的方位關(guān)系。

(二)動(dòng)態(tài)位置

考試中我們更可能遇到的是動(dòng)態(tài)位置關(guān)系,對(duì)于這個(gè)考點(diǎn)的判別相對(duì)容易,但是鎖定之后的推理過程卻有難有易,我們先來看看,什么是動(dòng)態(tài)位置。

最基本的,我們先弄清楚這三件事:平移、旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)。平移不難理解,但旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)很多人卻分不清楚。我們來看下面這只神秘的左手。

同學(xué)們不妨將左手放到桌子上,切身體會(huì)一下旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)的區(qū)別,以后在做題的時(shí)候才能達(dá)到“人題合一”的境界。好了,讓我們來做兩道題。

經(jīng)典真題5(國(guó)家2014)從所給的四個(gè)選項(xiàng)中,選擇最合適的一個(gè)填入問號(hào)處,使之呈現(xiàn)一定的規(guī)律性:

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名師解析 A。本題結(jié)合旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)兩個(gè)考點(diǎn)。觀察九宮格中已給出的八幅圖形,圖形元素完全相同,確定為位置類規(guī)律,進(jìn)一步觀察可知,是旋轉(zhuǎn)翻轉(zhuǎn)類題型。橫向觀察,第一幅圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到第二幅圖形,第二幅圖沿縱軸翻轉(zhuǎn)得到第三幅圖形,第二行和第三行同樣滿足此規(guī)律,在第三行中,問號(hào)處的圖形應(yīng)該由第三行的第二幅圖形沿縱軸翻轉(zhuǎn)得到,所以本題答案為A。

動(dòng)態(tài)移動(dòng)類型的題目,雖然考點(diǎn)比較好判斷,但是具體解題過程往往很耗時(shí)間,而且轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去、翻來翻去,一不留神就會(huì)出錯(cuò)。所以做這種稍復(fù)雜的題,一定要學(xué)會(huì)用排除法——確定了某一部分的變化規(guī)律后,就利用這部分去過濾選項(xiàng),一般可以排除掉一兩個(gè),再挖掘第二個(gè)部分的變化規(guī)律,再去排除選項(xiàng)。圈定答案之后最好再檢查一下,避免錯(cuò)誤。

經(jīng)典真題6(山東2012)從所給的四個(gè)選項(xiàng)中,選擇最合適的一個(gè)填入問號(hào)處,使之呈現(xiàn)一定的規(guī)律性:

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名師解析 A。考查平移規(guī)律。題干前一個(gè)圖形中黑色三角形順時(shí)針移動(dòng)兩格,同時(shí)黑色五角星逆時(shí)針移動(dòng)三格得到后一個(gè)圖形,依此規(guī)律觀察四個(gè)選項(xiàng),可知A選項(xiàng)符合題干規(guī)律。所以選擇A選項(xiàng)。

【考點(diǎn)拓展】平移可以是左右的移動(dòng),也可以是上下的移動(dòng),還能是環(huán)形的移動(dòng),移動(dòng)軌跡只要有固定的規(guī)律即可。只要保證一點(diǎn),移動(dòng)前后的圖形元素、指向和時(shí)針方向不發(fā)生變化就是平移。

翻轉(zhuǎn)是三維的變化,說白了就是在一個(gè)平面上不可能完成的事,如果單純?cè)谝粋€(gè)平面上觀察,翻轉(zhuǎn)前后是兩個(gè)完全不同的圖形。

必要知識(shí)3 樣式規(guī)律

樣式規(guī)律說通俗點(diǎn)就是找特點(diǎn)、看變化。當(dāng)然,作為三大規(guī)律之一,它也可以細(xì)分出很多門類。大家記著主要有兩類——內(nèi)在和外在。

樣式規(guī)律中這兩類規(guī)律差別很大。內(nèi)在屬性非常好辨別,也就是老師在“破題思維”中跟大家推薦的首要辨別規(guī)律。而同樣是樣式規(guī)律的“親兒子”,外在形狀卻十分難搞,往往需要我們?cè)谂袛喑鲆?guī)律之后耐心地去清點(diǎn)元素,甚至計(jì)算數(shù)列。

(一)內(nèi)在屬性

1.曲直性。是直的還是彎的,還是又直又彎的,這個(gè)不難懂吧?但是在題目中曲直性規(guī)律出現(xiàn)時(shí),往往結(jié)合了其他規(guī)律一起考查,所以大家還是要活學(xué)活用,融會(huì)貫通。

另外強(qiáng)調(diào)一下,我們?cè)谧鲱}時(shí),如果有其他更明顯的特征時(shí),不要急于以曲直性規(guī)律作出判斷,這就類似類比推理中我們要慎用反對(duì)關(guān)系一樣,因?yàn)檫@種基本的概念非常常見,畢竟線條不是直的就會(huì)是彎的嘛。

2.對(duì)稱性。分三種——軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、既軸對(duì)稱又中心對(duì)稱。如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合,那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。如平行四邊形、圓等。如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合,這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形。如正三角形、等腰梯形等。

另外,大家要注意一下對(duì)稱軸的數(shù)量、方向,樣式規(guī)律結(jié)合數(shù)量規(guī)律是非常常見的命題方式。

3.封閉性。封閉就是面的數(shù)目大于等于1的圖形,開放就是面的數(shù)目等于0的圖形。這里值得強(qiáng)調(diào)的是,封閉可以更謹(jǐn)慎地分為廣義封閉(不完全封閉)、嚴(yán)格封閉(完全封閉)。具體選取哪個(gè)要看題目的需要,這兩者很可能是迷惑選項(xiàng)的命制方式,所以做題時(shí),即使遇到真的很簡(jiǎn)單的題目,也更要謹(jǐn)慎對(duì)待,不要想當(dāng)然,而要嚴(yán)格比對(duì)各個(gè)選項(xiàng),選出“最優(yōu)”。

經(jīng)典真題7(浙江2013)把下面的六個(gè)圖形分為兩類,使每一類圖形都有各自的共同特征或規(guī)律,分類正確的一項(xiàng)是:

A.①②④, ③⑤⑥

B.①②⑤, ③④⑥

C.①③⑤, ②④⑥

D.①②⑥, ③④⑤

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名師解析 B。這道題表面看考的是對(duì)稱性,但其實(shí)也包含了曲直性的規(guī)律。①②⑤均是非對(duì)稱的純曲線組成的圖形,③④⑥均是中心對(duì)稱的含有直線的圖形,答案選B。

(二)外在形狀

接下來我們?cè)賮韺W(xué)習(xí)樣式規(guī)律的第二類——外在形狀。它有兩種考查方式:遍歷和運(yùn)算。

1.遍歷。“樣式遍歷”多出現(xiàn)于九宮格題目中。一般以“行”或“列”為單位,每行或每列中含有完全相同的幾個(gè)元素。換句話說,如果“打包”來看,每行或每列包含的元素都是一樣的,只是在進(jìn)行不同的排列組合,我們要做的,就是保證每一種樣式在每行或每列中都要出現(xiàn)一次——缺啥補(bǔ)啥。用圖表示如下:

上面這張圖簡(jiǎn)單明了地道出了樣式遍歷的精髓。每一行或每一列中數(shù)字“1”“2”“3”均要普遍經(jīng)歷一次,所以問號(hào)處缺少“1”,就應(yīng)當(dāng)填入“1”。

遍歷規(guī)律還有一種特殊情況——漸變,即逐漸的變化。這種規(guī)律需要圖形兩兩之間進(jìn)行比較,下一個(gè)圖形依托于上一個(gè)圖形的形狀。漸變題型的特征是,一組圖形中,相鄰的兩個(gè)圖形之間總有一部分是相同的,如下圖:

觀察上面圖形可發(fā)現(xiàn),前一個(gè)圖形右邊的部分是后一個(gè)圖形左邊的部分。

趁熱打鐵,我們來做兩道題。

經(jīng)典真題8(浙江2011)從所給的四個(gè)選項(xiàng)中,選擇最合適的一個(gè)填入問號(hào)處,使之呈現(xiàn)一定的規(guī)律性:

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名師解析 D。典型的樣式遍歷規(guī)律。在每行圖形中,分割矩形的三條線段分別為垂直、水平與對(duì)角線,內(nèi)部含有的元素均為正三角、倒三角、正T、倒T、圓和正方形,故第三行圖形缺少水平分割線、正三角以及正T。因此D項(xiàng)正確。

經(jīng)典真題9(浙江2009)從所給的四個(gè)選項(xiàng)中,選擇最合適的一個(gè)填入問號(hào)處,使之呈現(xiàn)一定的規(guī)律性:

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名師解析 D。9個(gè)圖形按照從左到右、從上到下的軌跡觀察,依次為三角形→平行四邊形→圓形→長(zhǎng)方形→……由此可以判斷,問號(hào)處應(yīng)該是個(gè)三角形,排除A、C兩項(xiàng)。進(jìn)一步觀察,每個(gè)圖形內(nèi)的花紋與其上下左右的圖形全異,那B項(xiàng)顯然不妥,故答案為D。

【點(diǎn)破天機(jī)】這道題是樣式遍歷的升級(jí)版,因?yàn)檫@里的“單位”不再是行或者列,如果只是以每行或者每列為一組觀察,必然摸不出規(guī)律。這道題中,是以連續(xù)4個(gè)為一組形成的觀察“單位”,還有的類比圖形推理中,會(huì)以“第一、三、五個(gè)圖形”為一個(gè)單位,“第二、四、六個(gè)圖形”為一個(gè)單位。不管怎么說,分組是第一步,第二步再查缺補(bǔ)漏。

2.運(yùn)算。樣式的運(yùn)算是兩個(gè)圖形疊加后,根據(jù)一定的疊加規(guī)則得到一個(gè)新的圖形。常見的規(guī)則如下表所示:

加、減、同、異這四種規(guī)律類似,只要我們判斷出是哪種,剩下的就是小心比對(duì)了。這里提示大家一點(diǎn),就是比對(duì)過程中,一定要一部分一部分地來看,不要試圖完整地畫出正確答案,只要確定了其中一部分元素,就篩選選項(xiàng),排除不符合這部分要求的錯(cuò)誤項(xiàng)。然后再去看第二個(gè)部分,進(jìn)一步排除錯(cuò)誤選項(xiàng)。通過排除法確定了正確答案后,在時(shí)間允許的情況下,最好再檢查一下正確答案的每一個(gè)部分,不要輕敵,因?yàn)檫@類題型非常容易因?yàn)轳R虎而選錯(cuò)答案。

定義運(yùn)算,是比較復(fù)雜的一種規(guī)律,因?yàn)橐话銏D形推理包含的基本思路是兩步:判斷規(guī)律→判斷選項(xiàng)。而定義運(yùn)算規(guī)律則需要三步:判斷規(guī)律→提煉公式→判斷選項(xiàng)。也就是多了一步翻譯出圖形背后變化公式的環(huán)節(jié),而正是這樣一個(gè)環(huán)節(jié),很容易出錯(cuò),需要多加練習(xí)。來看下面這幾道題。

經(jīng)典真題10(上海2016)下列選項(xiàng)中,符合所給圖形的變化規(guī)律的是:

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名師解析 A。這是一道很有意思的題目。解法不只一種,用遍歷規(guī)律或者運(yùn)算規(guī)律都能做出來。

方法一:樣式規(guī)律——遍歷。第一組圖形中,6種小元素各自出現(xiàn)兩次。第二組圖形遵循此規(guī)律,問號(hào)處圖形中的4個(gè)小元素應(yīng)是¤、$、、£,只有A項(xiàng)符合。故本題答案為A。

方法二:樣式規(guī)律——求異運(yùn)算。第一組圖形中,前兩幅圖形中的小元素去同存異得到第三幅圖形中的小元素。第二組圖形遵循此規(guī)律,只有A項(xiàng)符合條件。故本題答案為A。

經(jīng)典真題11(上海2016)下列選項(xiàng)中,符合所給圖形的變化規(guī)律的是:

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名師解析 B。本題可通過疊加后定義運(yùn)算來推出答案。整個(gè)圖形分成若干個(gè)“品”字形,從下往上,每行相鄰的兩個(gè)圖形經(jīng)過疊加運(yùn)算得到上方圖形,運(yùn)算規(guī)則如下:(箭頭指向)左+左=右;右+右=左,其余相加都等于白。依此規(guī)律,只有B項(xiàng)符合條件。

必要知識(shí)4 空間重構(gòu)規(guī)律

前面講了圖形推理的三大規(guī)律:數(shù)量規(guī)律、位置規(guī)律、樣式規(guī)律。除此之外,圖形推理界還有一位“大咖”——空間重構(gòu)規(guī)律。這個(gè)“大咖”可以說占據(jù)了圖形推理的小半壁江山,很多同學(xué)對(duì)它望而生畏,坊間也流傳著關(guān)于破解它的各種靠譜和不靠譜的秘技。

其實(shí)空間重構(gòu)并不難,它是最有規(guī)律和方法可言的一種題型,今天老師要傳授給大家的,就是提高空間重構(gòu)題解題效率的幾個(gè)根本方法。

研究過這類題型的同學(xué)也可能聽說過特征面法、公共邊法、公共點(diǎn)法、時(shí)針法,甚至切橡皮法……實(shí)際上這些五花八門的方法,都是上面三種根本方法的衍生或者步驟的運(yùn)用。我們從源頭來掌握,相信一定能給大家梳理出最清晰有效的思路。

(一)三條規(guī)則

在學(xué)習(xí)這三種根本方法之前,我們來了解一下平面展開圖的“游戲規(guī)則”(這很重要):

這是最常見的六面體平面展開圖,大家把它看成三列,那么移動(dòng)的規(guī)則如下:

規(guī)則一:第2列中,四個(gè)面只要循環(huán)順序不變,位置可以在本列中隨意移動(dòng),移動(dòng)后的圖形方向不能改變。

例如,第2列從上到下是1、3、4、5,也可以變成3、4、5、1,或者4、5、1、3,或者5、1、3、4,這就是“只要循環(huán)順序不變,位置可以在本列中隨意移動(dòng)”。“3”這個(gè)面,點(diǎn)數(shù)方向是從左上角到右下角,不管這個(gè)面移動(dòng)到哪個(gè)位置,點(diǎn)數(shù)方向始終是從左上角到右下角,這就是“移動(dòng)后的圖形方向不能改變”。

規(guī)則二:第1列或第3列的面上下移動(dòng),必須“滾動(dòng)”移動(dòng)。

例如,第3列“6”這個(gè)點(diǎn)數(shù)面如果要向上移動(dòng)一格,必須要沿著它與第2列的公共邊滾動(dòng)上去,滾動(dòng)后圖形相當(dāng)于進(jìn)行了逆時(shí)針90°旋轉(zhuǎn)。如果向下移動(dòng)一格,則要順時(shí)針滾動(dòng)旋轉(zhuǎn)90°,向下移動(dòng)兩格,則要順時(shí)針滾動(dòng)旋轉(zhuǎn)180°。

規(guī)則三:如果跨列移動(dòng),也必須按步數(shù)“滾動(dòng)”移動(dòng),且移動(dòng)后必須保證“列數(shù)”不變。

例如,第2列的點(diǎn)數(shù)“1”如果要移動(dòng)到第1列,需要逆時(shí)針滾動(dòng)到點(diǎn)數(shù)“2”的上方,圖形需要逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。但是跨列移動(dòng)也有限制,就是至少保證每列要有一個(gè)面,也就是說要始終保持3列才行。

(二)三種方法

以上三條規(guī)則牢記后我們才能開始學(xué)習(xí)三種根本方法——相對(duì)面法、相鄰面法、標(biāo)點(diǎn)法。

1.相對(duì)面法。首先我們看看什么是相對(duì)面。相對(duì)面也就是沒有公共邊的兩個(gè)面,例如:

一般見到這樣的圖形(圖1),我們先把它變成“1-4-1”陣型圖2,即:

圖1

圖2

這樣觀察,相對(duì)面有三組:點(diǎn)數(shù)1與點(diǎn)數(shù)4、點(diǎn)數(shù)3與點(diǎn)數(shù)5、點(diǎn)數(shù)2與點(diǎn)數(shù)6。因?yàn)椴还苋绾我苿?dòng),這三個(gè)相對(duì)面是永遠(yuǎn)不可能有公共邊的。存在相對(duì)關(guān)系的兩個(gè)面具有兩個(gè)基本特征:

兩個(gè)相對(duì)面在一個(gè)立體圖形中不可能同時(shí)出現(xiàn),即如果立體圖形中同時(shí)出現(xiàn)了兩個(gè)相對(duì)面,那該選項(xiàng)必錯(cuò);

兩個(gè)相對(duì)面在立體圖形中必出現(xiàn)一個(gè),如果選項(xiàng)中沒有出現(xiàn)其一,那該選項(xiàng)必錯(cuò)。

經(jīng)典真題12 左邊給定的是紙盒的外表面,下列哪一項(xiàng)能由它折疊而成?

名師解析 B。這道簡(jiǎn)單的題目,考的就是相對(duì)面法。展開圖中兩個(gè)黑色的面是相對(duì)面,在立體圖中“能且僅能見其一”,所以A項(xiàng)中同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)黑色面,C、D兩項(xiàng)中一個(gè)都沒有出現(xiàn),都是不對(duì)的。因此,本題答案為B選項(xiàng)。

2.相鄰面法。相鄰面法運(yùn)用起來比較好玩,有下面這三種運(yùn)用方式:

我們通過幾道經(jīng)典真題,來理解相鄰面法是如何運(yùn)用的。

經(jīng)典真題13(國(guó)家2013)左邊給定的是紙盒的外表面,下列哪一項(xiàng)能由它折疊而成?

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名師解析 C。A、B兩項(xiàng)用相對(duì)面法可以排除。下圖標(biāo)紅的是相對(duì)面關(guān)系,不應(yīng)該同時(shí)出現(xiàn)。

C、D兩項(xiàng)中的三個(gè)面確實(shí)都可以相鄰,那么我們就要利用相鄰面法來判斷了。

首先看C項(xiàng),梯形→圓形→空白面,是按照順時(shí)針方向排列的;平面展開圖中,梯形→圓形→空白面,也是按照順時(shí)針方向排列的,如右圖。那么證明C項(xiàng)沒有問題,是平面展開圖可以折成的立體圖形。

再來看D項(xiàng),矩形→空白面→X面,是按照順時(shí)針方向排列的;但在平面展開圖里,矩形→空白面→X面,則是按照逆時(shí)針方向排列的,如右圖。時(shí)針方向不同,說明D項(xiàng)不能由平面展開圖折成。

【點(diǎn)破天機(jī)】一般的空間重構(gòu)題目,都是結(jié)合了相對(duì)面法、相鄰面法來考查的,在做題的時(shí)候我們一定要用排除法判斷答案,這樣才能以最快的速度解題。

經(jīng)典真題14(新疆2015)左邊給定的是紙盒外表面的展開圖,右邊哪一項(xiàng)能由它折疊而成?

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名師解析 B。這道題可直接用箭頭法解題。我們先找到一個(gè)可以明確確定方向的面,這里可以是帶箭頭的那個(gè)面;接下來我們賦予這個(gè)面一個(gè)固定的方向,即確定箭頭指向的方向;接下來判斷箭頭左右兩邊的面,沿著箭頭的方向看過去,箭頭的左側(cè)應(yīng)該是陰影面,右側(cè)是灰色面,箭頭指向的是黑色面。

接下來我們來判斷選項(xiàng),A項(xiàng),沿著箭頭的方向看過去,箭頭的左側(cè)是灰色面,與平面圖不一致,排除。B項(xiàng),箭頭指向的是黑色面,與平面圖一致。C項(xiàng),箭頭指向的是陰影面,和平面圖不一致,排除。D項(xiàng),箭頭的左側(cè)是黑色面,與平面圖不一致,排除。這樣,答案就是B。

【考點(diǎn)拓展】箭頭法的關(guān)鍵在于找到一個(gè)能明顯區(qū)分方向的面,然后區(qū)分出左右。再以左右關(guān)系來判斷選項(xiàng)。比如下面這道題,標(biāo)示箭頭的面看似是個(gè)空白面,沒有方向特征,但是我們發(fā)現(xiàn)梯形本身就是一個(gè)特征,箭頭由長(zhǎng)邊指向短邊,左邊相連的面有一條與箭頭方向平行的直線,右邊相連的面有一條與箭頭方向垂直的直線。據(jù)此判斷四個(gè)選項(xiàng),得出C項(xiàng)正確。

經(jīng)典真題15(聯(lián)考2013)左邊是給定紙盒的外表面,下列哪一個(gè)紙盒能由此折疊而成?

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名師解析 A。這道題是一道非常經(jīng)典的題目,要根據(jù)不同的方法來判斷,這里面咱們著重分析C項(xiàng)——公共點(diǎn)法。

C項(xiàng)涉及的三個(gè)面是小矩形面、“Y”字形面、對(duì)角線面。我們把對(duì)角線面往左“滾動(dòng)”一格可以找到公共點(diǎn)和公共邊。

畫圈的兩個(gè)點(diǎn)是重合的,也就是三個(gè)面的公共點(diǎn),它與選項(xiàng)C中這三個(gè)面的公共點(diǎn)不同,如圖所示,平面圖中的公共點(diǎn)是和對(duì)角線面中的短線相連的,而C項(xiàng)的公共點(diǎn)是和對(duì)角線相連的。由此可以排除C項(xiàng)。

下面是對(duì)四個(gè)選項(xiàng)的分析:

以上例題講解的就是相鄰面法的三種應(yīng)用方法。掌握了相對(duì)面法、相鄰面法,基本上大多數(shù)的空間重構(gòu)題就能夠拿下了。接下來教大家第三種方法——標(biāo)點(diǎn)法。

3.標(biāo)點(diǎn)法。它是專門對(duì)付四面體這種變態(tài)圖形的。所謂四面體,就是四個(gè)三角形拼湊出來的一個(gè)立體圖形。因?yàn)檫@四個(gè)面之間都是相鄰關(guān)系,沒法通過相對(duì)面來排除;而且立體圖中只能看到兩個(gè)面,也沒法通過時(shí)針法來排除,所以一度成為考生心中的“死亡題型”。但是標(biāo)點(diǎn)法一出,這種四面體題目就變得不堪一擊。

方法很簡(jiǎn)單:先對(duì)平面圖形進(jìn)行標(biāo)點(diǎn),然后與立體圖形比對(duì)。

經(jīng)典真題16 左邊是四面體的展開圖,下列哪一個(gè)能由此折疊而成?

名師解析 B。第一步:先給平面圖標(biāo)點(diǎn)。

先給左側(cè)的小平行四邊形標(biāo)上1、2、3、4,然后發(fā)現(xiàn)大平行四邊形的另一端是和1、4重合的公共點(diǎn),所以也同樣標(biāo)為1和4。

第二步:給選項(xiàng)標(biāo)點(diǎn)。

先找一個(gè)特征面,按照平面圖,給這個(gè)特征面的標(biāo)上三個(gè)點(diǎn),A項(xiàng)中,黑色三角形部分的頂點(diǎn)為2,其左下角是1,右下角是3,這時(shí)你不需要思考對(duì)錯(cuò),只要按著平面圖的標(biāo)點(diǎn)去標(biāo)選項(xiàng)就好。標(biāo)好了這三個(gè)點(diǎn),另一個(gè)沒標(biāo)的就應(yīng)該是4了,就得到選項(xiàng)A中黑色面的代碼應(yīng)該是“124”。

第三步:用得出來的代碼去比照平面圖。

我們發(fā)現(xiàn),在平面圖中,黑色面的代碼是“134”,與我們從選項(xiàng)A中推導(dǎo)出來的代碼不同。好吧,A項(xiàng)可以排除了。

我們?cè)賮砜匆幌翨項(xiàng)。

同樣以特征面標(biāo)出1、2、3,剩下的點(diǎn)就是4,那空白面的代碼是“234”,與平面圖標(biāo)號(hào)吻合,沒錯(cuò),答案就是它。

【考點(diǎn)拓展】標(biāo)點(diǎn)法真的是非常好用的一種解題法,但不會(huì)標(biāo)點(diǎn)是大家的一個(gè)難點(diǎn)。

可喜的是,四面體的平面展開圖只有兩種形式,大家記住這兩個(gè)經(jīng)典圖的標(biāo)點(diǎn)方式就可以了。

必要知識(shí)5 其他規(guī)律

除了三大規(guī)律和空間重構(gòu)題型外,其實(shí)在考試中還出現(xiàn)過其他不按常理出牌的題型,有的屬于“地方特色”,有的屬于“曇花一現(xiàn)”,對(duì)于這些題型,大家稍做了解即可。但我們?nèi)砸⒁猓┠瓿霈F(xiàn)的一些新題型,雖然還不成規(guī)模,但是從近兩年的命題趨勢(shì)看,顯然有成為常見題型的可能,大家一定要加以重視。

(一)平面重構(gòu)

經(jīng)典真題17(廣東2014)把給定圖形中的元素重組可以得到的是( )。

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名師解析 C。平面重構(gòu)類題目的特點(diǎn)是:組成元素的種類和個(gè)數(shù)不會(huì)改變,而且也不會(huì)發(fā)生翻轉(zhuǎn)。首先,從簡(jiǎn)單的數(shù)種類數(shù)和個(gè)數(shù)開始。題干圖形里有2個(gè)標(biāo)黑點(diǎn)的三角形,而A、B選項(xiàng)中均只有1個(gè),則排除A、B兩項(xiàng);D選項(xiàng)中左上角斜線格子的三角形在題干中沒有,排除D項(xiàng)。故正確答案為C。

【點(diǎn)破天機(jī)】這類題型有些像元素遍歷,又有些像七巧板游戲。本身沒什么技巧可言,大家只要記得兩點(diǎn):元素不多不少;只能旋轉(zhuǎn)不可翻轉(zhuǎn)。

(二)立體拼合

經(jīng)典真題18(國(guó)家2015)從所給四個(gè)選項(xiàng)中,選擇最合適的一個(gè)填入問號(hào)處,使之呈現(xiàn)一定規(guī)律性:

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名師解析 C。由第一組圖形可知,規(guī)律為第二幅圖與第三幅圖可組合成第一幅圖。因此第二幅圖與第三幅圖應(yīng)是互補(bǔ)關(guān)系。

第二組圖形中,第二幅圖最高的面是一個(gè)大正方形,因此第三幅圖最深的面的形狀也應(yīng)為一個(gè)大正方形,排除A、D兩項(xiàng)。

第二幅圖次高的面是兩個(gè)小正方形,因此,第三幅圖中次深面的形狀也應(yīng)該是兩個(gè)小正方形,排除B項(xiàng)。因此答案是C。

(三)平面拼合

經(jīng)典真題19(江蘇2015)右邊的四個(gè)圖形中,只有一個(gè)是由左邊的四個(gè)圖形拼合而成的(只能通過上下左右平移),請(qǐng)選出來( )。

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名師解析 A。題干中的圖形可以拼合成如下圖形:

(四)重心規(guī)律

經(jīng)典真題20 從所給四個(gè)選項(xiàng)中,選擇最合適的一個(gè)填入問號(hào)處,使之呈現(xiàn)一定規(guī)律性:

名師解析 D。本題考查重心的變化,第一組圖重心由上及下變化,依此類推,第二組圖也存在相同規(guī)律,故本題正確答案為D。

(五)剖面圖規(guī)律

經(jīng)典真題21(國(guó)家2013)一立方體如圖所示從中挖掉一個(gè)圓錐體,然后從任意面剖開,下面哪一項(xiàng)不可能是該立方體的截面?

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名師解析 A。B項(xiàng),將該立方體的一個(gè)角剖開,得到的截面就是三角形,在每個(gè)面上切的長(zhǎng)度相等,截面就是等邊三角形;平行于水平方向進(jìn)行切割,得到的截面就是C項(xiàng);平行于一條棱并且不碰到中間的圓錐部分,則截面就是D項(xiàng)。A項(xiàng)中的圓形截面無法得到。因此,本題答案為A選項(xiàng)。

【點(diǎn)破天機(jī)】這個(gè)題型大家需要特別注意,因?yàn)榻鼛啄甑目荚囍卸紩?huì)出現(xiàn)剖面圖題目。其實(shí)這類題目難度不大,一個(gè)實(shí)用的方法,就是在立體圖上找三樣?xùn)|西:入刀位置、入刀角度和出刀位置。然后在入刀位置和出刀位置連線,這樣得到的一個(gè)平面就是截面。需要注意的是,入刀角度是固定的,中途不能改變。

(六)三視圖規(guī)律

經(jīng)典真題22 從所給四個(gè)選項(xiàng)中,選擇最合適的一個(gè)填入問號(hào)處,使之呈現(xiàn)一定的規(guī)律性:

名師解析 B。第一組圖中,第一個(gè)圖是圓錐體,第二個(gè)圖是圓錐體的左視圖,第三個(gè)圖是圓錐體的俯視圖;第二組圖中,第一個(gè)圖是正三棱椎,第二個(gè)圖為第一個(gè)圖的俯視圖,因此,問號(hào)處應(yīng)為正三棱錐的左視圖。故本題選B。

【考點(diǎn)拓展】三視圖也是一個(gè)經(jīng)常出現(xiàn)的題型,大家需要加以注意。所謂三視,就是主視圖、左視圖、俯視圖三個(gè)基本視圖。三視圖的規(guī)則有三條:(1)主視圖和俯視圖的長(zhǎng)要相等;(2)主視圖和左視圖的高要相等;(3)左視圖和俯視圖的寬要相等。

以下是一個(gè)典型的三視圖:

【練習(xí)】

1.幾何體 的俯視圖是( )。

2.如下圖,水平放置的圓柱形物體,中間有一細(xì)棒,則此幾何體的左視圖是( )。

3.由5個(gè)小立方塊搭成的幾何體,其三視圖分別如下,請(qǐng)畫出這個(gè)幾何體。

【答案】

1.D 2.B 3.

考試通APP掃描右側(cè)二維碼,進(jìn)入圖形推理考點(diǎn)專練。(建議在WiFi環(huán)境下掃描測(cè)驗(yàn))

特別提醒:至少練習(xí)200題。

考點(diǎn)專練

圖形推理

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