第4章 生產函數

4.1 復習筆記

一、企業的性質及經營目標

1．企業的性質

傳統的微觀經濟學理論，認為價格機制能有效的配置資源。問題是，假如生產是由價格機制調節的，生產能在根本不存在任何組織的情況下進行，那么組織為什么存在呢？

科斯在其被公認為是新制度經濟學開山之作的論文《企業的性質》中提出了“交易成本”的概念。在科斯看來，企業和市場是兩種不同的資源配置方式。在企業內是“權威”指導資源的配置，而在市場上則是價格配置資源。市場的運行是有成本的，通過形成一個組織，并允許某個權威（一個“企業家”）來支配資源，就能節約某些市場運行成本，即企業的性質是價格機制的替代物。

2．廠商的目標

在微觀經濟學中，一般總是假定廠商的目標是利潤最大化，這一基本假定是“經濟人”假設在生產理論中的具體化。

需要注意的是，在現實經濟生活中，廠商有時并不一定選擇實現最大利潤的決策，可能會以實現銷售收入最大化或市場銷售份額最大化來取代利潤最大化的決策，這主要是由于信息不完全和信息不對稱。

二、生產函數

1．生產函數

（1）生產要素

生產要素是指在生產中投入的各種經濟資源，包括勞動、土地和資本等。生產要素一般劃分為勞動、土地、資本和企業家才能四種類型。

勞動：指人類在生產過程中提供的體力和智力的總和。

土地：不僅指土地本身，還包括地上和地下的一切自然資源。

資本：表現為實物形態（資本品或投資品）和貨幣形態。

企業家才能：指企業家組織建立和經營管理企業的才能。

（2）生產函數

生產函數表示在一定時期內，在一定技術條件下，生產中所使用的各種生產要素的數量與所能生產的最大產量之間的關系。若以L表示勞動投入數量，K表示資本投入數量，則生產函數寫為：Q=f（L, K）。

2．短期生產與長期生產

長期是指時間長到可以使廠商調整生產規模來達到調整產量的目的的時間段。在長期中，一切生產要素都是可以變動的，不僅勞動投入量、原材料使用量可變，而且資本、設備量也可變。

短期是指時間短到廠商來不及調整生產規模來達到調整產量的目的，而只能在原有廠房、機器、設備條件下來調整產量的時間段。在短期中，只有一部分要素如勞動投入量及原材料投入數量是可變的，而另一些生產要素不隨產量變動而變動，如機器、廠房、設備、高級管理人才等。

三、短期生產函數

1．短期生產函數的形式

短期內，假設資本數量不變，只有勞動可隨產量變化，則短期生產函數為：

2．總產量、平均產量與邊際產量

（1）總產量、平均產量與邊際產量的概念

勞動的總產量TPL指與一定的可變要素勞動的投入量相對應的最大產量，即TPL=f（L, K）。

勞動的平均產量APL指平均每一單位可變要素勞動的投入量所生產的產量，即APL=。

勞動的邊際產量MPL指增加一單位可變要素勞動投入量所增加的產量，即MPL=。

3．總產量曲線、平均產量曲線和邊際產量曲線

總產量、平均產量與邊際產量的曲線如圖4-1所示，從圖中可以總結出這三個產量之間的關系：

（1）總產量與邊際產量的關系

①TPL曲線上每一點的斜率代表邊際產量。當勞動量在0-L2之間時，MPL不僅是正數，而且是逐漸增加的，TPL曲線的斜率為正，TPL曲線向上凹。在L=L2時，MPL達最大（即B′點），這時總產量曲線的斜率最大。

②當勞動量L2＜L＜L4時，邊際產量雖然是正數，但是遞減的，MPL逐漸變小，在TPL曲線上表示向上凸；當勞動量L=L4時，這時總產量極大，即D點是總產量最大值點，MPL曲線此時與橫軸相交于D′點，即MPL=0。

③當勞動量L＞L4時，MPL為負數，MPL曲線達到橫軸以下，總產量也處于遞減，即當再投入勞動量時，總產量會減少。

（2）總產量與平均產量的關系

①連接TPL曲線上任何一點和坐標原點的線段的斜率，就是相應的APL值。當投入勞動量0＜L＜L3時，總產量與平均產量都是增加的。當L=L3時，APL達到最大，即C′點。

②當L＞L3時，隨著勞動量投入的增加，總產量雖不斷增加，但到L=L4達到最大，此后就要遞減，而平均產量在L＞L3時已處于遞減階段。

（3）平均產量與邊際產量的關系

①當平均產量處于遞增階段，即0＜L＜L3時，MPL＞APL；當L=L3時，MPL=APL，平均產量達最大。

②當平均產量處于遞減階段時，即L＞L3時，這時MPL＜APL，這時說明邊際產量的下降幅度大于平均產量的下降幅度。

4．邊際報酬遞減規律

（1）邊際報酬遞減規律的內容

在技術水平不變的條件下，在連續等量地把某一種可變生產要素增加到其他一種或幾種數量不變的生產要素上去的過程中，當這種可變生產要素的投入量小于某一特定值時，增加該要素投入所帶來的邊際產量是遞增的；當這種可變要素的投入量連續增加并超過這個特定值時，增加該要素投入所帶來的邊際產量是遞減的。

（2）邊際報酬遞減的原因

對于任何產品的短期生產來說，可變投入和不變投入之間都存在著一個最佳的數量組合比例。在開始時，由于不變投入給定，而可變投入為零，因此生產要素的投入量遠遠沒有達到最佳的組合比例。隨著可變投入的逐漸增加，生產要素的投入量逐步接近最佳的組合比例，相應地，可變要素的邊際產量呈現出遞增的趨勢。一旦生產要素的投入量達到最佳的組合比例時，可變要素的邊際產量達到最大值。在這一點之后，隨著可變投入的繼續增加，生產要素的投入量越來越偏離最佳的組合比例，相應地，可變要素的邊際產量便呈現出遞減的趨勢。

在任何一種產品的短期生產中，隨著一種可變要素投入量的增加，邊際產量最終必然會呈現出遞減的特征。即邊際產量遞增階段后必然進入邊際產量遞減階段。

（3）邊際報酬遞減規律要發生作用必須具備以下三個前提條件：

①生產要素投入量的比例是可變的，即生產技術系數是可變的。

②技術水平保持不變。

③所增加的生產要素具有同樣的效率。

5．短期生產的三個階段

根據總產量曲線、平均產量曲線和邊際產量曲線之間的關系，把產量的變化分為三個區域，如圖4-1所示。

第一區域，是平均收益遞增階段。可變要素勞動量L投入的增加，使平均產量增加。這時，因為邊際產量高于平均產量，每增加一個單位的勞動都能提高平均產量。這表明，和可變要素勞動量L相比，固定要素（如資本K等）投入太多，很不經濟。在這一區域，增加勞動量投入是有利可圖的，它不僅能充分利用固定要素，而且能使總產量以遞增的比率增加，任何理性的廠商通常不會把可變要素投入的使用量限制在這一區域內。

第二區域，是平均收益遞減階段。從平均產量最高點開始，隨著可變要素勞動量L投入的增加，邊際產量雖遞減但大于0，故總產量仍遞增，一直到達最大時為止。另一方面，平均產量開始遞減，因為邊際產量已小于平均產量。

第三區域，是邊際負收益階段。從總產量達到最高點開始，隨著可變要素勞動量L投入的增加，邊際產量成為負值，總產量開始遞減，這時每減少一個單位的可變要素投入反而能提高總產量，表明與固定要素投入相比，可變要素投入太多了，也不經濟。顯然，理性的廠商也不會在這一區域進行生產。

可見，理性廠商必然要在第二區域生產。這一區域為生產要素合理使用區域，又稱經濟區域。但是，生產者究竟要投入多少可變要素或生產多少取決于成本函數，假如廠商不考慮單位產品成本，而希望得到最大產量，那么勞動要素的投入量以圖4-1中D′點最合適；假如廠商考慮的是單位產品成本，而不要求得到最大產量，那么勞動要素的投入量以圖4-1中C′點最合適。

四、長期生產函數

1．長期生產函數的形式

在長期內，所有的生產要素的投入量都是可變的，多種可變生產要素的長期生產函數可以寫為：Q=f（X1, X2, …, Xn），式中，Q為產量；Xi（i=1,2, …, n）為第i種可變生產要素的投入數量。該生產函數表示：長期內在技術水平不變的條件下由n種可變生產要素投入量的一定組合所能生產的最大產量。

假定生產者使用勞動和資本兩種可變生產要素來生產一種產品，則兩種可變生產要素的長期生產函數可以寫為：Q=f（L, K）。式中，L為可變要素勞動的投入量，K為可變要素資本的投入數量，Q為產量。

2．等產量曲線的含義與性質

等產量曲線表示在技術水平不變的條件下，為生產一定的產量所需投入的兩種生產要素之間的所有不同組合的軌跡。以常數Q0表示既定的產量水平，則與等產量曲線相對應的生產函數為Q=f（L, K）=Q0。等產量曲線有如下性質：

（1）表示某一生產函數的等產量曲線圖中，可以畫出無數條等產量曲線，并且任何兩條等產量曲線不能相交。

（2）等產量曲線上的任一點的斜率等于該點上以生產要素L代替生產要素K的邊際技術替代率，MRTS不僅為負值，而且其絕對值是遞減的，即等產量曲線凸向原點。

（3）離原點越近的等產量曲線代表的產量越低，離原點越遠的等產量曲線代表的產量越高。

由于等產量曲線的幾何特點與無差異曲線相似，它又被稱為生產無差異曲線。但兩者有區別，等產量曲線表示產量，無差異曲線表示效用；等產量曲線是客觀的，無差異曲線是主觀的。

3．邊際技術替代率及其遞減規律

（1）邊際技術替代率

邊際技術替代率，是指在產量不變的前提下，當某種生產要素增加一單位時，與另一生產要素所減少的數量的比率。勞動對資本的邊際技術替代率的定義公式為：

式中，ΔK和ΔL分別為資本投入量和勞動投入量的變化量。

邊際技術替代率還可以表示為兩要素的邊際產量之比，即。

等產量曲線上的斜率絕對值等于兩種要素之間的邊際技術替代率。

（2）邊際技術替代率遞減規律

邊際技術替代率遞減規律的內容：在維持產量不變的前提下，當一種生產要素的投入量不斷增加時，每增加一單位的這種生產要素所能替代的另一種生產要素的數量是遞減的。

邊際技術替代率遞減的主要原因在于：任何一種產品的生產技術都要求各要素投入之間有適當的比例，這意味著要素之間的替代是有限制的。

邊際技術替代率遞減使得等產量曲線像無差異曲線一樣向右下方傾斜，且凸向原點。

4．生產函數的幾種形式

（1）固定替代比例的生產函數

固定替代比例的生產函數也被稱為線性生產函數，表示在每一產量水平上任何兩種生產要素之間的替代比例都是固定的。假定生產過程中只使用勞動和資本兩種要素，則固定替代比例的生產函數的通常形式為：

Q=aL+bK

其中，Q為產量，L和K分別表示勞動和資本的投入量，常數a、b＞0。

（2）固定投入比例生產函數

固定投入比例生產函數也被稱為里昂惕夫生產函數，是指在每一個產量水平上任何一對要素投入量之間的比例都是固定的生產函數。假定生產過程中只使用勞動和資本兩種要素，則固定投入比例生產函數的通常形式為：

式中，Q為產量；L和K分別為勞動和資本的投入量；常數u、v＞0，分別為固定的勞動和資本的生產技術系數，它們分別表示生產一單位產品所需要的固定的勞動投入量和固定的資本投入量。

對一個固定投入比例生產函數來說，最優投入要素組合應滿足：。

（3）柯布-道格拉斯生產函數

柯布-道格拉斯生產函數是最常見的一種生產函數，其一般形式為：

Q=ALαKβ（0＜α, β＜1）

式中，Q為產量；A表示技術系數；L和K分別為勞動和資本投入量；α和β為參數。該生產函數的主要特征為：

①α和β分別表示勞動和資本在生產過程中的相對重要性，或者說是表示勞動所得和資本所得在總產量中所占的份額。

②A（λL）α（λK）β=λα+βALαKβ

如果α+β＞1，則此時為規模報酬遞增的生產；如果α+β=1，則此時為規模報酬不變的生產；如果α+β＜1，則此時為規模報酬遞減的生產。

五、規模報酬

1．規模報酬的含義及其與要素報酬含義的區別

規模報酬與生產要素報酬是兩個不同的概念。規模報酬所涉及的是企業的生產規模變化與所引起的產量變化之間的關系，而要素報酬是指要素投入的邊際產量收益。前者是廠商根據經營規模設計不同的工廠，屬長期分析；后者是在既定的生產規模中，增加可變要素時相應產量的變化，屬短期分析。

2．規模報酬的三種類型

（1）規模報酬遞增，是指產量增加的比例大于各種生產要素增加的比例。原因：生產專業化程度提高；生產要素具有不可分的性質；管理更合理。規模報酬遞增導致等產量曲線越來越緊密。

（2）規模報酬不變，是指產量增加的比例等于各種生產要素增加的比例。原因：主要是由于規模報酬遞增的因素吸收完畢，某種生產組合的調整受到了技術上的限制。規模報酬不變時，等產量曲線間距相等。

（3）規模報酬遞減，是指產量增加的比例小于各種生產要素增加的比例。原因：主要是規模過大造成管理效率的下降。規模報酬遞減時，等產量曲線間距越來越遠。

3．用數學公式定義規模報酬

令生產函數Q=f（L, K）。

（1）如果f（λL, λK）＞λf（L, K），其中，常數λ＞0，則生產函數Q=f（L, K）具有規模報酬遞增的性質。

（2）如果f（λL, λK）=λf（L, K），其中，常數λ＞0，則生產函數Q=f（L, K）具有規模報酬不變的性質。

（3）如果f（λL, λK）＜λf（L, K），其中，常數λ＞0，則生產函數Q=f（L, K）具有規模報酬遞減的性質。

4．規模報酬的規律

當企業從最初的很小的生產規模開始逐步擴大的時候，企業面臨的是規模報酬遞增的階段。在企業得到了由生產規模擴大所帶來的產量遞增的全部好處以后，一般會繼續擴大生產規模，將生產保持在規模報酬不變的階段。這個階段有可能比較長。在這以后，企業若繼續擴大生產規模，就會進入一個規模報酬遞減的階段。

4.2 課后習題詳解

1．下面是一張一種可變生產要素的短期生產函數的產量表：

（1）在表中填空。

（2）該生產函數是否表現出邊際報酬遞減？如果是，是從第幾單位的可變要素投入量開始的？

答：（1）利用短期生產的總產量（TP）、平均產量（AP）和邊際產量（MP）之間的關系，可以完成對該表的填空，其結果如表4-2所示。

（2）邊際報酬遞減是指短期生產中一種可變要素的邊際產量在達到最高點以后開始逐步下降的這樣一種普遍的生產現象。本題的生產函數表現出邊際報酬遞減的現象，具體地說，由表4-2可見，當可變要素的投入量由第4單位增加到第5單位時，該要素的邊際產量由原來的24下降為12。

2．用圖說明短期生產函數的TPL曲線、APL曲線和MPL曲線的特征及其相互之間的關系。

答：短期生產函數的TPL曲線、APL曲線和MPL曲線的綜合圖如圖4-2所示。

由圖4-2可見，在短期生產的邊際報酬遞減規律的作用下，MPL曲線呈現出先上升達到最高點A以后又下降的趨勢。由邊際報酬遞減規律決定的MPL曲線出發，可以方便地推導出TPL曲線和APL曲線，并掌握它們各自的特征及其相互之間的關系。

關于TPL曲線。由于，所以，當MPL＞0時，TPL曲線是上升的；當MPL＜0時，TPL曲線是下降的；而當MPL=0時，TPL曲線達最高點。換言之，在L=L3時，MPL曲線達到零值的B點與TPL曲線達到最大值的B′點是相互對應的。此外，在L＜L3即MPL＞0的范圍內，當MPL′＞0時，TPL曲線的斜率遞增，即TPL曲線以遞增的速率上升；當MPL′＜0時，TPL曲線的斜率遞減，即TPL曲線以遞減的速率上升；而當MPL′=0時，TPL曲線存在一個拐點，換言之，在L=L1時，MPL曲線斜率為零的A點與TPL曲線的拐點A′是相互對應的。

關于APL曲線。由于，所以，在L=L2時，TPL曲線有一條由原點出發的切線，其切點為C。該切線是由原點出發與TPL曲線上所有的點的連線中斜率最大的一條連線，故該切點對應的是APL的最大值點。再考慮到APL曲線和MPL曲線一定會相交在APL曲線的最高點。因此，在圖4-2中，在L=L2時，TPL曲線與MPL曲線相交于APL曲線的最高點C′，而且與C′點相對應的是TPL曲線上的切點C。

3．已知生產函數Q=f（L, K）=2KL-0.5L2-0.5K2，假定廠商目前處于短期生產，且K=10。

（1）寫出在短期生產中該廠商關于勞動的總產量TPL函數、勞動的平均產量APL函數和勞動的邊際產量MPL函數。

（2）分別計算當勞動的總產量TPL、勞動的平均產量APL和勞動的邊際產量MPL各自達到極大值時的廠商的勞動投入量。

（3）什么時候APL=MPL？它的值又是多少？

解：（1）將K=10代入生產函數Q=f（L, K）=2KL-0.5L2-0.5K2中，得：

Q=-0.5L2+20L-50

于是，根據總產量、平均產量和邊際產量的定義，有以下函數：

勞動的總產量函數TPL=-0.5L2+20L-50

勞動的平均產量函數

勞動的邊際產量函數MPL=-L+20

（2）令MPL=0，解得L=20且

所以當勞動的投入量為20時，勞動的總產量TPL達到最大。

令，解得L=10（負值舍去）

且有

所以，當勞動投入量為L=10時，勞動的平均產量APL達到最大。

由勞動的邊際產量函數MPL=-L+20可知，MP′L=-1＜0，邊際產量曲線是一條斜率為負的直線。當勞動投入量L=0時勞動的邊際產量MPL達到極大值。

（3）當勞動的平均產量APL達到最大時，一定有APL=MPL，

即，得：L=10

此時APL=MPL=10。

4．區分邊際報酬遞增、不變和遞減的情況與規模報酬遞增、不變和遞減的情況。

答：規模報酬的遞增、不變和遞減與邊際報酬遞增、不變和遞減的區別如下：規模報酬所涉及的是，一廠商的規模本身發生變化（這假定為該廠的廠房、設備等固定要素和勞動、原材料等可變要素發生了同比例變化）時相應的產量是遞增、不變還是遞減，或者說是廠商根據他的經營規模大小（產銷量大小）設計不同的工廠規模；而邊際報酬遞增、不變和遞減所討論的則是在該廠的規模已經固定下來，即廠房、設備等固定要素既定不變，可變要素的變化引起的產量（報酬）遞增、不變和遞減三種情況。

5．已知生產函數為Q=min{2L,3K}，求：

（1）當產量Q=36時，L與K值分別是多少？

（2）如果生產要素的價格分別為PL=2, PK=5，則生產480單位產量的最小成本是多少？

解：（1）生產函數Q=min{2L,3K}表示該函數是一個固定投入比例的生產函數，所以，當廠商進行生產時，總有Q=2L=3K。

因為已知Q=36，解得L=18, K=12。

（2）由Q=2L=3K, Q=480，可得：

L=240, K=160

又因為PL=2, PK=5，所以有：

TC=PL·L+PK·K=2×240+5×160=1280

即生產480單位產量的最小成本為1280。

6．假設某廠商的短期生產函數為Q=35L+8L2-L3。求：

（1）該企業的平均產量函數和邊際產量函數。

（2）如果企業使用的生產要素的數量為L=6，是否處于短期生產的合理區間？為什么？

解：（1）由廠商的短期生產函數可得平均產量函數APL和邊際產量函數MPL，即有：

（2）當企業使用的生產要素的數量L=6時，

MPL=35+16L-3L2=35+16×6-3×62=23＞0

APL=35+8L-L2=35+8×6-62=47

顯然，當企業使用的生產要素的數量L=6時，生產處于第Ⅱ階段，是短期生產的合理區間。

7．假設生產函數Q=min{5L,2K}。

（1）作出Q=50時的等產量曲線。

（2）推導該生產函數的邊際技術替代率函數。

（3）分析該生產函數的規模報酬情況。

解：（1）生產函數Q=min（5L,2K）表明該生產函數是一個固定投入比例的生產函數，它反映了勞動和資本在某一技術水平下必須以固定比例投入的情況。本題Q=50時等產量曲線為如圖4-3所示的直角形式，資本和勞動應滿足=，且5L=2K=50。聯立解得：K=25, L=10。

（2）由于生產要素K和L是不可替代的，因此邊際技術替代率為零。

（3）因為Q=f（L, K）=min{5L,2K}，所以有：

f（λL, λK）=min{5λL,2λK}=minλ{5L,2K}=λmin{5L,2K}=λQ

故該生產函數呈現出規模報酬不變的特征。

8．已知柯布-道格拉斯生產函數為Q=ALαKβ。請討論該生產函數的規模報酬情況。

解：因為Q=f（L, K）=ALαKβ，所以有：

f（λL, λK）=A（λL）α（λK）β=λα+βALαKβ

故，當α+β＞1時，柯布-道格拉斯生產函數Q=ALαKβ具有規模報酬遞增的性質；

當α+β=1時，柯布-道格拉斯生產函數Q=ALαKβ具有規模報酬不變的性質；

當α+β＜1時，柯布-道格拉斯生產函數Q=ALαKβ具有規模報酬遞減的性質。

9．已知生產函數Q=AL1/3K2/3。判斷：

（1）在長期生產中，該生產函數的規模報酬屬于哪一種類型？

（2）在短期生產中，該生產函數是否受邊際報酬遞減規律的支配？

解：（1）因為，于是有：

所以，生產函數屬于規模報酬不變的生產函數。

（2）假定在短期生產中，資本投入量不變，用表示；而勞動投入量可變，用L表示。

對于生產函數，有：

且

這表明：在短期資本投入量不變的前提下，隨著一種可變要素勞動投入量的增加，勞動的邊際產量MPL是遞減的。

相類似地，假定在短期生產中，勞動投入量不變，以表示；而資本投入量可變，以K表示。

對于生產函數，有：

且

這表明：在短期勞動投入量不變的前提下，隨著一種可變要素資本投入量的增加，資本的邊際產量MPK是遞減的。

以上的推導過程表明該生產函數在短期生產中受邊際報酬遞減規律的支配。

10．令生產函數，其中0≤αn≤1, n=0,1, 2,3。

（1）當滿足什么條件時，該生產函數表現出規模報酬不變的特征？

（2）證明：在規模報酬不變的情況下，相應的邊際產量是遞減的。

解：（1）由

則

如果該生產函數表現出規模報酬不變，則f（λL, λK）=λf（L, K），這就意味著對于任何常數λ＞0都必有（1-λ）α0=0，解得α0=0。

可見，當α0=0時，該生產函數表現出規模報酬不變的特征。

（2）在規模報酬不變的情況下，生產函數為，這時有：

這表明在規模報酬不變的情況下，該函數相應的邊際產量是遞減的。

4.3 名校考研真題詳解

一、名詞解釋

1．邊際報酬遞減規律（law ofdiminishingmarginalreturns）（武漢大學2001、2004研；北理工2003研；中山大學2005研；中國政法大學2005研；南京大學2005研；廈門大學2006、2010、2014研；中國青年政治學院2009研；中央財大2014研）

答：在技術水平不變的條件下，在連續等量地把某一種可變生產要素增加到其他一種或幾種數量不變的生產要素上去的過程中，當這種可變生產要素的投入量小于某一特定值時，增加該要素投入所帶來的邊際產量是遞增的；當這種可變要素的投入量連續增加并超過這個特定值時，增加該要素投入所帶來的邊際產量是遞減的。這就是邊際報酬遞減規律。

從理論上講，邊際報酬遞減規律成立的原因在于：對于任何產品的短期生產來說，可變要素投入和固定要素投入之間都存在著一個最佳的數量組合比例。一旦生產要素的投入量達到最佳的組合比例時，可變要素的邊際產量達到最大值。在這一點之后，隨著可變要素投入量的繼續增加，生產要素的投入量越來越偏離最佳的組合比例，相應的可變要素的邊際產量便呈現出遞減的趨勢了。

邊際報酬遞減規律強調的是：在任何一種產品的短期生產中，隨著一種可變要素投入量的增加，可變要素的邊際產量最終必然會呈現出遞減的特征。

2．邊際技術替代率（MarginalRateofTechnicalSubstitution）（北師大2006研；西安交大2006研；華中科大2007研；深圳大學2007研；財政部財科所2008研；中山大學2009研；浙江大學2009研；湖南大學2012研；浙江工商大學2016研）

答：在維持產量水平不變的條件下，增加一單位某種生產要素投入量時所需要減少的另一種要素的投入數量，被稱為邊際技術替代率，其英文縮寫為MRTS。用ΔK和ΔL分別表示資本投入量的變化量和勞動投入量的變化量，則勞動對資本的邊際技術替代率的公式為：

生產要素相互替代的過程中存在邊際技術替代率遞減規律，即在維持產量不變的前提下，當一種生產要素的投入量不斷增加時，每一單位的這種生產要素所能替代的另一種生產要素的數量是遞減的。邊際技術替代率遞減的主要原因在于：任何一種產品的生產技術都要求各要素投入之間有一個適當的比例，這意味著要素之間的替代是有限制的。

3．規模報酬（中南財大2000研；北師大2001研；中央財大2005研；湖南大學2006研）

答：規模報酬是指在其他條件不變的情況下，企業內部各種生產要素按相同比例變化時所帶來的產量變化。規模報酬分析的是企業的生產規模變化與所引起的產量變化之間的關系。企業只有在長期內才可能變動全部生產要素，進而變動生產規模，因此，企業的規模報酬分析屬于長期生產理論。

企業的規模報酬變化可以分規模報酬遞增、規模報酬不變和規模報酬遞減三種情況。其中，產量增加的比例大于各種生產要素增加的比例，稱之為規模報酬遞增；產量增加的比例等于各種生產要素增加的比例，稱之為規模報酬不變；產量增加的比例小于各種生產要素增加的比例，稱之為規模報酬遞減。

一般說來，在長期生產過程中，企業的規模報酬的變化呈現出如下的規律：當企業從最初的很小的生產規模開始逐步擴大的時候，企業面臨的是規模報酬遞增的階段。在企業得到了由生產規模擴大所帶來的產量遞增的全部好處以后，一般會繼續擴大生產規模，將生產保持在規模報酬不變的階段，這個階段有可能比較長。在這以后，企業若繼續擴大生產規模，就會進入一個規模報酬遞減的階段。

4．等產量曲線（浙江大學2004研；上海交大2006研）

答：等產量曲線是在技術水平不變的條件下生產同一產量的兩種生產要素投入量的各種不同組合的軌跡。以常數Q0表示既定的產量水平，L表示投入的勞動數量，K表示投入的資本數量，則與等產量曲線相對應的生產函數為：

Q=f（L, K）=Q0

如圖4-4所示，等產量曲線與坐標原點的距離的大小表示產量水平的高低：離原點越近的等產量曲線代表的產量水平越低；離原點越遠的等產量曲線代表的產量水平越高。同一平面坐標上的任意兩條等產量曲線不會相交，并且等產量曲線是凸向原點的。

5．規模報酬遞增（increasingreturnstoscale）（廈門大學2009研）

答：企業的規模報酬變化可以分為規模報酬遞增、規模報酬不變和規模報酬遞減三種情況。其中，當投入要素數量增加一倍時，如果產出增加高于一倍，則存在規模報酬遞增。設生產函數為Q=f（L, K），如果f（λL, λK）＞λf（L, K），其中，λ＞1，則生產函數Q=f（L, K）具有規模報酬遞增的性質。

產生規模報酬遞增的主要原因是由于企業生產規模擴大所帶來的生產效率的提高。它可以表現為：生產規模擴大以后，企業能夠利用更先進的技術和機器設備等生產要素，而較小規模的企業可能無法利用這樣的技術和生產要素。隨著對較多的人力和機器的使用，企業內部的生產分工能夠更合理和專業化。此外，人數較多的技術培訓和具有一定規模的生產經營管理，也都可以節省成本。

二、簡答題

1．生產的三個階段是如何劃分的？為什么生產者通常會選擇在第二階段生產？（東北財大2006研；廈門大學2006研；云南大學2008研；東華大學2010研；南京財經大學2010研）

答：（1）生產的三個階段是在假定生產技術水平和其他要素投入量不變，只有勞動投入可變的條件下，以勞動投入多少來劃分的生產不同階段。

具體而言，生產的三個階段是根據總產量曲線、平均產量曲線和邊際產量曲線的形狀及其相互之間的關系來劃分的。如圖4-5所示：第Ⅰ階段，平均產量遞增階段，即平均產量從0增加到最高的階段，這一階段是從原點到APL、MPL曲線的交點，即勞動投入量由0到L3的區間。第Ⅱ階段，平均產量的遞減階段，邊際產量仍然大于0，所以總產量仍然是遞增的，直到總產量達到最高點。這一階段是從APL、MPL兩曲線的交點到MPL曲線與橫軸的交點，即勞動投入量由L3到L4的區間。第Ⅲ階段，邊際產量為負，總的產量也是遞減的，這一階段是MPL曲線和橫軸的交點以后的階段，即勞動投入量L4以后的區間。

（2）首先，廠商肯定不會在第Ⅲ階段進行生產，因為這個階段的邊際產量為負值，生產不會帶來任何的好處。其次，廠商也不會在第Ⅰ階段進行生產，因為平均產量在增加，投入的這種生產要素還沒有發揮最大的作用，廠商沒有獲得預期的好處，繼續擴大可變投入的使用量從而使產量擴大是有利可圖的，至少使平均產量達到最高點時為止。因此廠商通常會在第Ⅱ階段進行生產，雖然平均產量和邊際產量都下降，但是總產量還在不斷增加，收入也增加，只是增加的速度逐漸減慢，直到停止增加時為止。

2．單個生產要素的報酬遞減與規模報酬不變并不矛盾，為什么？（西安交大2007研；廈門大學2008研；浙江大學2008研）

答：（1）邊際報酬遞減規律是指，在技術水平不變的條件下，在連續等量地把某一種可變生產要素增加到其他一種或幾種數量不變的生產要素上去的過程中，當這種可變要素的投入量連續增加并超過這個特定值時，增加該要素投入所帶來的邊際產量是遞減的。規模報酬不變是指在所有要素同時等量變動時，產量的變動幅度等于要素變動幅度。

（2）單個生產要素的報酬遞減與規模報酬不變并不矛盾。邊際報酬遞減是一個短期的概念，而規模報酬分析屬于長期生產理論，即研究的是長期。規模報酬問題討論的是工廠本身規模發生變化時產量的變化，而單個要素報酬問題涉及的則是企業規模已經固定下來，增加可變要素時相應的產量變化。事實上，當廠商經營規模較大，在給定技術狀況下投入要素的效率固定不變，即規模報酬不變的同時，隨著可變要素投入增加到足以使固定要素得到最有效的利用后，繼續增加可變要素，總產量的增加同樣將會出現遞減現象。所以，規模報酬不變的廠商也可能面臨單個生產要素的報酬遞減現象。

舉例如下：對于生產函數Q=f（L, K）=AKαLβ（其中，α＞0, β＞0）而言，當α+β=1時，該生產函數具有規模報酬不變的特征。但是，當α+β=1時，勞動L和資本K都呈現邊際報酬遞減，即有MPL′＜0, MPK′＜0。因此，在生產過程中是有可能同時存在單個生產要素的邊際報酬遞減和規模報酬不變的情況的。

3．假設你是一名雇主，假定其他要素投入短期無法增加，要招聘新的員工，目的是增加產量。對最后一名雇員，在平均產量和勞動的邊際產量中，你更關心什么？如果你發現平均產量開始下降，你會雇傭更多的工人嗎？這種情況的出現意味著你剛雇傭的工人的邊際產量如何？（請用圖說明）（廈門大學2014研）

答：（1）作為一名雇主，在考慮新雇傭一名工人時，在勞動的平均產量和邊際產量中他將更關心勞動的邊際產量。平均產量（APL）和邊際產量（MPL）的關系如圖4-6所示。

從圖4-6中可以看出，就平均產量APL和邊際產量MPL來說，當MPL＞APL時，APL曲線是上升的；當MPL＜APL時，APL曲線是下降的；當MPL=APL時，APL曲線達極大值。

一般來說，平均產量可以衡量勞動生產率，當廠商發現平均產量開始下降就不會再雇傭更多工人。由以上總結可以得出，邊際產量決定了平均產量。只要邊際產量超過平均產量，平均產量就會增加。所以，廠商在雇傭工人時更重視邊際產量。

（2）如果平均產量開始下降，則應該雇傭更多的工人。平均產量開始下降的點是邊際產量等于平均產量的點，此時雖然平均產量開始下降，但是邊際產量仍為正的，總產量是增加的，如圖4-6所示。

（3）平均產量下降意味著最后雇傭的一名工人的邊際產量小于之前雇傭的工人的平均產量，但其邊際產量是大于零的。這時，雖然繼續雇傭工人使得平均產量繼續下降，但總產量是增加的。只要增加工人帶來的邊際收益大于邊際成本，企業會繼續雇傭工人。當總產量開始下降時，一個理性的生產者將會停止雇傭工人。

三、計算題

1．給定CES生產函數Q=（Kp+Lp）1/p, Q為產出，K、L分別為資本和勞動的投入量。

（1）證明該企業規模收益不變；

（2）資本和勞動的邊際產量為多少？

（3）勞動對資本的邊際技術替代率是多少？

（4）證明資本和勞動的產出彈性之和等于1。

（5）把這個企業分為兩個相同的企業，分立之后的產出之和與原企業的產出有什么變化？詳細寫出演算過程。（北京大學光華管理學院2002研）

解：（1）企業的生產函數為Q=（Kp+Lp）1/p，可令Q=f（K, L）=（Kp+Lp）1/p，因為f（tK, tL）==t（Kp+Lp）1/p=tf（K, L），所以，該企業規模收益不變。

（2）資本的邊際產量

勞動的邊際產量

（3）勞動對資本的邊際技術替代率為：

（4）勞動的產出彈性為：

資本的產出彈性為：

所以，

（5）若把該企業分為兩個相同的企業則設兩個企業的產出為q，則：

既：2q=Q

所以，當CES生產函數表現為規模報酬不變時，分立后的兩企業產出之和等于原企業的產出。

2．設某公司的短期生產函數為Q=72L+15L2-L3，其中Q和L分別代表一定時間內的產量和可變要素投入量。求：

（1）MPL和APL函數；

（2）當L=7時，MPL=？當L由7個單位增加到8個單位時，產量增加多少？

（3）L投入量為多少時，MPL將開始面臨遞減？

（4）L投入量為多少時，APL將達到最大？

（5）該公司的最大產量是多少？為達到這個最大產量，L的投入量應為多少？（北京交大2002研）

解：（1）邊際產量函數為：；

平均產量函數為：。

（2）當L=7時，MPL=72+30L-3L2=135。

當L由7個單位增加到8個單位時，產量增加量為：

ΔQ=Q（8）-Q（7）=72×8+15×82-83-（72×7+15×72-73）=128

（3）令，得L=5，此時邊際產量MPL為最大值。所以，當L=5時，MPL將開始面臨遞減。

（4）平均產量函數為：APL=72+15L-L2，平均產量最大化的一階條件為：

解得L=7.5。故平均產量APL將達到最大時，L=7.5。

（5）公司產量最大化的一階條件為：

解得：L=12（L=-2舍去）。

最大產量為：maxQ=72L+15L2-L3=72×12+15×122-123=1296。

3．某廠商的生產函數為：Q=KL-0.2L20.8K2, Q、K、L分別表示產量、資本和勞動，假定資本投入是固定的，即K=10。

（1）請寫出勞動的平均產量（APL）函數和邊際產量（MPL）函數。

（2）分別計算當總產量、平均產量達到極大值時廠商雇用的勞動。

（3）以本題為例說明當APL達到極大時，為什么APL=MPL?（西安交大2008研）

解：（1）當資本投入是固定的，即K=10時，廠商的生產函數為：Q=10L-16L2。由生產函數可得勞動的平均產量（APL）和邊際產量（MPL）分別為：

（2）當總產量達到極大值時，即時，廠商雇用勞動；當平均產量達到極大值時，應滿足，所以平均產量一直遞減，其最大值在L=0處取得，即此時廠商雇傭勞動量為零。

（3）由（2）問可知，當平均產量達到極大值時，廠商雇用勞動為L=0。當L=0時，APL=10-16L=10, MPL=10-32L=10。可知，當APL達到極大值時，滿足APL=MPL。

四、論述題

試述消費者理論中的邊際替代率和生產者理論中的邊際技術替代率的異同。（上海財大2002研）

答：邊際替代率是指在維持效用水平或滿足程度不變的前提下，消費者增加1單位的某種商品的消費時所需放棄的另一種商品的消費數量。而邊際技術替代率是指在維持產量水平不變的條件下，增加一個單位的某種要素投入量時減少的另一種要素的投入數量。消費者理論中的邊際替代率和生產者理論中的邊際技術替代率之間既有聯系，也有區別。

（1）相同點

①形式上相似，在一定的前提條件下，增加一單位某一變量所要減少的另一單位變量的數量。

②都是一種比率，邊際替代率等于兩種商品的消費變化量之比；邊際技術替代率是資本投入的變化量和勞動投入的變化量的比率。

③都遵循遞減規律，邊際替代率遵循商品的邊際替代率遞減規律，即在維持效用水平不變的前提下，隨著一種商品消費量的連續增加，消費者為得到一單位的這種商品所需放棄的另一種商品的消費量是遞減的。邊際替代率為負值并且是遞減的，所以，無差異曲線是凸向原點的。邊際技術替代率遵循邊際技術替代率遞減規律，邊際技術替代率為負值且是遞減的，所以等產量曲線是一條向原點凸出的曲線。

（2）不同點

①所屬理論不同，邊際替代率屬于消費者理論中的概念，而邊際技術替代率屬于生產者理論中的概念。

②前提條件不同，邊際替代率的前提是維持效用水平或滿足程度不變，而邊際技術替代率的前提是維持產量水平不變。

③計算公式不同，以MRS表示商品的邊際替代率，ΔX1和ΔX2分別是商品1和商品2的變化量，則商品1對商品2的邊際替代率為：；以MRTS表示邊際技術替代率，ΔK和ΔL分別表示資本投入的變化量和勞動投入的變化量，勞動L對資本K的邊際技術替代率為：。

④二者的含義不同，無差異曲線上任意一點的商品的邊際替代率等于無差異曲線上該點的斜率的絕對值；等產量曲線上任意一點的邊際技術替代率是等產量曲線上該點斜率的絕對值。