3.2　排列組合的應用示例

3.2.1　雙色球彩票

雙色球彩票在中國的歷史不算短了，大概是從2003年2月就開始在中國聯網發售。雖然有很多人都在詬病說雙色球開獎的方式不夠公平透明，但是還有相當多的彩民一直在執著地研究雙色球開獎的規律（圖3-6）。

這里只從數學的角度來看一下雙色球彩票的頭獎和你花兩塊錢下注購買的彩票一致性的概率，也就是人們平時說的買一注然后就能中頭獎的概率有多大。這里必須先明確一個前提，就是確實沒有人對彩票購買和抽獎小球的抽出做干預，換而言之，就是你下的這一注是在完全不知道開獎結果的情況下買的，抽獎也是在每個球被抽出的概率一樣的情況下進行的。

我們購買一注彩票的時候，首先選擇紅球，從01~33共33個號碼中選擇6個號碼。再選擇藍球，從01~16共16個號碼中選擇1個號碼。6紅1藍一共7個號碼組成完整的一注彩票。

最終抽獎的時候也會是從01~33共33個紅色號碼中選擇6個號碼，再從01~16共16個藍色號碼中選擇1個號碼。6紅1藍一共7個號碼組成完整的一注頭獎彩票。

如果選擇的6紅1藍和頭獎的6紅1藍完全一致那就算中了頭獎，獎金怎么算……這個大家去問福利彩票中心吧，咱們這里只算概率。

先算算挑選6紅1藍一共有多少種挑法。

首先先從33個紅球中挑選6個紅球，用組合的方式計算：

也就是1107568種選法。

再從16個藍色球中選1個，一共有16種選法。

這樣6紅1藍的選法一共有1107568×16=17721088種。

舉個形象點的例子，老天爺在想1到17721088中的一個整數，你也在想1到17721088中的一個整數，你們倆想的完全一樣的概率有多大？沒錯，是1/17721088，大約是0.0000000564%的概率。

不少人說，這沒關系，反正有一些破解方法。有哪些破解方法？支持以下兩種方法的人比較多。

方法一：多買幾種組合。

那就算算看，一共17721088種可能，全部買下來——也就是俗稱的全餐彩票，一共要花35442176元人民幣。獎池是不是在所有中頭獎的人平分后還能至少分到手這么多不好說（加上二等獎、三等獎一共能領到多少錢都可以自己算）。按照比例縮小一些試試呢？比如買一半，那就是中獎概率變成1/2——要花17721088元，還有一半的可能性是不中。其他比例讀者可以自己計算。每一種比例在降低投入的同時，也在降低中獎概率。所以這種方式并沒有提高買彩票的投入產出比。

方法二：只買一種組合，堅持到底，就能提高勝率。

有這樣思想的朋友估計是這么一個思路，就是這一次這種組合不中，由于每種組合概率一樣，所以在多次隨機過程里前面出現過的組合后面出現的概率就低，前面沒出現過的組合后面出現的概率就高。有這樣思路的朋友，想想這樣一個事情，交通事故其實是一個典型的隨機事件，平均每個月發生交通事故的數量是相對“固定”的，只是發生的地點、發生的時間、發生的車型、涉及的人可能不同而已。

那么如果要避免交通事故，就要先人為制造一些無害的交通事故，造夠了次數，這個月就不會再發生交通事故了，大家也可以安心上路了。這個邏輯就變得順理成章，但是事實真的會是這樣嗎？

這種隨機產生的每一次結果之間其實是獨立的概率，換句話說每一次結果是不會影響前后隨機事件里產生的結果的，也不會影響到前后的隨機事件的結果。在靜態概型里，這個結論請大家牢記。也有人表示懷疑，說我明明在一些事情里看到前一件事發生后會影響后面事件發生的可能性，那這種事情怎么解釋。這種事情，首先不是古典概型的范疇，如果要歸類的話可以算作條件概率的研究范疇，條件概率在后文會詳細講解。

3.2.2　購車搖號

北京是一個以擁堵著稱的城市，擁堵的問題也是由來已久，而且幾乎是越來越嚴重。在萬般無奈的情況下，專家們最后祭出了一個大招——搖號。

搖號是一個帶有比較濃郁配給制色彩的手段。大概的形式就是，每個已經具備搖號資格的人登記一下身份證號碼，所有登記過身份證號碼的人都放在一個大“池子”里，然后每兩個月通過“隨機”的方式產生20000個號碼，這20000個幸運兒就是中簽者，就擁有了購買一輛汽油動力汽車的配額（圖3-7）。

中簽概率多大呢？有人想到直接用20000除以1420000就是自己中簽的概率。但是為什么是這么算呢？有理論依據嗎？下面試著推導一下。

以真實數據為例，2015年9月這個“池子”里大約有1420000個號，從里面選出20000個號，一個人中簽的概率有多大？稍微想想看，這個數值也不會是，因為不是要求1420000個號里找出20000個號一組的不同組合。

在沒有其他政策進行干預而將1420000個號碼進行等概率選出的情況下，選出20000個號，而自己的號正好在其中。相當于用一個1420000面的骰子投擲一次選出一個號，然后把這個號抹掉，再用剩余的1419999個號做成一個1419999面的骰子，再投擲一次，選出一個號，然后把這個號再抹掉……一次一次下去，直到20000次為止。實際相當于這么一個過程。

想不清夢的話試試用小一點的數字找找感覺。

如果是有3個人參與搖號，搖出2個，是怎么計算呢？

按照這種扔骰子的方法來玩，假設我們有個3面的骰子（其實真的是沒辦法做出一個3個面的等概率骰子，我們就當真的能做出來好了）。第一次我被骰子選中的概率為1/3，還有2/3是沒被選中的概率。在沒選中的情況下，換2個面的骰子，這一次我被骰子選中的概率為1/2。

算算我能被選中的概率一共是多少吧，

如果是6個人參與搖號，搖出3個，是怎么計算呢？

仍然用扔骰子的方法，同理：

第一次，選中的概率為1/6，沒選中的概率為5/6，現在該換5面的骰子了。

第二次，選中的概率為1/5，沒選中的概率為4/5，現在該換4面的骰子了。

第三次，選中的概率為1/4，沒選中的概率為3/4，結束。

被選中的概率是多少呢？

如果有興趣可以繼續用其他例子去算，我們現在直接說結論了，這種情況其實就是用擲骰子的次數除以最開始骰子的總面數，也就是一共選出的次數除以全樣本空間的大小。20000/1420000這個答案是沒有問題的，也就是中簽率為1.4%左右，一年搖號6次的話，估計運氣最差的人要11.8年才能抽中，聽到這樣的消息現在整個人都不好了。不過別忘了，每個月這個“池子”還在變大，究竟等多久可能只有老天知道了。我們這里只從理論上講解了計算的原理，但是和實際的計算方法還是有區別的，畢竟實際的遴選規則也是在不斷變化，例如對長時間未選中的號碼加遴選權重，這樣計算起來更為復雜一些。

3.2.3　德州撲克

七零后和八零后的朋友估計對香港影星周潤發很熟悉，尤其是發哥在《賭神》系列中風流倜儻的表演給人留下很深的印象，其中最后發哥和大BOSS單挑基本玩的都是“梭哈”——英文名稱Show Hand。梭哈和我們今天要說的德州撲克在牌點大小比較的規則上是非常近似的。

德州撲克是很多年輕人都喜歡的撲克競技游戲，全稱是Texas Hold’em Poker，中文簡稱德州撲克。這里研究一下各種牌型出現的概率。

對于不熟悉德州撲克規則的讀者來說，還是有必要先簡單描述一下德州撲克的規則。

一張臺面至少2人，最多22人，一般是由2~10人參加。德州撲克一共有52張牌，沒有王牌。每個玩家分2張牌作為“底牌”，5張由荷官（專業發牌的人）陸續朝上發出的公共牌。開始的時候，每個玩家會有2張面朝下的底牌。經過所有押注圈后，若仍不能分出勝負，游戲會進入“攤牌”階段，也就是讓所剩的玩家亮出各自的底牌以較高下，持大牌者獲勝。

第一輪是在每位玩家只能看到自己2張底牌的情況下加注。

第二輪是在每位玩家能看到自己2張底牌，以及桌面上3張公共牌的情況下加注。

第三輪是在每位玩家能看到自己2張底牌，以及桌面上4張公共牌的情況下加注。

第四輪是在每位玩家能看到自己2張底牌，以及桌面上5張公共牌的情況下加注。

最多只會經歷這4輪，一局游戲結束。

游戲的輸贏就是看玩家自己的2張底牌與桌面上當前已開出的公共牌，一共挑選出5張，組成最“大”的牌，哪位玩家的牌組合最“大”，哪位玩家就獲得勝利。

牌的組合大小怎么定義呢？

對博弈類游戲有所了解的讀者可能會有一些常識性的體會——組合出現的可能性越小的通常牌越“大”。那德州撲克里都有哪些組合呢？

第一等：同花大順。相同花色的A、K、Q、J、10（圖3-8）。

第二等：同花順。相同花色的5張牌相連。例如，紅桃6、7、8、9、10，黑桃9、10、J、Q、K等（圖3-9）。

第三等：四條。4張相同點數的牌。例如，4張8，4張Q等（圖3-10）。

第四等：滿堂紅（也叫葫蘆）。3張相同點數的牌，再加2張相同點數的牌。例如，3張5和2張9，3張K和2張10等（圖3-11）。

第五等：同花。5張相同花色的牌，但不是同花順。例如，5張牌都是方塊，5張牌都是梅花等（圖3-12）。

第六等：順子。5張點數相連的牌，但至少包含兩種花色。例如，方塊2、方塊3、梅花4、紅桃5、紅桃6，紅桃8、方塊9、梅花10、紅桃J、黑桃Q等（圖3-13）。

第七等：三條。3張相同點數的牌，再加2張不同點數的牌。例如，3張9和1張3、1張K，3張Q和1張A，1張6等（圖3-14）。

第八等：兩對。2張相同點數的牌作為一對，兩對牌，再加1張單牌。例如，2張5、2張9、1張A，2張10、2張J、1張K等（圖3-15）。

第九等：一對。2張相同點數的牌作為一對，一對牌，再加3張單牌。例如，2張10、1張7、1張8、1張9，2張A、1張K、1張9、1張5等（圖3-16）。

第十等：高牌。高牌即單牌，不滿足前面九等牌中任何一種的，就只能按照點數大小按順序決定高低了。A比K大，K比Q大，以此類推，2最小。

這里試求一下，一個人自己摸牌（沒有任何第二個玩家參與的情況下），前三等牌被摸到的概率有多大。

請注意，在沒有開始摸牌之前，如果牌被洗過若干次（沒有其他人為干擾因素），牌的發放是隨機的。而一旦底牌發放以后，尤其是玩家自己看過牌以后，這個時候的概率計算和現在要討論的這種概率計算是不一樣的——顯然，一個是完全隨機的，一個是有一定條件的，條件就是剛剛看到的那兩張底牌，而這種情況暫時不討論。

那么這種情況下，整個選牌的過程相當于從整副牌52張中選出7張，并從中組合出最大牌的過程，即

7張牌的組合一共有133784560種。

1.同花大順

在所有的組合中有多少是同花大順的呢？同花大順一共4種，分別是黑桃、紅桃、梅花、方塊的10、J、Q、K、A。7張牌里面，5張已經確定，另外2張怎么選都無所謂。以黑桃為例，黑桃的同花大順選出后，其實還有47張牌沒有發，挑出2張，即

同理，紅桃、梅花、方塊的同花大順也是一樣的，都是1081種組合，即同花大順共計有4324種組合。因此概率是

2.同花順

同花順有多少種情況呢？以黑桃為例，假設A~5組成同花順，黑桃6是不能發的，還剩下46張可以組合，則這種情況下組合數量為

2~6組成同花順，7是不能發的，A可以發（A作為散牌），所以還是

以此類推，黑桃的組合為A~5，2~6，……，9~K，一共9種，那么黑桃一種花色的牌型種類就為

1035×9=9315

4種花色的組合數就是

9315×4=37260

得到結果概率為

網上還有一種算法：

這種算法是有問題的。錯誤發生的地方大概在這里：“以黑桃為例，A~5，2~6，……，9~K，一共9種，47張牌里挑出兩張，計算：

那么黑桃的同花順的牌型種數為

1081×9=9729

同理，紅桃、梅花、方塊的同花順都有9729種組合，共計38916種組合，得到結果

這里一旦選好了5張牌作為“核心組合”以后，其他牌的選擇其實不是自由的，因為有的牌配進來以后就發現這個一開始就認定的組合不是最后在臺面上最大的牌。

3.四條

四條有多少種呢，計算方法類同，4張已經確定，還有48張沒有發：

注意這里4張的組合有多少種——13種，所以四條可能出現的組合數量為

17296×13=224848

除一下得到結果

雖然看上去機會仍然很渺茫，但是比同花大順和同花順的概率還是大了不少，是不是？

其他的組合方式大家有興趣可以自己慢慢去算，網上也有現成算好的對照表。

提示一下，兩對牌這種情況比較難算，因為情況比較復雜。它復雜的地方在于在滿足兩對牌的情況下，還要將滿足同花大順、同花順、四條、滿堂紅、同花、順子、三條的情況全部剔除才行。兩對牌的牌型為31433400種，概率為23.5%。還有一些其他形式的對照表，就是在手里底牌為已知固定組合的情況下，最終與公共牌組合成為各等牌的概率。這里溫馨提醒一下各位牌友，剛剛我們計算的概率是在一個人自己摸牌的情況下產生的概率。一旦是5個人、10個人玩的時候就大不相同了。有一點是確定的，人越多，公共牌和其他玩家一起組成的牌的種類可能性也越多，“罕見組合”在一局中出現的可能性也比一個人自己摸牌要高很多，請一定注意哦。