第一章 數(shù)量關系真題精選

解題方法

代入排除

（2013·聯(lián)考上·47）孫兒孫女的平均年齡是10歲，孫兒年齡的平方減去孫女年齡的平方所得的數(shù)值，正好是爺爺出生年份的后兩位，爺爺生于上個世紀40年代。問孫兒孫女的年齡差是多少歲？（　　）

A．2

B．4

C．6

D．8

【答案】A

【解析】本題如果直接求解，至少要設三個未知數(shù)，非常繁瑣，考慮使用代入排除。代入A項，若相差2歲，由平均年齡可知孫兒孫女分別為9歲和11歲，11×11-9×9=40，滿足題意，直接選擇A。

【小楊點睛】涉及年齡、次數(shù)、人數(shù)等整數(shù)問題，答案給出數(shù)值，直接代入比較容易。

（2015·國家·65）甲、乙、丙、丁四個人分別住在賓館1211、1213、1215、1217和1219這五間相鄰的客房中的四間里，而另外一間客房空著。已知甲和乙兩人的客房中間隔了其他兩間客房，乙和丙的客房號之和是四個人里任意二人的房號和中最大的，丁的客房與甲相鄰且不與乙、丙相鄰。則以下哪間客房可能是空著的？（　　）

A．1213

B．1211

C．1219

D．1217

【答案】D

【解析】本題屬于構造推斷類題目，直接下手不易，那么代入排除驗證即可。本題可畫表格直觀代入。在表格里本題的條件轉(zhuǎn)化為：甲、乙中間空兩列，乙、丙位置靠右，再選丁的位置即可。

【小楊點睛】構造類題目較難，但很多都可代入排除，省時省力。

（2014·上海A·68）某工廠某種產(chǎn)品每月的產(chǎn)能為8000個，1月的銷量為5000個，且預計每月銷量環(huán)比增加10%，則當年該產(chǎn)品庫存最高的月份是（　　）。

A．4月

B．5月

C．6月

D．7月

【答案】B

【解析】設第n月的庫存量為y，則，涉及冪次，直接求y的最大值有點困難。此時我們可以考慮代入排除。

依據(jù)常識可知，當產(chǎn)量大于銷量時庫存增加，當銷量大于產(chǎn)量時庫存減少，因此庫存最高的月份5000（1+10%）n-1最接近8000，即求1.1n-1≤1.6時，n的最大值。代入D項：1.17-1>1+6×0.1=1.6（二項式展開）; C項：1.16-1=1.21×1.21×1.1>1.6; B項：1.15-1<1.6；故選B。

【小楊點睛】題目中給出“最高”“最少”等求極值的字眼時，應該考慮答案大小來確定代入排除的次序。

（2014·天津·11）在一堆桃子旁邊住著5只猴子。深夜，第一只猴子起來偷吃了一個，剩下的正好平均分成5份，它藏起自己的一份，然后去睡覺。過了一會兒，第二只猴子起來也偷吃了一個，剩下的也正好平均分成5份，它也藏起自己的一份，然后去睡覺。第三、四、五只猴子也都依次這樣做。問那堆桃子最少有多少個？（　　）

A．4520

B．3842

C．3121

D．2101

【答案】C

【解析】答案信息比較充分，可以代入排除。代入的時候分析題干，桃子個數(shù)減去1個能被5整除，直接排除A、B兩個選項；題目設問“最少”有多少個，利用最值代入原則，從最小的選項D開始代入，2101-1=2100，第一個猴子藏起自己的一份后有;1680-1=1679不能再被5整除，D項錯誤，排除。只剩下C選項，無須代入，直接選擇。

【小楊點睛】一般情況下，代入排除結合整除特性，會起到事半功倍的效果。

舉一反三

請用代入排除法解答以下題目。比較一下，如果不用代入排除，應該怎么解答？

1．一個三位數(shù)，其百位數(shù)是個位數(shù)的2倍，十位數(shù)等于百位數(shù)和個位數(shù)之和，那么這個三位數(shù)是多少？（　　）

A．211

B．432

C．693

D．824

2．小華4年后年齡與小麗4年前的年齡相等，3年后，她們兩人的年齡和等于她們今年年齡差的3倍，小華和小麗今年的年齡分別是多少歲？（　　）

A．10，18

B．4，12

C．5，13

D．6，14

3．某數(shù)加上10，乘以10，減去10，除以10，其結果等于10，則這個數(shù)是（　　）。

A．1

B．10

C．11

D．9

4．某個三位數(shù)的數(shù)值是其各位數(shù)字之和的23倍，這個三位數(shù)為（　　）。

A．702

B．306

C．207

D．203

5．某單位組織員工去旅游，要求每輛汽車坐的人數(shù)相同，如果每輛車坐20人，還剩下2名員工；如果減少一輛汽車，員工正好可以平均分到每輛汽車。問該單位共有多少名員工？（　　）

A．244

B．242

C．220

D．224

6．一批武警戰(zhàn)士平均分成若干小組值勤。如果每4人一組，恰好余1人；如果每5人一組，恰好也余1人；如果每6人一組，恰好還是余1人。這批武警戰(zhàn)士至少有（　　）人。

A．121

B．101

C．81

D．61

7．甲、乙、丙、丁四個數(shù)的和為43，甲數(shù)的2倍加8，乙數(shù)的3倍，丙數(shù)的4倍，丁數(shù)的5倍減去4，都相等。問這四個數(shù)各是多少？（　　）

A．14，12，8，9

B．16，12，9，6

C．11，10，8，14

D．14，12，9，8

8．裝某種產(chǎn)品的盒子有大、小兩種，大盒每盒能裝11個，小盒每盒能裝8個，要把89個產(chǎn)品裝入盒內(nèi)，要求每個盒子都恰好裝滿，需要大、小盒子各多少個？（　　）

A．3，7

B．4，6

C．5，4

D．6，3

9．已知從甲地到乙地通話m分鐘的電話費由函數(shù)f（m）=1.06×（0.50×{m}+1）給出，其中m>0，{m}是不小于m的最小整數(shù)。如果某人IC電話磁卡上只有5元，則此人可以用該磁卡通話的時間最多為（　　）分鐘。

A．6.5

B．6

C．7.5

D．7

1．C 【解析】直接代入選項進行驗證，百位數(shù)是個位數(shù)的2倍，四個選項都符合；十位數(shù)等于百位數(shù)和個位數(shù)之和，只有C項符合。因此，本題答案為C選項。

【點撥】多位數(shù)問題，代入排除。

2．C 【解析】方法一：可直接代入檢驗，由條件知兩人的年齡差為8，所以兩人今年的年齡和再加6等于24，經(jīng)檢驗只有C項符合題意。

方法二：設小華和小麗今年的年齡分別為x、y歲。則x+4=y-4;（x+3）+（y+3）=（y-x）×3，解得x=5，y=13。因此，本題答案為C選項。

3．A 【解析】某數(shù)加上10，乘以10，減去10，除以10，其結果等于10，那么這個數(shù)是（10×10+10）÷10-10=1。但實際上，如果直接代入選項，[（1+10）×10-10]÷10=10，可以得出A項符合。因此，本題答案為A選項。

【點撥】答案信息完全，代入排除。

4．C 【解析】依據(jù)題意，將四個選項逐一代入，發(fā)現(xiàn)只有207滿足題意。因此，本題答案為C選項。

【點撥】結合選項發(fā)現(xiàn)，A、B、C三項的各位數(shù)字之和都是9，9×23=207。

5．B 【解析】本題考查和差倍比問題。如果減少一輛車，則要剩余（20+2）人，這22人可平均分配到各車，可知現(xiàn)在車的數(shù)量為11或22，則原來車的數(shù)量為12或23，結合選項，如果是23輛車則沒有答案，故原來車的數(shù)量是12，可知總?cè)藬?shù)為12×20+2=242（人）。因此，本題答案選B選項。

【點撥】代入排除，總?cè)藬?shù)末位數(shù)只能是2。

6．D 【解析】方法一：本題屬于余數(shù)問題，對于余數(shù)問題，我們優(yōu)先采用代入排除法。題目要求的是武警戰(zhàn)士人數(shù)最少是多少，我們可以從最小的數(shù)開始代入，符合題意即為正確選項。代入D項61，61減去1之后是4、5、6的倍數(shù)，符合題意。因此，本題答案選D選項。

方法二：本題屬于余數(shù)問題中的同余問題。武警戰(zhàn)士人數(shù)為4、5、6的最小公倍數(shù)的整數(shù)倍再加上1，即60n+1。最少為60×1+1=61（人）。因此，本題答案選D選項。

【點撥】代入排除，“總?cè)藬?shù)-1”能同時被4、5、6整除。

7．D 【解析】代入排除。由乙數(shù)的3倍等于丙數(shù)的4倍可排除A、C兩項，又由甲數(shù)的2倍加8等于乙數(shù)的3倍可排除B項，所以只有D項滿足條件。因此，本題答案為D選項。

【點撥】答案信息完全，考慮代入排除。

8．A 【解析】假設需要大盒子x個，小盒子y個，列方程得：11x+8y=89，為不定方程，代入選項只有3、7滿足方程。因此，本題答案為A選項。

【點撥】不定方程，直接代入。

9．D 【解析】此題宜用代入法驗證，從最長的時間開始。C項，m=7.5，而“{m}是不小于m的最小整數(shù)”，即{m}=8，代入公式f（m）=1.06×（0.50×8+1）=5.3>5，排除C項。如此依次驗證可知D項符合要求。

整除特性

（2012·深圳·11）某單位舉辦排球比賽，選男員工的和12名女員工，剩余男員工是剩余女員工的2倍，總員工人數(shù)是156人，問：男員工有多少人？（　　）

A．100

B．99

C．111

D．121

【答案】B

【解析】出現(xiàn)分數(shù)，可以考慮整除：選出男員工的，可知男員工的數(shù)量為11的倍數(shù)，首先排除A、C兩項，將B項代入，得知選出的男員工為9人，剩余90人（剩余男員工數(shù)量）。又女員工數(shù)量為：156-99=57（人），選出12人，剩余45人（剩余女員工數(shù)量），90÷45=2，即剩余男員工是剩余女員工的2倍，正好滿足題意，直接鎖定答案B。

【小楊點睛】“整除特性”實際上是通過限制條件快速排除答案，是一種特定的代入排除。

（2015·天津·12）某汽車坐墊加工廠生產(chǎn)一種汽車坐墊，每套的成本是144元，售價是200元。一個經(jīng)銷商訂購了120套這種汽車坐墊，并提出：如果每套坐墊的售價每降低2元，就多訂購6套。按經(jīng)銷商的要求，該加工廠獲得最大利潤需售出的套數(shù)是（　　）。

A．144

B．136

C．128

D．142

【答案】A

【解析】本題涉及二次函數(shù)，沒有選項的思路是：設工廠銷售套數(shù)是x套，由題意利潤。對該函數(shù)求導有，當dy=0時y取最大值，即x=144時能夠獲得最大利潤。

但考慮答案選項，容易發(fā)現(xiàn)只有144能被3整除，考慮整除特性。套數(shù)120+6n始終是3的倍數(shù)，只有A項滿足能被3整除這一條件。故正確答案為A選項。

【小楊點睛】3是公考中整除特性用得最多的數(shù)字，因此應該對3的倍數(shù)產(chǎn)生敏感：每位上所有數(shù)字之和加起來能被3整除的數(shù)字是3的倍數(shù)。公考中常見的有96、120、144、225等。

（2012·廣州·71）已知33×34=1122，333333×333334=111111222222，那么33333×33334=（　　）。

A．111122222

B．111112222

C．11112222

D．1111122222

【答案】D

【解析】所求算式中含因子3，則所得結果必能被3整除，排除A、B兩項；對比C、D兩項，C項結果的位數(shù)明顯偏少，排除。

事實上，33333能被11111整除，所以直接排除A、B、C三項。

【小楊點睛】在形如A=B×C形式的式子里，B能被一個數(shù)整除，A也能被這個數(shù)整除。

舉一反三

以下題目，是否容易看出整除規(guī)律？能否通過整除條件快速代入排除？

1．哥哥和弟弟各有若干本書，如果哥哥給弟弟4本，兩人書一樣多，如果弟弟給哥哥2本，哥哥的書是弟弟的4倍，哥哥和弟弟一共有（　　）本書。

A．20

B．9

C．17

D．28

2．小張和小王一起賣水果，小張賣的水果個數(shù)是小王的4倍，如果小張的水果分出一半給小王，小王就比小張多24個，問小張和小王共有多少個水果？（　　）

A．24

B．96

C．120

D．144

3．某店一共進貨6桶油，分別為15、16、18、19、20、31千克，上午賣2桶，下午賣3桶，下午賣的重量正好是上午的2倍，剩下的一桶油重幾千克？（　　）

A．15

B．16

C．18

D．20

4．在一袋螺釘螺母中，螺釘和螺母的數(shù)量比是3∶10。如果1個螺釘配3個螺母，最后一個螺釘配2個螺母，螺釘用完后能余下15個螺母。問袋中原來有螺母多少個？（　　）

A．120

B．130

C．140

D．150

5．小紅把平時節(jié)省下來的全部五分硬幣先圍成一個正三角形，正好用完，后來又改圍成一個正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價值是（　　）。

A．1元

B．2元

C．3元

D．4元

6．某洗車店洗車分外部清潔和內(nèi)部清潔，兩道工序時間均不少于30分鐘，而且同一輛車兩道工序不能同時進行，洗車間同一時間只能容下2輛車。現(xiàn)有9輛車需要清洗，汽車進出洗車間的時間可忽略不計，則洗完9輛車至少需要的時間為（　　）。

A．330分鐘

B．300分鐘

C．270分鐘

D．250分鐘

1．A 【解析】由“如果弟弟給哥哥2本，哥哥的書是弟弟的4倍”可知，總數(shù)一定是5的倍數(shù)，排除B、C、D三項。因此，本題正確答案為A。

【點撥】“哥哥的書是弟弟的4倍”，所以書的總數(shù)是5的倍數(shù)。

2．C 【解析】小張賣的水果個數(shù)是小王的4倍，兩人合計賣的水果個數(shù)就是小王的5倍，即水果總個數(shù)是5的倍數(shù)。答案中只有C項能夠被5整除。

3．D 【解析】由“下午賣的重量正好是上午的2倍”可得，上午和下午共同賣的5桶油的總重量應為上午賣出重量的3倍。6桶油的總重量為15+16+18+19+20+31=119（千克），只有去掉20以后剩余5個數(shù)的和才能被3整除。因此，本題答案為D選項。

4．C 【解析】出現(xiàn)“3”，考慮是否可用整除特性。由題意得，（螺母總數(shù)-15-2）是3的倍數(shù)，選項中只有C選項140-17=123是3的倍數(shù)。故選C。

5．C 【解析】因為所有的硬幣可以圍成一個正三角形，所以硬幣的總數(shù)必然是3的倍數(shù)，那么硬幣的總價值也應該是3的倍數(shù)。因此，本題答案為C選項。

【點撥】硬幣總數(shù)是3的倍數(shù)，總價值也是3的倍數(shù)。

6．C 【解析】本題可以利用整除特性求解。共有9輛車需清洗，則答案應該是9的倍數(shù)，四個選項只有C項可以被9整除。故選C。

融會貫通

1．（2009·國家·109）甲、乙兩人共有260本書，其中甲的書有13%是專業(yè)書，乙的書有12.5%是專業(yè)書，問甲有多少本非專業(yè)書？（　　）

A．75

B．87

C．174

D．67

2．（2013·聯(lián)考下·69）現(xiàn)有3個箱子，依次放入1、2、3個球，然后將3個箱子隨機編號為甲、乙、丙，接著在甲、乙、丙3個箱子里分別放入其箱內(nèi)球數(shù)的2、3、4倍。兩次共放了22個球。最終甲箱中的球比乙箱（　　）。

A．多1個

B．少1個

C．多2個

D．少2個

3．（2014·上海A·67）一艘海軍的訓練船上共有60人，其中有駕駛員、船員、見習駕駛員、見習船員，還有一些陸戰(zhàn)隊員。已知見習人員的總?cè)藬?shù)是駕駛員和船員總?cè)藬?shù)的四分之一，船員（含見習船員）總?cè)藬?shù)是駕駛員（含見習駕駛員）總?cè)藬?shù)的7倍，則船上有（　　）個陸戰(zhàn)隊員。

A．12

B．15

C．20

D．25

4．（2014·上海A·74）為幫助果農(nóng)解決銷路，某企業(yè)年底買了一批水果，平均發(fā)給每部門若干筐之后還多了12筐，如果再買進8筐則每個部門可分得10筐，則這批水果共有（　　）筐。

A．192

B．198

C．200

D．212

5．（2014·天津·14）有一支參加閱兵的隊伍正在進行訓練，這支隊伍的人數(shù)是5的倍數(shù)且不少于1000人，如果按每橫排4人編隊，最后少3人；如果按每橫排3人編隊，最后少2人；如果按每橫排2人編隊，最后少1人。請問，這支隊伍最少有多少人？（　　）

A．1045

B．1125

C．1235

D．1345

1．B 【解析】代入排除法。由“甲的書有13%是專業(yè)書”可知，甲的書有87%是非專業(yè)書，所以甲的非專業(yè)書是87的倍數(shù)，排除A、D兩項。若甲有非專業(yè)書87本，則乙有書260-100=160（本），其中專業(yè)書20本，非專業(yè)書140本，符合題意，選B。

如果有時間可檢驗C項：若甲有非專業(yè)書174本，則甲有200本書，乙有60本書，則乙有專業(yè)書60÷8=7.5（本），非整數(shù)，舍去。

2．A 【解析】由題知，甲、乙、丙3個箱子里最終的球數(shù)為原球數(shù)的3、4、5倍，而原來的球數(shù)是1或2或3，由于總球數(shù)22為偶數(shù)，故1個球和3個球所在的兩個箱子最終的球數(shù)仍為奇數(shù)，一種情況為1×3+2×4+3×5=26（個），不符合題意；另一種情況為1×5+2×4+3×3=22（個），符合題意。故最終甲箱為9個，乙箱為8個，甲箱中的球比乙箱多1個。選A。

3．C 【解析】見習人員人數(shù)是駕駛員和船員人數(shù)的，說明這四種人的總數(shù)必須是5的倍數(shù)，同理船員人數(shù)是駕駛員人數(shù)的7倍，說明這四種人的總數(shù)必須是8的倍數(shù)，據(jù)此要求，訓練船上的總?cè)藬?shù)減去陸戰(zhàn)隊員人數(shù)所得的數(shù)應能同時被5和8整除，驗證知只有C項正確。

4．A 【解析】總數(shù)加8應能被10整除，排除B、C項。將A項代入，則部門數(shù)為20；將D項代入，部門數(shù)為22，則212÷22=9……14，不符合題意。故選擇A。

5．A 【解析】每行排4人，最后少3人，說明總?cè)藬?shù)加3能被4整除，排除C項；每行排3人，最后少2人，說明總?cè)藬?shù)加2能被3整除，排除B項；每行排2人，最后少1人，說明總?cè)藬?shù)加1能被2整除，A、D兩項都滿足，而題目要求是這支隊伍最少有多少人，故選A。

枚舉歸納法

【例1】整數(shù)64具有可被它的個位數(shù)字整除的性質(zhì)。試問在10和50之間有多少個整數(shù)具有這種性質(zhì)？（　　）

A．15

B．16

C．17

D．18

【答案】C

【解析】枚舉法。個位是1、2、5的數(shù)都能被其個位數(shù)字整除，共3×4=12個；個位是3的只有33；個位是4的有24和44；個位是6的只有36；個位是7的沒有；個位是8的只有48；個位是9的沒有。故在10和50之間共有17個整數(shù)具有這種性質(zhì)。故本題答案為C。

【例2】小張每連續(xù)工作5天后休息3天，小周每連續(xù)工作7天后休息5天。假如3月1日兩人都休息，3月2日兩人都上班，問三月份有多少天兩人都得上班？（　　）

A．12

B．14

C．16

D．18

【答案】B

【解析】枚舉法。從3月2日開始，上班用“×”表示，休息用“○”表示，則有：

小張：×××××○○○×××××○○○×××××○○○×××××○

小周：×××××××○○○○○×××××××○○○○○××××××

易知，小張和小周都上班即同時為“×”的共有14天。故本題答案為B。

【例3】根據(jù)國務院辦公廳部分節(jié)假日安排的通知，某年8月份有22個工作日，那么當年的8月1日可能是（　　）。

A．周一或周三

B．周三或周日

C．周一或周四

D．周四或周日

【答案】D

【解析】枚舉法，最直接的做法：簡單畫日歷。畫好周一、二、三、四、五、六、日，把日期往里代。代入周一，不符合題意，排除選項A、C；同理代入周三，不符合題意，排除選項B。故本題答案為D。

【例4】用直線切割一個有限平面，后一條直線與此前每條直線都要產(chǎn)生新的交點，第1條直線將平面分成2塊，第2條直線將平面分成4塊，第3條直線將平面分成7塊，按此規(guī)律，將平面分為22塊需（　　）。

A．7條直線

B．8條直線

C．9條直線

D．6條直線

【答案】D

【解析】枚舉歸納。枚舉前4條直線，規(guī)律如下：

看規(guī)律，猜測第二行是一個二級等差數(shù)列，那么下幾項是16、22…結合題意可知，猜測正確。故本題答案為D。

十字交叉法

【例1】某超市購進西瓜1000個，運輸途中碰裂一些，未碰裂的西瓜賣完后，利潤率為40%，碰裂的西瓜只能降價出售，虧本60%，最后結算時總的利潤率為32%，問碰裂了多少西瓜？（　　）

A．80

B．75

C．85

D．78

【答案】A

【解析】十字交叉法：

，總和為1000個，那么碰裂了80個。

【例2】一只松鼠采松子，晴天每天采24個，雨天每天采16個，它一連幾天共采168個松子，平均每天采21個，這幾天當中晴天有幾天？（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

【答案】C

【解析】十字交叉法：

，晴天是5的倍數(shù)。

【例3】某單位共有A、B、C三個部門，三部門人員平均年齡分別為38歲、24歲、42歲。A和B兩部門人員平均年齡為30歲，B和C兩部門人員平均年齡為34歲。該單位全體人員的平均年齡為多少歲？（　　）

A．34

B．36

C．35

D．37

【答案】C

【解析】對A、B部門運用“十字交叉法”得其人數(shù)比例為3∶4，對B、C部門運用“十字交叉法”得其人數(shù)比例為4∶5。根據(jù)比例賦值A、B、C部門分別有3、4、5人。那么平均年齡=（38×3+24×4+42×5）÷（3+4+5）=35。故選C。

【例4】某公司2011年前三季度營業(yè)收入7650萬元，比上年同期增長2%，其中主營業(yè)務收入比上年同期減少2%，而其他業(yè)務收入比上年同期增加10%，那么，該公司2011年前三季度主營業(yè)務收入為多少？（　　）

A．3920萬元

B．4410萬元

C．4900萬元

D．5490萬元

【答案】C

【解析】設2010年前三季度主營業(yè)務收入為x，運用十字交叉法：

則，所以2011年前三季度主營業(yè)務收入為5000×98%=4900（萬元）。

【小楊點睛】注意：涉及增長率、折扣的十字交叉法，求得的是基期、折前的量。

【例5】小張去機票代理處為單位團購機票10張，商務艙定價1200元/張，經(jīng)濟艙定價700元/張。由于買的數(shù)量較多，代理商就給予優(yōu)惠，商務艙按定價的9折付錢，經(jīng)濟艙按定價的6折付錢，如果他付的錢比按定價少31%，那么小張一共買了經(jīng)濟艙票的票數(shù)是（　　）。

A．7張

B．6張

C．9張

D．8張

【答案】D

【解析】9折即定價的90%;6折即定價的60%；比定價少31%即定價的69%。注意運用十字交叉法得出的兩者之比是折扣前的錢數(shù)之比而非票的張數(shù)之比。

而兩者單張價格比是12∶7，所以兩者張數(shù)之比是，總數(shù)為10張，那么經(jīng)濟艙是8張。