題型三 數列與平均數

等差數列

★（2014·浙江·48）合唱團成員排練時站在一個五級的臺階上，最上面一級站N個人。若上面一級比下面一級多站一個人，則多了7個人；若上面一級比下面一級少站一個人，則少多少人？（　　）

A．4個

B．7個

C．10個

D．13個

【答案】D

【解析】根據第一種站法，可算出總人數為：N+（N-1）+（N-2）+（N-3）+（N-4）+7=5N-3；第二種站法所需要的人數為：N+（N+1）+（N+2）+（N+3）+（N+4）=5N+10。因此，缺少的人數為：（5N+10）-（5N-3）=13。故本題選D。

★（2014·上海A·69）某學校在400米跑道上舉行萬米長跑活動，為鼓勵學生積極參與，制定了積分規則：每跑滿半圈積1分，此外，跑滿1圈加1分，跑滿2圈加2分，跑滿3圈加3分……依此類推。那么堅持跑完一萬米的同學一共可以得到的積分是（　　）分。

A．325

B．349

C．350

D．375

【答案】D

【解析】積分分兩部分：跑半圈得到的積分10000÷400×2=50；跑整圈得到的積分是個等差數列，1+2+3+4+…+25=25×13=250+75=325；因此積分總共為50+325=375（分）。故選擇D選項。

★（2012·浙江·49）四個連續奇數的和為32，則它們的積為多少？（　　）

A．945

B．1875

C．2745

D．3465

【答案】D

【解析】四個連續奇數的和為32，則中位數是8，因此四個數是5，7，9，11，這四個數的積>5×7×8×10=2800，結合選項，本題選D。

★★（2013·山東·51）某天辦公桌上臺歷顯示的是一周前的日期，將臺歷的日期翻到當天，正好所翻頁的日期加起來是168。那么當天是幾號？（　　）

A．20

B．21

C．27

D．28

【答案】D

【解析】7天正好構成等差數列，由平均數等于中位數可得中位數為168÷7=24，則第四天為24號，題干問的是當天，也就是第8天，所以是28號。正確答案為D。

★★（2012·貴州·36）一次競猜共有10道題目，答對前一道才能作答下一道，下一題的得分均比上題多2分。如果全部答對可以得到100分。問要想獲得60分以上，至少要答對多少道題目？（　　）

A．6

B．7

C．8

D．9

【答案】C

【解析】這10道題的得分是一個等差數列，公差為2，10個數加起來正好是100，可知中位數為10，即第5題得分9，第6題得分11。易知這10個數為從1開始的10個連續奇數，所以前8個數之和首次超過60。答案選C。

★★（2014·山東·57）某單位舉辦圍棋聯賽，所有參賽選手的排名都沒有出現并列名次。小周發現除自己以外，其他所有人的排名數字之和正好是70。問小周排名第幾？（　　）

A．7

B．8

C．9

D．10

【答案】B

【解析】等差數列求和，所有選手的名次形成了首項為1，公差為1的等差數列，即非0自然數數列。首次超過70的前N項和是前12項，和為78；前13項的和為91；如果一共12個人，那么小周排名第8；如果一共13個人，小周排名第21，產生矛盾，故人數不可能大于等于13。因此一共12人，小周排名第8。

常規做法：設總的人數為N，小周排名為a，有a<N所以有70+a=N（N+1）÷2，即N2+N=140+2a，所以N2-N<140<N2+N，N=12，所以所有選手名次和為78，小周排第8名。故本題答案選擇B。

★★（2008·國家·48）{an}是一個等差數列，a 3+a 7-a 1 0=8，a 1 1-a 4=4，則數列前13項之和是（　　）。

A．32

B．36

C．156

D．182

【答案】C

【解析】在等差數列當中，a11-a4=a10-a3=4，因此a7=8+（a10-a3）=12，又因為a7為數列前13項的中位數，所以S13=a7×13=12×13=156。故選擇C選項。

★★（2009·國家·12）某校按字母A到Z的順序給班級編號，按班級編號加01，02，03，…給每位學生按順序定學號，若A—K班級人數從15人起每班遞增1名，之后每班按編號順序遞減2名，則第256名學生的學號是多少？（　　）

A．M12

B．N11

C．N10

D．M13

【答案】D

【解析】根據題意，本題考查等差數列的求和，K是第11個字母，那么，A班有15人，K班有15+10=25（人），前面A—K班一共有（人），剩下256-220=36（人）排到K后面的班級，L班按照題意排23人，剩下13人到M班，因此最后一個學生的編號為M13。故選擇D選項。

★★（2010·黑龍江·46）某工廠11月份工作忙，星期日不休息，而且從第一天開始，每天都從總廠陸續派相同人數的工人到分廠工作，直到月底，總廠剩工人240人。如果月底統計總廠工人的工作量是8070個工作日（一人工作一天為1個工作日），且無人缺勤，那么，這月由總廠派到分廠工作的工人共多少人？（　　）

A．2

B．60

C．240

D．298

【答案】B

【解析】到月底總廠剩下240名工人，這240名工人一個月的工作日為240×30=7200（個）。而8070-7200=870（個），可知這870個工作日是由總廠派到分廠工作的人在總廠工作的工作日。設每天派a人到分廠工作，則這些人中留在總廠的工作日是：a人做29天，a人做28天，a人做27天……a人做1天，即每天的工作日構成等差數列。所以，（1+29）×a×29 ÷ 2=870，可解得a=2。故派到分廠的工人共有2 ×30=60（人）。

★★（2012·國家·78）某成衣廠對9名縫紉工進行技術評比，9名工人的得分恰好成等差數列，9人的平均得分是86分，前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少？（　　）

A．602

B．623

C．627

D．631

【答案】B

【解析】等差數列的平均數等于其中位數的值，故可得第五名得分為86，第三名得分為460÷5=92（分），第四名的得分為（92+86）÷2=89（分）。等差數列的和等于其平均數乘以項數，前七名的總分為89×7=623（分）。

★★☆（2010·江蘇C·28）在連續奇數1，3，…，205，207中選取N個不同數，使得它們的和為2359，那么N的最大值是（　　）。

A．47

B．48

C．50

D．51

【答案】A

【解析】本題直接入手求和繁瑣，考慮代入排除。和為2359，求N的最大值，那么盡量從最小數連續選起，才能滿足這個要求。前N個正奇數的和為N2，同時，和為2359，只有奇數×奇數才為奇數，說明N必為奇數，排除B和C。51個奇數的和至少為1+3+5+…+101=512>2500，D選項不能滿足要求，排除。故選A。

等比數列

★（2010·安徽·14）一只螞蟻發現了一只死螳螂，立刻回洞找來10只螞蟻搬，搬不動；然后每只螞蟻回去各找10只螞蟻，還是搬不動；每只螞蟻又回去找來10個伙伴，終于把死螳螂拖回洞里，問共有多少只螞蟻參加了搬運？（　　）

A．1210

B．1257

C．1331

D．1441

【答案】C

【解析】一只螞蟻回洞找10只同伴，共有11只螞蟻，11只螞蟻再回洞找同伴，每只找10只，共找來同伴11×10=110（只），加上原來的11只，則共有螞蟻121只，121只螞蟻再回洞找同伴，共找來121×10=1210（只），加上去原來的121只，則共有螞蟻1210+121=1331（只）。故選C項。本題計算時易忽略掉去找同伴的那些螞蟻，從而得到錯誤選項。

★（2011·聯考下·58）小趙、小錢、小孫、小李、小周五個人的收入依次成等比，已知小趙的收入是3000元，小孫的收入是3600元，那么小周比小孫的收入高（　　）。

A．700元

B．720元

C．760元

D．780元

【答案】B

【解析】小孫的收入為小趙的3600÷3000=1.2（倍），由題意知小周的收入也是小孫的1.2倍，所以小周比小孫多收入3600×1.2-3600=720（元）。故選B。

★★（2015·山西·64）商店本周從周一到周日出售A、B兩種季節性商品，其中A商品每天銷量相同，而B商品每天的銷量都是前一天的一半。已知周五和周六，A、B兩種商品的銷量之和分別為220件和210件，問從周一到周日A商品總計比B商品多賣出多少件？（　　）

A．570

B．635

C．690

D．765

【答案】D

【解析】根據周五、周六兩天的銷量有，可得A=200，B=20。7天內A商品一共賣了=200×7=1400（件），B商品總共賣了一個等比數列，和為5（周日）+10（周六）+20（周五）+40（周四）+80（周三）+160（周二）+320（周一）=635，二者之差是765，故正確答案為擇D選項。

★★☆（2013·江蘇A·31）一個公比為2的等比數列，第n項與前n-1項和的差等于5，則此數列前4項之和為（　　）。

A．70

B．85

C．80

D．75

【答案】D

【解析】方法一：直接入手不易，考慮特殊值法。由題意，假設n=2時，有a2-a1=2a1-a1=a1=5，則此數列的第一項為5，此數列的前四項是5，10，20，40，則前四項和為5+10+20+40=75，答案為D。

方法二：本題也可采用方程法。設等比數列的首項為x，由題意得：2n-1x-，解得x=5。因此數列的前4項之和=5+10+20+40=75。

★★★（2014·深圳·47）甲、乙兩廠生產同一種汽車，甲廠每月產量保持不變，乙廠每月產量翻番。已知第1個月甲、乙兩廠共生產88輛汽車，第2個月甲、乙兩廠共生產96輛汽車，那么乙廠每月產量第一次超過甲廠是在第（　　）個月。

A．4

B．5

C．6

D．7

【答案】B

【解析】甲每月生產的量不變，則甲、乙第二月的生產總量比第一月多出來的便是乙“翻番”得到的。即乙第一個月的產量=甲、乙二月總產量-甲、乙一月總產量=96-88=8（輛）。即甲第一個月生產80輛，假設乙廠第n個月的產量超過甲廠，則8×2n-1>80，n≥5，即第5個月乙廠產量首次超過甲廠，因此選B。

其他數列

★（2011·深圳上·13）已知一對幼兔能在一個月后長成一對成年兔子，一對成年兔子能在一個月后生出一對幼兔，如果現在給你一對幼兔，問一年后共有（　　）對兔子（假設每對兔子都為雌雄各一只）。

A．88

B．100

C．144

D．204

【答案】C

【解析】設第n個月共有Fn對兔子，第n個月新生幼兔Sn對，則：

Fn=Fn-1+Sn，Sn=Fn-2，因此Fn=Fn-1+Fn-2（n≥2），且F1=F2=1。

即從第三項開始每一項都是數列中前兩項之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，這就是著名的斐波那契數列，第12項為144。C項為正確選項。

★☆（2011·上海A·60）一水果販將橘子堆成長方形垛（下圖表示長方形垛的壘法），若最底層長邊有10個橘子，短邊有5個橘子，則此長方形垛最多可以放（　　）個橘子。

A．110

B．120

C．130

D．140

【答案】C

【解析】最底層的橘子數是10×5，往上一層就是（10-1）×（5-1），再往上依次減1，但由于短邊橘子少，最上面一層，短邊的橘子個數不能小于1，因此最多可放10×5+9×4+8×3+7×2+6×1=130（個）。

★☆（2011·廣州·34）下邊這個“金字塔”中每格數字都是該格所對應的下面兩格數字之和，如，16是4和12之和。則問號代表的數字是（　　）。

A．7

B．14

C．16.5

D．45

【答案】A

【解析】設問號處代表的數字為x，則16右邊的兩個數字分別為12+x，x+25，則第二行的兩個數字為28+x，2x+37，可得28+x+2x+37=86，解得x=7。故選A。

平均數

★（2011·江蘇C·31）已知數據23，25，26，22，21，27，28，24，30，33，用這10個數分別減去其平均數，所得10個差值的和為（　　）。

A．3

B．2

C．0

D．-3

【答案】C

【解析】平均數為這10個數的平均值，10個數之和為平均數的10倍，因此所得10個差值之和為0。

★☆（2010·安徽·7）在1—101中5的倍數的所有數的平均數是（　　）。

A．52.5

B．53.5

C．54.5

D．55.5

【答案】A

【解析】由題干知，本題要求的是1—101中5的倍數的所有數的平均數，即等差數列5，10，15，…，100中各項值的平均數，即：，故選A。

★☆（2014·廣州·35）有七位考官對一位應聘者評分，如果去掉一個最高分和一個最低分，則平均分為7分；如果只去掉一個最高分，則平均分為6.75分；如果只去掉一個最低分，則平均分為7.25分。那么，這位應聘者所得的7個分數中，最高分與最低分的差值為（　　）分。

A．1.5

B．2

C．3

D．3.5

【答案】C

【解析】根據題干可知，去掉一個最高分和一個最低分之后，總分為7×5=35（分）。設最高分為x，最低分為y，根據題意可得：

。

聯立①②，解得x-y=3。故本題選C。

★☆（2014·深圳·54）8名同學參加公益義賣活動，義賣結束時籌得善款前3名的同學平均每人籌得150元，而排名后5名的同學平均每人籌得的善款比8人的平均數少15元，則這8名同學平均每人籌得善款（　　）元。

A．110

B．115

C．120

D．125

【答案】D

【解析】設8名同學每人平均籌得善款x元，根據題意可得，3×150+5×（x-15）=8x，解得x=125。因此，本題的答案選D。

★★（2014·山東·58）某班級在一次考試閱卷后，發現有一道選擇題的答案有誤，正確答案應為A，但誤寫為C，此題分值為3分。調整答案時發現，此題未選A、C兩個選項的人數為班級總人數的，修改分數后班級平均分提高了1分。問選擇A答案的人數占班級總人數的多少？（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】假設總人數是3個人，選B、D總人數就是1個人，選A和C的總人數為2個人，修改答案前這道題總得分為3C，修改后總得分為3A，修改分數后班級平均分提高了1分，則總分差了3分，所以有。解得，所以占總人數比例為。答案為A。

★★（2015·廣東·32）某次考試中，成績不超過30分的有153名考生，平均分為24分；成績不低于80分的有59名考生，平均分為92分；成績超過30分的平均分為62分；成績低于80分的平均分為54分。那么參加這次考試的考生共有（　　）人。

A．795

B．875

C．1007

D．1264

【答案】C

【解析】設總人數有x人，那么根據題意有（x-153）×62-59×92=（x-59）×54-153×24。解得x=1007。故正確答案為C選項。

★★（2007·國家·52）某班男生比女生人數多80%，一次考試后，全班平均成績為75分，而女生的平均分比男生的平均分高20%，則此班女生的平均分是（　　）。

A．84分

B．85分

C．86分

D．87分

【答案】A

【解析】假設女生人數為10，那么男生人數為18；假設男生平均成績為x，那么女生的平均成績為1.2x。根據題意列方程12x+18x=28×75，解得x=70。那么女生的平均分為70×1.2=84（分）。答案為A。

★★（2010·吉林·7）某班一次期末數學考試成績，平均分為95.5分，后來發現小林的成績是97分誤寫成79分。再次計算后，該班平均成績是95.95分。則該班人數是（　　）。

A．30人

B．40人

C．50人

D．60人

【答案】B

【解析】由于小林的成績是97分誤寫成79分，因此第二次計算的全班總分數比第一次要多97-79=18（分），正是這多出來的18分，使得第二次計算的平均成績比第一次多95.95-95.5=0.45（分）。即18分平均分配到全班每一個人平均增加了0.45分，因此全班共有18÷0.45=40（人）。故選B。

★★（2013·國家·74）小王參加了五門百分制的測驗，每門成績都是整數。其中語文94分，數學的得分最高，外語的得分等于語文和物理的平均分，物理的得分等于五門的平均分，化學的得分比外語多2分，并且是五門中第二高的得分。問小王的物理考了多少分？（　　）

A．94

B．95

C．96

D．97

【答案】C

【解析】由奇偶特性，根據“每門成績都是整數”“語文94分”“外語的得分等于語文和物理的平均分”，得到物理成績應為偶數，由此排除B、D兩項。再利用代入排除法，如果物理考了94分，則外語的得分為94分，化學的得分為96分，數學的得分為92分，不滿足“數學的得分最高”的題目要求，排除A項。故本題選擇C。

★★☆（2011·北京·75）某學生參加了六次測驗，第三、四次的平均分比前兩次的平均分多2分，比后兩次的平均分少2分，如果后三次平均分比前三次平均分多3分，那么第四次比第三次多得幾分？（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】A

【解析】設六次分數分別為x1、x2、x3、x4、x5、x6，則有：（x3+x4）-（x1+x2）=2×2，（x5+x6）-（x3+x4）=2×2，（x1+x2+x3）+3×3=x4+x5+x6，三式相加消元，可得：x4-x3=1，故正確答案為A。

★★☆（2013·浙江A·46）用1，2，3，4，5，6這六個數字組成不同的六位數，所有這些六位數的平均值是（　　）。

A．350000

B．355550

C．355555.5

D．388888.5

【答案】D

【解析】觀察1，2，3，4，5，6這六個數字組成的不同六位數，可知這些六位數相對應數位和的平均值均是1，2，3，4，5，6的和除以6乘以相應數位值，即個位為（1+2+3+4+5+6）÷6=3.5，十位為（1+2+3+4+5+6）×10÷6=35，百位為（1+2+3+4+5+6）×100÷ 6=350，千位為（1+2+3+4+5+6）×1000÷6=3500，萬位為（1+2+3+4+5+6）×10000÷6=35000，十萬位為（1+2+3+4+5+6）×100000÷6=350000。因此，所有這些六位數的平均值為350000+35000+3500+350+35+3.5=388888.5。故本題選D。

★☆（2013·江蘇C·30）某人購買A、B兩種調料的單價分別為20元/千克、30元/千克。假設購買這兩種調料所花費的錢數額一樣，則由A、B兩種調料混合后的新調料每千克的成本是（　　）。

A．23元

B．24元

C．25元

D．26元

【答案】B

【解析】本題屬于調和平均數問題。設兩種調料均花費了60元，則A、B兩調料各購買了3千克和2千克，則混合后每千克的成本為（元）。故本題選B。

【小楊點睛】調和平均數計算公式：。

★☆（2013·江蘇B·88）現需要購買兩種調料加工成一種新調料，兩種調料的價格分別為20元/千克、30元/千克，如果購買這兩種調料所花錢一樣多，則每千克新調料的成本是（　　）。

A．23元

B．25元

C．24元

D．29元

【答案】C

【解析】方法一：本題屬于調和平均數問題，可以直接套用公式。所求成本=（元）。

方法二：已知買兩種調料花的錢一樣多，為了計算方便，設購買了3千克第一種調料和2千克第二種調料，那么每千克新調料的價格為（元）。