第二章 數(shù)字推理

廣東歷年考點(diǎn)透視

廣東省數(shù)字推理題主要包括五類主流題型：分?jǐn)?shù)數(shù)列、組合拆分?jǐn)?shù)列、冪次數(shù)列、多級(jí)數(shù)列、遞推數(shù)列。在這五類數(shù)列類型中，以多級(jí)數(shù)列最為常考，組合拆分?jǐn)?shù)列已經(jīng)很少考查。其余三類題型中，分?jǐn)?shù)數(shù)列側(cè)重考查反約分，冪次數(shù)列側(cè)重考查冪次修正數(shù)列，而遞推數(shù)列側(cè)重考查遞推方法。

數(shù)字推理要想不丟分，考生對(duì)題目的思維反應(yīng)速度與計(jì)算速度是關(guān)鍵。要想在這兩項(xiàng)上有所提高，就需要系統(tǒng)復(fù)習(xí)。在數(shù)字推理的練習(xí)當(dāng)中，建議考生從以下兩個(gè)方面有目的地提升解題能力。

第一，要打好基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)中的基本公式與計(jì)算方法是一定要掌握的。可以根據(jù)題型的基本分類，逐一復(fù)習(xí)。在復(fù)習(xí)的過程中，對(duì)于每個(gè)題型在解題時(shí)可以應(yīng)用到的基本知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有針對(duì)性的梳理與總結(jié)，這樣在推導(dǎo)階段便不會(huì)出現(xiàn)看見題目不知從何下手的情況了。

第二，提高計(jì)算速度。某些不容易直接得出答案的題目，在列出推導(dǎo)公式后，提高計(jì)算速度與準(zhǔn)確度就顯得十分重要了。如果四則運(yùn)算速度較慢，建議每天做一些基本練習(xí)。對(duì)于復(fù)雜易錯(cuò)的推導(dǎo)公式，考生要重點(diǎn)掌握。

在完成這兩項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練后，建議多做試卷，檢查自己對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握是否扎實(shí)。總結(jié)自己的錯(cuò)誤后，再重新做好復(fù)習(xí)與調(diào)整。

典型真題直擊

（2015廣東—21）3,10,31,94, （　）。

A．125

B．188

C．283

D．2914

考點(diǎn)關(guān)鍵詞

?基礎(chǔ)數(shù)列

?答案

基礎(chǔ)知識(shí)解讀

簡(jiǎn)單來說，數(shù)字推理就是每道題給出一個(gè)數(shù)列，但其中缺少一項(xiàng)或兩項(xiàng)，要求考生仔細(xì)觀察這個(gè)數(shù)列各數(shù)字之間的關(guān)系，找出其中的排列規(guī)律，然后從四個(gè)供選擇的答案中選出最合適、最合理的一個(gè)來填補(bǔ)空缺項(xiàng)，使之符合原數(shù)列的排列規(guī)律。數(shù)字推理是廣東省考的必考題型，題量一直為5道，考查題型多樣，需要考生引起足夠的重視。

數(shù)字推理題一般可以分為兩步來處理：第一，觀察數(shù)列特征；第二，將沒有明顯特征的數(shù)列變成特征數(shù)列。具體解題思路見下圖：

常考角度剖析

考點(diǎn)1 基礎(chǔ)數(shù)列

基礎(chǔ)數(shù)列是數(shù)字推理的基礎(chǔ)。大部分?jǐn)?shù)字推理題都是基礎(chǔ)數(shù)列的演化，因此掌握一些基礎(chǔ)數(shù)列的性質(zhì)對(duì)解決數(shù)字推理題很有必要。

1．常數(shù)數(shù)列

由一個(gè)固定的常數(shù)構(gòu)成的數(shù)列稱為常數(shù)數(shù)列。

例如：1,1,1,1,1,1, …

常數(shù)數(shù)列較少出現(xiàn)，多在分?jǐn)?shù)數(shù)列中出現(xiàn)，且經(jīng)常是通分后才會(huì)呈現(xiàn)。

2．等差數(shù)列

后項(xiàng)減去前項(xiàng)的值保持不變的數(shù)列稱為等差數(shù)列。

例如：3,7,11,15,19, …;14,28,42,56, …; -6,16,38,60, …

3．等比數(shù)列

后項(xiàng)除以前項(xiàng)的值保持不變的數(shù)列稱為等比數(shù)列。

例如：2,4,8,16, …;4,6,9,13.5, …; -2,6, -18,54, …

4．質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)列

由質(zhì)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列稱為質(zhì)數(shù)數(shù)列。

例如：2,3,5,7,11,13,17,19, …

由合數(shù)構(gòu)成的數(shù)列稱為合數(shù)數(shù)列。

例如：4,6,8,9,10,12,14, …

2,3,5,7,11,13, …這個(gè)數(shù)列有兩個(gè)相似數(shù)列：2,3,5,8,13, …是遞推和數(shù)列；2,3,5,8,12, …是二級(jí)等差數(shù)列。

質(zhì)數(shù)數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的2倍也是一個(gè)有趣的基礎(chǔ)數(shù)列：4,6,10,14,22,26, …

5．周期數(shù)列

自某一項(xiàng)開始重復(fù)出現(xiàn)前面相同（相似）的數(shù)列稱為周期數(shù)列。

例如：2,3,5,2,3,5, …;24,26,24,26,24,26, …

考點(diǎn)2 分?jǐn)?shù)數(shù)列

題干特征：數(shù)列中大多數(shù)的數(shù)字為分?jǐn)?shù)。

常見題型：分組→是指分子或分母單獨(dú)成規(guī)律；

交叉→是指相鄰項(xiàng)的分子或分母有一定的聯(lián)系。

解題方法：

1．廣義通分→把分子或分母化為一致；

2．約分→當(dāng)分?jǐn)?shù)的分子與分母含有相同因子時(shí)，將其化成最簡(jiǎn)式；

3．反約分→同時(shí)擴(kuò)大數(shù)列當(dāng)中某些分?jǐn)?shù)的分子與分母（分?jǐn)?shù)大小不變），從而使得分?jǐn)?shù)的分子數(shù)列和分母數(shù)列形成簡(jiǎn)單數(shù)列。

基本原則：分?jǐn)?shù)數(shù)列的分子分母一般是單調(diào)遞增、單調(diào)遞減、不變的。

還有一類特殊的數(shù)列，數(shù)列中含有根式，這類數(shù)列無固定規(guī)律可循，出現(xiàn)極少，不要求掌握。

【例1】（2015廣東—24）,,,,（　）。

A．

B．

C．

D．4

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：觀察題干中分?jǐn)?shù)的特征，由此確定規(guī)律，可將分子和分母分開來看。

第二步：根據(jù)已知規(guī)律得出答案。

[名師點(diǎn)評(píng)]D。上一項(xiàng)的分母減去分子得到下一項(xiàng)的分子，上一項(xiàng)的分子和分母相乘得到下一項(xiàng)的分母，故空白處的分子為210-23=187，分母為210×23=4830，故本題答案為D。

【例2】（2014廣東—34）1,,2.6,,（　）。

A．

B．

C．5.2

D．6.2

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：觀察數(shù)列中數(shù)字特征，發(fā)現(xiàn)有整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)。

第二步：推測(cè)考查分?jǐn)?shù)數(shù)列。

第三步：印證求解。

[名師點(diǎn)評(píng)]B。分?jǐn)?shù)數(shù)列。觀察發(fā)現(xiàn)題干數(shù)字包括選項(xiàng)以分?jǐn)?shù)為主，故考慮分?jǐn)?shù)數(shù)列的解法。用廣義通分的方法將數(shù)列變?yōu)?img alt="" class="h-pic1" src="https://epubservercos.yuewen.com/CF2180/3590504003538801/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0093_0005.jpg?sign=1754839049-RqZMgkIyFAS60tT0qRicjJ2JWYTCutmD-0-f378c5b879f2273473d68768917519d9">,,,,（），分子是公差12的等差數(shù)列，故本題正確答案為B。

考點(diǎn)3 組合拆分?jǐn)?shù)列

題干特征：數(shù)列較長(zhǎng)、出現(xiàn)兩個(gè)括號(hào)，數(shù)字忽大忽小呈現(xiàn)波動(dòng)變化。

兩種題型：交叉數(shù)列和分組數(shù)列。

解題思路：交叉數(shù)列→數(shù)列的奇項(xiàng)與偶項(xiàng)分別呈現(xiàn)出規(guī)律的數(shù)列。

分組數(shù)列→①將數(shù)列中的數(shù)字兩兩分組后，在組內(nèi)進(jìn)行加減乘除四則運(yùn)算，組與組之間存在一定的規(guī)律；②將數(shù)列中的數(shù)字三三分組后，組內(nèi)三個(gè)數(shù)滿足某種運(yùn)算法則。

【例1】（2011廣東—35）8,3,17,5,24,9,26,18, 30, （　）。

A．22

B．25

C．33

D．36

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：觀察數(shù)列特征，發(fā)現(xiàn)數(shù)列很長(zhǎng)，推測(cè)考查多重?cái)?shù)列。

第二步：觀察數(shù)列中共給出十項(xiàng)，兩兩分組數(shù)列觀察規(guī)律。

第三步：印證求解。

[名師點(diǎn)評(píng)]B。多重?cái)?shù)列。很明顯數(shù)列很長(zhǎng)，確定為多重?cái)?shù)列。先考慮交叉，發(fā)現(xiàn)沒有規(guī)律，無對(duì)應(yīng)的答案。因?yàn)閿?shù)列總共十項(xiàng)，考慮兩兩分組，發(fā)現(xiàn)每?jī)身?xiàng)的和依次為11,22,33,44,（55=30+25），故本題正確答案為B。

【例2】15,26,37, （　）,68,79。

A．42

B．44

C．46

D．48

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：兩兩分組，于組內(nèi)做差；

第二步：根據(jù)所得規(guī)律得出準(zhǔn)確答案。

[名師點(diǎn)評(píng)]D。分組數(shù)列，兩兩分組，每組組內(nèi)做差，差為11。26-15=11,（48）-37=11, 79-68=11。所以選擇D。

考點(diǎn)4 冪次數(shù)列

題干特征：題干中出現(xiàn)多個(gè)冪次數(shù)或者題干中的數(shù)字與冪次數(shù)差值很小。

要求：數(shù)字敏感→熟悉常見的冪次數(shù)。

題型分類：直接冪次數(shù)列→簡(jiǎn)單平方（立方）數(shù)列、底數(shù)和指數(shù)其中之一變化、底數(shù)和指數(shù)同時(shí)變化；

修正冪次數(shù)列→修正之后的數(shù)列為冪次數(shù)列。

平方數(shù)列、立方數(shù)列是一類基礎(chǔ)數(shù)列，考生需要熟記如下冪次數(shù)。

【例】（2014廣東—31）2187,729,243,81, 27, （　）。

A．3

B．6

C．9

D．12

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：觀察數(shù)列特征，發(fā)現(xiàn)數(shù)列中數(shù)字較大，推測(cè)考查冪次數(shù)列。

第二步：試將數(shù)列用冪次方改寫。

注意：考生需要對(duì)基本數(shù)字的冪次方有所了解，有助于考生快速定位解題方向。

[名師點(diǎn)評(píng)]C。普通冪次數(shù)列。很顯然題干數(shù)字都是3的冪次方，依次為：37,36,35,34,33,（32），故本題正確答案為C。

考點(diǎn)5 多級(jí)數(shù)列

多級(jí)數(shù)列是指需要對(duì)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)進(jìn)行加、減、乘、除四則運(yùn)算后找到特定規(guī)律的數(shù)列。可以分為做差多級(jí)數(shù)列、做商多級(jí)數(shù)列、做和多級(jí)數(shù)列、做積多級(jí)數(shù)列四種。按照運(yùn)算的次數(shù)不同又可分為二級(jí)數(shù)列和三級(jí)數(shù)列兩類。經(jīng)過四則運(yùn)算后得到的數(shù)列可能是等差數(shù)列、等比數(shù)列、質(zhì)數(shù)相關(guān)數(shù)列，還可能是冪次數(shù)列、周期數(shù)列、簡(jiǎn)單遞推數(shù)列等。

做差多級(jí)數(shù)列是多級(jí)數(shù)列考查的主要內(nèi)容，做商多級(jí)數(shù)列、做和多級(jí)數(shù)列與做積多級(jí)數(shù)列考查較少。

【例1】（2014廣東—32）4,6,10,18,34,66, （　）。

A．82

B．98

C．114

D．130

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：觀察數(shù)列特征，發(fā)現(xiàn)數(shù)列之間相差不大，排除冪次特征。

第二步：考慮做差，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

[名師點(diǎn)評(píng)]D。多級(jí)數(shù)列。觀察數(shù)列，發(fā)現(xiàn)符合“一般來說都是整數(shù)；項(xiàng)與項(xiàng)之間相差不大；沒有明顯的冪次特征”，優(yōu)先考慮做差，做差后發(fā)現(xiàn)新的數(shù)列為等比數(shù)列：2,4,8,16,32,（64），故本題正確答案為66+64=130，選D。

【例2】3,19,43,79,133, （　）。

A．169

B．205

C．214

D．229

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：將原數(shù)列兩兩做差得到新的數(shù)列；

第二步：觀察新數(shù)列的特征，找出正確答案。

[名師點(diǎn)評(píng)]C。做差之后是16,24,36,54,（　），構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，則54后面一項(xiàng)是81，所以答案是133+81=214。

考點(diǎn)6 遞推數(shù)列

遞推數(shù)列，是指數(shù)列中從某一項(xiàng)開始，每項(xiàng)都是其前面的項(xiàng)經(jīng)過一定的運(yùn)算得到的數(shù)列。近幾年，行測(cè)考試中遞推數(shù)列所占的比重越來越大，已經(jīng)成為考查熱點(diǎn)、難點(diǎn)。

簡(jiǎn)單遞推數(shù)列：每一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)的和、差、積或者商。

例如：2,2,4,6,10,16,26,42, …為簡(jiǎn)單遞推和數(shù)列；

15,10,5,5,0,5, -5, …為簡(jiǎn)單遞推差數(shù)列；

1,2,2,4,8,32,256, …為簡(jiǎn)單遞推積數(shù)列；

729,27,27,1,27,,…為簡(jiǎn)單遞推商數(shù)列。

當(dāng)無法運(yùn)用特征數(shù)列、組合拆分?jǐn)?shù)列等相關(guān)知識(shí)解答時(shí)，可以考慮遞推規(guī)律。遞推數(shù)列具有和、差、積、商、方、倍六種基本形態(tài)。其中和、積、方、和倍是遞增趨勢(shì)，差和商是遞減趨勢(shì)，由于遞減數(shù)列我們倒著看是遞增的，所以這里我們只介紹遞增數(shù)列的解題方法。注意：從大的數(shù)字開始看，并且結(jié)合選項(xiàng)來看。

1．看趨勢(shì)，做試探。根據(jù)數(shù)列中數(shù)字的整體變化趨勢(shì)初步判斷遞推的具體形式，然后根據(jù)初步判斷的趨勢(shì)做合理的試探。數(shù)列的變化趨勢(shì)（結(jié)合選項(xiàng)）可以分為以下幾類：

（1）變化比較慢（一般相鄰兩項(xiàng)之間滿足2倍以內(nèi)），通常考慮加法；

（2）變化極快（觀察全部數(shù)列，相鄰兩項(xiàng)之間相差2個(gè)數(shù)位），一般考慮冪次；

（3）變化不快不慢（相鄰兩項(xiàng)相差3倍到8倍之間），先用乘法再用倍數(shù)。

2．圈三法。通過研究數(shù)列的局部規(guī)律，從而遞推整體規(guī)律的方法。圈三法不是只看3項(xiàng)，也有可能是看2項(xiàng)或者4項(xiàng)，只不過考試的時(shí)候兩項(xiàng)推一項(xiàng)比較多，我們習(xí)慣上稱為“圈三法”。

當(dāng)數(shù)列趨勢(shì)不明顯，無法看出整體規(guī)律時(shí)，可以使用圈三法，先看相鄰某三個(gè)數(shù)之間有什么規(guī)律，然后驗(yàn)證是不是整體規(guī)律。

【例1】（2013廣東外來務(wù)工—5）2,3,7,10,19, 26,45,60, （　）。

A．99

B．105

C．113

D．127

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：觀察數(shù)列，發(fā)現(xiàn)數(shù)列較長(zhǎng)，推測(cè)為多重?cái)?shù)列。

第二步：進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的遞推規(guī)律。

第三步：印證求解。

[名師點(diǎn)評(píng)]A。數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為2,7,19,45,（　）；后一項(xiàng)依次等于前一項(xiàng)的2倍+3,2倍+5,2倍+7,2倍+9；偶數(shù)項(xiàng)為3,10,26,60，后一項(xiàng)依次等于前一項(xiàng)的2倍+4,2倍+6,2倍+8。因此（　）=45×2+9=99。

【例2】1,2,3,7,22, （　）。

A．100

B．133

C．155

D．165

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：觀察相鄰三個(gè)數(shù)字之間的規(guī)律；

第二步：將所發(fā)現(xiàn)規(guī)律代入數(shù)列進(jìn)行驗(yàn)證，若成立，則據(jù)此得出答案。

[名師點(diǎn)評(píng)]C。遞推積數(shù)列的變形。研究3,7,22三個(gè)數(shù)字，易知3×7+1=22，驗(yàn)算可知全部成立，即滿足第三項(xiàng)=第一項(xiàng)×第二項(xiàng)+1，因此（　）=7×22+1=155，選擇C。

70分通關(guān)必做題

1．768, 199, 827, 69, 904, （　）

A．92

B．77

C．53

D．39

2．160, 80, 40, 20, （　）

A．4

B．6

C．8

D．10

3．6, 14, 22, （　）, 38, 46

A．30

B．32

C．34

D．36

4．1.8, 3.6, 7.2, 14.4, （　）, 57.6

A．18.4

B．22.6

C．28.8

D．34.4

5．300, 290, 281, 273, （　）, 260

A．270

B．266

C．264

D．262

6．3, 7, 9, 14, 27, 28, 81, （　）

A．56

B．83

C．108

D．132

7．1, , -, , -, （　）

A．

B．

C．

D．

8．24, 35, 55, 57, （　）

A．64

B．68

C．75

D．79

9．2, 4, 12, 48, 240, （　）

A．1645

B．1440

C．1240

D．360

10.3, 8, 23, 68, （　）, 608

A．183

B．188

C．203

D．208

11.2, 1, 4, 6, 26, 158, （　）

A．5124

B．5004

C．4110

D．3676

12.7.1, 8.06, 14.2, 16.12, 28.4, （　）

A．32.24

B．30.4

C．32.4

D．30.24

13.9, 10, 65, 26, 217, （　）

A．289

B．89

C．64

D．50

14.12, 23, 35, 47, 511, （　）

A．613

B．612

C．611

D．610

15.-2, -2, 0, 4, 10, （　）

A．12

B．15

C．16

D．18

16.0, 4, 11, 24, 49, （　）

A．98

B．88

C．76

D．107

17., 1, , -,, （　）

A．

B．

C．

D．

18.1, 11, 31, 512, 196, （　）

A．9999

B．999

C．888

D．8888

參考答案及解析

1．A [解析]機(jī)械分組數(shù)列。數(shù)字特征明顯不符合常規(guī)數(shù)列的特征，馬上考慮機(jī)械分組，發(fā)現(xiàn)每項(xiàng)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和依次為：21,19,17,15,13,（11），故本題正確答案為A。

2．D [解析]本題考查等比數(shù)列。題干給出的是一組公比為的等比數(shù)列，因此（　）=20× 12=10。

3．A [解析]本題考查等差數(shù)列。題干給出的是一組公差為8的等差數(shù)列，因此（　）=22+8=30。

4．C [解析]本題考查等比數(shù)列。題干給出的是一組公比為2的等比數(shù)列，因此（　）=14.4×2=28.8。

5．B [解析]本題考查二級(jí)等差數(shù)列。

6．A [解析]數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)為3,9,27,81，是一組公比為3的等比數(shù)列。偶數(shù)項(xiàng)為7,14，

28,（　），是一組公比為2的等比數(shù)列。因此（　）=28×2=56。

7．A [解析]原數(shù)列可寫為,,,,,（　）。該數(shù)列的分母相同，前一項(xiàng)分子減去后一項(xiàng)分子的差依次為5,4,3,2，是等差數(shù)列。因此（　）=1=。

8．B [解析]數(shù)列中每一項(xiàng)都是兩位數(shù)，將各項(xiàng)的兩個(gè)數(shù)字相加得到新的數(shù)列：6,8,10,12，最后一項(xiàng)應(yīng)選擇兩位相加為14的數(shù)，只有B項(xiàng)符合。

9．B [解析]后項(xiàng)除以前項(xiàng)得到新數(shù)列：2、3、4、5、（6），為等差數(shù)列，所以未知項(xiàng)為240×6=1440。故正確答案為B。

10．C [解析]后項(xiàng)減去前項(xiàng)得到新數(shù)列：5、15、45、（135）、（405），為等比數(shù)列，所以未知項(xiàng)為68+135=203，驗(yàn)證后項(xiàng)，608-405=203，符合。故正確答案為C。

11．C [解析]原數(shù)列為做積遞推數(shù)列。相鄰兩項(xiàng)之積加上2等于下一項(xiàng)，所以未知項(xiàng)為26× 158+2，計(jì)算尾數(shù)，8+2=10，尾數(shù)為0。故正確答案為C。

12．A [解析]奇數(shù)項(xiàng)：7.1、14.2、28.4，構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)：8.06、16.12、（　），構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，故（　）=32.24。故正確答案為A。

13．D [解析]各項(xiàng)依次為：23+1,32+1,43+1,52+1,63+1,（72+1），故正確答案為D。

14．A [解析]數(shù)位組合數(shù)列，各項(xiàng)首位數(shù)字1、2、3、4、5、（6），是等差數(shù)列；其余數(shù)字2、3、5、7、11、（13），是質(zhì)數(shù)數(shù)列。故選A。

15．D [解析]本題屬于二級(jí)等差數(shù)列，兩兩做差之后得到公差為2的等差數(shù)列。

16．A [解析]本題屬于三級(jí)等比數(shù)列，兩次做差之后得到公比為2的等比數(shù)列。

17．A [解析]將1改寫，可得：分子數(shù)列：1、4、9、16、25、（36），為平方數(shù)列；分母2、4、7、11、16、（22）為二級(jí)等差數(shù)列，所填分?jǐn)?shù)。故選A。

18．D [解析]各位數(shù)字之和分別為1、2、4、8、16、（32），故正確答案為D。

80分專項(xiàng)瘋狂練習(xí)

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