第二章 數(shù)字推理

廣東歷年考點透視

廣東省數(shù)字推理題主要包括五類主流題型：分數(shù)數(shù)列、組合拆分數(shù)列、冪次數(shù)列、多級數(shù)列、遞推數(shù)列。在這五類數(shù)列類型中，以多級數(shù)列最為常考，組合拆分數(shù)列已經(jīng)很少考查。其余三類題型中，分數(shù)數(shù)列側(cè)重考查反約分，冪次數(shù)列側(cè)重考查冪次修正數(shù)列，而遞推數(shù)列側(cè)重考查遞推方法。

數(shù)字推理要想不丟分，考生對題目的思維反應速度與計算速度是關鍵。要想在這兩項上有所提高，就需要系統(tǒng)復習。在數(shù)字推理的練習當中，建議考生從以下兩個方面有目的地提升解題能力。

第一，要打好基礎。數(shù)學中的基本公式與計算方法是一定要掌握的。可以根據(jù)題型的基本分類，逐一復習。在復習的過程中，對于每個題型在解題時可以應用到的基本知識點進行有針對性的梳理與總結(jié)，這樣在推導階段便不會出現(xiàn)看見題目不知從何下手的情況了。

第二，提高計算速度。某些不容易直接得出答案的題目，在列出推導公式后，提高計算速度與準確度就顯得十分重要了。如果四則運算速度較慢，建議每天做一些基本練習。對于復雜易錯的推導公式，考生要重點掌握。

在完成這兩項基礎訓練后，建議多做試卷，檢查自己對知識點的掌握是否扎實。總結(jié)自己的錯誤后，再重新做好復習與調(diào)整。

典型真題直擊

（2015廣東—21）3,10,31,94, （　）。

A．125

B．188

C．283

D．2914

考點關鍵詞

?基礎數(shù)列

?答案

基礎知識解讀

簡單來說，數(shù)字推理就是每道題給出一個數(shù)列，但其中缺少一項或兩項，要求考生仔細觀察這個數(shù)列各數(shù)字之間的關系，找出其中的排列規(guī)律，然后從四個供選擇的答案中選出最合適、最合理的一個來填補空缺項，使之符合原數(shù)列的排列規(guī)律。數(shù)字推理是廣東省考的必考題型，題量一直為5道，考查題型多樣，需要考生引起足夠的重視。

數(shù)字推理題一般可以分為兩步來處理：第一，觀察數(shù)列特征；第二，將沒有明顯特征的數(shù)列變成特征數(shù)列。具體解題思路見下圖：

常考角度剖析

考點1 基礎數(shù)列

基礎數(shù)列是數(shù)字推理的基礎。大部分數(shù)字推理題都是基礎數(shù)列的演化，因此掌握一些基礎數(shù)列的性質(zhì)對解決數(shù)字推理題很有必要。

1．常數(shù)數(shù)列

由一個固定的常數(shù)構(gòu)成的數(shù)列稱為常數(shù)數(shù)列。

例如：1,1,1,1,1,1, …

常數(shù)數(shù)列較少出現(xiàn)，多在分數(shù)數(shù)列中出現(xiàn)，且經(jīng)常是通分后才會呈現(xiàn)。

2．等差數(shù)列

后項減去前項的值保持不變的數(shù)列稱為等差數(shù)列。

例如：3,7,11,15,19, …;14,28,42,56, …; -6,16,38,60, …

3．等比數(shù)列

后項除以前項的值保持不變的數(shù)列稱為等比數(shù)列。

例如：2,4,8,16, …;4,6,9,13.5, …; -2,6, -18,54, …

4．質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)列

由質(zhì)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列稱為質(zhì)數(shù)數(shù)列。

例如：2,3,5,7,11,13,17,19, …

由合數(shù)構(gòu)成的數(shù)列稱為合數(shù)數(shù)列。

例如：4,6,8,9,10,12,14, …

2,3,5,7,11,13, …這個數(shù)列有兩個相似數(shù)列：2,3,5,8,13, …是遞推和數(shù)列；2,3,5,8,12, …是二級等差數(shù)列。

質(zhì)數(shù)數(shù)列對應項的2倍也是一個有趣的基礎數(shù)列：4,6,10,14,22,26, …

5．周期數(shù)列

自某一項開始重復出現(xiàn)前面相同（相似）的數(shù)列稱為周期數(shù)列。

例如：2,3,5,2,3,5, …;24,26,24,26,24,26, …

考點2 分數(shù)數(shù)列

題干特征：數(shù)列中大多數(shù)的數(shù)字為分數(shù)。

常見題型：分組→是指分子或分母單獨成規(guī)律；

交叉→是指相鄰項的分子或分母有一定的聯(lián)系。

解題方法：

1．廣義通分→把分子或分母化為一致；

2．約分→當分數(shù)的分子與分母含有相同因子時，將其化成最簡式；

3．反約分→同時擴大數(shù)列當中某些分數(shù)的分子與分母（分數(shù)大小不變），從而使得分數(shù)的分子數(shù)列和分母數(shù)列形成簡單數(shù)列。

基本原則：分數(shù)數(shù)列的分子分母一般是單調(diào)遞增、單調(diào)遞減、不變的。

還有一類特殊的數(shù)列，數(shù)列中含有根式，這類數(shù)列無固定規(guī)律可循，出現(xiàn)極少，不要求掌握。

【例1】（2015廣東—24）,,,,（　）。

A．

B．

C．

D．4

思路導學

第一步：觀察題干中分數(shù)的特征，由此確定規(guī)律，可將分子和分母分開來看。

第二步：根據(jù)已知規(guī)律得出答案。

[名師點評]D。上一項的分母減去分子得到下一項的分子，上一項的分子和分母相乘得到下一項的分母，故空白處的分子為210-23=187，分母為210×23=4830，故本題答案為D。

【例2】（2014廣東—34）1,,2.6,,（　）。

A．

B．

C．5.2

D．6.2

思路導學

第一步：觀察數(shù)列中數(shù)字特征，發(fā)現(xiàn)有整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)。

第二步：推測考查分數(shù)數(shù)列。

第三步：印證求解。

[名師點評]B。分數(shù)數(shù)列。觀察發(fā)現(xiàn)題干數(shù)字包括選項以分數(shù)為主，故考慮分數(shù)數(shù)列的解法。用廣義通分的方法將數(shù)列變?yōu)?img alt="" class="h-pic1" src="https://epubservercos.yuewen.com/CF2180/3590504003538801/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0093_0005.jpg?sign=1754715397-hMgwW6FMdNOx4cpASfVtrtge9qQZzraA-0-7d1d3e834610812f29b45c92f1b94f97">,,,,（），分子是公差12的等差數(shù)列，故本題正確答案為B。

考點3 組合拆分數(shù)列

題干特征：數(shù)列較長、出現(xiàn)兩個括號，數(shù)字忽大忽小呈現(xiàn)波動變化。

兩種題型：交叉數(shù)列和分組數(shù)列。

解題思路：交叉數(shù)列→數(shù)列的奇項與偶項分別呈現(xiàn)出規(guī)律的數(shù)列。

分組數(shù)列→①將數(shù)列中的數(shù)字兩兩分組后，在組內(nèi)進行加減乘除四則運算，組與組之間存在一定的規(guī)律；②將數(shù)列中的數(shù)字三三分組后，組內(nèi)三個數(shù)滿足某種運算法則。

【例1】（2011廣東—35）8,3,17,5,24,9,26,18, 30, （　）。

A．22

B．25

C．33

D．36

思路導學

第一步：觀察數(shù)列特征，發(fā)現(xiàn)數(shù)列很長，推測考查多重數(shù)列。

第二步：觀察數(shù)列中共給出十項，兩兩分組數(shù)列觀察規(guī)律。

第三步：印證求解。

[名師點評]B。多重數(shù)列。很明顯數(shù)列很長，確定為多重數(shù)列。先考慮交叉，發(fā)現(xiàn)沒有規(guī)律，無對應的答案。因為數(shù)列總共十項，考慮兩兩分組，發(fā)現(xiàn)每兩項的和依次為11,22,33,44,（55=30+25），故本題正確答案為B。

【例2】15,26,37, （　）,68,79。

A．42

B．44

C．46

D．48

思路導學

第一步：兩兩分組，于組內(nèi)做差；

第二步：根據(jù)所得規(guī)律得出準確答案。

[名師點評]D。分組數(shù)列，兩兩分組，每組組內(nèi)做差，差為11。26-15=11,（48）-37=11, 79-68=11。所以選擇D。

考點4 冪次數(shù)列

題干特征：題干中出現(xiàn)多個冪次數(shù)或者題干中的數(shù)字與冪次數(shù)差值很小。

要求：數(shù)字敏感→熟悉常見的冪次數(shù)。

題型分類：直接冪次數(shù)列→簡單平方（立方）數(shù)列、底數(shù)和指數(shù)其中之一變化、底數(shù)和指數(shù)同時變化；

修正冪次數(shù)列→修正之后的數(shù)列為冪次數(shù)列。

平方數(shù)列、立方數(shù)列是一類基礎數(shù)列，考生需要熟記如下冪次數(shù)。

【例】（2014廣東—31）2187,729,243,81, 27, （　）。

A．3

B．6

C．9

D．12

思路導學

第一步：觀察數(shù)列特征，發(fā)現(xiàn)數(shù)列中數(shù)字較大，推測考查冪次數(shù)列。

第二步：試將數(shù)列用冪次方改寫。

注意：考生需要對基本數(shù)字的冪次方有所了解，有助于考生快速定位解題方向。

[名師點評]C。普通冪次數(shù)列。很顯然題干數(shù)字都是3的冪次方，依次為：37,36,35,34,33,（32），故本題正確答案為C。

考點5 多級數(shù)列

多級數(shù)列是指需要對數(shù)列相鄰兩項進行加、減、乘、除四則運算后找到特定規(guī)律的數(shù)列。可以分為做差多級數(shù)列、做商多級數(shù)列、做和多級數(shù)列、做積多級數(shù)列四種。按照運算的次數(shù)不同又可分為二級數(shù)列和三級數(shù)列兩類。經(jīng)過四則運算后得到的數(shù)列可能是等差數(shù)列、等比數(shù)列、質(zhì)數(shù)相關數(shù)列，還可能是冪次數(shù)列、周期數(shù)列、簡單遞推數(shù)列等。

做差多級數(shù)列是多級數(shù)列考查的主要內(nèi)容，做商多級數(shù)列、做和多級數(shù)列與做積多級數(shù)列考查較少。

【例1】（2014廣東—32）4,6,10,18,34,66, （　）。

A．82

B．98

C．114

D．130

思路導學

第一步：觀察數(shù)列特征，發(fā)現(xiàn)數(shù)列之間相差不大，排除冪次特征。

第二步：考慮做差，進一步發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

[名師點評]D。多級數(shù)列。觀察數(shù)列，發(fā)現(xiàn)符合“一般來說都是整數(shù)；項與項之間相差不大；沒有明顯的冪次特征”，優(yōu)先考慮做差，做差后發(fā)現(xiàn)新的數(shù)列為等比數(shù)列：2,4,8,16,32,（64），故本題正確答案為66+64=130，選D。

【例2】3,19,43,79,133, （　）。

A．169

B．205

C．214

D．229

思路導學

第一步：將原數(shù)列兩兩做差得到新的數(shù)列；

第二步：觀察新數(shù)列的特征，找出正確答案。

[名師點評]C。做差之后是16,24,36,54,（　），構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，則54后面一項是81，所以答案是133+81=214。

考點6 遞推數(shù)列

遞推數(shù)列，是指數(shù)列中從某一項開始，每項都是其前面的項經(jīng)過一定的運算得到的數(shù)列。近幾年，行測考試中遞推數(shù)列所占的比重越來越大，已經(jīng)成為考查熱點、難點。

簡單遞推數(shù)列：每一項等于前兩項的和、差、積或者商。

例如：2,2,4,6,10,16,26,42, …為簡單遞推和數(shù)列；

15,10,5,5,0,5, -5, …為簡單遞推差數(shù)列；

1,2,2,4,8,32,256, …為簡單遞推積數(shù)列；

729,27,27,1,27,,…為簡單遞推商數(shù)列。

當無法運用特征數(shù)列、組合拆分數(shù)列等相關知識解答時，可以考慮遞推規(guī)律。遞推數(shù)列具有和、差、積、商、方、倍六種基本形態(tài)。其中和、積、方、和倍是遞增趨勢，差和商是遞減趨勢，由于遞減數(shù)列我們倒著看是遞增的，所以這里我們只介紹遞增數(shù)列的解題方法。注意：從大的數(shù)字開始看，并且結(jié)合選項來看。

1．看趨勢，做試探。根據(jù)數(shù)列中數(shù)字的整體變化趨勢初步判斷遞推的具體形式，然后根據(jù)初步判斷的趨勢做合理的試探。數(shù)列的變化趨勢（結(jié)合選項）可以分為以下幾類：

（1）變化比較慢（一般相鄰兩項之間滿足2倍以內(nèi)），通常考慮加法；

（2）變化極快（觀察全部數(shù)列，相鄰兩項之間相差2個數(shù)位），一般考慮冪次；

（3）變化不快不慢（相鄰兩項相差3倍到8倍之間），先用乘法再用倍數(shù)。

2．圈三法。通過研究數(shù)列的局部規(guī)律，從而遞推整體規(guī)律的方法。圈三法不是只看3項，也有可能是看2項或者4項，只不過考試的時候兩項推一項比較多，我們習慣上稱為“圈三法”。

當數(shù)列趨勢不明顯，無法看出整體規(guī)律時，可以使用圈三法，先看相鄰某三個數(shù)之間有什么規(guī)律，然后驗證是不是整體規(guī)律。

【例1】（2013廣東外來務工—5）2,3,7,10,19, 26,45,60, （　）。

A．99

B．105

C．113

D．127

思路導學

第一步：觀察數(shù)列，發(fā)現(xiàn)數(shù)列較長，推測為多重數(shù)列。

第二步：進一步發(fā)現(xiàn)奇數(shù)項與偶數(shù)項的遞推規(guī)律。

第三步：印證求解。

[名師點評]A。數(shù)列的奇數(shù)項為2,7,19,45,（　）；后一項依次等于前一項的2倍+3,2倍+5,2倍+7,2倍+9；偶數(shù)項為3,10,26,60，后一項依次等于前一項的2倍+4,2倍+6,2倍+8。因此（　）=45×2+9=99。

【例2】1,2,3,7,22, （　）。

A．100

B．133

C．155

D．165

思路導學

第一步：觀察相鄰三個數(shù)字之間的規(guī)律；

第二步：將所發(fā)現(xiàn)規(guī)律代入數(shù)列進行驗證，若成立，則據(jù)此得出答案。

[名師點評]C。遞推積數(shù)列的變形。研究3,7,22三個數(shù)字，易知3×7+1=22，驗算可知全部成立，即滿足第三項=第一項×第二項+1，因此（　）=7×22+1=155，選擇C。

70分通關必做題

1．768, 199, 827, 69, 904, （　）

A．92

B．77

C．53

D．39

2．160, 80, 40, 20, （　）

A．4

B．6

C．8

D．10

3．6, 14, 22, （　）, 38, 46

A．30

B．32

C．34

D．36

4．1.8, 3.6, 7.2, 14.4, （　）, 57.6

A．18.4

B．22.6

C．28.8

D．34.4

5．300, 290, 281, 273, （　）, 260

A．270

B．266

C．264

D．262

6．3, 7, 9, 14, 27, 28, 81, （　）

A．56

B．83

C．108

D．132

7．1, , -, , -, （　）

A．

B．

C．

D．

8．24, 35, 55, 57, （　）

A．64

B．68

C．75

D．79

9．2, 4, 12, 48, 240, （　）

A．1645

B．1440

C．1240

D．360

10.3, 8, 23, 68, （　）, 608

A．183

B．188

C．203

D．208

11.2, 1, 4, 6, 26, 158, （　）

A．5124

B．5004

C．4110

D．3676

12.7.1, 8.06, 14.2, 16.12, 28.4, （　）

A．32.24

B．30.4

C．32.4

D．30.24

13.9, 10, 65, 26, 217, （　）

A．289

B．89

C．64

D．50

14.12, 23, 35, 47, 511, （　）

A．613

B．612

C．611

D．610

15.-2, -2, 0, 4, 10, （　）

A．12

B．15

C．16

D．18

16.0, 4, 11, 24, 49, （　）

A．98

B．88

C．76

D．107

17., 1, , -,, （　）

A．

B．

C．

D．

18.1, 11, 31, 512, 196, （　）

A．9999

B．999

C．888

D．8888

參考答案及解析

1．A [解析]機械分組數(shù)列。數(shù)字特征明顯不符合常規(guī)數(shù)列的特征，馬上考慮機械分組，發(fā)現(xiàn)每項各個數(shù)位上的數(shù)字和依次為：21,19,17,15,13,（11），故本題正確答案為A。

2．D [解析]本題考查等比數(shù)列。題干給出的是一組公比為的等比數(shù)列，因此（　）=20× 12=10。

3．A [解析]本題考查等差數(shù)列。題干給出的是一組公差為8的等差數(shù)列，因此（　）=22+8=30。

4．C [解析]本題考查等比數(shù)列。題干給出的是一組公比為2的等比數(shù)列，因此（　）=14.4×2=28.8。

5．B [解析]本題考查二級等差數(shù)列。

6．A [解析]數(shù)列中的奇數(shù)項為3,9,27,81，是一組公比為3的等比數(shù)列。偶數(shù)項為7,14，

28,（　），是一組公比為2的等比數(shù)列。因此（　）=28×2=56。

7．A [解析]原數(shù)列可寫為,,,,,（　）。該數(shù)列的分母相同，前一項分子減去后一項分子的差依次為5,4,3,2，是等差數(shù)列。因此（　）=1=。

8．B [解析]數(shù)列中每一項都是兩位數(shù)，將各項的兩個數(shù)字相加得到新的數(shù)列：6,8,10,12，最后一項應選擇兩位相加為14的數(shù)，只有B項符合。

9．B [解析]后項除以前項得到新數(shù)列：2、3、4、5、（6），為等差數(shù)列，所以未知項為240×6=1440。故正確答案為B。

10．C [解析]后項減去前項得到新數(shù)列：5、15、45、（135）、（405），為等比數(shù)列，所以未知項為68+135=203，驗證后項，608-405=203，符合。故正確答案為C。

11．C [解析]原數(shù)列為做積遞推數(shù)列。相鄰兩項之積加上2等于下一項，所以未知項為26× 158+2，計算尾數(shù)，8+2=10，尾數(shù)為0。故正確答案為C。

12．A [解析]奇數(shù)項：7.1、14.2、28.4，構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列；偶數(shù)項：8.06、16.12、（　），構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，故（　）=32.24。故正確答案為A。

13．D [解析]各項依次為：23+1,32+1,43+1,52+1,63+1,（72+1），故正確答案為D。

14．A [解析]數(shù)位組合數(shù)列，各項首位數(shù)字1、2、3、4、5、（6），是等差數(shù)列；其余數(shù)字2、3、5、7、11、（13），是質(zhì)數(shù)數(shù)列。故選A。

15．D [解析]本題屬于二級等差數(shù)列，兩兩做差之后得到公差為2的等差數(shù)列。

16．A [解析]本題屬于三級等比數(shù)列，兩次做差之后得到公比為2的等比數(shù)列。

17．A [解析]將1改寫，可得：分子數(shù)列：1、4、9、16、25、（36），為平方數(shù)列；分母2、4、7、11、16、（22）為二級等差數(shù)列，所填分數(shù)。故選A。

18．D [解析]各位數(shù)字之和分別為1、2、4、8、16、（32），故正確答案為D。

80分專項瘋狂練習

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