模塊二 廣東數量關系

第一章 數學運算

廣東歷年考點透視

在廣東省考中，數學運算近三年來呈現一個穩(wěn)定的狀態(tài)，但需要注意的是，題目的題干越來越長，相應的難度也逐年增加，這主要是閱讀量的增大導致對題目進行數據關系分析及推理的難度增加，必須高度重視。

這里我們把數學運算的備考分成三個階段，以便于各個突破，完美掌握。

1．廣泛積累階段

積累階段需要盡可能多地收集各類題型，深入了解廣東省考及其他地方考試的出題特點和題型分布情況。這個階段需要的時間，考生可依據自身情況而定，一般需要兩個月左右。

2．總結提高階段

在這一階段，要逐步掌握各類題型的解題思路。建議考生每天定時定量地進行真題練習，鞏固基礎知識，在夯實基礎的前提下注意歸納總結解題的思路和技巧。考生要根據學習、做題過程中發(fā)現的問題，明確自己的薄弱環(huán)節(jié)，尤其要注意“常做常錯”的題型。可根據自己的情況，制作“錯題本”或“典型題本”，抓住每類題目的內在規(guī)律。同時要注意對知識點的查漏補缺，保證解決數量關系問題的能力得到穩(wěn)步提升。

3．模擬沖刺階段

勤于練習，舉一反三，有意識地培養(yǎng)運算直覺，這是解決數學運算問題的核心所在。在模擬沖刺階段，考生需要每天定量做一些模擬題，模仿書中對題目的分析，來培養(yǎng)對數學運算的感覺，這種感覺不僅能夠提高數學運算的解題速度和正確率，對數字推理部分也很有幫助。

在備考過程中，考生要注意調整心態(tài)，戒驕戒躁，切不可急于求成，必須根據自身的特點，有機地進行積累與總結的輪換，才能在一輪一輪的備考中做到心中有數，才能在考場上立于不敗之地。

典型真題直擊

（2015廣東—29）一個人騎車去工廠上班，從家出發(fā)，用30分鐘騎行了一半的路程后，他加快了速度，以每分鐘比原來快50米的速度，又騎行了10分鐘，這時發(fā)現距離工廠還有2千米。那么從他家到工廠之間的距離為（　）千米。

A．6

B．7.5

C．8

D．8.5

考點關鍵詞

?行程問題

?答案

基礎知識解讀

數學運算的出題形式是每道題給出一個數學式子，或者表達數量關系的一段文字，要求考生熟練運用加、減、乘、除等基本運算法則，利用基本的數學知識，準確、迅速地計算出結果。

數學運算主要考查考生能否快速發(fā)現題目中各個量之間的聯系，需要考生快速、準確、巧妙地進行列式和計算。在數量關系這個模塊中，數學運算的知識點相對較多，題型變化復雜，每年在廣東省公務員考試試卷中有10道題的題量。經過統(tǒng)計，在歷年的考試中，基礎計算問題、工程問題、費用計算問題等幾乎是每年必考的重點內容，代入排除思想、方程思想等也是每年必用的解題思想。希望考生能夠熟知我們在本書當中為大家歸納的知識點，首先通過學習了解知識點，準確理解題意，然后通過不斷的練習掌握考試中的重要題型及其解答方法。

常考角度剖析

考點1 初等數學問題

初等數學問題是一類和數的性質緊密結合的問題。其中，基礎計算問題是重點考查題型，幾乎每年必考，其他幾種題型則交錯出現。

一、基礎計算問題

基礎計算問題側重考查計算能力及簡單的判斷分析能力，考生通過仔細分析與計算即可得解。大多數基礎計算問題通常存在速算技巧，通過能否快速發(fā)現技巧，在短時間內完成題目，來判斷不同考生的能力。考試中的基礎計算問題包括基本計算問題、乘方尾數問題、基本數學概念問題等多種題型，涉及公式法、尾數法、估算法、裂項相消法、整體思維、多項計算等多種方法。

常用的公式有：

1．平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

2．完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2

3．完全立方公式：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

4．立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

5．立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

6．乘方尾數口訣：底數留個數；指數末兩位除以4留余數（余數為0則看作4）

7．裂項公式

將任一項分解為兩項相減，并且前后項之間構成相消關系，具體公式為：

二、約數倍數問題

幾個數的最大公約數，即不存在比其更大的數能被這幾個數整除。幾個數的最小公倍數，即不存在比其更小的數能整除這幾個數。

約數倍數問題在公務員考試中主要考查求解多個數的“最大公約數”和“最小公倍數”，大家必須會分辨這類題型，并能夠用短除法求出“最大公約數”和“最小公倍數”。下面詳細介紹“短除法”。

1．求解兩個數的最大公約數和最小公倍數。例如，求48、60的最大公約數和最小公倍數：

當出現兩個互質的數字時（即第四步），求解過程結束。

那么最大公約數=2×2×3=12（第四步左側的三個數字的乘積）。

最小公倍數=2×2×3×4×5=240（第四步左側的三個數字與下邊兩個數字的乘積）。

2．求解多個數的最大公約數和最小公倍數。例如，求60、72、90的最大公約數和最小公倍數：

如圖1所示，當得到10、12、15互質時（盡管10、12、15這三個數兩兩不互質），我們停止，將左側的數字相乘，就是60、72、90這三個數的最大公約數，即：2×3=6。

如果我們要求60、72、90這三個數的最小公倍數，還必須繼續(xù)求解。在得到10、12、15這三個兩兩不互質的數之后，我們繼續(xù)除以這三個數中任意兩個數的公共因子（此時第三個數往下照抄），直至得到的數字之間全部互質為止。下面通過圖2來說明解答過程。

在得到1、2、1這三個兩兩互質的數字之后，我們將左側的數字與下邊三個數字相乘，就是60、72、90這三個數的最小公倍數：2×3×2×3×5×1×2×1=360。

三、余數問題

基本公式：被除數=商×除數+余數（0≤余數<除數）。

對于一個數除以三個數余數的不同情況，可以根據下列口訣快速得到被除數的表達式：

余同取余：例如，“一個數除以7余1，除以6余1，除以5余1”，可見所得余數恒為1，則取1，被除數的表達式為210n+1；

和同加和：例如，“一個數除以7余1，除以6余2，除以5余3”，可見除數與余數的和相同，取此和8，被除數的表達式為210n+8；

差同減差：例如，“一個數除以7余3，除以6余2，除以5余1”，可見除數與余數的差相同，取此差4，被除數的表達式為210n-4。特別注意前面的210是5、6、7的最小公倍數，此即公倍數做周期。

四、質數合數問題

質數是只有1和它本身兩個因子的自然數。

通過觀察表格中的質數可知，2是其中唯一的偶數，質數2常和奇偶特性結合考查。

五、星期、日期問題

星期、日期問題，需要考生對每月的天數與閏年的判定有基本的了解，在此不一一贅述。如果沒有經過閏月，則下一年同一天的星期數加1；如果經過閏月，則加2。

六、數列與平均數問題

1．等差數列

通項公式：第n項=首項+（n-1）×公差項數公式：

求和公式

對稱公式：若m+n=i+j，則am+an=ai+aj

2．平均數問題

對于一般數列有：總和=平均數×項數

平均數問題也可以利用十字交叉法進行計算。

3．循環(huán)周期問題

對于循環(huán)周期問題，通過項數除以周期得到的余數進行判定。

七、定義運算

定義運算的基本特征是題目表述為出現定義新運算符號，并且每種符號所代表的實際運算法則在題目中會給出。解題時注意辨識題目中出現的新穎符號的含義，并靈活運用，如果計算比較復雜，則需注意分層次計算。掌握運算的新定義的本質，直接按照新定義運算法則代入計算即可。

八、尾數計算

題干特征：題目表述為四個選項尾數互不相同，而算式中多僅涉及加減乘冪運算。

解題思路：簡單加減乘冪問題直接判定算式尾數；除法運算運用尾數法需化除為乘；乘方尾數直接應用口訣：底數只留個位，指數除以4留余數，余數為0換成4。此時所得新數的尾數即為原數的尾數。

【例1】（2013廣東縣級以上—6）某企業(yè)組織80名員工一起去劃船，每條船乘客定員12人，則該企業(yè)最少需要租船（　）條。

A．7

B．8

C．9

D．10

思路導學

簡單的余數問題，根據題目條件和給定數字進行計算即可。

[名師點評]A。80÷12=6……8，故至少需要7條船。

【例2】762013+252014的最后兩位數字是（　）。

A．01

B．91

C．21

D．51

思路導學

第一步：分別得出762013和252014的尾數；

第二步：將所得尾數相加，得到答案。

[名師點評]A。762013的尾數為76,252014的尾數為25，相加后尾數為01。答案為A。

【例3】恰有兩位數字相同的三位數一共有（　）。

A．243個

B．234個

C．225個

D．216個

思路導學

第一步：明確三位數的總個數；

第二步：分別找出三位數字都相同的三位數的個數和三位數字都不同的三位數的個數；

第三步：由“三位數的總個數-三位數字都相同的三位數的個數-三位數字都不同的三位數的個數”即可得答案。

[名師點評]B。三位數一共900個，三位數字都相同的有9個，一個數字相同（即三個數字都不同）的有9×9×8=648（個），所以恰有兩位數字相同的三位數一共有900-648-9=243（個）。

【例4】一個三位數除以53，商是a，余數是b（a, b都是正整數），則a+b的最大值是（　）。

A．69

B．80

C．65

D．75

思路導學

第一步：在條件允許的范圍內，使a、b盡可能大；

第二步：使被除數盡可能大；

第三步：將得到的a、b的值相加得出答案。

[名師點評]A。要使a+b最大，b最大取52，在被除數是三位數的范圍內使a盡可能大。而最大的三位數為999,999÷53=18……45，故取a為17，余數b為52，則a+b的最大值為17+52=69。所以選擇A。

【例5】如果x⊕y=x2+y2，則3⊕1⊕3=（　）。

A．109

B．100

C．120

D．160

思路導學

直接將已知公式代入原式求解即可。

[名師點評]A。原式=（32+12）2+32=100+9=109。所以選擇A。

【例6】下列可以分解為三個不同質數相乘的三位數是（　）。

A．100

B．102

C．104

D．125

思路導學

第一步：根據題目特征確定求解方法——代入排除法；第二步：將四個選項的數字分別用質數相乘的形式表示出來；

第三步：依據題干“三個不同質數相乘”的要求判定正確答案。

[名師點評]B。運用代入排除法求解。A項，100=2×2×5×5，不符合題意。B項，102=2× 3×17，符合題意。C項，104=2×2×2×13，不符合題意。D項，125=5×5×5，三個質數相同，不符合題意。所以選擇B。

考點2 方程與不等式

一、一元方程

一元方程主要用于只設一個未知數就能列方程求解的數學題型，多為一次方程。這種方法的技巧在于選擇合理的未知數，一般應設題目所求量為未知數。

二、多元方程

多元方程，這里是指設兩個及以上未知數列方程解決的數學運算題型。一個多元一次方程不能求出唯一的解，因此多元方程問題往往以方程組的形式解題，而求解方程組的重要思想是消元，于是在實際解題過程中，通過適當放大和縮小題目中的條件，然后從等價關系中找到所求量成為快速解題的思路。

三、不定方程

不定方程，通常是給出的方程數小于未知數個數的方程或方程組，在沒有別的限定條件下是有多個解的。但是這類題目往往限定了方程的解是整數，因此方程的解通常只有幾個可能（如果題目所求是方程的解，選項對應的就只有4種可能），因此在明確了方程之后，通過奇偶特性、整除特性以及數字的大小范圍，縮小正確選項的范圍后，再代入排除是常規(guī)解題思路。

【例】（2014廣東—36）辦公室工作人員使用紅、藍兩種顏色的文件袋裝29份相同的文件。每個紅色文件袋可以裝7份文件，每個藍色文件袋可以裝4份文件。要使每個文件袋都恰好裝滿，需要紅色、藍色文件袋的數量分別為（　）個。

A．1、6

B．2、4

C．3、2

D．4、1

思路導學

第一步：根據題意，列二元一次方程。

第二步：使用代入排除法，得出答案。

[名師點評]C。二元一次不定方程。設紅色文件袋用了x個，藍色文件袋用了y個，根據題意有7x+4y=29。使用代入排除法，發(fā)現只有3×7+2×4=29符合條件，故本題正確答案為C。

考點3 比例問題

比例問題，是涉及比例關系的文字應用題的合稱，比如工程問題中的效率，牛吃草問題中的牛吃草效率與長草效率之比，鐘表問題中時間與角度的比例等。工程問題是比例問題中的重點題型，牛吃草問題時有考查，鐘表問題則考查較少。

一、工程問題

工程問題公式：工程量=效率×時間。

由此可得：當時間相同時，工程量之比等于效率之比。

工程問題一般采用賦值法或根據基本公式設未知數尋找等量關系列方程。若題目當中給出時間信息，則賦工作總量，根據總量和時間求出效率，然后研究效率的分配方式（合作、干擾、撤出、交替等）。為了便于計算，總量賦成時間的最小公倍數。如果題目中出現效率的比例或倍數關系，一般可以考慮將效率賦成具體數值，然后根據公式直接進行求解或者找等量關系列方程。

二、溶液問題

溶液問題公式：濃度=溶質÷溶液，溶液=溶質+溶劑。

兩溶液混合，質量分別為M1、M2，濃度分別為c1、c2，混合后溶液濃度為c，則有公式：M1c1+M2c2=（M1+M2）c。如果已知混合前和混合后的濃度，還可以求出混合的溶液之比：

對于此類揮發(fā)和稀釋的溶液問題，抓住過程中的規(guī)律，如按比例變化或者溶質不變，以此為突破口解題，在只涉及比例關系的題目中可以適當給溶質或溶劑賦值。

三、牛吃草問題

核心公式：Y=（N-X）×T。

其中：“Y”代表現有存量（如“原有草量”）; “N”代表使原有存量減少的變量（如“牛數”）; “X”代表存量的自然增速（如“草的生長速度”）; “T”代表存量完全消失所需時間。

常考模型有牛吃草、抽水機抽水、檢票口檢票、資源開發(fā)。解題時往往根據題干中已知的數字信

息列方程組：，通過求解方程組得到題目的答案。

四、鐘表問題

時鐘表盤分為12個大格，每格30°，時針轉速為0.5°/分鐘，分針轉速為6°/分鐘。分針每分鐘追時針5.5°。

時針與分針一晝夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。

時針與分針呈某個角度往往需要考慮到對稱的兩種情況。

無論是標準表還是壞表，轉速都是勻速的，只是速度不同而已。

快慢鐘問題的參照物為標準時間，快慢鐘問題一般采用比例法解題。根據條件可以得出標準鐘與快慢鐘的速度之比，此比例即為兩鐘運行過的時間長度（相當于行程問題中的路程）之比。

【例1】（2012廣東縣級以上—14）小張的手表和鬧鐘走時都不準，手表比標準時間每9小時快3分鐘，鬧鐘比標準時間每6小時慢5分鐘。一天，小張發(fā)現手表指示9點27分時，鬧鐘剛好指示9點41分，那么至少要經過（　）小時，手表和鬧鐘才能指示同一時刻。

A．6

B．9

C．12

D．15

思路導學

第一步：根據題干敘述，求出手表與鬧鐘相同時間內（每6小時）的時間差。

第二步：利用題干中已知的時間差，求取答案。

[名師點評]D。追及問題。手表相當于每6小時快2分鐘，即每6小時比鬧鐘快7分鐘，它們相差（41-27）分鐘，故手表和鬧鐘顯示同一時間需要經過的小時數為（41-27）÷7×6=12（小時）。

【例2】有甲、乙、丙三種鹽水，濃度分別為5%、8%、9%，質量分別為60克、60克、47克，若用這三種鹽水配置濃度為7%的鹽水100克，則甲種鹽水最多可用（　）。

A．49克

B．39克

C．35克

D．50克

思路導學

第一步：設未知數，根據題干信息列方程并化簡；

第二步：將選項中的數值由最大的開始進行驗證，矛盾則排除，滿足則當選。

[名師點評]A。設甲鹽水為x克，乙鹽水為y克，則丙鹽水為（100-x-y）克，根據題干可知：5%x+8%y+9%（100-x-y）=100×7%，化簡得：y=200-4x，要想甲鹽水最多，也即x盡可能大，故令y=0，有x=50，此時丙鹽水為50克。這與題干中的“47克”矛盾，此時采用代入法，將其余三項中最大的數代入，驗證A項能滿足題意。故正確答案為A。

【例3】小張的手表每天快30分鐘，小李的手表每天慢20分鐘，某天中午12點，兩人同時把表調到標準時間，則兩人的手表再次同時顯示標準時間最少需要的天數為（　）。

A．24

B．36

C．72

D．144

思路導學

第一步：分別計算出小張和小李的手表再次顯示標準時間所需的天數；

第二步：取兩者的最小公倍數，即可得出答案。

[名師點評]C。由題意可知，再次顯示標準時間12點，需要12個小時，因此小張的手表需要12÷ 0.5=24（天），小李的手表需要（天）,24和36的最小公倍數為72。因此72天以后都顯示標準時間。

【例4】甲乙兩個工程隊共同修建一段長為2100千米的公路，甲隊每天比乙隊少修50千米，甲隊先單獨修3天，余下的路程與乙隊合修6天完成，則乙隊每天所修公路的長度是（　）。

A．135千米

B．140千米

C．160千米

D．170千米

思路導學

第一步：設未知數，根據題干信息列方程；

第二步：解方程，得出答案。

[名師點評]D。設甲的效率為x千米/天，則乙的效率為（x+50）千米/天，列方程得：3x+（x+x+50）× 6=2100，解方程得x=120，則乙的效率為170千米/天。答案為D。

考點4 計數問題

計數問題中的容斥原理問題是集合論的簡單應用，而排列組合問題則是經典的應用問題，條件豐富多變，且存在很多實用技巧。概率問題很多時候是和排列組合問題結合在一起考查的。

一、容斥原理問題

1．核心公式

2．推論公式

（1）兩集合

滿足條件1的個數+滿足條件2的個數-都滿足的個數=總數-都不滿足的個數

（2）三集合

至少滿足1個條件的個數=只滿足1個條件的個數+恰好滿足2個條件的個數+滿足3個條件的個數

滿足條件1的個數+滿足條件2的個數+滿足條件3的個數=只滿足1個條件的個數+2×恰好滿足2個條件的個數+3×滿足3個條件的個數

根據題目給出的條件選用合適的公式，結合方程法解題是容斥原理問題的核心。

二、排列組合問題

1．排列與組合公式

排列：與順序有關。排列公式：。

組合：與順序無關。組合公式：

2．分類與分步

分類：是指完成一件事，需要劃分幾個類別，各類別內的方法可以獨立完成該事。

分步：是指完成一件事，需要分為幾個步驟，每個步驟內的方法只能保證完成該步。

3．加法原理與乘法原理

加法原理：分類完成的事件，將完成該事件的各類別方法總數相加。

乘法原理：分步完成的事件，將完成該事件的各步驟的方法直接相乘。

如果題目要求一組相同的元素分成數量不等的若干組，要求每組至少一個元素，可以用插板法：將比所需分組數目少1的板插入元素之間的空隙形成分組。

如果題目需要分類的情形很多，而與之相反的情形較少，可以反向思考問題。

三、概率問題

核心公式：

單獨概率=滿足條件的情況數÷總的情況數。

總體概率=滿足條件的各種情況概率之和（互相排斥的情況）。

總體概率=滿足條件的每個步驟概率之積（步驟相互獨立）。

某條件成立的概率=1-該條件不成立的概率。

“A成立”時“B成立”的概率=A、B同時成立時的概率÷A成立的概率。

對于一般的概率問題，直接分析滿足條件的情形種數與所有可能的情形總數，兩者相除即得概率。在分析情形種數和所有可能總數時需用排列組合知識計算。對于分步、分類、條件概率問題則具體題目具體分析，分析時注意區(qū)分條件之間能否相互區(qū)分。

【例1】（2013廣東外來務工—14）某單位購買了10臺新電腦，計劃分配給甲、乙、丙3個部門使用。已知每個部門都需要新電腦，且每個部門最多得到5臺，那么電腦分配方法共有（　）種。

A．9

B．12

C．18

D．27

思路導學

第一步：根據題目特征可采取枚舉法求解。

第二步：分別計算列舉當甲分配1臺、2臺、3臺、4臺、5臺電腦時的分配數，相加得到答案。

[名師點評]C。本題可采用列舉法。當分配甲部門1臺電腦時，共有2種分法（1,5,4;1,4,5）；當分配甲部門2臺電腦時，共有3種分法（2,5,3;2,4,4;2,3,5）；當分配甲部門3臺電腦時，共有4種分法（3,5,2;3,4,3;3,3,4;3,2,5）；當分配甲部門4臺電腦時，共有5種分法（4,5,1;4,4,2;4,3,3;4, 2,4;4,1,5）；當分配甲部門5臺電腦時，共有4種分法（5,4,1;5,3,2;5,2,3;5,1,4）。因此共有2+3+4+5+4=18（種）電腦分配方法。

【例2】一件產品要經過三道工序，每道工序的合格率分別為99.98%、99.95%、99.93%，該產品的合格率是多少？（　）

A．99.23%

B．99.86%

C．99.56%

D．99.94%

思路導學

根據產品的合格率即為各道工序的合格率的積得解。

[名師點評]B。產品三道工序的合格率分別為99.98%、99.95%、99.93%，則該產品的合格率為分步概率：99.98%×99.95% ×99.93%=（1-0.0002）×（1-0.0005）×（1-0.0007）≈1-0.0002-0.0005-0.0007=0.9986=99.86%。所以選擇B。

考點5 最值問題

最值問題是數學運算中最能考查思維能力的題型之一。其中抽屜原理題型相對固定，對最不利情形的構造是關鍵，在最不利情形上加1即可推出答案。其他最值問題分析需要分類考慮或者從問題的反面來解決問題。

一、抽屜原理

題型判定：若題目中出現“至少（最少）……保證”，則確定是抽屜原理的題目。

解題思路主要分為兩步：確定是抽屜原理的題目后，第一，分析清楚“最糟糕”或“最不利”的是什么；第二，在最不利的基礎上加1。

解題方法：答案=最不利的情形+1。

特殊情況：抽屜原理問題中有一類選票統(tǒng)計問題，提問方式一般是“甲至少再得多少票就一定當選”，這屬于抽屜原理的拓展題型，做題方法是：總票數減去最少選手得票后，甲要得到剩余票數的一半以上。

二、構造數列

當題干中出現“最大”“最多”“至多”“最小”“最少”“至少”等字樣時，我們通常考慮“極端構造法”，即通過分析題目中的各個數量之間的關系，并通過“大小或多少”關系構造出符合題目所需求的極端情況，從而排列順序并求解。

特征：最……最……；排名第……最……。

方法：構造一個滿足題目要求的數列。

三、反向構造

題型判定：題中給出多個集合，問題是“至少……都……”，那么就屬于多集合反向構造。

解題方法：一般先反向求和，再做差。

【例1】（2015廣東—26）在一次抽獎活動中，要把18個獎品分成數量不等的4份各自放進不同的抽獎箱。則一個抽獎箱最多可以放（　）個獎品。

A．6

B．8

C．12

D．15

思路導學

第一步：根據題目要求，確定解題方法——逆向思維法。

第二步：確定數量不同的獎品數最少的組合。

第三步：結合已知的獎品總數得出答案。

[名師點評]C。為了使一個抽獎箱放入的數量盡可能多，逆向思維，就是要使其他三個抽獎箱盡可能少，數量不同的獎品數最少的組合為1,2,3，因此，這個抽獎箱最多放入18-1-2-3=12（個）獎品，本題選C。

思路導學

第一步：根據題意，設定兩個關于道路總長的未知數。

第二步：求取這兩個道路總長未知數的最小公倍數。

【例2】（2014廣東—41）在一條新修的道路兩側各安裝了33座路燈，每側相鄰路燈之間的距離相同。為提高照明亮度，有關部門決定在該道路兩側共加裝16座路燈，要使加裝后相鄰路燈之間的距離也相同，最多有（　）座原來的路燈不需要挪動。

A．9

B．10

C．18

D．20

第三步：據最小公倍數得出未知數的數值，再據題意得解。

[名師點評]C。根據題意可知先前道路每邊安裝了33座路燈，所以道路總長s=32n（n為相鄰路燈的間隔），后每邊加了8座路燈，可知每邊安裝了41座路燈，所以道路的總長s=40m（m為后來的相鄰路燈間隔），由此假設道路總長是32與40的最小公倍數。故令總長s=160米，從而n=5米，m=4米，則每邊不需移動的相鄰路燈之間的間隔應該是20的整數倍，有距起點0米，20米，40米，60米，80米，100米，120米，140米和160米位置上的路燈不用移動，總共9座。則兩邊總共有18座路燈不用移動。故本題的正確答案為C。

考點6 費用問題

費用問題與實際生活結合緊密，考查方式比較靈活。利潤折扣問題涉及成本、收入、折扣等，是費用問題的重點題型。分段計費時有考查，而方案優(yōu)化將逐漸成為考查的趨勢。

一、利潤折扣

核心公式：

1．售價=成本+利潤，利潤=售價-成本

2．利潤率=利潤÷成本=（售價-成本）÷成本=售價÷成本-1

3．成本=售價÷（1+利潤率）

注：“售價”是實際售出價格，“定價”是期望價格。

遇到涉及折扣的問題，如果沒有給出具體的售價和銷售額，可以抓住題目中的等量關系，研究出變化前后的情形及其差異，結合賦值和列表來分析解題。

二、分段計算

對于分段計算的題目，需找準分段點，按區(qū)間各自計算，結合列表分析。

三、方案優(yōu)化

對于方案優(yōu)化的題目，先計算出購買目標在不同購買方式下的價格，比較之后進行購買。

【例】（2013廣東外來務工—10）某服裝店三月份男裝和女裝的總銷售額為8000元，已知三月份女裝銷售了50件，每件售價100元，則三月份男裝銷售額為（　）元。

A．1000

B．2000

C．3000

D．4000

思路導學

簡單的費用問題計算，總銷售額減去女裝銷售額（售價×銷量）即得答案。

[名師點評]C。8000-50×100=3000（元），故三月份男裝銷售額為3000元。

考點7 行程問題

一、基本行程問題

行程問題核心公式：路程=速度×時間。

由此公式進一步可得：路程的比例=速度的比例×時間的比例。

由此可得三條推論：

當時間相同時，路程之比等于速度之比；

當速度相同時，路程之比等于時間之比；

當路程相同時，速度之比等于時間反比。

等距離平均速度公式：v1與v2所經歷的路程相同，則平均速度-。

火車過橋公式：橋長+車長=火車速度×過橋時間。

從行程問題基本公式出發(fā)，針對路程、速度、時間三項，先看題目待求量，然后返回題目中尋找其余兩個量，根據基本公式列方程，是解決基本行程問題、相遇追及問題和流水行船問題的常規(guī)方法。在較復雜的行程題目中，也可以借助畫圖來尋找相應的等量關系。

二、相遇追及問題

核心公式：

相遇距離=（速度1+速度2）×相遇時間；

追及距離=（速度1-速度2）×追及時間。

對于兩人從兩地相向出發(fā)相遇后到達另一地再返回相遇的問題（必須是兩者都到達另一地返回），如果用S1、S2表示兩次相遇地點分別距離某起點的距離，S表示兩點間的距離，則第一次相遇兩人分別走過S1, S-S1，第二次相遇兩人分別走過S+（S-S2）, S+S2。根據速度之比等于路程之比，S1∶（S-S1）= （2S-S2）∶（S+S2），有如下公式：

同理可得下面的公式：

兩邊型公式：S=3S1-S2（S1、S2指的是兩次相遇地點分別距離兩個起點的距離，S表示兩點間的距離）。

三、間歇變速問題

對于出現行進中速度變化的問題，根據運動物體的運動軌跡尋找相應的等量關系，一般考慮找關于時間的等量關系。而對于在行進中出現休息時間的問題，可以將行進和休息的時間看成一個整體來考慮平均速度，但是在追及前后要具體分析。

四、流水行船問題

核心公式：

流水行船問題：順流航程=（船速+水速）×順流時間；

逆流航程=（船速-水速）×逆流時間。

電梯運動問題：電梯梯級=（人速+電梯速度）×沿電梯運動方向到達時間；

電梯梯級=（人速-電梯速度）×逆電梯運動方向到達時間。

流水行船與扶梯上下本質上是一類題目，只不過扶梯上下型題目中電梯的總級數即為總路程，每人每秒走過的電梯級數即為速度。

【例】（2014廣東—38）一輛客車與一輛貨車從東、西兩個車站同時出發(fā)勻速相向而行，客車和貨車的行駛速度之比為4∶3。兩車相遇后，客車的行駛速度減少10%，貨車的行駛速度增加20%，當客車到達西車站時，貨車距離東車站還有17公里。東、西兩個車站的距離是（　）公里。

A．59.5

B．77

C．119

D．154

思路導學

第一步：分別設置客車、貨車的行駛速度及相遇時間的未知數。

第二步：根據題意及“17公里”這一數量信息列方程，得到未知數數值。

第三步：根據相遇問題的常規(guī)思路，得解。

[名師點評]C。根據題意令客車的行駛速度為40x，貨車的行駛速度為30x，兩車相遇所花的時間為t。則根據題意有，從而總路程為70 xt=17×7=119（公里）。故本題正確答案為C。

考點8 幾何問題

幾何問題有兩類，一類是考查利用平面幾何和立體幾何的原理運算或空間想象能力，如面積、體積計算等；另一類是考查結合幾何知識的計數問題，如植樹、方陣、染色問題等。立體幾何是幾何問題中的重點題型，而幾何計數又是幾何問題中的難點問題。

一、平面幾何問題

周長公式：

面積公式：

1．等量最值原理

周長相同的平面幾何圖形，越接近于圓，面積越大；

面積相同的平面幾何圖形，越接近于圓，周長越小。

2．等比放縮特性

若一個平面幾何圖形尺度變?yōu)樵瓉淼腘倍，則周長變?yōu)樵瓉淼腘倍，面積變?yōu)樵瓉淼腘2倍。

3．三角形三邊關系

在三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

在任何一個直角三角形中，兩條直角邊的平方和一定等于斜邊的平方。

規(guī)則的幾何問題一般直接運用公式進行求解，某些時候需要列方程。不規(guī)則的幾何問題，可以通過等量轉化、割補平移、替代等方法，將不規(guī)則的圖形轉化為規(guī)則的圖形進行求解。

二、立體幾何問題

表面積公式：

正方體的表面積=6a2；長方體的表面積=2ab+2bc+2ac；

球體的表面積=4πR2=πD2；圓柱體的表面積=2πR2+2πRh；

圓柱體的底面積=2πR2；圓柱體的側面積=2πRh

體積公式：

正方體的體積=a3；長方體的體積=abc；

球的體積=；圓柱體的體積=πR2h；

圓錐體的體積=

1．等量最值原理

表面積相同的立體幾何圖形，越接近于球，體積越大；

體積相同的立體幾何圖形，越接近于球，表面積越小。

2．等比放縮特性

若一個立體幾何圖形尺度變?yōu)樵瓉淼?span id="qtlqom9" class="italic">N倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼?span id="iwqu4yv" class="italic">N2倍，體積變?yōu)樵瓉淼?span id="vslhfpr" class="italic">N3倍。

三、幾何計數問題

1．剪繩計數

繩子的段數總是比切口數多1。

一根繩子連續(xù)對折N次，從中剪M刀，則繩子被剪成（2N×M+1）段。

2．植樹問題

單邊線形植樹：棵數=總長÷間隔+1，總長=（棵數-1）×間隔；

單邊環(huán)形植樹：棵數=總長÷間隔，總長=棵數×間隔；

單邊樓間植樹：棵數=總長÷間隔-1，總長=（棵數+1）×間隔；

雙邊植樹：只需要把單邊植樹的數目乘以2即可。

3．方陣問題

N排N列的方陣人數為N2人，最外層人數為4（N-1），最外兩層的人數和為8（N-2）。

方陣人數=（最外層人數÷4+1）2。

幾何計數問題有些是標準的應用題，如剪繩、植樹、方陣問題等，這些問題可以利用經驗公式求解。有些則是需要具體分析的問題，如染色問題等。

【例1】如圖，ABCD是棱長為3的正四面體，M是棱AB上的一點，且MB=2MA, G是三角形BCD的重心，動點P在棱BC上，則PM+PG的最小值是（　）。

A．10

B．7

C．3

D．11

思路導學

第一步：將面DBC和ABC展開，形成一個面；

第二步：根據題干信息推算出三角形GBM為直角三角形；

第三步：由已知信息及勾股定律計算得出答案。

[名師點評]B。如圖，想求MG之間最短的距離，把面DBC和ABC展開成一個平面，連接MG兩點，則兩條線之和最短。∠ABC=60°, ∠GBC=30°，因此∠GBA=90°。因此三角形GB M為直角三角形。根據△BCD為等邊三角形，邊長為3, G為△BCD的重心，算出BG為, BM=2，根據勾股定律得到GM=。因此，本題選B。

【例2】如圖，在梯形ABCD中，AB與CD平行，O為AC與BD的交點，CO=2AO，則梯形ABCD與三角形AOB的面積之比為（　）。

A．6∶1

B．7∶1

C．8∶1

D．9∶1

思路導學

第一步：將三角形 AOB 和COD的高分別設未知數，并根據題干信息推算出二者關系；

第二步：分別列出梯形ABCD和三角形AOB的面積計算公式；

第三步：將上一步所列兩個公式相除，并結合第一步所推關系計算得出答案。

[名師點評]D。在梯形ABCD中，AB與CD平行，所以三角形AOB與三角形COD相似，同時設三角形AOB的高為H1，三角形COD的高為H2，所以-- -，所以梯形ABCD與三角形AOB的面積比為，選擇D。

考點9 雜類問題

雜類問題在數學運算中出現較少，但其中的比賽問題、統(tǒng)籌推斷問題都是數學運算中的難點題型；年齡問題、過河爬井問題、空瓶換酒問題都有公式可以套用，難度不大。

一、年齡問題

年齡問題經驗總結：

1．每過N年，每個人都長N歲。

2．兩個人的年齡差在任何時候都是固定不變的。

3．兩個人的年齡倍數關系隨著時間推移而變小。

二、統(tǒng)籌推斷問題

中建議跳過這類題目先做其他題目。統(tǒng)籌推斷問題是數學運算中難度最大的題型之一，通常這類題目需要非常快速地分析思考，考試

三、空瓶換酒問題

空瓶換酒核心公式：N瓶=1瓶酒=1瓶+1酒，得（N-1）瓶=1酒。

【例】一次校友聚會共有50人參加，在參加聚會的同學中，每個男生認識的女生的人數各不相同，而且恰好構成一串連續(xù)的自然數，已知認識女生最少的一個男生認識15名女生，并有一名男生認識所有的女生，則參加這次聚會的男生一共有（　）。

A．16名

B．17名

C．18名

D．19名

思路導學

第一步：設未知數；

第二步：根據題干信息列方程；

第三步：解方程，得出答案。

[名師點評]C。設有x名男生，則認識女生數由少到多為15、16、……、15+x-1，認識女生最多的男生認識全部女生，即女生有15+x-1個，則x+15+x-1=50, x=18。

70分通關必做題

1．某農場有36臺收割機，要收割完所有的麥子需要14天時間。現收割了7天后增加4臺收割機，并通過技術改造使每臺機器的效率提升5%。問收割完所有的麥子還需要幾天？（　）

A．3

B．4

C．5

D．6

2．某單位有50人，男女性別比為3∶2，其中有15人未入黨。如從中任選1人，則此人為男性黨員的概率最大為多少？（　）

A．

B．

C．

D．

3．某技校安排本屆所有畢業(yè)生分別去甲、乙、丙3個不同的工廠實習。去甲廠實習的畢業(yè)生占畢業(yè)生總數的32%，去乙廠實習的畢業(yè)生比甲廠少6人，且占畢業(yè)生總數的24%。問去丙廠實習的人數比去甲廠實習的人數（　）。

A．少9人

B．多9人

C．少6人

D．多6人

4．甲、乙、丙、丁四人共同投資一個項目，已知甲的投資額比乙、丙二人的投資額之和高20%，丙的投資額是丁的60%，總投資額比項目的資金需求高。后來丁因故臨時撤資，剩下三人的投資額之和比項目的資金需求低，則乙的投資額是項目資金需求的（　）。

A．

B．

C．

D．

5．甲、乙、丙、丁四個人分別住在賓館1211、1213、1215、1217和1219這五間相鄰的客房中的四間里，而另外一間客房空著。已知甲和乙兩人的客房中間隔了其他兩間客房，乙和丙的客房號之和是四個人里任意二人的房號和中最大的，丁的客房與甲相鄰且不與乙、丙相鄰。則以下哪間客房可能是空著的？（　）

A．1213

B．1211

C．1219

D．1217

6．把12棵同樣的松樹和6棵同樣的柏樹種植在道路兩側，每側種植9棵，要求每側的柏樹數量相等且不相鄰，且道路起點和終點處兩側種植的都必須是松樹。問有多少種不同的種植方法？（　）

A．36

B．50

C．100

D．400

7．餐廳需要使用9升食用油，現在庫房里庫存有15桶5升裝的、3桶2升裝的、8桶1升裝的。問庫房有多少種發(fā)貨方式，能保證正好發(fā)出餐廳需要的9升食用油？（　）

A．4

B．5

C．6

D．7

8．小李的弟弟比小李小2歲，小王的哥哥比小王大2歲、比小李大5歲。1994年，小李的弟弟和小王的年齡之和為15。問2014年小李與小王的年齡分別為多少歲？（　）

A．25、32

B．27、30

C．30、27

D．32、25

9．現要在一塊長25公里、寬8公里的長方形區(qū)域內設置哨塔，每個哨塔的監(jiān)視半徑為5公里，如果要求整個區(qū)域內的每個角落都能被監(jiān)視到，則至少需要設置多少個哨塔？（　）

A．7

B．6

C．5

D．4

10．甲、乙兩名運動員在400米的環(huán)形跑道上練習跑步，甲出發(fā)1分鐘后乙同向出發(fā)，乙出發(fā)2分鐘后第一次追上甲，又過了8分鐘，乙第二次追上甲，此時乙比甲多跑了250米，問兩人出發(fā)地相隔多少米？（　）

A．200

B．150

C．100

D．50

11.30個人圍坐在一起輪流表演節(jié)目。他們按順序從1到3依次不重復地報數，數到3的人出來表演節(jié)目，并且表演過的人不再參加報數，那么在僅剩一個沒表演過節(jié)目的時候，共報數多少人次？（　）

A．87

B．117

C．57

D．77

12．老王兩年前投資的一套藝術品市價上漲了50%，為盡快出手，老王將該藝術品按市價的八折出售，扣除成交價5%的交易費用后，發(fā)現與買進時相比賺了7萬元。問老王買進該藝術品花了多少萬元？（　）

A．84

B．42

C．100

D．50

13．搬運工負重徒步上樓，剛開始保持勻速，用了30秒爬了兩層樓（中間不休息）；之后每多爬一層多花5秒，多休息10秒，那么他爬到七樓一共用了多少秒？（　）

A．220

B．240

C．180

D．200

14．燒杯中裝了100克濃度為10%的鹽水。每次向該燒杯中加入不超過14克濃度為50%的鹽水，問最少加多少次之后，燒杯中的鹽水濃度能達到25%? （假設燒杯中鹽水不會溢出）（　）

A．6

B．5

C．4

D．3

15．某連鎖企業(yè)在10個城市共有100家專賣店，每個城市的專賣店數量都不同。如果專賣店數量排名第5多的城市有12家專賣店，那么專賣店數量排名最后的城市，最多有幾家專賣店？（　）

A．2

B．3

C．4

D．5

16．一些員工在某工廠車間工作，如果有4名女員工離開車間，在剩余的員工中，女員工人數占九分之五；如果有4名男員工離開車間，在剩余的員工中，男員工人數占三分之一。原來在車間工作的員工共有（　）名。

A．36

B．40

C．48

D．72

17．為豐富職工業(yè)余文化生活，某單位組織了合唱、象棋、羽毛球三項活動。在該單位的所有職工中，參加合唱活動的有189人，參加象棋活動的有152人，參加羽毛球活動的有135人，參加兩種活動的有130人，參加三種活動的有69人，不參加任何一種活動的有44人。該單位的職工人數為（　）。

A．233

B．252

C．321

D．520

18．在環(huán)保知識競賽中，男選手的平均得分為80分，女選手的平均得分為65分，全部選手的平均得分為72分。已知全部選手人數在35到50之間，則全部選手人數為（　）。

A．48

B．45

C．43

D．40

19．一名顧客購買兩件均低于100元的商品，售貨員在收款時錯將其中一件商品標價的個位數和十位數弄反了，該顧客因此少付了27元。被弄錯價格的這件商品的標價不可能是（　）元。

A．42

B．63

C．85

D．96

20．某地民政部門對當地民間組織進行摸底調查，發(fā)現40%的民間組織有25人以上規(guī)模，20個民間組織有50人以上規(guī)模，80%的民間組織不足50人，人員規(guī)模在25人以上但不足50人的民間組織數量為（　）個。

A．20

B．40

C．60

D．80

21．在某公司年終晚會上，所有員工分組表演節(jié)目。如果按7男5女搭配分組，則只剩下8名男員工；如果按9男5女搭配分組，只剩下40名女員工。該公司員工總數為（　）。

A．446

B．488

C．508

D．576

22．小王和小劉手工制作一種工藝品，每件工藝品由一個甲部件和一個乙部件組成，小王每天可以制作150個甲部件，或者制作75個乙部件；小劉每天可以制作60個甲部件，或者制作24個乙部件。現兩人一起制作工藝品，10天時間最多可以制作該工藝品（　）件。

A．660

B．675

C．700

D．900

參考答案及解析

1．D [解析]方法一：比例法。由題意，原有收割機36臺，增加4臺后變?yōu)?0臺，同時提高效率5%后，每天的效率相當于40×（1+5%）=42（臺）收割機的工作效率。前后效率比為36∶42=6∶7，前后工作量相等，故所用時間比為7∶6，還需6天即可完成。

方法二：賦值法。賦值原來每臺收割機每天的工作效率為1，則工作總量為36×14=504，故已完成工作量為252，剩余252，增加收割機且提高效率后收割機每天的效率和變?yōu)椋?6+4）×（1+5%）=42，故收割完所有麥子還需要252÷42=6（天）。

2．A [解析]結合最值考查概率問題。按照概率的定義計算：男性黨員人數最多為30人（即15名未入黨的恰好均為女性），故所求概率為（滿足要求的情況數÷總的情況數），答案選A。

3．B [解析]由題意可知，去甲廠實習的畢業(yè)生占總畢業(yè)生的32%，去乙廠實習的畢業(yè)生占總畢業(yè)生的24%，故去丙廠實習的畢業(yè)生人數占總畢業(yè)生的100%-32%-24%=44%，比去甲廠的多12%。又由于去乙廠實習人數比甲廠實習人數少6人，故丙比甲多6×（12%÷8%）=9（人）。

4．A [解析]賦值法。設項目資金需求為12，則甲、乙、丙、丁的總投資額為1；甲、乙、丙三人的投資額為，故丁的投資額為5，丙的投資額為5×60%=3；甲投資額與乙、丙投資額之和的比值為1∶（1+20%）=6∶5，故甲為6，乙為5-3=2，故乙的投資額所占比重為。

5．D [解析]代入排除驗證即可。代入D項，若1217為空房，由甲、乙中間隔了2個房間可知，甲、乙房間號有兩種情況：①甲1213，乙1219; ②甲1219，乙1213。但是通過條件“乙和丙的客房號是四個人中任意二人房號中最大的”可排除第②種情況，且繼而能推出丙1215，則丁的房間號是1211，滿足已知的剩余條件“丁的客房與甲相鄰且不與乙、丙相鄰”。其余選項代入后均不滿足要求。正確答案如下圖所示：

注意：1215客房空著也可以滿足題目要求，但不在選項中，所以不考慮。

6．C [解析]由題意，公路兩邊要各種6棵松樹、3棵柏樹，要求起點和終點必須是松樹，且柏樹不相鄰，則只需從中間松樹形成的5個空中選出3個空栽種柏樹即可。故每一側的種植方法有=10（種），題目要求兩側都種植，則總共的種植方法為10×10=100（種）。

7．C [解析]采用枚舉法求解。恰好要獲得9升油，一共有如下6種方式：

8．B [解析]由“小王的哥哥比小王大2歲、比小李大5歲”可知，小王比小李大3歲，又知小李弟弟比小李小2歲，則小王比小李的弟弟大5歲。根據1994年兩人的年齡和為15，可得小王1994年為10歲。故2014年小王30歲，小李27歲。因此，本題答案為B選項。

9．C [解析]幾何構造類。如下圖所示，每個半徑為5的圓形（F為圓心）可覆蓋一個長為8公里、寬為6公里的小長方形。4個圓形不能完全覆蓋整個長方形區(qū)域，故至少設立需要5個哨塔。

10．B [解析]方法一：設甲與乙的速度分別為v甲和v乙，由題意，從乙第一次追上甲到第二次追上甲，二者的路程差為400米，可得400=（v乙-v甲）×8，解得兩人速度差為50米/分。由于甲一共跑了11分鐘，乙一共跑了10分鐘，在后10分鐘內，乙比甲多跑了50×10=500（米）；由于乙全程比甲多跑250米，故甲最開始的1分鐘跑了250米；又根據乙2分鐘時第一次追上甲，可得在這3分鐘內乙比甲多跑了為50×2=100（米）。故兩人最初相距250-100=150（米）。

方法二：直接分析，在兩人第一次相遇到第二次相遇的過程中，乙比甲多跑了400米，故在最開始的2分鐘內甲比乙多跑400-250=150（米），即兩人出發(fā)時相距150米。

11．A [解析]僅剩余1個人沒有表演節(jié)目，即已經有29人表演過節(jié)目，每3人次報數中有1人會表演節(jié)目，29人表演過節(jié)目需要報數29×3=87（人次）。答案選擇A。

12．D [解析]假定進價是100份，則：

即最終的凈利潤為14份，14份相當于是7萬元，所以100份相當于是50萬元。答案選擇D。

13．D [解析]分析題干可知，前兩層樓梯，每層所需時間為15秒，具體時間列表如下：

進而可以得到總時間為200秒。答案選擇D。

14．B [解析]設最少加x次滿足題干要求，結合溶液混合基本公式可得：

100×10%+14x×50%≥（100+14x）×25%，解方程可得擇B。，則x的最小值為5。答案選

15．C [解析]設排名最后的城市專賣店數量為x，若x要最大即其他要最小，列表如下：

進而可以得到：16+15+14+13+12+（x+4）+（x+3）+（x+2）+（x+1）+x=100，解得x=4。答案選擇C。

16．B [解析]設原來在車間工作的女員工有x人，男員工有（n-x）人，總人數為n人。根據題意有，解得n=40。故本題正確答案為B。

17．B [解析]設該單位職工人數為P，根據題意有：189+152+135-（130+69×3）+69=P-44，解得P=252。故本題正確答案為B。

18．B [解析]利用十字交叉法，可知：

，因此男選手與女選手的人數比為7∶8，因此總人數應該是15的倍數，又根據題意知總人數在35到50之間，所以總人數為45人。故本題正確答案為B。

19．A [解析]代入排除法。代入A項，42-24=18，可知少付18元，與題意不符。故本題正確答案為A。

20．A [解析]根據題意可知50人以上規(guī)模和不足50人為兩個相互排斥的集合，由此推知總的民間組織數為100個，則不足50人的民間組織為80個，25人以上的民間組織為40個，又因為50人以上規(guī)模的民間組織有20個，故人員規(guī)模在25人以上但不足50人的民間組織數量為40-20=20（個）。故本題正確答案為A。

21．B [解析]根據題意有：員工總數s=12n（n為7男5女搭配的分組組數）+8男；員工總數s=14m（m為9男5女搭配的分組組數）+40女，可知總數減8一定是12的倍數，同時總數減40一定是14的倍數，結合選項代入排除可知488符合題意。故本題正確答案為B。

22．C [解析]效率統(tǒng)籌問題。比較可知制作甲部件，王、劉效率比為5∶2，制作乙部件，王、劉效率比為25∶8，大于5∶2。所以若想在限定時間內完成盡可能多的工藝品，則劉應該盡可能多花時間做甲部件，即10天時間全部用來做甲，這樣小劉可制作甲部件60×10=600（個），而小王只需8天即可做出600個乙部件與之配套。剩下2天時間，小王可以根據自身效率再做出可以配套的甲乙部件，即用23天時間做100個甲部件，剩余的43天時間做100個乙部件。這樣兩人共完成700個工藝品，故本題答案為C項。

80分專項瘋狂練習