上午 數(shù)量關系與資料分析

學習任務一：數(shù)量關系——方程與不定方程

目標分值 15×30% ×0.8=3.6分

學習時間 1小時

任務清單 5個考點 8個技巧 13道真題

思維導圖

解題思路

方程法是考生最容易掌握的方法，要學會使用，習慣使用，簡潔使用；

題干特征：等量關系明顯→方程易得，數(shù)據(jù)充分→方程解得；

列方程技巧：中間變量法，比例未知數(shù)法；

解方程技巧：代入法、數(shù)字特性法、因子分析法、賦“0”法、整體分析法；

題型屬性：盈虧問題、雞兔同籠問題、和差倍比問題、行程問題等往往采用方程法。

考點1：中間變量法

技巧：中間變量→所求量不能直接找到等量關系，需要中間量做紐帶。

經(jīng)典例題

【例題1】（2014聯(lián)考上）在一場籃球比賽中，甲、乙、丙、丁共得125分，如果甲再多得4分，乙再少得4分，丙的分數(shù)除以4，丁的分數(shù)乘以4，則四人得分相同。問甲在這場比賽中得了多少分？（ ）

A.24

B.20

C.16

D.12

【解析】“四人得分相同”，考慮方程法。設該相同分數(shù)為n，逆推可得甲得分為（n-4），乙得分為（n+4），丙得分為4n，丁得分為，進而得到（n-4）+（n+4）+4n+=125，解得n=20，故甲的得分為n-4=16（分）。答案選擇C。

【例題2】（2014國家）某單位原有45名職工，從下級單位調(diào)入5名黨員職工后，該單位的黨員人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重上升了6個百分點。如果該單位又有2名職工入黨，那么該單位現(xiàn)在的黨員人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重為多少？（ ）

A.50%

B.40%

C.70%

D.60%

【解析】本題不能直接求解，第一句話中存在等量關系。設該單位原有黨員x名，結(jié)合題干可以得到：，解得x=18，最終的黨員人數(shù)為18+5+2=25（人），最終的職工數(shù)為45+5=50（人），即現(xiàn)在黨員占總?cè)藬?shù)的比重為25÷50=50%。答案選擇A。

【例題3】（2014聯(lián)考下）三個學生各購買一批課外書，小明和小強的購買課外書數(shù)量總和比小軍的3倍多4本，小明和小軍購買的課外書數(shù)量總和比小強的2倍少2本，若小明給小軍3本課外書，則兩人購買的課外書一樣多，問小明買了多少本課外書？（ ）

A.9

B.10

C.11

D.12

【解析】由“小明給小軍3本課外書，則兩人購買的課外書一樣多”可知，小明比小軍多6本，設小軍購買的課外書為x本，則小明為x+6本。將三個人購買的課外書列成表格，可以得到：

很容易解得x=6，進而得到x+6=12，答案選擇D。

考點2：比例未知數(shù)

技巧：比例未知數(shù)→題干中有比例關系，按照比例設未知數(shù)會方便解方程。

經(jīng)典例題

【例題4】（2014上海A）年初，甲、乙兩種產(chǎn)品的價格比是3∶5，年末，由于成本上漲，兩種產(chǎn)品的價格都上漲了9元，價格比變成了2∶3，則年初時乙的價格比甲高出（ ）元。

A.9

B.18

C.27

D.36

【解析】設年初時甲、乙兩種商品的價格為3x、5x，進而得到（3x+9）∶（5x+9）=2∶3，解得x=9，則年初時價格高出2×9=18（元）。答案選擇B。

【點睛】本題也可以直接使用代入法。

【例題5】（2014北京）甲工廠每天生產(chǎn)的零件數(shù)比乙工廠的1.5倍還多40個，乙工廠每天生產(chǎn)的零件數(shù)比甲工廠的一半多20個。則兩個工廠每天共能生產(chǎn)多少個零件？（ ）

A.400

B.420

C.440

D.460

【解析】設乙工廠的總量為2x，則可以得到甲工廠為3x+40，將數(shù)量列表如下：

很容易解得x=80，進而得到兩個工廠的總數(shù)為5×80+40=440（個）。答案選擇C。

【例題6】（2013北京）某服裝如果降價200元之后再打8折出售，則每件虧50元。如果直接按6折出售，則不賺不虧。如果銷售該服裝想要獲得100%的利潤，需要在原價的基礎上加價多少元？（ ）

A.90

B.110

C.130

D.150

【解析】題干給出“直接6折銷售，不賺不虧”，設服裝成本為6x，則服裝原價為10x，根據(jù)題意列方程可得：（10x-200）×80%+50=6x，解得x=55，所以成本6x=330，原價10x=550，想要獲得100%的利潤，則定價應該為660元，需要在原價的基礎上加110元，答案選擇B。

考點3：多元方程——整體分析法

技巧：多元方程是指有多個未知數(shù)和等量的方程等式，多元方程的解法往往是整體分析法。

經(jīng)典例題

【例題7】（2014聯(lián)考下）某火車站有一、二、三號三個售票窗口，某天一號以外的窗口賣出了746張票，二號以外的窗口賣出了726張票，三號以外的窗口賣出了700張票。問當天該站共售車票多少張？（ ）

A.1086

B.988

C.986

D.980

【解析】設一、二、三號窗口賣出的票分別為x、y、z，則根據(jù)題意列方程可以得到：，將三組數(shù)據(jù)相加可以得到：2（x+y+z）=2100+72，解得x+y+z=1086。答案選擇A。

【例題8】（2013甘肅）甲、乙、丙練習投籃，一共投了150次，共有64次沒投進。已知甲和乙一共投進48次，乙和丙一共投進69次，那么乙投進多少次？（ ）

A.28

B.31

C.30

D.33

【解析】設甲、乙、丙分別投進x次、y次、z次，三人共投進150-64=86（次），則，解得y=48+69-86=31。答案選擇B。

考點4：不定方程——數(shù)字特性法

技巧1：不定方程的解題步驟是：奇偶特性→因子分析→尾數(shù)分析→賦值驗證。

技巧2：不定方程中的變量往往有限制條件，如整數(shù)、質(zhì)數(shù)等條件。

經(jīng)典例題

【例題9】（2014浙江）某班有56名學生，每人都參加了a、b、c、d、e五個興趣班中的其中一個。已知有27人參加a興趣班，參加b興趣班的人數(shù)第二多，參加c、d興趣班的人數(shù)相同，e興趣班的參加人數(shù)最少，只有6人，問參加b興趣班的學生有多少個？（ ）

A.7個

B.8個

C.9個

D.10個

【解析】設參加b興趣班的人數(shù)為x人，c、d興趣班的人數(shù)為y人，則可以得到x+2y=23。結(jié)合奇偶特性得知x是奇數(shù)，排除B、D項，代入A選項，得知x=7，y=8，b興趣班人數(shù)<c、d興趣班人數(shù)，不滿足題意。故答案選擇C。

【例題10】（2014國家）小王、小李、小張和小周4人共為某希望小學捐贈了25個書包，按照數(shù)量多少的順序分別是小王、小李、小張、小周。已知小王捐贈的書包數(shù)量是小李和小張捐贈書包的數(shù)量之和；小李捐贈的書包數(shù)量是小張和小周捐贈的書包數(shù)量之和。問小王捐贈了多少個書包？（ ）

A.9

B.10

C.11

D.12

【解析】題干中出現(xiàn)了由多到少的順序，則設小周捐贈的書包為x，小張為x+a，則可得數(shù)據(jù)如下：

結(jié)合題干可以得到：7x+4a=25，分析奇偶數(shù)字特性，可知x為奇數(shù)，進而發(fā)現(xiàn)令x=3，a=1可滿足條件，所以小王捐贈的書包總數(shù)為11個，答案選擇C。

考點5：不定方程組

技巧1：整體分析法→通過“湊”的方式得到所需結(jié)果。

技巧2：賦“0”法→題干中量沒有限定條件，通過賦“0”簡化計算過程。

技巧3：數(shù)字特性法→題干中量存在一些限定條件，通過將方程組變?yōu)椴欢ǚ匠蹋缓筮\用數(shù)字特性法進行結(jié)果的計算。

經(jīng)典例題

【例題11】（2014吉林甲）某學校組織一次教工接力比賽，共準備了25件獎品分發(fā)給獲得一、二、三等獎的職工，為設計獲得各級獎勵的人數(shù)，制定兩種方案：若一等獎每人發(fā)5件，二等獎每人發(fā)3件，三等獎每人發(fā)2件，剛好發(fā)完獎品；若一等獎每人發(fā)6件，二等獎每人發(fā)3件，三等獎每人發(fā)1件，也剛好發(fā)完獎品，則獲得二等獎的教工有多少人？（ ）

A.6

B.5

C.4

D.3

【解析】設一、二、三等獎的職工數(shù)依次為x、y、z人，則根據(jù)題意可以得到，進而可以得到x=z，7x+3y=25，代入選項，只有A選項符合題意，答案選擇A。

【例題12】（2008國家）買甲、乙、丙三種貨物，如果甲3件、乙7件、丙1件，需花費3.15元；如果甲4件、乙10件、丙1件，需花費4.20元。甲、乙、丙各買一件，需花費多少錢？（ ）

A.1.05元

B.1.40元

C.1.85元

D.2.10元

【解析】解法一：設甲、乙、丙的單價分別為x、y、z，欲求x+y+z的值，結(jié)合題干則可以得到，利用整體分析法，3×（1）-2×（2）=x+y+z=3×3.15-2×4.2=1.05，答案選擇A。

解法二：賦“0”法，，令y=0，則得到，兩式相減得到x=1.05，進而得到z=0，即x+y+z=1.05。答案選擇A。

【例題13】（2012河南選調(diào)）某公司的6名員工一起去用餐，他們各自購買了三種不同食品中的一種，且每人只購買了一份。已知蓋飯15元一份，水餃7元一份，面條9元一份，他們一共花費了60元。問他們中最多有幾人買了水餃？（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】設買蓋飯、水餃、面條的人分別有x、y、z人。15x+7y+9z=60，60中含有3因子，同理15x與9z中均含有3因子，所以y一定是3的倍數(shù)。結(jié)合選項，答案選擇C。

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學習任務二：插值法+差分法

目標分值 15×30% ×0.8=3.6分

學習時間 1小時

任務清單 2種方法 6道真題

考點1：插值法

比較類：比較A和B的大小，若可以找到一個數(shù)x，滿足A>x，而B<x，則可判定A>B。

計算類：在計算一個數(shù)值f的時候，選項給出兩個比較接近的數(shù)A和B難以判斷，我們可以找到A和B中間的一個數(shù)x。若A<x<B，則如果f>x則可以得到f=B；如果f<x，則可以得到f=A。

插值法是指在計算數(shù)值或比較數(shù)值大小時，運用中間值進行“參照比較”的速算方式。一般所插數(shù)值為“特殊分數(shù)”，如、、、、等。

例：計算的值，選項中有25.13%和24.87%，兩選項中間有0.25，而3281.3×4=13125.2>13057.2，所以，則要選擇25.13%。

經(jīng)典例題

【例題1】2006年，全國農(nóng)村從業(yè)人員數(shù)量為47852萬人，其中6986萬人從事第三產(chǎn)業(yè)；東北地區(qū)農(nóng)村從業(yè)人員數(shù)量為3230萬人，其中391萬人從事第三產(chǎn)業(yè)。請問，全國、東北地區(qū)農(nóng)村從業(yè)人員中從事第三產(chǎn)業(yè)人員的比例分別是多少？（ ）

A.13.6%，12.7%

B.14.6%，12.7%

C.13.6%，12.1%

D.14.6%，12.1%

【解析】全國：13.6%與14.6%之間有特殊分數(shù)，47852÷7=68300+，所以≈14.3%，排除A、C選項；東北地區(qū)：12.1%與12.7%之間有特殊分數(shù)，3230÷8=400+，。答案選擇D。

【例題2】（2012北京）……2009年世界天然氣貿(mào)易量達8768.5億立方米，較2005年增長7.7%。其中管道天然氣貿(mào)易量為6337.7億立方米；液化天然氣貿(mào)易量為2427.7億立方米……

2009年世界液化天然氣貿(mào)易量占天然氣貿(mào)易總量的比重為（ ）。

A.17.5%

B.22.2%

C.27.7%

D.38.3%

【解析】2009年世界液化天然氣貿(mào)易量占天然氣貿(mào)易總量的比重為，結(jié)合選項可知該計算式結(jié)果的首位一定是2，排除A、D選項。對比B、C兩項發(fā)現(xiàn)，存在明顯中間值，8768.5÷4≈2192，所以。因此，答案選擇C。

【例題3】（2009江西）

2006年河北的園林水果在鮮果中所占的比重是多少？（ ）

A.66.65%

B.68.91%

C.72.17%

D.74.29%

【解析】計算式為：，該計算式結(jié)果的首位一定是6，排除C、D選項。對比A、B選項發(fā)現(xiàn)，存在中間值，，上述計算式與幾乎是一樣大的。因此，答案選擇A。

考點2：差分法

特征：分數(shù)大小比較時，兩個分數(shù)的大小非常接近。

概念：大分數(shù)、小分數(shù)、差分數(shù)。

把稱為大分數(shù)，稱為小分數(shù)，分子、分母作差得到的新分數(shù)為差分數(shù)。

若差分數(shù)>小分數(shù)，則大分數(shù)>小分數(shù)；

若差分數(shù)<小分數(shù)，則大分數(shù)<小分數(shù)；

若差分數(shù)=小分數(shù)，則大分數(shù)=小分數(shù)。

經(jīng)典例題

【例題4】比較和的大小。

【解析】觀察發(fā)現(xiàn)其中一個分數(shù)的分子分母略大于另一個分數(shù)的分子分母。差分數(shù)=，，即差分數(shù)>小分數(shù)，則說明大分數(shù)>小分數(shù)，也就是。

【例題5】2010年上半年，全國原油產(chǎn)量為9848萬噸，同比增長5.3%，上年同期為下降1%。進口原油11797萬噸（海關統(tǒng)計），增長30.2%，則2009年上半年原油產(chǎn)量與原油進口量的關系是（ ）。

A.產(chǎn)量>進口量

B.產(chǎn)量<進口量

C.產(chǎn)量=進口量

D.無法判斷

【解析】2009年上半年，全國原油進口量=，全國原油產(chǎn)量=，相當 于比較 與，差分數(shù)= <8，而>8，即差分數(shù)<小分數(shù)，則，原油進口量小于原油產(chǎn)量。故答案選擇A。

【點睛】也可以做“大概齊”計算，首位商9就基本一樣了，而首位商9后還有“空間”，所以后者大，即原油產(chǎn)量>進口量。

【例題6】（2012江西）

2010年與2009年相比，人均消費性支出增長大于可支配收入增長的是（ ）。

A.新余

B.贛州

C.上饒

D.南昌

【解析】增長率的大小比較，可以用代替增長率進行比較，南昌：即比較與的大小，差分數(shù)為，即差分數(shù)<小分數(shù)，所以南昌的人均消費性支出增長大于可支配收入增長，答案選擇D。