1.1.4 計(jì)算機(jī)中的數(shù)制

數(shù)制是指表示數(shù)值的方法，有進(jìn)位計(jì)數(shù)制和非進(jìn)位計(jì)數(shù)制。

進(jìn)位計(jì)數(shù)制是指按照進(jìn)位的原則進(jìn)行計(jì)數(shù)的數(shù)制，簡(jiǎn)稱(chēng)“進(jìn)制”。

非進(jìn)位計(jì)數(shù)制是指表示數(shù)值大小的數(shù)碼與它在數(shù)中的位置無(wú)關(guān)的數(shù)制，簡(jiǎn)稱(chēng)“非進(jìn)制”。如羅馬數(shù)字就是典型的非進(jìn)位計(jì)數(shù)制。

進(jìn)位計(jì)數(shù)制具有下面的特點(diǎn)。

（1）使用固定個(gè)數(shù)的數(shù)碼表示數(shù)值的大小。數(shù)碼的個(gè)數(shù)R稱(chēng)為該數(shù)制的基數(shù)，數(shù)碼在一個(gè)數(shù)中所處的位置稱(chēng)為數(shù)位。

（2）逢R進(jìn)一。例如，十進(jìn)制數(shù)由0～9這10個(gè)數(shù)字符號(hào)組成，基數(shù)為10，逢10進(jìn)1。

（3）采用位權(quán)表示法。處在不同位置上的數(shù)字所代表的值不同，一個(gè)數(shù)字在某個(gè)固定位置上所代表的值是確定的，這個(gè)固定位上的值稱(chēng)為位權(quán)。各進(jìn)位制中位權(quán)的值恰好是基數(shù)的若干次冪。

（4）任何一種數(shù)制表示的數(shù)都可以寫(xiě)成按位權(quán)展開(kāi)的多項(xiàng)式之和。

例1：十進(jìn)制數(shù)188.27可表示為：

1×102+8×101+8×100+2×10?1+7×10?2

例2：二進(jìn)制數(shù)1101.10可表示為：

1×23+1×22+0×21+1×20+1×2?1+0×2?2

由于計(jì)算機(jī)中電路的通與斷、電子元件的開(kāi)與關(guān)分別代表1、0兩個(gè)數(shù)值。因此，計(jì)算機(jī)中的數(shù)是用二進(jìn)制表示的，在計(jì)算機(jī)中也采用二進(jìn)制代碼表示字母、數(shù)字字符、各種各樣的符號(hào)、漢字等。在處理信息的過(guò)程中，可將若干位的二進(jìn)制代碼組合起來(lái)表示各種各樣的信息。但由于二進(jìn)制數(shù)不直觀，人們?cè)谟?jì)算機(jī)上實(shí)際操作時(shí)，輸入、輸出的數(shù)均使用十進(jìn)制，而具體轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制編碼的工作則由計(jì)算機(jī)軟件系統(tǒng)自動(dòng)完成。字母和各種字符在計(jì)算機(jī)中的傳輸普遍采用ASCII碼（American Standard Code For Information Interchange），即美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)信息交換碼，它用7位二進(jìn)制數(shù)來(lái)表達(dá)字母和各種常用字符。

對(duì)于漢字信息的表示比較復(fù)雜，我國(guó)有漢字幾萬(wàn)個(gè)，常用的漢字也有7000多個(gè)，為了統(tǒng)一，我國(guó)制定了漢字編碼標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定了一、二級(jí)漢字共6763個(gè)，用兩個(gè)字節(jié)（16位二進(jìn)制代碼）來(lái)表示一個(gè)漢字進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制。

由于計(jì)算機(jī)使用的進(jìn)制除了十進(jìn)制和二進(jìn)制外，還有八進(jìn)制和十六進(jìn)制，為了規(guī)范，通常情況下進(jìn)位計(jì)數(shù)制的書(shū)寫(xiě)標(biāo)準(zhǔn)如下。

（1）一般我們用角標(biāo)表示不同進(jìn)制的數(shù)。十進(jìn)制用（）10表示，二進(jìn)制數(shù)用（）2表示。

例如，（10101011）2表示的是10101011是一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，而（10101011）10 則表示10101011是一個(gè)十進(jìn)制數(shù)。

（2）在數(shù)據(jù)后加一特定的字母表示它所采用的進(jìn)制：B表示二進(jìn)制，O表示八進(jìn)制，D或省略表示十進(jìn)制，H表示十六進(jìn)制，具體如表1-1所示。

由于二進(jìn)制由數(shù)碼0和1組成，如果一個(gè)數(shù)字中含有除了0、1之外的其他數(shù)碼，那么這個(gè)數(shù)字就不可能是二進(jìn)制數(shù)字。

十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)時(shí)，由于整數(shù)和小數(shù)的轉(zhuǎn)換方法不同，所以先將十進(jìn)制數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別轉(zhuǎn)換后，再加以合并。

十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制整數(shù)采用“除2取余，逆序排列”法。具體做法是：用2去除十進(jìn)制整數(shù)，可以得到一個(gè)商和余數(shù)；再用2去除商，又會(huì)得到一個(gè)商和余數(shù)，如此進(jìn)行，直到商為1時(shí)為止，然后把先得到的余數(shù)作為二進(jìn)制數(shù)的低位有效位，后得到的余數(shù)作為二進(jìn)制數(shù)的高位有效位，并把最后的商1放在最高位依次排列起來(lái)。對(duì)于0和1這兩個(gè)數(shù)字，則分別在前面添加0來(lái)補(bǔ)足兩位（十進(jìn)制的0和1用二進(jìn)制表示為00、01）。

十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù)采用“乘2取整，順序排列”法。具體做法是：用2乘十進(jìn)制小數(shù)，可以得到積，將積的整數(shù)部分取出，再用2乘余下的小數(shù)部分，又得到一個(gè)積，再將積的整數(shù)部分取出，如此進(jìn)行，直到積中的小數(shù)部分為零，或者達(dá)到所要求的精度為止。然后把取出的整數(shù)部分按順序排列起來(lái)，先取的整數(shù)作為二進(jìn)制小數(shù)的高位有效位，后取的整數(shù)作為低位有效位。

例如，把十進(jìn)制數(shù)字9.6875轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)值時(shí)的算式為（9.6875）10=（?）2。

具體計(jì)算方法如下：先把整數(shù)部分采用“除2取余，逆序排列”法，用2輾轉(zhuǎn)相除至結(jié)果為1，然后將余數(shù)和最后的1從下向上倒序?qū)懢涂梢缘玫秸麛?shù)9的二進(jìn)制數(shù)1001，具體步驟如下：

再用乘2取整法求出小數(shù)部分0.6875的二進(jìn)制數(shù)。

0.6875×2=1.375 …… 取出整數(shù)1

0.375×2=0.75…… 取出整數(shù)0

0.75×2=1.50…… 取出整數(shù)1

0.5×2=1.00…… 取出整數(shù)1

∴（0.6875）10=（0.1011）2

最后得到結(jié)果（9.6875）10=（1001.1011）2。

由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)的基本做法是，把二進(jìn)制數(shù)首先寫(xiě)成加權(quán)系數(shù)展開(kāi)式，然后按十進(jìn)制加法規(guī)則求和。這種做法稱(chēng)為“按權(quán)相加”法。二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)時(shí)從最后一位開(kāi)始算，依次列為第0、1、2…位，第n位的數(shù)（0或1）乘以2的n次方，得到的結(jié)果相加就是十進(jìn)制數(shù)值。

例如，把二進(jìn)制數(shù)字1010轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)字時(shí)的算式為：（1010）2=（？）10。

具體計(jì)算方法為：

（1010）2=（1×23+0×22+1×21+0×20）10

=（1×8+0×4+1×2+0×1）10

=（8+0+2+0）10

=（10）10