2.2.4 三個(gè)愛因斯坦系數(shù)A21、B21、B12之間的關(guān)系

前面討論了自發(fā)輻射、受激輻射和受激吸收三個(gè)過程，并分別介紹了表征這三個(gè)過程中躍遷本領(lǐng)強(qiáng)弱的三個(gè)愛因斯坦系數(shù)A21、B21、B12。盡管這三個(gè)系數(shù)含義不同，但它們都是表征原子本身的特性，而且在光場(chǎng)和大量原子系統(tǒng)的相互作用下，自發(fā)輻射、受激輻射和受激吸收三個(gè)過程是同時(shí)發(fā)生的。因此，這三個(gè)系數(shù)之間必然存在著內(nèi)在聯(lián)系。

為了推導(dǎo)三個(gè)系數(shù)之間的關(guān)系，有必要了解一下熱平衡狀態(tài)下，物質(zhì)中粒子數(shù)在各能級(jí)的分布規(guī)律。

當(dāng)物體處于熱平衡狀態(tài)時(shí)，每個(gè)能級(jí)上都具有確定的粒子數(shù)，能級(jí)Ei上所具有的粒子數(shù)ni也被稱為集居數(shù)，其分布規(guī)律服從玻耳茲曼（Ludwig Boltzman）定律，即

式中，ni為集居數(shù)（Ei能級(jí)上的粒子數(shù)）；fi為Ei能級(jí)的統(tǒng)計(jì)權(quán)重（為常數(shù)）；kb為玻耳茲曼常數(shù)，kb=1.38×10-23J/K。

從式（2-13）可看出：溫度越高，粒子數(shù)也越多；能級(jí)越高，粒子數(shù)越少，如圖2-5所示。

兩個(gè)能級(jí)的粒子數(shù)之比為

式中，f1，f2為E1，E2能級(jí)的統(tǒng)計(jì)權(quán)重；n1為E1能級(jí)粒子數(shù)密度；n2為E2能級(jí)粒子數(shù)密度；T為熱平衡狀態(tài)的溫度。

由式（2-14）可看出：兩能級(jí)的粒子數(shù)之比與能級(jí)的能量大小E1、E2無關(guān)，只與它們的能量差（E2-E1）有關(guān)；當(dāng)兩能級(jí)間能量差一定時(shí)，溫度越高，粒子數(shù)之比也越大；比值在0～1之間。

【例2-1】氖原子的某一激發(fā)態(tài)和基態(tài)能級(jí)的能量差ΔE為16.9eV，若該原子體系處于室溫（T=300K），它處于激發(fā)態(tài)的原子數(shù)與處于基態(tài)的原子數(shù)之比是多少？（f1=f2）

解：根據(jù)玻耳茲曼分布定律有

所以在正常情況下，處于基態(tài)的原子數(shù)量是最多的；能級(jí)越高，處于該能級(jí)的原子數(shù)就越少。

【例2-2】室溫下（T=300K），某物質(zhì)中E1和E2兩能級(jí)的能量差為0.5eV。計(jì)算E2能級(jí)粒子數(shù)與E1能級(jí)粒子數(shù)之比。當(dāng)原子從E2能級(jí)躍遷到E1能級(jí)時(shí)，輻射出的光子波長(zhǎng)為多少？

解：根據(jù)玻耳茲曼分布定律有

計(jì)算結(jié)果表明，室溫下，處于基態(tài)的粒子數(shù)是處于激發(fā)態(tài)E2能級(jí)的粒子數(shù)的2.5×108倍。

計(jì)算波長(zhǎng)：

可見此波長(zhǎng)位于近紅外波段。

光場(chǎng)與物質(zhì)相互作用的結(jié)果應(yīng)該使物質(zhì)處于溫度為T的熱平衡狀態(tài)。達(dá)到平衡時(shí)，單位體積單位時(shí)間內(nèi)通過吸收過程從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)的原子數(shù)，等于從激發(fā)態(tài)通過自發(fā)輻射和受激輻射躍遷回基態(tài)的原子數(shù)，即

或

將式（2-14）代入式（2-16）中，可得

從式（2-17）可求出光場(chǎng)的單色輻射能量密度，即

而根據(jù)黑體輻射的普朗克公式，熱平衡狀態(tài)下黑體單色輻射能量密度

比較式（2-18）和式（2-19），可得到三個(gè)愛因斯坦系數(shù)之間的關(guān)系為

若f1=f2，則有B12=B21。