1.3 模型建立

1.3.1 案例1的建模過程

(1) 決策變量

主決策變量：設(shè)xi(i = 1，2，3，4) 分別表示各車間的開工次數(shù)；

輔決策變量：設(shè)x5 表示組件的最大配套數(shù)。

(2) 目標(biāo)函數(shù)

銷售額最大：銷售額是由組件的最大配套數(shù)和產(chǎn)品單價(jià)決定的，由題意可得目標(biāo)函數(shù)為max z = 200x5。

(3) 約束條件

① 約束1：原材料Ⅰ和Ⅱ的總量約束

由于每個(gè)車間開工一次都是配套生產(chǎn)一定數(shù)量的組件A和組件B，故每次消耗的原材料Ⅰ和Ⅱ是一定的。車間1將消耗原材料Ⅰ的量為9x1，車間2將消耗原材料Ⅰ的量為5x2，車間3將消耗原材料Ⅰ的量為4x3，車間4將消耗原材料Ⅰ的量為6x4，故有原材料Ⅰ的約束條件關(guān)系：

9x1 +5x2 +4x3 +6x4 ≤400

同理，可得原材料Ⅱ的約束條件關(guān)系，即7x1 +8x2 +9x3 +10x4 ≤600。

② 約束2：組件A和組件B的配比約束

四個(gè)車間生產(chǎn)組件A的數(shù)量分別為8x1，6x2，9x3 和7x4，故組件A的總數(shù)量為8x1 +6x2 +9x3 +7x4；同理，可得四個(gè)車間生產(chǎn)組件B的總數(shù)量：6x1 +7x2 +5x3 +9x4。根據(jù)電子產(chǎn)品的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)樹(圖1-3)，可得組件A和組件B的配比約束條件關(guān)系，即

組件A：8x1 +6x2 +9x3 +7x4 ≥4x5

組件B：6x1 +7x2 +5x3 +9x4 ≥3x5

③ 約束3：決策變量的非負(fù)整數(shù)約束

xi≥0且取整數(shù) (i = 1，2，3，4，5)

(4) 數(shù)學(xué)模型

綜合上述分析，得到如下數(shù)學(xué)模型：

顯然，這是一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的整數(shù)線性規(guī)劃模型。決策變量只有5個(gè)，調(diào)用自編的MATLAB通用函數(shù)程序Ch1 FZDJ對(duì)其求解非常容易。

1.3.2 案例2的建模過程

分析：本案例建模的關(guān)鍵在于計(jì)算正四棱臺(tái)容器的容積和側(cè)面面積，進(jìn)一步分析得知，關(guān)鍵在于計(jì)算正四棱臺(tái)的高和側(cè)面梯形的高。

(1) 決策變量

設(shè)容器底的邊長(zhǎng)為x1，容器敞口的邊長(zhǎng)為x2，容器側(cè)面的棱長(zhǎng)為x3 = l。

(2) 約束條件

① 約束1：容積約束

為計(jì)算容器的容積，需要計(jì)算正四棱臺(tái)的高。根據(jù)圖1-1，可得到求正四棱臺(tái)高的截面圖(圖1-4，為正四棱臺(tái)對(duì)角截面的一半)。

在截面的△ABC中，虛線直角邊即為棱臺(tái)的高，根據(jù)勾股定理，易得其值為

由式(1-1)或式(1-4)，可得四棱臺(tái)容器的容積為

根據(jù)題意，可得容積的約束條件關(guān)系，即

② 約束2：質(zhì)量約束

為計(jì)算容器的質(zhì)量，則需要計(jì)算側(cè)面的面積S1 和底面積S2，S1 為一個(gè)側(cè)面(等腰梯形)面積的4倍，易得

底面為邊長(zhǎng)為x1 的正方形，故。

根據(jù)題意，可得容器的總質(zhì)量約束條件關(guān)系，即

③ 約束3：邊的關(guān)系

④ 約束4：非負(fù)約束

xi≥0 (i = 1，2，3)

(3) 目標(biāo)函數(shù)

制造容器材料的總成本最小：

(4) 數(shù)學(xué)模型

綜合上述分析，得到如下數(shù)學(xué)模型：

顯然，這是一個(gè)非線性規(guī)劃，而且目標(biāo)函數(shù)和約束條件均含有非線性函數(shù)關(guān)系。