1.1 案例背景

1.1.1 案例1——部件配套生產問題

已知某電子產品需要由四個車間同步開工生產所需要的組件后組裝完成。每件電子產品售價為200元，由4個組件A和3個組件B構成。生產這兩種組件均需要耗費兩種原材料Ⅰ和Ⅱ，且知它們各自的供應量分別為400個和600個質量單位。

由于4個車間的生產條件和擁有的設備工藝條件各不相同，每個車間生產每種組件的能力和耗費的原材料也不盡相同，且每個車間開工一次都是配套生產一定數量的組件A和組件B，具體數據資料如表1-1所示。

請問：各車間應分別開工多少次，才可使該電子產品利潤最大？在該方案下最大的利潤是多少元？

1.1.2 案例2——專門容器設計問題

某廠家要按照客戶的要求定制一種專門的儲藏用容器，訂貨合同要求該廠家生產一種上敞口大下封底小的正四棱臺容器，如圖1-1所示(圖中，x1為封底的邊長，x2 為敞口的邊長，l 為側面的棱長)，容積為10 m3，容器總質量不超過56 kg。已知用做容器四壁的材料成本為20元/m2，質量為3 kg/m2；用做容器底的材料成本為30元/m2，質量為2 kg/m2。

請問：欲使生產該容器所需的成本最小，應采取什么樣的生產方案？在該生產方案下最小的成本是多少元？

1.1.3 關于案例的說明

關于資源利用問題，這里的兩個案例在生產運作實踐中盡管非常基本，但是非常典型且應用廣泛。其中，案例1屬于在額定資源的前提下實現最大效益，案例2屬于以最少的資源實現額定效益。在案例1中，兩種原材料Ⅰ和Ⅱ的供應量有限，需要進行合理配置，以實現產品的銷售收入最大；在案例2中，目標是生產容積一定且質量在給定范圍內的專門容器，需要合理用料，以使得成本最低。對于案例2，還可以進一步升華，即如何裁料的問題，也就是求解案例2的問題(容器的設計方案)之后，要求進一步設計原材料的裁剪方案，以使得用料最省。

經過簡單分析可知，案例1的求解屬于整數線性規劃問題，案例2的求解屬于非線性規劃問題。為建模和求解以及后續章節需要，下面扼要闡述一下配套生產問題、容器設計問題、線性規劃、非線性規劃以及整數線性規劃的基本理論及其MATLAB實現。