第1章 有限元法與ANSYS Workbench

1.1 有限元分析

有限單元法，簡稱有限元法，是伴隨著電子計算機技術的進步而發展起來的一種新興數值分析方法，是力學、應用數學與現代計算技術相結合的產物，是當今工程分析中應用最廣泛的數值計算方法。伴隨著計算機技術和計算機輔助設計（CAD）技術的發展，有限元分析技術已發展成為計算機輔助工程（CAE）這樣一門新興技術。有限元分析可以較容易地對許多復雜問題進行建模分析。對于具有多種可以選擇的設計方案而言，可以在制造實物原型之前就借助于計算機進行實驗或考證；要完成這些工作，就需要充分理解有限元法的基本理論、建模技巧及計算方法。

實際上，有限元法是一種對問題控制方程進行近似求解的數值分析求解方法，在數學上對其適定性、收斂性等都有較嚴密的推理和證明。有限元法的基本思路是將結構物看成由有限個劃分的單元組成的整體，以單元節點的位移或節點力作為基本未知量求解。由于單元能按不同的連接方式進行組合，且單元本身又可以有不同的形狀，因此可以模型化幾何形狀復雜的求解區域。有限單元法作為數值分析方法的另一個重要特點是利用在每一個單元內假設的近似函數來分片地表示全求解域上待求的未知場函數。單元內的近似函數通常由未知場函數及其導數在單元的各個節點的數值和其插值函數來表達。這樣，一個問題的有限元分析中，未知場函數及其導數在各個節點上的數值就成為新的未知量（即自由度），從而使一個連續的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。一經求解出這些未知量，就可以通過插值函數計算出各個單元內場函數的近似值，從而得到整個求解域上的近似解。顯然隨著單元數目的增加，也即單元尺寸的縮小，或者隨著單元自由度的增加及插值函數精度的提高，解的近似程度將不斷改進。如果單元是滿足收斂要求的，近似解最后將收斂于精確解。

采用有限元法進行工程分析的優點有：通過有限元計算機模擬可以減少模型試驗數量；有限元計算機模擬容許對大量的復雜工況進行快速有效的試驗；它還可以模擬不適合在原型上試驗的工作情況，得到更可靠和高品質的設計結果等。