計(jì)算機(jī)是由數(shù)學(xué)和工程學(xué)領(lǐng)域的先驅(qū)在政治動蕩和戰(zhàn)爭時(shí)期發(fā)明的，它不僅僅是電子機(jī)器那么簡單。在不計(jì)其數(shù)的精密電路和軟件的背后，閃耀著一種數(shù)學(xué)的純粹，那本身便是簡潔質(zhì)樸的美。為計(jì)算機(jī)的誕生打下根基的數(shù)學(xué)理論反映了現(xiàn)實(shí)世界自身的本質(zhì)。

如今，挑戰(zhàn)不可能之事的科學(xué)家依然在競相探索宇宙的極限。數(shù)學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域的革命，是以數(shù)百萬美元的投資風(fēng)險(xiǎn)換來的，但是誰又能責(zé)怪他們呢？

1926年，英國由于煤礦勞資糾紛問題而爆發(fā)總罷工（1），汽車和火車全線停運(yùn)。當(dāng)時(shí)正逢學(xué)校開學(xué)，14歲的艾倫·圖靈要去的是一所精英寄宿學(xué)校：位于多塞特郡的謝伯恩男子中學(xué)。但是他住在南安普敦，離學(xué)校大概有60英里遠(yuǎn)（約合96.6公里）。很多學(xué)生這時(shí)候都會干脆在家休息，等著為期十天的罷工結(jié)束以后再去上學(xué)，這樣就可以享受更長的假期了。但圖靈不是這種人。他毅然騎上自行車，往學(xué)校奔去。他騎了整整兩天的時(shí)間，中途只在一家小旅館歇了歇腳。就這樣，年輕的圖靈準(zhǔn)時(shí)趕到了新學(xué)校。

圖靈之所以養(yǎng)成了獨(dú)立的性格，或許是因?yàn)樗透绺缂s翰并不在父母身邊長大。圖靈夫婦都住在印度，但他們認(rèn)為，孩子應(yīng)該在英國接受教育。于是，他們把孩子留在了英國，和朋友同住。直到1926年，小圖靈的父親才退休回到英國——他回來的時(shí)候，小圖靈正騎著自行車風(fēng)風(fēng)火火地往學(xué)校趕。

這是一個(gè)令人驚嘆的開端，但是艾倫·圖靈在新學(xué)校的成績并不太好——以前也從來沒有好過。他的字跡潦草，英語寫作奇差。英語老師給出了這樣的評語：“我可以原諒他的寫作，但我這輩子都沒見過寫作水平這么差的。他的作文一向用詞不當(dāng)、粗制濫造、字跡潦草，不管寫多少篇都是這樣，我已經(jīng)盡了最大的努力容忍他的劣質(zhì)作文了……”拉丁語老師的評價(jià)也沒有好到哪里去：“他成績落后，總是犯一些滑稽可笑的錯(cuò)誤。”

之所以會出現(xiàn)這樣的問題，原因是圖靈并不在乎課內(nèi)成績，而是把時(shí)間都花在了自己感興趣的學(xué)問上。他獨(dú)自開展化學(xué)實(shí)驗(yàn)，每次遇到數(shù)學(xué)難題都自己想辦法解決。憑借獨(dú)創(chuàng)的解題方法，他幾乎包攬了學(xué)校頒發(fā)的所有數(shù)學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng)。任課老師不知道的是，圖靈甚至已經(jīng)開始從祖父給他的書中學(xué)習(xí)愛因斯坦的相對論思想和量子力學(xué)的最新理論。然而，他的才能并沒有得到校長的賞識，校長說：“圖靈要是想繼續(xù)留在公學(xué)（英國的私立精英學(xué)校），就得讓自己變得富有教養(yǎng)。如果他只是想當(dāng)一名科學(xué)專家，那么他在公學(xué)上學(xué)簡直是浪費(fèi)時(shí)間。”

從小時(shí)候開始，圖靈一直將一頭深色的短發(fā)梳成標(biāo)志性的左偏分。他的聲音并沒有隨著年齡的增長而低沉多少，口吃的毛病也總是讓周圍的人誤以為他不莊重。據(jù)圖靈的母親回憶，他在學(xué)校里沒什么朋友，看起來日子也過得并不快樂。有位同學(xué)曾經(jīng)給他畫了張素描，畫中的圖靈正出神地看著曲棍球場中央生長的一簇雛菊——當(dāng)時(shí)球場上正在比賽。不過，圖靈不僅是個(gè)夢想家，還是個(gè)運(yùn)動健將。他經(jīng)常練跑步，長大后還成了訓(xùn)練有素的馬拉松運(yùn)動員。有一次，他在宿舍的樓梯井里自制了一個(gè)傅科擺（2）的復(fù)制品，來顯示地球的自傳。這件事終于使他在學(xué)校受到了一些重視。

圖靈升上男子寄宿學(xué)校的預(yù)科班后，遇到了人生中的第一個(gè)重要的朋友——克里斯托弗·莫科姆（Christopher Morcom）。莫科姆也是一名天資聰穎的學(xué)生。兩人經(jīng)常用化學(xué)和數(shù)學(xué)難題互相挑戰(zhàn)。

在莫科姆的影響下，圖靈申請了劍橋大學(xué)三一學(xué)院的獎(jiǎng)學(xué)金。他們一起去面試，結(jié)果克里斯托弗順利通過，而圖靈不幸失敗。沒過多久，悲劇發(fā)生了。克里斯托弗患上了牛結(jié)核病——這種結(jié)核病，可以通過病牛未經(jīng)巴氏消毒的牛奶傳播給人。他沒能戰(zhàn)勝病魔，英年早逝。18歲的圖靈受到了沉重的打擊。痛失摯友的創(chuàng)傷使他開始深入思考生命與物理學(xué)的關(guān)系——他在余生的大部分時(shí)間里也在研究這些學(xué)科。為了紀(jì)念摯友，他下定決心繼續(xù)努力，實(shí)現(xiàn)兩人共同的志愿。因此，到了第二年，他又一次參加了考試，申請了劍橋大學(xué)國王學(xué)院（3）。這一次，他成功考取了自己理想的學(xué)校。

考上大學(xué)后，圖靈突然發(fā)現(xiàn)自己來到了一個(gè)全新的世界。在劍橋，他可以自由探索自己的想法，充分施展打破常規(guī)的天性。他開始參與社交，練習(xí)劃船，同時(shí)繼續(xù)堅(jiān)持長跑。在學(xué)術(shù)上，他繼續(xù)深入鉆研量子力學(xué)、數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)。在道德科學(xué)俱樂部（Moral Science Club，劍橋的一個(gè)哲學(xué)討論組），他讀到了一篇關(guān)于數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)的論文。同時(shí)期的俱樂部成員概括了圖靈在這個(gè)問題上的觀點(diǎn)：“他認(rèn)為，不能只從邏輯的角度看數(shù)學(xué)；一個(gè)數(shù)學(xué)命題可以有多種解讀方法，邏輯解讀只是其中的一種。”換句話說，圖靈認(rèn)為，數(shù)學(xué)可能比邏輯學(xué)更加博大精深。

1934年，圖靈以優(yōu)異的成績畢業(yè)，并繼續(xù)在劍橋深造，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的高級課程。他寫了一篇獎(jiǎng)學(xué)金論文，證明了統(tǒng)計(jì)學(xué)的中心極限定理（4）——后來發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理在很多年前已經(jīng)被證明過了。這種事情對于圖靈來說已經(jīng)是家常便飯，而且他這么做是有充分理由的。

很多年后，他的同事詹姆斯·威爾金森（5）（James Wilkinson）道破了其中的緣由。“圖靈有個(gè)強(qiáng)烈的嗜好，他喜歡從最基本的公理出發(fā)來推導(dǎo)結(jié)論，他通常只審一遍題，就開始自己想辦法解決，完全不參考前人的解法。顯然，正是因?yàn)轲B(yǎng)成了這樣的習(xí)慣，他的解法才那么具有獨(dú)創(chuàng)性，可以說是自成風(fēng)格。這讓我想起了貝多芬說過的一句名言。當(dāng)時(shí)有人問貝多芬聽沒聽過莫扎特的曲子，畢竟莫扎特正備受關(guān)注。貝多芬說，‘沒有，我也不應(yīng)該去聽，以免受到影響，扼殺自己的創(chuàng)造力。’”

“圖靈把這個(gè)信條貫徹到了極致。老實(shí)說，我一開始對他的做法還挺惱火的。每次他給我布置一個(gè)任務(wù)，我完成以后，他都不肯賞臉看一看我的解法，而是會自己先解一遍；只有自己先初步嘗試一遍之后，才會看我的解法。我很快就看到了他這樣做的好處。首先，他如果不親自嘗試，是不會輕易接受別人的想法的，不過更重要的是，他經(jīng)常會想出一些具有獨(dú)創(chuàng)性的方法。這些方法我可能想都沒有想過，而且他要是一開始就看我的解法，也不一定想得出來。”

探索不可能解開的謎題

圖靈在劍橋大學(xué)修讀高級課程期間接觸到了一個(gè)課題，以此為契機(jī)，他將向全世界展示自己的天才。這個(gè)課題非常適合圖靈，因?yàn)樗甏蠖匾睋魯?shù)學(xué)的核心，而且尚未被人解決。

開課老師是劍橋大學(xué)的著名數(shù)學(xué)家馬克斯·紐曼（Max Newman）（后來他也成了圖靈的摯友和同事）。課程的重點(diǎn)在于探索數(shù)學(xué)的極限——是不是一切事物、以及任何事物在數(shù)學(xué)上都是可證明、乃至可計(jì)算的？這些令人費(fèi)解的想法新穎獨(dú)特，懸而未決，而且令人振奮。數(shù)學(xué)被認(rèn)為是宇宙的形式語言（6）——我們通過這種方式描述萬事萬物，計(jì)算將來會發(fā)生的事情。如果沒有數(shù)學(xué)，那么科學(xué)、工程學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)根本不可能存在。數(shù)學(xué)上的漏洞一旦被發(fā)現(xiàn)，將在很大程度上決定未來哪些事物可以計(jì)算、哪些不可以計(jì)算。這些想法很快就激發(fā)了圖靈的想象。

關(guān)于數(shù)學(xué)漏洞的問題，我給大家舉個(gè)例子。34年前，劍橋有位數(shù)學(xué)家——伯特蘭·羅素（Bertrand Russell）發(fā)現(xiàn)了一個(gè)數(shù)學(xué)漏洞。此前羅素的工作已經(jīng)取得了巨大的成功——他證明了所有數(shù)學(xué)問題都可以還原為邏輯問題，也就是說，所有數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)都可以用邏輯表達(dá)式重新寫出來。（很多年后，圖靈在道德科學(xué)俱樂部也做了同樣的事情。）這項(xiàng)工作是偉大的，因?yàn)樗兄谖覀兞私鈹?shù)學(xué)賴以建立的所有基本真理。但是后來，羅素發(fā)現(xiàn)了一個(gè)問題。他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)悖論——也就是看起來既正確又不正確的論斷。數(shù)學(xué)家經(jīng)常尋找悖論，因?yàn)槟闳绻X得某件事情既正確又不正確，那么你的想法肯定有漏洞。所以，通過這種方法可以將很多想法證偽。相比之下，羅素悖論的性質(zhì)要嚴(yán)重許多，因?yàn)樗坪躅A(yù)示著，整個(gè)數(shù)學(xué)體系是有漏洞的。

羅素悖論與理發(fā)師悖論很相似。請大家設(shè)想一下：

有一位理發(fā)師，他只為不給自己刮臉的人刮臉。那么他給不給自己刮臉呢？

如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。唯一說得通的解釋是，他既給自己刮臉，又不給自己刮臉——但這在邏輯上是不可能的。所以說這是一個(gè)悖論。

羅素悖論與之相似，只不過是關(guān)于集合的。集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。下面我給大家簡單地分析一下羅素的思路：假設(shè)有兩個(gè)集合，一個(gè)是由碗組成的集合，另一是由盤子組成的集合，兩者加起來，可以組成一個(gè)由碗和盤子的集合組成的集合；如果在此基礎(chǔ)上再累加一個(gè)由杯子組成的集合，那么就會形成一個(gè)由碗、盤子和杯子組成的集合（也就是餐具的集合）。也就是說，“集合”是個(gè)有用的數(shù)學(xué)概念，我們可以把一個(gè)集合包含在其他集合當(dāng)中。很多基本算術(shù)運(yùn)算法則（比如加法、減法）的證明都用到了數(shù)字集合的概念，所以說它們是整座數(shù)學(xué)大廈的基石。羅素認(rèn)為，有些集合可以同時(shí)包含自身，比方說所有非空集合的集合。假設(shè)一個(gè)集合包含一切事物，那么任何事物都是該集合的元素。由于該集合內(nèi)包含元素，其本身不是非空集合，因而肯定包含于非空集合的集合當(dāng)中。由此可以推出，該集合包含自身，或者用集合論的術(shù)語來說，該集合是其自身的子集。

到目前為止，整個(gè)推導(dǎo)過程都沒什么漏洞。沒有出現(xiàn)悖論，只不過有些思想略顯怪異。然而，羅素想到了一個(gè)非常特殊的集合，這個(gè)集合在數(shù)學(xué)上完全可以接受，但在邏輯上根本說不通。羅素悖論給我們出的難題是：

假設(shè)有一個(gè)集合A，它的所有子集都具有一個(gè)共同的性質(zhì)P——它們不包含自身。問題是：集合A是否包含自身？

首先，若A包含自身，則A是A的子集，那么A具有性質(zhì)P，由性質(zhì)P知A不包含A；其次，若A不包含A，也就是說A具有性質(zhì)P，而A是由所有具有性質(zhì)P的集合組成的，所以A包含A。就像理發(fā)師悖論一樣，唯一說得通的解法是，集合A既包含自身，又不包含自身。這在邏輯上是不可能的。

羅素悖論的提出之所以讓數(shù)學(xué)家如臨大敵，是因?yàn)樗A(yù)示著數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)存在漏洞。幾個(gè)世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)思想和證明無不建立在一系列的基本真理之上。連加法和減法的運(yùn)算法則都是運(yùn)用集合和邏輯學(xué)加以證明的。但是羅素悖論表明，任何數(shù)學(xué)證明都不再可信。人們曾經(jīng)認(rèn)為，數(shù)學(xué)是唯一可能存在絕對真理的領(lǐng)域，就像笛卡爾所信奉的那樣，但如今，這樣的理念已不再成立。

羅素悖論還只是這一切的開端。1931年，在圖靈攻讀高級課程的四年前，有位數(shù)學(xué)家一勞永逸地證明了數(shù)學(xué)體系必定是不完備的。他的名字叫庫爾特·哥德爾（Kurt Godel）。

哥德爾最杰出的貢獻(xiàn)在于提出了哥德爾不完備定理。其中第一條定理或許最為出名，它與一條悖論相似。這條悖論稱為“說謊者悖論”。請大家思考一下，下面這句話是對的還是錯(cuò)的？這句話是錯(cuò)的。

如果這句話是對的，那么它所指的內(nèi)容必定為真，因此這句話是錯(cuò)的。如果這句話是錯(cuò)的，那么它所指的內(nèi)容必定為假，因此這句話是對的。哥德爾的第一條定理可以通過類似的方式表述出來：

G=“本命題不可以由理論T證明。”

如果命題G事實(shí)上可以由理論T證明，則理論T中存在一個(gè)自相矛盾的定理G，既然有自相矛盾的地方，那么理論T就是不完備的。也就是說，T要是完備的理論，就不可以證明G，但是這樣一來，T就有證明不了的命題，也稱不上是完備的理論了。于是，G所指的內(nèi)容就是真的：G既無法得到證明，但又是真命題。由此可見，有些事物不管能否得到證明，都可以為真。

這個(gè)腦筋急轉(zhuǎn)彎游戲產(chǎn)生了巨大的影響。人們發(fā)現(xiàn)，任何事情都無法通過數(shù)學(xué)加以證明。有些真理則根本無法證實(shí)。

這樣的結(jié)果是毀滅性的。要知道，千百年來，一代又一代數(shù)學(xué)家孜孜不倦地投身研究工作，就為了建立一個(gè)全面而完備的數(shù)學(xué)體系，在這個(gè)體系中，從最基礎(chǔ)的公理到最高級、最復(fù)雜的證明都可以確鑿無誤地加以證實(shí)。但是如今，哥德爾不完備定理表明，數(shù)學(xué)家的努力永遠(yuǎn)沒有成功的希望，一個(gè)全面而完備的數(shù)學(xué)體系永遠(yuǎn)也無法創(chuàng)立。無論數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)有多么牢固，總會有一些真理永遠(yuǎn)無法證實(shí)。