1.1 有限元方法簡介

在實際工程技術領域中，有限元方法是一種比較新穎有效的求解各種力學和場問題的數值計算方法。該方法起源于20世紀早期。在20世紀50年代，使用有限元方法對航空工程中飛機結構進行建模，使有限元方法得到極大的發展。由于有限元方法具有準確和簡便的優點，已經成為目前應用最為廣泛的一種數值模擬計算方法。

1.1.1 有限元方法的基本思想

有限元方法的基本思想是把連續系統分割成有限個單元，各單元由設置的有限個節點連接，由單元和節點組成的系統來代替原來的連續系統。同時，在節點上引進場函數來代替實際作用于系統上的載荷或邊界條件，并在每個單元中假設一個近似的插值函數來表示單元場函數的分布規律，再建立求解節點未知量的有限元方程，把所有單元的有限元方程集合起來，引入邊界條件，構成一組代數方程組，求解得到有限個節點處的變量。

1.1.2 有限元方法特點

有限元方法的特點主要有三點。

1.容易理解，便于學習

有限元方法之所以會得到廣泛的應用，最大的原因是其概念清晰，便于掌握。對于理論基礎較弱的人，可以通過直觀的物理意義來學習；對于基礎扎實的人，可以加入自己對力學及數學方面的延伸。

2.應用廣泛

有限元方法在理論和應用上不斷地發展，可以求解很多實際工程中遇到的復雜問題。

3.與計算機的聯系密切

（1）有限元方法采用矩陣形式表達，便于編寫計算機程序。

（2）利用計算機求解問題。

1.1.3 有限元分析基本步驟

有限元分析基本步驟如下：

（1）連續系統的離散化，即將某個工程結構離散為各種單元組成的計算模型；

（2）選擇單元模式，有位移法、力法和混合法，假設得到代表單元解的近似連續函數；

（3）分析單元的力學性質，找出節點力和節點位移之間的關系；

（4）利用幾何方程和物理方程建立力與位移的方程式，得到單元剛度矩陣；

（5）計算等效節點力；

（6）利用結構里的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來的結構重新連接起來，形成整體的有限元方程；

（7）求解有限元方程，解得節點位移；

（8）進而利用各種力學關系得到其他信息。