1.5 傳感器的動態特性

1.5.1 典型傳感器動態特性的數學模型

輸入量隨著時間變化時，傳感器對輸入信息的檢測就是對各種動態信號進行檢測。這種情況下，傳感器的輸入—輸出特性（基本特性）體現為動態特征。

1.5.1.1 理想傳感器的動態特性

△ 理想動態特性的傳感器，其輸出量的時間函數y（t）與輸入量的時間函數x（t）之間的關系應為

y（t）=Am（t）·x（t）；并且Am（t）=A為常數

即輸出量y（t）與輸入量x（t）二者具有相同的時間函數，它們隨時間變化的規律完全一樣。理想動態特性的傳感器，其輸出量應能立即無失真地跟隨著輸入量變化，實時地再現輸入量的每一個瞬時值及其變化規律（波形）。

1.5.1.2 實際傳感器的動態誤差

△ 實際的傳感器，多數會存在著延遲、慣性和阻尼等內在因素，難以具備理想的動態特性。實際的傳感器，其Am（t）不是常數，而是一個與時間變化有關的參數，因此傳感器的輸出信號y（t）也不會與輸入信號x（t）具有完全相同的時間函數。輸入信號與傳感器響應的這種差異性，主要體現在傳感器的動態檢測中，這就是傳感器的動態誤差。

△ 為了把握動態檢測條件下傳感器輸出—輸入間動態誤差的規律，有必要研究傳感器的輸出端對輸入激勵的響應特性。研究實際傳感器的動態特性，需要建立一種比較合乎典型情況下的傳感器動態響應的數學模型，用以描述實際傳感器輸出信號的時間函數y（t）與輸入信號時間函數x（t）之間的關系。

1.5.1.3 數學模型

△ 為了研究傳感器的動態響應特性，可以建立典型傳感器動態特性的數學模型。假定典型傳感器系統屬于線性定常（線性時不變）系統，可以用描述線性定常系統的方法來研究典型傳感器的動態特性。

△ 線性定常系統的數學模型是高階常系數線性微分方程。下式（1-9）即為n階常系數線性微分方程的一般表達式：

式中：x（t）——輸入量；

y（t）——輸出量；

t——時間；

a1，a2，a3，…，an——常數系數（由傳感器自身內部構造決定）；

b1，b2，b3，…bm——常數系數（由傳感器自身內部構造決定）；

n和m——導數的階數，其中n代表微分方程的階數。

△ 有些傳感器的數學模型，可以簡化為一階或二階系統。用一階或二階微分方程來近似地描述傳感器的動態特性。由式（1-9）可知：

●一階系統的微分方程表達式為

●二階系統的微分方程表達式為

1.5.2 典型一階傳感器系統的動態特性分析

1.5.2.1 一階傳感器系統的頻率響應

△ 將一階傳感器系統的微分方程式（1-10）改寫為

并令（傳感器的時間常數）；（傳感器的靜態靈敏度）；則可以寫出典型一階傳感器的微分方程式為

△ 設t=0時，x（t），y（t）及它們的導數都為0；

●對式（1-13）等式兩邊做傅立葉變換，可得到y（t）、x（t）的傅氏變換Y（jω）與X（jω）之比的關系式為；

●所以，一階傳感器系統的頻率響應特性H（jω）為

上式中，

△ 因此，典型一階傳感器系統的幅頻特性A（ω）即為

圖1-10示出了典型一階傳感器系統的幅頻特性A（ω）曲線。從圖1-10中可以看出，當ω較小時，一階傳感器系統的幅頻特性比較平坦。

△ 典型一階傳感器系統的相頻特性φ（ω）為

圖1-11示出了典型一階傳感器系統的相頻特性φ（ω）曲線。

1.5.2.2 一階傳感器系統的階躍響應

△ 傳感器的動態特性，也可以在時域里用瞬態響應和過渡過程進行分析。對傳感器突然加載或突然卸載，即屬于階躍性信息變化。因此傳感器的階躍響應特性，能反映傳感器的輸出端對突然到來的輸入信號，其瞬態響應的快慢和到達穩定輸出的過程。故階躍信號常用作測試傳感器動態響應的激勵信號。

△ 設單位階躍信號（圖1-12）為

△ 典型一階傳感器系統微分方程（式1-13）如下：

由上式的微分方程，可解得一階傳感器系統的階躍響應表達式y（t）為

△ 由（圖1-13）階躍響應曲線可以看出一階傳感器系統有如下特點：

●傳感器輸出信號的初始值為零，即y（0）=0；

●隨著時間推移，輸出信號y（t）逐漸接近穩態值1；

●當t=τ時，輸出信號y（t）=y（τ）=0.632。

△τ又稱為傳感器系統的時間常數。在一階傳感器系統的情況下，τ為輸出信號y（t）上升到穩態值的63.2%所經歷的時間。時間常數τ是決定一階傳感器響應速度的重要參數，傳感器的時間常數τ越小，響應就越迅速。因此減小傳感器的時間常數τ，是設計和開發新型傳感器的努力方向之一。

1.5.3 典型二階傳感器系統的動態特性分析

1.5.3.1 二階傳感器系統的頻率特性

△ 典型二階傳感器系統的微分方程表達式（式1-11）如下：

△ 并令

△ 則可寫出典型傳感器的二階微分方程式為

對上式（1-19）兩邊做傅里葉變換，可得到y（t）、x（t）的傅氏變換Y（jω）與X（jω）之比的關系式，并由此得到典型二階傳感器頻率響應特性H（jω）表達式，即

△ 典型二階傳感器系統的幅頻特性A（ω）為

圖1-14示出了典型二階傳感器系統的幅頻特性曲線

△ 典型二階傳感器系統的相頻特性φ（ω）為

圖1-15示出了典型二階傳感器系統的相頻特性曲線。

△ 由圖1-14、圖1-15及式（1-21）、式（1-22）可以看出：

●二階系統阻尼比ξ，影響二階傳感器系統的頻率特性曲線形狀。

●當阻尼比0<ξ<1，并接近于1（屬欠阻尼狀態），且ω遠小于ωn時——幅頻特性曲線平直，相頻特性曲線接近線性關系。傳感器系統頻率特性良好（屬于正常工作狀態）。

●當阻尼比ξ減小，并趨近0時，幅頻特性曲線在系統固有頻率ωn附近逐漸變高，成峰。這說明激勵頻率ω接近ωn時，系統產生了諧振。（實踐表明，當ξ≥0.707時，便可基本抑制諧振。）

1.5.3.2 二階傳感器系統的階躍響應

△ 階躍信號也常用作測試二階傳感器系統在時域里的動態特性。

仍設單位階躍信號（如圖1-16）為

△ 典型二階傳感器系統微分方程（式1-19）如下，其輸入信號x（t）為單位階躍信號（如圖1-16所示）。

●當阻尼比0<ξ<1（欠阻尼狀態）時：

由二階傳感器系統的微分方程（式1-19），可解得其階躍響應y（t）為

式中，ωd=ωn是阻尼振蕩（衰減振蕩）頻率。

由式（1-24）可以看出，在欠阻尼狀態下，二階傳感器系統的階躍響應中包含有衰減振蕩的成分。

●當阻尼比ξ=1（臨界阻尼狀態）時：

由二階傳感器系統的微分方程，可解得其臨界阻尼狀態下的階躍響應y（t）為

從式（1-25）可以看出，在ξ=1的臨界阻尼狀態下，二階傳感器系統的階躍響應中已無自激振蕩成分。

●當阻尼比ξ>1（過阻尼狀態）時：

由二階傳感器系統的微分方程，可解得其過阻尼狀態下的階躍響應y（t）為

由式（1-26）可以看出，在阻尼比ξ>1的過阻尼狀態下，二階傳感器系統的階躍響應中沒有自激振蕩發生。并且指數項中的第一項比第二項衰減得慢，響應建立的過程已類似于一階傳感器系統的情形。

△ 圖1-17示出了二階傳感器系統在單位階躍信號激勵下的響應情況。由圖1-17中各條不同ξ值的響應曲線，可以歸納出二階傳感器系統階躍響應的一些特點。

●在0<ξ<1（欠阻尼）情況下，使用單位階躍信號作為輸入信號時，二階傳感器系統的輸出信號是衰減振蕩（阻尼振蕩）形態。衰減振蕩的角頻率為ωd；衰減振蕩的幅度按指數規律衰減，衰減速度受ξ影響。ξ越大，響應的上沖量越小，振蕩衰減速度也越快，其輸出信號也越快達到穩定值；ξ越小，響應上沖量越大，振蕩幅度衰減相對較慢，輸出信號達到穩定值的時間也相對較長。

●當ξ≥1時（臨界阻尼或過阻尼）情況下，其階躍響應已無上沖量，衰減振蕩現象也消失殆盡。其響應過渡只是單調上升，逐漸趨近于穩態值。ξ值越增大，響應上升速度越慢，系統也逐漸變得遲鈍，二階傳感器系統的響應特性逐漸向一階傳感器系統的特點靠近。

△ 當阻尼比ξ=0時，二階傳感器系統進入無阻尼狀態，系統處于自激振蕩的臨界狀態。這時，二階傳感器系統的階躍響應將成為無衰減的等幅振蕩形式。將ξ=0代入式（1-24）中可以得到：

●等幅振蕩響應的表達式

●在無阻尼狀態時，；

即無阻尼時，響應的等幅振蕩頻率ωd就是系統固有頻率ωn；

●事實上，系統不可能完全沒有阻尼（ξ不可能完全為0），在有低阻尼狀態的振蕩中，仍是ωd<ωn，其響應振蕩幅度也會逐漸衰減。

△ 關于阻尼比（ξ）影響的歸納：

●0<ξ<1是欠阻尼狀態。欠阻尼狀態是二階傳感器系統的正常工作狀態；0<ξ<1區間也是二階傳感器系統中，ξ值的正常取值范圍。

●ξ=1是臨界阻尼狀態。

●ξ>1是過阻尼狀態。在過阻尼狀態，傳感器的響應速度變慢，系統變得遲鈍。二階傳感器系統的特性逐漸向一階系統特性靠近。

●ξ=0是無阻尼狀態。在無阻尼狀態里，在外界信號激勵的作用下，系統將會發生自激振蕩。

△ 阻尼比ξ，是設計和選擇傳感器時應考慮的一個重要參數。二階傳感器系統通常是工作在欠阻尼狀態中，ξ取值應在0.6～0.8之間，這樣可以兼顧系統的穩定性和響應的靈敏性。

△ 二階傳感器系統的固有頻率ωn是由傳感器系統的內部構造決定的參數。ωn越高，二階傳感器系統之響應達到穩定狀態的速度就越快，傳感器的工作頻率也相應提高。因此，增高傳感器的固有頻率ωn，也是設計和開發新型傳感器的努力方向之一。

△ 一般情況下，傳感器系統的信號頻率（工作頻率）ω，應低于系統固有頻率ωn的3～5倍，以使傳感器系統對檢測信息的變換保持良好的線性特征。

1.5.4 傳感器的傳遞函數

△ 假定初始條件為0；即在t=0時，傳感器的輸入量x（t）和輸出量y（t）、以及它們的各階導數的初始值均為0；則傳感器的傳遞函數為

式中，Y（s）——y（t）的拉氏變換；

X（s）——x（t）的拉氏變換；

s=β+jω是復變量，且β>0。

△n階常系數線性微分方程的一般表達式如下：

△ 設初始條件為0；對上式n階常系數線性微分方程等式兩邊做拉普拉斯變換，可得到

即

△ 由式（1-30）可以看出，式右是一個常數系數表達式。這些常系數只由傳感器的內部構造（參數）決定。因此，傳遞函數H（s）只與傳感器系統的內部結構（參數）有關，而與輸入信號x（t）無關。因而傳遞函數H（s）是反映傳感器自身特性的一種表達式。

△ 傳感器的傳遞函數表達式又建立起了傳感器輸入量x（t）與輸出響應y（t）之間的聯系，因此，它又是一個描述傳感器信息傳遞特性的函數表達式。

△ 引入傳遞函數后，Y（s）、X（s）和H（s）三者中，只要知道了其中兩個，便可求得第三個。這樣便可以不需要知道復雜系統的具體構造和具體參數，只要給傳感器系統施加一個簡單激勵信號x0（t）（如階躍信號），并取得系統對x0（t）的響應y0（t），就可以得到系統的傳遞函數H（s）；知曉了系統傳遞函數H（s）后，根據已知或假定的激勵函數x（t），便可求得響應函數y（t）。

△ 此即表明：當知曉了系統的傳遞函數H（s）后，

●由已知信號x（t）可得其拉式變換：

X（s）=L[x（t）]

●這樣便可以得到y（t）的拉式變換：

●對L[y（t）]取反拉氏變換，便可得到輸出響應y（t）為

這為我們了解一個傳感器系統的信息傳遞特性提供了方便。