1.5 傳感器的動(dòng)態(tài)特性

1.5.1 典型傳感器動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型

輸入量隨著時(shí)間變化時(shí)，傳感器對(duì)輸入信息的檢測(cè)就是對(duì)各種動(dòng)態(tài)信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)。這種情況下，傳感器的輸入—輸出特性（基本特性）體現(xiàn)為動(dòng)態(tài)特征。

1.5.1.1 理想傳感器的動(dòng)態(tài)特性

△ 理想動(dòng)態(tài)特性的傳感器，其輸出量的時(shí)間函數(shù)y（t）與輸入量的時(shí)間函數(shù)x（t）之間的關(guān)系應(yīng)為

y（t）=Am（t）·x（t）；并且Am（t）=A為常數(shù)

即輸出量y（t）與輸入量x（t）二者具有相同的時(shí)間函數(shù)，它們隨時(shí)間變化的規(guī)律完全一樣。理想動(dòng)態(tài)特性的傳感器，其輸出量應(yīng)能立即無(wú)失真地跟隨著輸入量變化，實(shí)時(shí)地再現(xiàn)輸入量的每一個(gè)瞬時(shí)值及其變化規(guī)律（波形）。

1.5.1.2 實(shí)際傳感器的動(dòng)態(tài)誤差

△ 實(shí)際的傳感器，多數(shù)會(huì)存在著延遲、慣性和阻尼等內(nèi)在因素，難以具備理想的動(dòng)態(tài)特性。實(shí)際的傳感器，其Am（t）不是常數(shù)，而是一個(gè)與時(shí)間變化有關(guān)的參數(shù)，因此傳感器的輸出信號(hào)y（t）也不會(huì)與輸入信號(hào)x（t）具有完全相同的時(shí)間函數(shù)。輸入信號(hào)與傳感器響應(yīng)的這種差異性，主要體現(xiàn)在傳感器的動(dòng)態(tài)檢測(cè)中，這就是傳感器的動(dòng)態(tài)誤差。

△ 為了把握動(dòng)態(tài)檢測(cè)條件下傳感器輸出—輸入間動(dòng)態(tài)誤差的規(guī)律，有必要研究傳感器的輸出端對(duì)輸入激勵(lì)的響應(yīng)特性。研究實(shí)際傳感器的動(dòng)態(tài)特性，需要建立一種比較合乎典型情況下的傳感器動(dòng)態(tài)響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，用以描述實(shí)際傳感器輸出信號(hào)的時(shí)間函數(shù)y（t）與輸入信號(hào)時(shí)間函數(shù)x（t）之間的關(guān)系。

1.5.1.3 數(shù)學(xué)模型

△ 為了研究傳感器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，可以建立典型傳感器動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型。假定典型傳感器系統(tǒng)屬于線性定常（線性時(shí)不變）系統(tǒng)，可以用描述線性定常系統(tǒng)的方法來(lái)研究典型傳感器的動(dòng)態(tài)特性。

△ 線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是高階常系數(shù)線性微分方程。下式（1-9）即為n階常系數(shù)線性微分方程的一般表達(dá)式：

式中：x（t）——輸入量；

y（t）——輸出量；

t——時(shí)間；

a1，a2，a3，…，an——常數(shù)系數(shù)（由傳感器自身內(nèi)部構(gòu)造決定）；

b1，b2，b3，…bm——常數(shù)系數(shù)（由傳感器自身內(nèi)部構(gòu)造決定）；

n和m——導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，其中n代表微分方程的階數(shù)。

△ 有些傳感器的數(shù)學(xué)模型，可以簡(jiǎn)化為一階或二階系統(tǒng)。用一階或二階微分方程來(lái)近似地描述傳感器的動(dòng)態(tài)特性。由式（1-9）可知：

●一階系統(tǒng)的微分方程表達(dá)式為

●二階系統(tǒng)的微分方程表達(dá)式為

1.5.2 典型一階傳感器系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性分析

1.5.2.1 一階傳感器系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

△ 將一階傳感器系統(tǒng)的微分方程式（1-10）改寫為

并令（傳感器的時(shí)間常數(shù)）；（傳感器的靜態(tài)靈敏度）；則可以寫出典型一階傳感器的微分方程式為

△ 設(shè)t=0時(shí)，x（t），y（t）及它們的導(dǎo)數(shù)都為0；

●對(duì)式（1-13）等式兩邊做傅立葉變換，可得到y（t）、x（t）的傅氏變換Y（jω）與X（jω）之比的關(guān)系式為；

●所以，一階傳感器系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性H（jω）為

上式中，

△ 因此，典型一階傳感器系統(tǒng)的幅頻特性A（ω）即為

圖1-10示出了典型一階傳感器系統(tǒng)的幅頻特性A（ω）曲線。從圖1-10中可以看出，當(dāng)ω較小時(shí)，一階傳感器系統(tǒng)的幅頻特性比較平坦。

△ 典型一階傳感器系統(tǒng)的相頻特性φ（ω）為

圖1-11示出了典型一階傳感器系統(tǒng)的相頻特性φ（ω）曲線。

1.5.2.2 一階傳感器系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

△ 傳感器的動(dòng)態(tài)特性，也可以在時(shí)域里用瞬態(tài)響應(yīng)和過(guò)渡過(guò)程進(jìn)行分析。對(duì)傳感器突然加載或突然卸載，即屬于階躍性信息變化。因此傳感器的階躍響應(yīng)特性，能反映傳感器的輸出端對(duì)突然到來(lái)的輸入信號(hào)，其瞬態(tài)響應(yīng)的快慢和到達(dá)穩(wěn)定輸出的過(guò)程。故階躍信號(hào)常用作測(cè)試傳感器動(dòng)態(tài)響應(yīng)的激勵(lì)信號(hào)。

△ 設(shè)單位階躍信號(hào)（圖1-12）為

△ 典型一階傳感器系統(tǒng)微分方程（式1-13）如下：

由上式的微分方程，可解得一階傳感器系統(tǒng)的階躍響應(yīng)表達(dá)式y(tǒng)（t）為

△ 由（圖1-13）階躍響應(yīng)曲線可以看出一階傳感器系統(tǒng)有如下特點(diǎn)：

●傳感器輸出信號(hào)的初始值為零，即y（0）=0；

●隨著時(shí)間推移，輸出信號(hào)y（t）逐漸接近穩(wěn)態(tài)值1；

●當(dāng)t=τ時(shí)，輸出信號(hào)y（t）=y（τ）=0.632。

△τ又稱為傳感器系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。在一階傳感器系統(tǒng)的情況下，τ為輸出信號(hào)y（t）上升到穩(wěn)態(tài)值的63.2%所經(jīng)歷的時(shí)間。時(shí)間常數(shù)τ是決定一階傳感器響應(yīng)速度的重要參數(shù)，傳感器的時(shí)間常數(shù)τ越小，響應(yīng)就越迅速。因此減小傳感器的時(shí)間常數(shù)τ，是設(shè)計(jì)和開(kāi)發(fā)新型傳感器的努力方向之一。

1.5.3 典型二階傳感器系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性分析

1.5.3.1 二階傳感器系統(tǒng)的頻率特性

△ 典型二階傳感器系統(tǒng)的微分方程表達(dá)式（式1-11）如下：

△ 并令

△ 則可寫出典型傳感器的二階微分方程式為

對(duì)上式（1-19）兩邊做傅里葉變換，可得到y（t）、x（t）的傅氏變換Y（jω）與X（jω）之比的關(guān)系式，并由此得到典型二階傳感器頻率響應(yīng)特性H（jω）表達(dá)式，即

△ 典型二階傳感器系統(tǒng)的幅頻特性A（ω）為

圖1-14示出了典型二階傳感器系統(tǒng)的幅頻特性曲線

△ 典型二階傳感器系統(tǒng)的相頻特性φ（ω）為

圖1-15示出了典型二階傳感器系統(tǒng)的相頻特性曲線。

△ 由圖1-14、圖1-15及式（1-21）、式（1-22）可以看出：

●二階系統(tǒng)阻尼比ξ，影響二階傳感器系統(tǒng)的頻率特性曲線形狀。

●當(dāng)阻尼比0<ξ<1，并接近于1（屬欠阻尼狀態(tài)），且ω遠(yuǎn)小于ωn時(shí)——幅頻特性曲線平直，相頻特性曲線接近線性關(guān)系。傳感器系統(tǒng)頻率特性良好（屬于正常工作狀態(tài)）。

●當(dāng)阻尼比ξ減小，并趨近0時(shí)，幅頻特性曲線在系統(tǒng)固有頻率ωn附近逐漸變高，成峰。這說(shuō)明激勵(lì)頻率ω接近ωn時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生了諧振。（實(shí)踐表明，當(dāng)ξ≥0.707時(shí)，便可基本抑制諧振。）

1.5.3.2 二階傳感器系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

△ 階躍信號(hào)也常用作測(cè)試二階傳感器系統(tǒng)在時(shí)域里的動(dòng)態(tài)特性。

仍設(shè)單位階躍信號(hào)（如圖1-16）為

△ 典型二階傳感器系統(tǒng)微分方程（式1-19）如下，其輸入信號(hào)x（t）為單位階躍信號(hào)（如圖1-16所示）。

●當(dāng)阻尼比0<ξ<1（欠阻尼狀態(tài)）時(shí)：

由二階傳感器系統(tǒng)的微分方程（式1-19），可解得其階躍響應(yīng)y（t）為

式中，ωd=ωn是阻尼振蕩（衰減振蕩）頻率。

由式（1-24）可以看出，在欠阻尼狀態(tài)下，二階傳感器系統(tǒng)的階躍響應(yīng)中包含有衰減振蕩的成分。

●當(dāng)阻尼比ξ=1（臨界阻尼狀態(tài)）時(shí)：

由二階傳感器系統(tǒng)的微分方程，可解得其臨界阻尼狀態(tài)下的階躍響應(yīng)y（t）為

從式（1-25）可以看出，在ξ=1的臨界阻尼狀態(tài)下，二階傳感器系統(tǒng)的階躍響應(yīng)中已無(wú)自激振蕩成分。

●當(dāng)阻尼比ξ>1（過(guò)阻尼狀態(tài)）時(shí)：

由二階傳感器系統(tǒng)的微分方程，可解得其過(guò)阻尼狀態(tài)下的階躍響應(yīng)y（t）為

由式（1-26）可以看出，在阻尼比ξ>1的過(guò)阻尼狀態(tài)下，二階傳感器系統(tǒng)的階躍響應(yīng)中沒(méi)有自激振蕩發(fā)生。并且指數(shù)項(xiàng)中的第一項(xiàng)比第二項(xiàng)衰減得慢，響應(yīng)建立的過(guò)程已類似于一階傳感器系統(tǒng)的情形。

△ 圖1-17示出了二階傳感器系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)情況。由圖1-17中各條不同ξ值的響應(yīng)曲線，可以歸納出二階傳感器系統(tǒng)階躍響應(yīng)的一些特點(diǎn)。

●在0<ξ<1（欠阻尼）情況下，使用單位階躍信號(hào)作為輸入信號(hào)時(shí)，二階傳感器系統(tǒng)的輸出信號(hào)是衰減振蕩（阻尼振蕩）形態(tài)。衰減振蕩的角頻率為ωd；衰減振蕩的幅度按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減速度受ξ影響。ξ越大，響應(yīng)的上沖量越小，振蕩衰減速度也越快，其輸出信號(hào)也越快達(dá)到穩(wěn)定值；ξ越小，響應(yīng)上沖量越大，振蕩幅度衰減相對(duì)較慢，輸出信號(hào)達(dá)到穩(wěn)定值的時(shí)間也相對(duì)較長(zhǎng)。

●當(dāng)ξ≥1時(shí)（臨界阻尼或過(guò)阻尼）情況下，其階躍響應(yīng)已無(wú)上沖量，衰減振蕩現(xiàn)象也消失殆盡。其響應(yīng)過(guò)渡只是單調(diào)上升，逐漸趨近于穩(wěn)態(tài)值。ξ值越增大，響應(yīng)上升速度越慢，系統(tǒng)也逐漸變得遲鈍，二階傳感器系統(tǒng)的響應(yīng)特性逐漸向一階傳感器系統(tǒng)的特點(diǎn)靠近。

△ 當(dāng)阻尼比ξ=0時(shí)，二階傳感器系統(tǒng)進(jìn)入無(wú)阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)處于自激振蕩的臨界狀態(tài)。這時(shí)，二階傳感器系統(tǒng)的階躍響應(yīng)將成為無(wú)衰減的等幅振蕩形式。將ξ=0代入式（1-24）中可以得到：

●等幅振蕩響應(yīng)的表達(dá)式

●在無(wú)阻尼狀態(tài)時(shí)，；

即無(wú)阻尼時(shí)，響應(yīng)的等幅振蕩頻率ωd就是系統(tǒng)固有頻率ωn；

●事實(shí)上，系統(tǒng)不可能完全沒(méi)有阻尼（ξ不可能完全為0），在有低阻尼狀態(tài)的振蕩中，仍是ωd<ωn，其響應(yīng)振蕩幅度也會(huì)逐漸衰減。

△ 關(guān)于阻尼比（ξ）影響的歸納：

●0<ξ<1是欠阻尼狀態(tài)。欠阻尼狀態(tài)是二階傳感器系統(tǒng)的正常工作狀態(tài)；0<ξ<1區(qū)間也是二階傳感器系統(tǒng)中，ξ值的正常取值范圍。

●ξ=1是臨界阻尼狀態(tài)。

●ξ>1是過(guò)阻尼狀態(tài)。在過(guò)阻尼狀態(tài)，傳感器的響應(yīng)速度變慢，系統(tǒng)變得遲鈍。二階傳感器系統(tǒng)的特性逐漸向一階系統(tǒng)特性靠近。

●ξ=0是無(wú)阻尼狀態(tài)。在無(wú)阻尼狀態(tài)里，在外界信號(hào)激勵(lì)的作用下，系統(tǒng)將會(huì)發(fā)生自激振蕩。

△ 阻尼比ξ，是設(shè)計(jì)和選擇傳感器時(shí)應(yīng)考慮的一個(gè)重要參數(shù)。二階傳感器系統(tǒng)通常是工作在欠阻尼狀態(tài)中，ξ取值應(yīng)在0.6～0.8之間，這樣可以兼顧系統(tǒng)的穩(wěn)定性和響應(yīng)的靈敏性。

△ 二階傳感器系統(tǒng)的固有頻率ωn是由傳感器系統(tǒng)的內(nèi)部構(gòu)造決定的參數(shù)。ωn越高，二階傳感器系統(tǒng)之響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的速度就越快，傳感器的工作頻率也相應(yīng)提高。因此，增高傳感器的固有頻率ωn，也是設(shè)計(jì)和開(kāi)發(fā)新型傳感器的努力方向之一。

△ 一般情況下，傳感器系統(tǒng)的信號(hào)頻率（工作頻率）ω，應(yīng)低于系統(tǒng)固有頻率ωn的3～5倍，以使傳感器系統(tǒng)對(duì)檢測(cè)信息的變換保持良好的線性特征。

1.5.4 傳感器的傳遞函數(shù)

△ 假定初始條件為0；即在t=0時(shí)，傳感器的輸入量x（t）和輸出量y（t）、以及它們的各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為0；則傳感器的傳遞函數(shù)為

式中，Y（s）——y（t）的拉氏變換；

X（s）——x（t）的拉氏變換；

s=β+jω是復(fù)變量，且β>0。

△n階常系數(shù)線性微分方程的一般表達(dá)式如下：

△ 設(shè)初始條件為0；對(duì)上式n階常系數(shù)線性微分方程等式兩邊做拉普拉斯變換，可得到

即

△ 由式（1-30）可以看出，式右是一個(gè)常數(shù)系數(shù)表達(dá)式。這些常系數(shù)只由傳感器的內(nèi)部構(gòu)造（參數(shù)）決定。因此，傳遞函數(shù)H（s）只與傳感器系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)（參數(shù)）有關(guān)，而與輸入信號(hào)x（t）無(wú)關(guān)。因而傳遞函數(shù)H（s）是反映傳感器自身特性的一種表達(dá)式。

△ 傳感器的傳遞函數(shù)表達(dá)式又建立起了傳感器輸入量x（t）與輸出響應(yīng)y（t）之間的聯(lián)系，因此，它又是一個(gè)描述傳感器信息傳遞特性的函數(shù)表達(dá)式。

△ 引入傳遞函數(shù)后，Y（s）、X（s）和H（s）三者中，只要知道了其中兩個(gè)，便可求得第三個(gè)。這樣便可以不需要知道復(fù)雜系統(tǒng)的具體構(gòu)造和具體參數(shù)，只要給傳感器系統(tǒng)施加一個(gè)簡(jiǎn)單激勵(lì)信號(hào)x0（t）（如階躍信號(hào)），并取得系統(tǒng)對(duì)x0（t）的響應(yīng)y0（t），就可以得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H（s）；知曉了系統(tǒng)傳遞函數(shù)H（s）后，根據(jù)已知或假定的激勵(lì)函數(shù)x（t），便可求得響應(yīng)函數(shù)y（t）。

△ 此即表明：當(dāng)知曉了系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H（s）后，

●由已知信號(hào)x（t）可得其拉式變換：

X（s）=L[x（t）]

●這樣便可以得到y（t）的拉式變換：

●對(duì)L[y（t）]取反拉氏變換，便可得到輸出響應(yīng)y（t）為

這為我們了解一個(gè)傳感器系統(tǒng)的信息傳遞特性提供了方便。