第3章 復雜直流電路

通過本章的學習，熟悉電工基本定律之一的基爾霍夫定律的內容，并掌握利用基爾霍夫定律分析、計算復雜直流電路的方法。這些分析方法不僅適用于直流電路，而且也適用于交流電路。

學習導航

第一節 基爾霍夫定律

第2章講到了電阻混聯電路，不論電路有多么復雜，但最終都能用電阻的串、并聯進行簡化，并利用歐姆定律進行求解。但在電子電路中，常會遇到如圖3-1所示的電路。

該電路看似十分簡單，但卻無法用電阻的串、并聯進行簡化，不能直接用歐姆定律進行求解。像這種不能用電阻串、并聯簡化求解的電路稱為復雜電路。

因此，判斷一個電路是簡單電路還是復雜電路，不是看其電路形式是簡單還是復雜，主要是看其最終是否能用電阻的串、并聯進行簡化。

復雜電路要用基爾霍夫定律來分析、求解。為此先介紹有關復雜電路的幾個名詞術語。

一、名詞術語

1.支路

電路中的每一個分支稱為支路。它由一個或幾個電路元件相互串聯構成，在同一條支路內，流過所有元件的電流相等。

在圖3-1中有3條支路，即a—E1—R1—b支路；a—R3—b支路、a—E3—R2—b支路。其中，含有電源的支路稱為有源支路，不含電源的支路稱為無源支路。

2.節點

3條或3條以上支路的交點稱為節點。在圖3-1中有a、b兩個節點。

3.回路

電路中任何一個閉合路徑稱為回路。在圖3-1中有3個回路，即a—E1—R1—b—R3—a回路、a—E2—R2—b—R3—a回路、a—E1—R1—b—R2—E2—a回路。

一個回路中可能只包含一條支路，也可能包含幾條支路。

4. 網孔：

電路中不能再分的回路（中間無支路穿過）稱為網孔，也叫獨立回路。在圖3-1中有兩個網孔，即a—E1—R1—b—R3—a回路和a—E2—R2—b—R3—a回路。

觀察與思考

二、基爾霍夫第一定律（KCL 定律）

如圖3-3所示，I1、I2、I3流入節點a，I4、I5流出節點a。因為在電路中任一位置處不可能形成電荷的積累，所以流入節點a的電流之和必然等于流出節點a的電流之和，即

推而廣之，對電路中的任一節點，在任一時刻，流入該節點的電流之和恒等于流出該節點的電流之和。這就是基爾霍夫第一定律（KCL定律），又叫節點電流定律。用公式表示為

式（3-1）可改寫成

或

若規定流入節點的電流為正，流出節點的電流為負，則上式可寫成

也就是說，在任一時刻，通過電路中任一節點的電流的代數和恒等于零。這是基爾霍夫第一定律的另一種表達形式。

式（3-1）和式（3-2）都叫節點電流方程，它們是同一定律的兩種表達形式，一般多采用式（3-1）。

基爾霍夫第一定律不僅適用于節點，也可推廣應用于任意假定的封閉面。如圖3-4所示，假定一個封閉面S把R1～R5所構成的電路全部包圍起來，則流進封閉面的電流應等于流出封閉面的電流，即I1=I2。

事實上，不論電路怎樣復雜，總是通過兩根導線與電源連接的，而這兩根導線是串聯在電路中的，所以流過它們的電流必然相等，如圖3-5所示。

顯然，若將一根導線切斷，則另一根導線中的電流必然為零。因此，在已經接地的電力系統中工作時，只要穿絕緣膠鞋或站在絕緣木梯上，并且不同時觸及有不同電位的兩根導線，就不會有電流流過人體，能夠保證安全。

觀察與思考

如圖3-6電路，通過電阻R的電流是多少？為什么？

注意，在分析與計算復雜電路時，往往事先不知道每一支路中電流的實際方向，這時，可以先任意假定各支路中電流的方向（稱為參考方向），并標在電路圖上，然后進行計算。若計算結果中某一支路的電流為正值，表明該支路電流的實際方向與參考方向相同；反之，該支路電流的實際方向與參考方向相反。

例題3-1 在如圖3-7 所示的電路中，已知I=30mA，I2=18mA，I4=12mA，求通過其余各電阻的電流。

解：假定各未知電流的方向如圖3-7所示。根據KCL定律可得出以下節點電流方程。

對于節點a：I=I1+I2→I1=I?I2=30?18=12(mA)。

對于節點d：I2+I5=I4→I5=I4?I2=12?18=?6(mA)。

對于節點c：I1=I3+I5→I3=I1?I5=12? (?6)=18(mA)。

I5為負值，表明其實際方向與假定方向相反。

三、基爾霍夫第二定律（KVL 定律）

圖3-8所示為某復雜電路中的一個閉合回路，各支路電流方向如圖所示。

當從a點出發，按圖3-8中虛線所示（回路繞行方向）沿回路繞行一周再回到a點時，利

用分段法得

上式表明，在如圖3-8所示的閉合回路中，沿回路繞行一周，各段電壓降的代數和恒等于零。

推而廣之，在任意一個閉合回路中，沿回路繞行一周，各段電壓降的代數和恒等于零。這就是基爾霍夫第二定律（KVL定律），又叫回路電壓定律。用公式表示為

在圖3-8中，各段電壓分別為

代入①式得

移項后得

上式表明，在任意一個閉合回路中，沿回路繞行方向，各電動勢的代數和恒等于各電阻上電壓降的代數和。這就是基爾霍夫第二定律的另一種表達形式。用公式表示為

式（3-3）和式（3-4）都叫回路電壓方程，是同一定律的兩種表達形式，一般多采用式（3-4）。

注意，在用式（3-4）列回路電壓方程時，必須注意各電動勢和各電阻上電壓降的正、負號。其原則是：①當電動勢的正方向（由負極指向正極）與繞行方向一致時，該電動勢取正值，反之取負值；②當通過電阻的電流方向與繞行方向一致時，該電阻上的電壓降取正值，反之取負值。

基爾霍夫第二定律適用于任何閉合回路，也可以推廣應用于任意不閉合的假想回路。圖3-9所示為含有電源的某支路，表面看起來是斷開的，但可以把它假想成回路，同樣可以用基爾霍夫第二定律列出回路電壓方程。

根據圖3-9中所標的電壓、電流方向及回路繞行方向，可得

即

這種關系式稱為含源支路歐姆定律。

圖3-9中電動勢E的方向與電流方向相反，稱為反電動勢，它吸收能量，相當于一個負載。電動勢的這種狀態也稱為電動機狀態。相反，我們把放出能量的電動勢的狀態稱為發電機狀態。

例題3-2 對如圖3-10 所示的電路列出3 個網孔的回路電壓方程。

解：電路中有3個網孔，即網孔I、II、III。

假定各支路電流方向及各網孔的繞行方向如圖3-10所示。

根據基爾霍夫第二定律可得出以下回路電壓方程。

對于回路I：E1?E2=I1R1?I2R2。

對于回路II：E2?E3=I2R2+Uab?I3R3。

對于回路III：E3?E4=I3R3?I4R4。

基爾霍夫定律揭示了電路中各支路間電流的相互關系及各回路中各電壓之間的相互關系，所以，它是分析、計算各種簡單和復雜電路問題的最重要最基本的定律。